تعیین علامت عبارت های جبری به زبان ساده ➕ ➖

تعیین علامت عبارت های جبری به زبان ساده

تعیین علامت عبارت های جبری کاربرد زیادی در حل نامعادلات درجه اول و دوم، نامعادلات قدرمطلقی و تعیین دامنه توابع لگاریتمی و رادیکالی دارد. بنابراین در آموزش پیشرو سعی کردیم کامل‌ترین و جامع‌ترین آموزش تعیین علامت عبارت های جبری را ارائه دهیم تا باهم به خوبی آن را فرا بگیریم.

تعیین علامت عبارت های درجه اول

در آموزش ریاضی دهم یاد می‌گیریم که وقتی ما از اعداد صحبت می‌کنیم علامت آن‌ها مشخص است. مثلاً 5 علامتش مثبت، 7- علامتش منفی و صفر نه مثبت نه منفی است. امّا وقتی مثلاً عبارت \( \Large 2x+1  \) را در نظر بگیرید. می‌توانیم بگوییم علامت این عبارت چیست؟ چون در این عبارت متغیر \( \Large x \) را داریم و بسته به اعدادی که جای \( \Large x \) قرار می‌گیرند علامت این عبارت تغییر می‌کند. مثلاً به ازای \( \LARGE -\frac{1}{2}  \) صفر، به ازای 3 مثبت و به ازای 3- منفی می‌شود. اگر نمودار این خط را رسم کنیم داریم:

نمودار معادله درجه اول

در این نمودار می‌بیند که این خط محور \( \Large x  \)ها را در نقطه \( \LARGE -\frac{1}{2}  \) قطع کرده ؛ (ریشه معادله). در این نقطه \( \Large y\) صفر است و به ازای مقادیر بیشتر از \( \LARGE -\frac{1}{2}  \) ، خط بالای محور \( \Large x  \)ها قرار دارد و مثبت است و به ازای مقادیر کمتر از \( \LARGE -\frac{1}{2}  \) خط زیر محور \( \Large x  \)ها قرار دارد. یعنی \( \Large y  \) منفی است. اگر این اطلاعات را داخل یک جدول تعیین علامت بنویسیم داریم:

مثالی از تعیین علامت درجه اول



یک مثال برای فهم بهتر تعیین علامت عبارت ها

\( \Large y = -2x + 6  \) اگر نمودار این خط را رسم کنیم داریم:

نمودار معادله درجه اول

در این مثال نمودار محور \( \Large x \)ها را در نقطه 3 که ریشه این معادله است قطع کرده و به ازای مقادیر بیشتر از 3 نمودار زیر محور \( \Large x \)ها قرار دارد و \( \Large y \) منفی است و به ازای مقادیر بیشتر از 3، نمودار بالای محور \( \Large x \)ها است. پس \( \Large y \) مثبت است.

مثالی از تعیین علامت عبارت های درجه اول

اگر به این دو مثال دقت کنید در می‌یابید که اولاً ریشه معادله مرز بین مقادیر مثبت و منفی است. در مثال اول که ضریب \( \Large x \) مثبت بود مقادیر کوچکتر از ریشه منفی (مخالف \( \Large a \)) و بزرگتر از ریشه مثبت (موافق \( \Large a \)) است.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش جایگشت یا جابجایی 📚 مفهومی‌ترین آموزش

در مثال دوم مقادیر کوچکتر از ریشه مثبت (مخالف \( \Large a \)) و مقادیر بزرگتر از ریشه منفی (موافق \( \Large a \)) هستند. پس برای تعیین علامت عبارت‌ های جبری درجه اول، ابتدا ریشه عبارت را بدست می‌آوریم (آن را مساوی صفر قرار می‌دهیم). سپس در جدول مقادیر کمتر از ریشه مخالف \( \Large a \) (ضریب \( \Large x \)) و مقادیر بیشتر از ریشه موافق \( \Large a \) خواهند بود.

فرمول تعیین علامت عبارت های درجه اول

مثال ۱: عبارت \( \Large y = 3 -4x \) را تعیین علامت کنید؟
مثالی از تعیین علامت عبارت های درجه اول

چند استثناء در مورد مشخص کردن علامت عبارات درجه اول

۱. اگر عبارت درجه اول داخل قدر مطلق باشد به جزء ریشه به ازای همه مقادیر مثبت خواهد بود.

مثال ۲ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Large y = \left| -x + 3 \right| \) را تعیین علامت کنید.

مثالی از تعیین علامت اگر عبارت درجه اول داخل قدر مطلق باشد به جزء ریشه به ازای همه مقادیر مثبت خواهد بود.

نکته ۱ تعیین علامت عبارت های جبری: اگر پشت قدرمطلق منفی باشد به جز ریشه به ازای همه مقادیر منفی خواهد بود.

مثال ۳ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Large y = -\left| 4 – 2x \right| \) را تعیین علامت کنید.

مثالی از تعیین علامت اگر عبارت درجه اول داخل قدر مطلق باشد به جزء ریشه به ازای همه مقادیر مثبت خواهد بود.

به جای  \( \Large x>2 , x<2 \) علامت \( \Large +\infty , -\infty \) هم می‌توانیم قرار دهیم که راحت‌تر است.

۲. اگر عبارت درجه اول دارای توان زوج باشد.

در این‌صورت مانند قدرمطلق به ازای همه مقادیر مثبت است. مگر اینکه پشت پرانتز منفی باشد که در اینصورت به ازای همه مقادیر منفی خواهد بود.

مثال ۴ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Large y = (-2x-1)^2 \) را تعیین علامت کنید.

مثالی از تعیین علامت اگر عبارت درجه اول دارای توان زوج باشد

مثال ۵: \( \Large y = -(3x+1)^4 \) را تعیین علامت کنید.

مثالی از تعیین علامت اگر عبارت درجه اول دارای توان زوج باشد

۳. اگر عبارت درجه اول دارای توان فرد باشد.

اگر عبارت درجه اول دارای توان فرد باشد، این توان را نادیده گرفته و به حالت معمولی آن را تعیین علامت می‌کنیم.

مثال ۶ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Large y = (-4-2x)^3 \) را تعیین علامت کنید؟

مثالی از تعیین علامت عبارت درجه اول که دارای توان فرد می‌باشد.

نکته ۲ تعیین علامت عبارت های جبری: اگر در این مواقع پشت پرانتز علامت منفی بود و بعد از تعیین علامت منفی را در جدول تاثیر می‌دهیم.

مثال ۷ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Large y = -(x-4)^5 \) را تعیین علامت کنید.

مثالی از تعیین علامت عبارت درجه اول که دارای توان فرد می‌باشد.

۴. دو عبارت درجه اول که در هم ضرب یا به هم تقسیم شده‌اند.

در این مواقع ریشه هر عبارت را بدست آورده ولی در یک جدول به ترتیب از کوچک به بزرگ می‌نویسیم. سپس هر عبارت را جداگانه تعیین علامت کرده (سطری) و در نهایت علامت‌های ستون‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.

بیا بیشتر بخونیم:
مفهوم مجموعه در ریاضی را با ما ساده بیاموزید!🙂

مثال ۸ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Large y = (x-2)(3-4x) \)  را تعیین علامت کنید.

 

مثالی از تعیین علامت دو عبارت درجه اول که در هم ضرب یا به هم تقسیم شده‌اند.

این جدول به ما نشان می‌دهد که اگر اعداد بین \( \LARGE \frac{3}{4}<x<2 \) را به جای \( \Large x \) قرار دهیم، عبارت مثبت و اگر مقادیر بیشتر از 2 و کمتر \( \LARGE \frac{3}{4}\) را قرار دهیم عبارت منفی می‌شود.

مثال ۹ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Huge y = \frac{\left| -x-3 \right|}{5-x} \) را تعیین علامت کنید.

مثالی از تعیین علامت دو عبارت درجه اول که در هم ضرب یا به هم تقسیم شده‌اند.

دقت کنید در این مثال  5 ریشه مخرج است. همچنین می‌دانیم اگر مخرج کسری صفر باشد، آن کسر تعریف نشده است. برای همین روی خط مربوط به عدد 5 (ت) که مخفف (تعریف نشده) است قرار می‌دهیم.



تعیین علامت عبارت‌های درجه دوم

می‌دانیم عبارت‌های درجه دوم را وقتی مساوی صفر قرار می‌دهیم و ریشه‌هایشان را پیدا می‌کنیم به 3 دسته تقسیم می‌شوند:

  1. وقتی \( \LARGE \Delta > 0 \) است که دو ریشه داریم.
  2. وقتی \( \LARGE \Delta = 0 \) که یک ریشه داریم.
  3. وقتی \( \LARGE \Delta < 0 \) که ریشه نداریم.

۱. تعیین علامت عبارات‌ درجه دومی که \( \Large \Delta > 0 \) و دو ریشه دارند.

اگر نمودار این دسته از معادلات درجه دوم را رسم کنیم، نمودار آن‌ها (سهمی) محور \( \Large x \)ها را در دو نقطه قطع می‌کند و اگر \( \Large a>0 \)  باشد نمودار به صورت زیر است:

نمودار چون دوبار محور طول ها را قطع کرده پس دو جواب دارد

اگر \( \Large a<0 \)  باشد نمودار به صورت زیر خواهد بود:

نمودار چون دوبار محور طول ها را قطع کرده پس دو جواب دارد

اگر فرض کنیم \( \Large x_1 , x_2 \) ریشه‌های معادله باشند، می‌بینید مقادیر بین دو ریشه علامتشان مخالف \( \Large a \) است. در نمودار (1) \( \Large a>0 \) است ولی مقادیر بین دو ریشه زیر محور \( \Large x \)ها قرار دارند و منفی هستند.

ولی مقادیر کمتر یا بیشتر از دو ریشه بالای محور \( \Large x \)ها قرار دارند و با علامت \( \Large a \) موافقند. در نمودار شماره (2) نیز همین اتفاق افتاده است پس نتیجه می‌گیریم برای تعیین علامت عبارت‌های درجه دوم ابتدا \( \Large \Delta \) را پیدا کرده اگر \( \Large \Delta >0 \)  بود ریشه‌ها یعنی \( \Large x_1 , x_2 \) را پیدا می‌کنیم و به صورت جدول زیر تعیین علامت می‌کنیم.

بیا بیشتر بخونیم:
‌محاسبه مساحت بدون داشتن ارتفاع!🔮 - چیزی شبیه معجزه

تعیین علامت عبارت‌ های درجه دوم جبری همراه با دو ریشه

مثال ۱۰: \( \Large y = x^2-5x+6 \)  را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE x^2 – 5x +6 =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta = 25-24=1>0 \)

\( \LARGE x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{5\pm \sqrt{1}}{2} \)

\( \LARGE x_1=3 , x_2=2 \)

مثالی از تعیین علامت همراه با دو ریشه

نکته ۳ تعیین علامت عبارت های جبری: اگر عبارت  داده شده تجزیه پذیر باشد، می‌توان آن را تجزیه و به دو عبارت درجه اول تبدیل و از روش عبارت‌های درجه اول آن را تعیین علامت کرد. اما روش بالا کوتاه‌تر و راحت‌تر است.

مثال ۱۱: \( \Large y = -2x^2+3x-1 \) را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE -2x^2 +3x-1 =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta = 9-8=1>0 \)

\( \LARGE x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{-4} \)

\( \LARGE x_1=1 , x_2=\frac{1}{2} \)

مثالی از تعیین علامت همراه با دو ریشه

۲. تعیین علامت عبارات درجه اولی که \( \Large \Delta= 0 \) و یک ریشه دارند.

اگر یک عبارت درجه دوم را ریشه‌یابی کنیم \( \Large \Delta=0 \) و یک ریشه داشته باشد، نمودار آن در یک نقطه مماس بر محور \( \Large x \)ها خواهد بود و داریم:

فقط یک جواب دارد چون نمودار مماس است با محور طول ها

همانطور که ملاحظه می‌کنید وقتی \( \Large \Delta=0 \) است و یک ریشه دارد:

  1. اگر \( \Large a>0 \) باشد نمودار کاملاً بالای محور \( \Large x \)ها است پس به ازای همه مقادیر جز ریشه مثبت است.
  2. اگر \( \Large a<0 \) باشد نمودار کاملاً زیر محور \( \Large x \)ها قرار دارد و به ازای همه مقادیر جز ریشه‌های منفی است. یعنی هم علامت \( \Large a \).
    پس می‌توانیم بگوییم در این مواقع که \( \Large \Delta=0 \) و یک ریشه داریم به جز ریشه.
  3. به ازای بقیه مقادیر علامت همواره موافق \( \Large a \) است.

مثال ۱۲ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Large y = x^2-4x+4 \) را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE x^2-4x+4=0 \)

\( \LARGE (x-2)^2=0 \)

\( \LARGE x=2 \) مثالی از تععین علامت همراه با یک ریشه

مثال ۱۳: \( \Large y = -x^2+6x+9 \) را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE -x^2+6x+9 =0 \)

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش حل نامعادله همراه با رسم نمودار و مثال‌های متنوع📈

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta = 0 \)

\( \LARGE x=-\frac{b}{2a}=\frac{-6}{-2} \)

\( \LARGE x=3 \)

مثالی از تعیین علامت همراه با یک ریشه

۳. تعیین علامت عبارات درجه دومی که \( \Large \Delta< 0 \) و ریشه ندارند.

در تعیین علامت عبارت های جبری یاد می‌گیریم، عبارت‌های درجه دومی که در آن‌ها \( \Large \Delta<0 \) و ریشه ندارند نمودار آن‌ها محور \( \Large x \)ها را قطع نمی‌کند و نمودار آن‌ها:

  1. اگر \( \Large a>0 \) بالای محور \( \Large x\)ها است
  2. اگر \( \Large a<0 \) باشد زیر محور \( \Large x \)ها است. یعنی به ازاء جمیع مقادیر علامت عبارت هم علامت \( \Large a \) است.

نمودار بدون ریشه است چون با محور طول ها برخورد نداشته

پس داریم:

تعیین علامت عبارت های جبری بدون ریشه

مثال ۱۴: \( \Large y=3x^2-ax+2 \) را تعیین علامت کنید.

 

\( \LARGE 3x^2-ax+2 =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta = -8<0 \)

ریشه ندارد

مثالی از تعیین علامت معادله درجه دو بدون جواب

مثال ۱۵ : \( \Large y=-2x^2+4x-7 \) را تعیین علامت کنید.

\( \LARGE -2x^2 + 4x -7  =0 \)

\( \LARGE \Delta = b^2 – 4ac \)

\( \LARGE \Delta =16-28=-12<0 \)

ریشه ندارد

مثالی از تعیین علامت معادله درجه دو بدون جواب

نکته ۴ تعیین علامت عبارت های جبری : حال اگر در یک عبارت هم درجه اول و هم درجه دوم داشته باشیم:

  1. ابتدا ریشه‌های همگی را پیدا کرده در جدول نوشته.
  2. هر کدام را به روش خودش تعیین علامت می‌کنیم
  3. در نهایت علامت ستون‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.

مثال ۱۶ تعیین علامت عبارت های جبری: \( \Huge y=\frac{(x^2-5x-6)\left| x-2 \right|}{(3-4x)^3} \) را تعیین علامت کنید.

(1

\( \LARGE x^2-5x-6  =0 \)

\( \LARGE x_1=6,x_2=-1 \)

(2

\( \LARGE x-2  =0 \)

\( \LARGE x=2 \)

(3

\( \LARGE 3-4x  =0 \)

\( \LARGE x=\frac{3}{4} \)

ریشه مخرج

مثالی از تعیین علامت

یک ویدیو آموزشی از حل تمرین کتاب آموزش ریاضی دهم

زنگ آخر کلاس تعیین علامت عبارت ها

یکی از کاربردهای تعیین علامت عبارت های جبری در آموزش ریاضی دهم حل نامعادله است که در بخش نامعادله آن‌ را باهم یاد گرفتیم. همچنین این مفهوم مهم را با بیش از ۱۵ مثال و نمودارهای گوناگون باهم بررسی کردیم.

در صورتیکه که هر گونه سوالی از این بخش داشتید می‌توانید آن را در بخش دیدگاه‌ها که در زیر همین قسمت قرار دارد برای ما بنویسید. گروه آموزشی ریاضیکا به سوال‌هایتان پاسخ می‌دهد.


خرید پکیج دوره محاسبات سریع 🧠🧮 

89.000 تومانافزودن به سبد خرید

بیا بیشتر بخونیم:
روابط بین نسبت های مثلثاتی : 💎⚙️ یاد بگیرید، حفظ کنید، ۲۰ بگیرید!

به خوندن ادامه بده!آموزش رسم سهمی به همراه ۲ روش کاربردی ⚙️✌️آموزش حل نامعادله همراه با رسم نمودار و مثال‌های متنوع📈

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:

35 دیدگاه برای “تعیین علامت عبارت های جبری به زبان ساده ➕ ➖

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام ممنون از توجهتون.
      با معرفی ما به دوستانتون ما را در پیشرفت سایت کمک کنید.

  1. حدیث هایزنبرگ گفته:

    سلام خسته نباشید
    جواب سوال اصلیمو (چه زمانی باید عبارت را تعیین علامت کرد؟)رو نگرفتم.ولی متن جامعی بود.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام وقت به خیر
      این پست مربوط به پایه دهم است که ما در این پست روش‌های تعیین علامت را بیان کرده‌ایم و در همین پست دیدید برای حل نامعادلات کسری و نامعادلات درجه دو و نامعادلات قدرمطلقی باید ابتدا عبارت را تعیین علامت کنیم.

  2. میترا گفته:

    سلام
    من این سوال واسم پیش اومد که اگه دو عبارت مثل هم در صورت مخرج وجود داشته باشه که باهم ساده بشن اونموقع علامتش چجوری میشه یا اصلا ما باید اونرو توی جدول بنویسیم ؟
    یا مثلا اگه در صورت همان عبارت توان سه داشت و در مخرج توان یک اونموقع چی میشه ؟؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام اگر عاملی که در صورت و مخرج ساده می‌شود دارای متغیر باشد باید آن را همان گونه تعیین علامت کنیم اما اگر عدد باشد می‌توانیم ساده کنیم بعد تعیین علامت کنیم.
      جواب سوال دومتون:
      اگر عبارتی توان فرد داشته باشد بدون در نظرگرفتن توان آن را تعیین علامت می‌کنیم و توان تاثیری بر تعیین علامتش ندارد.

  3. ناشناس گفته:

    سلام
    خیلی بابت توضیخات دقیق تون ازتون ممنونم واقعا خیلی عالی بود.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام ممنون از شما بایت انرژی فوق العاده تون .

  4. حنانه گفته:

    سلام
    خیلی بابت توضیخات دقیق تون ازتون ممنونم واقعا خیلی عالی بود.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      وقتی توان فرد میباشد بدون در نظر گرفتن توان پایه را تعیین علامت میکنیم مثل مثال ۶

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب واحترام
      ممنون از انرژی مثبتتون

      • اق رامین گفته:

        سلام جناب مثال ۱۶ حس کردم تو ریشه گیری صورت ایرادی وجود داره باید x1وx2صورت به ترتیب ۲ و ۳ میشدن ولی شما زدین x1=6و x2=-1این اشتباه نیست لطفا توضیح دهید ممنون از مطالب گرانبهایتان🌷🌹🌹

        • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

          سلاموعرض ادب
          دوست عزیز دو عدد که ضرب انها ۶- وجمع آنها ۵- شود ۶- و۱ میباشد که بعد حل معادله به ۶و-۱میرسیم وعلامتها هم چک شد درست هست

  5. اق رامین گفته:

    سلام جناب مثال ۱۶ حس کردم تو ریشه گیری صورت ایرادی وجود داره باید x1وx2صورت به ترتیب ۲ و ۳ میشدن ولی شما زدین x1=6و x2=-1این اشتباه نیست و تو علامت گذازی صورت کسر هم اشتباهی رخ داده لطفا توضیح دهید که اشتباه میکنم یا درست میگم ممنون از مطالب گراتبهایتان🌹🌹🌹

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام واحترام
      اگرداخل قدر مطلق باشد همواره مثبت است یا به توان عدد زوج رسیده باشد در پست مثالهای مختلف آورده شده

  6. ناشناس گفته:

    سلام میشه بگید با ی مثال که چرا عبارت همواره مثبت در تعیین علامت تاثیر نداره؟

  7. حسام گفته:

    سلام میشه بگید چرا عبارت های مثبت در تعیین علامت بی تاثیر هستند؟

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وعرض ادب
      چون مثبت در مثبت میشود مثبت و مثبت در منفی هم میشود منفی یعنی اگر یک عبرت چه در عبارت مثبت چه در عبارت منفی ضرب شود روی علامت ها تاثیر ندارد اینجا مثال زدن ممکن نیست

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.