تعیین علامت عبارت های جبری به زبان ساده ➕ ➖

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 6 فروردین 1399 سید ایمان موسوی نطنزی 1298 بازدید
تعیین علامت عبارت های جبری به زبان ساده

تعیین علامت عبارت های جبری کاربرد زیادی در حل نامعادلات درجه اول و دوم، نامعادلات قدرمطلقی و تعیین دامنه توابع لگاریتمی و رادیکالی دارد. بنابراین در آموزش پیشرو سعی کردیم کامل‌ترین و جامع‌ترین آموزش تعیین علامت عبارت های جبری را ارائه دهیم تا باهم به خوبی آن را فرا بگیریم.

تعیین علامت عبارت های جبری درجه اول

در آموزش ریاضی دهم یاد می‌گیریم که وقتی ما از اعداد صحبت می‌کنیم علامت آن‌ها مشخص است. مثلاً 5 علامتش مثبت، 7- علامتش منفی و صفر نه مثبت نه منفی است. امّا وقتی مثلاً عبارت \( \Large 2x+1  \) را در نظر بگیرید. می‌توانیم بگوییم علامت این عبارت چیست؟ چون در این عبارت متغیر \( \Large x \) را داریم و بسته به اعدادی که جای \( \Large x \) قرار می‌گیرند علامت این عبارت تغییر می‌کند. مثلاً به ازای \( \LARGE -\frac{1}{2}  \) صفر، به ازای 3 مثبت و به ازای 3- منفی می‌شود. اگر نمودار این خط را رسم کنیم داریم:

در این نمودار می‌بیند که این خط محور \( \Large x  \)ها را در نقطه \( \LARGE -\frac{1}{2}  \) قطع کرده ؛ (ریشه معادله). در این نقطه \( \Large y\) صفر است و به ازای مقادیر بیشتر از \( \LARGE -\frac{1}{2}  \) ، خط بالای محور \( \Large x  \)ها قرار دارد و مثبت است و به ازای مقادیر کمتر از \( \LARGE -\frac{1}{2}  \) خط زیر محور \( \Large x  \)ها قرار دارد. یعنی \( \Large y  \) منفی است. اگر این اطلاعات را داخل یک جدول تعیین علامت بنویسیم داریم:

یک مثال برای فهم بهتر تعیین علامت عبارت‌ های جبری

\( \Large y = -2x + 6  \) اگر نمودار این خط را رسم کنیم داریم:

در این مثال نمودار محور \( \Large x \)ها را در نقطه 3 که ریشه این معادله است قطع کرده و به ازای مقادیر بیشتر از 3 نمودار زیر محور \( \Large x \)ها قرار دارد و \( \Large y \) منفی است و به ازای مقادیر بیشتر از 3، نمودار بالای محور \( \Large x \)ها است. پس \( \Large y \) مثبت است.

اگر به این دو مثال دقت کنید در می‌یابید که اولاً ریشه معادله مرز بین مقادیر مثبت و منفی است. در مثال اول که ضریب \( \Large x \) مثبت بود مقادیر کوچکتر از ریشه منفی (مخالف \( \Large a \)) و بزرگتر از ریشه مثبت (موافق \( \Large a \)) است.

بیا بیشتر بخونیم:
تابع ثابت را در حافظه خود ثابت کنید 📝 !

در مثال دوم مقادیر کوچکتر از ریشه مثبت (مخالف \( \Large a \)) و مقادیر بزرگتر از ریشه منفی (موافق \( \Large a \)) هستند. پس برای تعیین علامت عبارت‌ های جبری درجه اول، ابتدا ریشه عبارت را بدست می‌آوریم (آن را مساوی صفر قرار می‌دهیم). سپس در جدول مقادیر کمتر از ریشه مخالف \( \Large a \) (ضریب \( \Large x \)) و مقادیر بیشتر از ریشه موافق \( \Large a \) خواهند بود.

مثال ۱: عبارت \( \Large y = 3 -4x \) را تعیین علامت کنید؟

چند استثناء در مورد تعیین علامت عبارت‌ های جبری درجه اول

۱. اگر عبارت درجه اول داخل قدر مطلق باشد به جزء ریشه ب ازای همه مقادیر مثبت خواهد بود.

مثال ۲: \( \Large y = \left| -x + 3 \right| \) را تعیین علامت کنید.

نکته ۱: اگر پشت قدرمطلق منفی باشد به جز ریشه به ازای همه مقادیر منفی خواهد بود.

مثال ۳: \( \Large y = -\left| 4 – 2x \right| \) را تعیین علامت کنید.

به جای  \( \Large x>2 , x<2 \) علامت \( \Large +\infty , -\infty \) هم می‌توانیم قرار دهیم که راحت‌تر است.

۲. اگر عبارت درجه اول دارای توان زوج باشد

در این‌صورت مانند قدرمطلق به ازای همه مقادیر مثبت است. مگر اینکه پشت پرانتز منفی باشد که در اینصورت به ازای همه مقادیر منفی خواهد بود.

مثال ۴: \( \Large y = (-2x-1)^2 \) را تعیین علامت کنید.

مثال ۵: \( \Large y = -(3x+1)^4 \) را تعیین علامت کنید.

۳. تعیین علامت عبارت درجه اول که دارای توان فرد می‌باشد.

اگر عبارت درجه اول دارای توان فرد باشد، این توان را نادیده گرفته و به حالت معمولی آن را تعیین علامت می‌کنیم.

مثال ۶: \( \Large y = (-4-2x)^3 \) را تعیین علامت کنید؟

نکته ۲: اگر در این مواقع پشت پرانتز علامت منفی بود و بعد از تعیین علامت منفی را در جدول تاثیر می‌دهیم.

مثال ۷: \( \Large y = -(x-4)^5 \) را تعیین علامت کنید.

۴. تعیین علامت عبارت های جبری : دو عبارت درجه اول که در هم ضرب یا به هم تقسیم شده‌اند.

در این مواقع ریشه هر عبارت را بدست آورده ولی در یک جدول به ترتیب از کوچک به بزرگ می‌نویسیم. سپس هر عبارت را جداگانه تعیین علامت کرده (سطری) و در نهایت علامت‌های ستون‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش رسم سهمی به همراه ۲ روش کاربردی ⚙️

مثال ۸: \( \Large y = (x-2)(3-4x) \)  را تعیین علامت کنید.

 

این جدول به ما نشان می‌دهد که اگر اعداد بین \( \LARGE \frac{3}{4}<x<2 \) را به جای \( \Large x \) قرار دهیم، عبارت مثبت و اگر مقادیر بیشتر از 2 و کمتر \( \LARGE \frac{3}{4}\) را قرار دهیم عبارت منفی می‌شود.

مثال ۹: \( \Huge y = \frac{\left| -x-3 \right|}{5-x} \) را تعیین علامت کنید.

دقت کنید در این مثال  5 ریشه مخرج است. همچنین می‌دانیم اگر مخرج کسری صفر باشد، آن کسر تعریف نشده است. برای همین روی خط مربوط به عدد 5 (ت) که مخفف (تعریف نشده) است قرار می‌دهیم.

تعیین علامت عبارت‌های درجه دوم

می‌دانیم عبارت‌های درجه دوم را وقتی مساوی صفر قرار می‌دهیم و ریشه‌هایشان را پیدا می‌کنیم به 3 دسته تقسیم می‌شوند:

  1. وقتی \( \LARGE \Delta > 0 \) است که دو ریشه داریم.
  2. وقتی \( \LARGE \Delta = 0 \) که یک ریشه داریم.
  3. وقتی \( \LARGE \Delta < 0 \) که ریشه نداریم.

۱. تعیین علامت عبارات‌ درجه دومی که \( \Large \Delta > 0 \) و دو ریشه دارند.

اگر نمودار این دسته از معادلات درجه دوم را رسم کنیم، نمودار آن‌ها (سهمی) محور \( \Large x \)ها را در دو نقطه قطع می‌کند و اگر \( \Large a>0 \)  باشد نمودار به صورت زیر است:

اگر \( \Large a<0 \)  باشد نمودار به صورت زیر خواهد بود:

اگر فرض کنیم \( \Large x_1 , x_2 \) ریشه‌های معادله باشند، می‌بینید مقادیر بین دو ریشه علامتشان مخالف \( \Large a \) است. در نمودار (1) \( \Large a>0 \) است ولی مقادیر بین دو ریشه زیر محور \( \Large x \)ها قرار دارند و منفی هستند.

ولی مقادیر کمتر یا بیشتر از دو ریشه بالای محور \( \Large x \)ها قرار دارند و با علامت \( \Large a \) موافقند. در نمودار شماره (2) نیز همین اتفاق افتاده است پس نتیجه می‌گیریم برای تعیین علامت عبارت‌های درجه دوم ابتدا \( \Large \Delta \) را پیدا کرده اگر \( \Large \Delta >0 \)  بود ریشه‌ها یعنی \( \Large x_1 , x_2 \) را پیدا می‌کنیم و به صورت جدول زیر تعیین علامت می‌کنیم.

بیا بیشتر بخونیم:
تجزیه عبارت‌ های جبری به 4 روش مختلف 📚

مثال ۱۰: \( \Large y = x^2-5x+6 \)  را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE x^2 – 5x +6 =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta = 25-24=1>0 \)

\( \LARGE x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2} \)

\( \LARGE x_1=3 , x_2=2 \)

نکته ۳: اگر عبارت  داده شده تجزیه پذیر باشد، می‌توان آن را تجزیه و به دو عبارت درجه اول تبدیل و از روش عبارت‌های درجه اول آن را تعیین علامت کرد. اما روش بالا کوتاه‌تر و راحت‌تر است.

مثال ۱۱: \( \Large y = -2x^2+3x-1 \) را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE -2x^2 +3x-1 =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta = 9-8=1>0 \)

\( \LARGE x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{-4} \)

\( \LARGE x_1=1 , x_2=\frac{1}{2} \)

۲. تعیین علامت عبارات درجه اولی که \( \Large \Delta= 0 \) و یک ریشه دارند.

اگر یک عبارت درجه دوم را ریشه‌یابی کنیم \( \Large \Delta=0 \) و یک ریشه داشته باشد، نمودار آن در یک نقطه مماس بر محور \( \Large x \)ها خواهد بود و داریم:

همانطور که ملاحظه می‌کنید وقتی \( \Large \Delta=0 \) است و یک ریشه دارد:

  1. اگر \( \Large a>0 \) باشد نمودار کاملاً بالای محور \( \Large x \)ها است پس به ازای همه مقادیر جز ریشه مثبت است.
  2. اگر \( \Large a<0 \) باشد نمودار کاملاً زیر محور \( \Large x \)ها قرار دارد و به ازای همه مقادیر جز ریشه‌های منفی است. یعنی هم علامت \( \Large a \).
    پس می‌توانیم بگوییم در این مواقع که \( \Large \Delta=0 \) و یک ریشه داریم به جز ریشه.
  3. به ازای بقیه مقادیر علامت همواره موافق \( \Large a \) است.

مثال ۱۲: \( \Large y = x^2-4x+4 \) را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE x^2-4x+4=0 \)

\( \LARGE (x-2)^2=0 \)

\( \LARGE x=2 \)

مثال ۱۳: \( \Large y = -x^2+6x+9 \) را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE -x^2+6x+9 =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta = 0 \)

\( \LARGE x=-\frac{b}{2a}=\frac{-6}{-2} \)

\( \LARGE x=3 \)

۳. تعیین علامت عبارات درجه دومی که \( \Large \Delta< 0 \) و ریشه ندارند.

در تعیین علامت عبارت های جبری یاد می‌گیریم، عبارت‌های درجه دومی که در آن‌ها \( \Large \Delta<0 \) و ریشه ندارند نمودار آن‌ها محور \( \Large x \)ها را قطع نمی‌کند و نمودار آن‌ها:

  1. اگر \( \Large a>0 \) بالای محور \( \Large x\)ها است
  2. اگر \( \Large a<0 \) باشد زیر محور \( \Large x \)ها است. یعنی به ازاء جمیع مقادیر علامت عبارت هم علامت \( \Large a \) است.
بیا بیشتر بخونیم:
متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه 🙂

پس داریم:

مثال ۱۴: \( \Large y=3x^2-ax+2 \) را تعیین علامت کنید.

 

\( \LARGE 3x^2-ax+2 =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta = -8<0 \)

ریشه ندارد

مثال ۱۵: \( \Large y=-2x^2+4x-7 \) را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE -2x^2 + 4x -7  =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta =16-28=-12<0 \)

ریشه ندارد

نکته ۳: حال اگر در یک عبارت هم درجه اول و هم درجه دوم داشته باشیم:

  1. ابتدا ریشه‌های همگی را پیدا کرده در جدول نوشته.
  2. هر کدام را به روش خودش تعیین علامت می‌کنیم
  3. در نهایت علامت ستون‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.

مثال ۱۶: \( \Huge y=\frac{(x^2-5x-6)\left| x-2 \right|}{(3-4x)^3} \) را تعیین علامت کنید.

(1

\( \LARGE x^2-5x-6  =0 \)

\( \LARGE x_1=6,x_2=-1 \)

(2

\( \LARGE x-2  =0 \)

\( \LARGE x=2 \)

(3

\( \LARGE 3-4x  =0 \)

\( \LARGE x=\frac{3}{4} \)

ریشه مخرج

یک ویدیو آموزشی از حل تمرین کتاب آموزش ریاضی دهم

میخوای ۲۰ بگیری؟

زنگ آخر کلاس تعیین علامت عبارت های جبری

یکی از کاربردهای تعیین علامت عبارت های جبری در آموزش ریاضی دهم حل نامعادله است که در بخش نامعادله آن‌ را باهم یاد گرفتیم. همچنین این مفهوم مهم را با بیش از ۱۵ مثال و نمودارهای گوناگون باهم بررسی کردیم.

در صورتیکه که هر گونه سوالی از این بخش داشتید می‌توانید آن را در بخش دیدگاه‌ها که در زیر همین قسمت قرار دارد برای ما بنویسید. گروه آموزشی ریاضیکا به سوال‌هایتان پاسخ می‌دهد.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش جایگشت یا جابجایی 📚 مفهومی‌ترین آموزش
به خوندن ادامه بده!آموزش رسم سهمی به همراه ۲ روش کاربردی ⚙️آموزش حل نامعادله همراه با رسم نمودار و مثال‌های متنوع📈

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

  1. نا شناس گفته :
    10:59 1399/03/13

    بسیار عالی
    خیلی خیلی خوب بود
    سپاس😘😘

    • ضمن عرض سلام و احترام
      خوشحالیم که براتون مفید بوده
      و سپاسگزاریم بابت انرژی مثبت شما
      موفق و پیروز باشید

  2. رضا گفته :
    17:22 1399/04/21

    very very gooooood

  3. احمدرضا گفته :
    21:40 1399/04/24

    اومدم مرور کنم کلی چیز جدید یاد گرفتم. دمتون گرم!

مطالب زیر را حتما بخوانید:

سید ایمان موسوی نطنزی
سید ایمان موسوی نطنزی

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

قوانین ارسال دیدگاه در ما

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


Have no product in the cart!
0