آموزش حل معادله درجه دو + 4 روش‌ مختلف حل آن💪

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 2 اسفند 1398 سید ایمان موسوی نطنزی 2196 بازدید
آموزش حل معادله درجه دو + 4 روش‌ مختلف حل آن


خرید درسنامه ‌حل معادله درجه دو PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید



آیا تاکنون به حرکت توپ در زمین فوتبال دقت کرده‌اید؟ حرکت آن یک حرکت سهمی‌وار است که ابتدا اوج می‌گیرد. سپس در یک لحظه سرعتش به صفر می‌رسد و به سمت زمین برمی‌گردد. ما در این بخش می‌خواهیم به معادله درجه دو و حل آن بپردازیم که در واقع نمودار آن یک سهمی است.

حرکت سهمی‌وار توپ.

در خیلی از مسائل ریاضی، هندسه، شیمی، فیزیک به معادله درجه دو و حل آن برمی‌خوریم که لزوم شناخت معادله درجه دو و یادگیری حل آن را نشان می‌دهد.

تعریف معادله درجه دو

در ریاضیات پایه دهم یاد می‌گیریم، هر معادله‌ای که بعد از ساده شدن تمام متغیرهایش، بزرگترین توان متغیرهای آن عدد ۲ باشد، معادله درجه دوم نامیده می‌شود.

به مثال‌های زیر دقت کنید:

(1

\( \LARGE x^2 = 4 \rightarrow x^2-4=0 \)

(2

\( \LARGE x(x+1)=5  \)

\( \LARGE \rightarrow x^2+x-5=0 \)

(3

\( \LARGE x^2-3x=4 \)

\( \LARGE \rightarrow x^2-3x-4=0 \)

(4

\( \LARGE x^2 +(x+1)^2=(x+2)^2  \)

\( \LARGE  \rightarrow x^2-2x-3=0 \)

(5

\( \LARGE -2x^2 -x=0 \)

تمام مثال‌های بالا یک معادله درجه دوم را نشان می‌دهند. حال به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE x(x+1)=(x-2)^2 \)

\( \LARGE x^2 + x=x^2-2x+4 \)

\( \LARGE -x-4=0 \)

این معادله بعد از ساده شدن به یک معادله درجه اول تبدیل شد. پس اگر معادله‌ای را ساده کردیم و به فرم \( \Large ax^2 + bx + c =0 \) درآمد، چنین معادله‌ای یک معادله درجه دوم است.

هر معادله به شکل \( \Large ax^2 + bx + c =0 , a \neq 0 \) که در آن \( \Large a , b , c \) اعداد حقیقی باشند، را یک معادله درجه دوم می‌نامیم.

برای حل معادله درجه دوم روش‌های گوناگونی وجود دارد که در کتاب ریاضی دهم به چهار مورد از آن‌ها اشاره شده است. قبل از بیان این روش‌ها به نکته زیر دقت کنید.

ویژگی حاصلضرب صفر

اگر \( \Large A , B \)  دو عبارت جبری باشند که حاصلضرب آن‌ها صفر باشد، یعنی: \( \Large AB = 0 \)  آنگاه حداقل یکی از این دو عبارت صفر است. یعنی:

در ضرب دو عبارت حداقل یکی از این دو عبارت صفر است.

ما از این ویژگی در حل معادله درجه دو به روش تجزیه استفاده می‌بریم.

روش‌های حل معادله درجه دو

  • تجزیه
  • ریشه‌گیری
  • روش مربع کامل
  • روش کلی یا \( \LARGE \Delta \)
بیا بیشتر بخونیم:
رسم سهمی با روش انتقال به سادگی آب خوردن!🌊

1- تجزیه

هرگاه بخواهیم یک معادله درجه دو که تجزیه‌پذیر است را از روش تجزیه حل کنیم به این شکل عمل می‌کنیم:

  1. در ابتدا آن را ساده کرده و تمام جملات را به یک طرف برده و طرف دوم را صفر قرار می‌دهیم.
  2. حال از روش‌های گفته شده در درس تجزیه معادله را در صورت تجزیه شدن ،تجزیه می‌کنیم.
  3. در نهایت از ویژگی حاصلضرب صفر برای پیدا کردن جواب‌ها کمک می‌گیریم.

به حل معادله زیر دقت کنید:

حل معادله درجه دو به روش تجزیه.

تجزیه به روش مزدوجحل معادله درجه دو به روش تجزیه.

تجزیه به روش اتحاد جمله مشترک

در دو مثال بالا هر دو معادله، دو جواب داشتند. باید دقت کنیم معادله درجه دو می‌تواند حداکثر دو جواب یا یک جواب یا اصلاً جواب نداشته باشد.

نکته ۱: به جواب معادلات، ریشه معادله هم گفته می‌شود. منظور ما از ریشه عددی است که عبارت به ازای آن صفر می‌شود.

به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE x^2 =4(x-4)  \)

\( \LARGE \rightarrow x^2-4x+4=0  \)

\( \LARGE \rightarrow (x-2)^2=0  \)

\( \LARGE \rightarrow x-2=0  \)

\( \LARGE \rightarrow x=2  \)

معادله فقط یک جواب دارد.

\( \LARGE x^2 -5x=0  \)

\( \LARGE \rightarrow x(x-5)=0  \)

\( \LARGE \rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x-5=0 \end{cases} \)

\( \LARGE \rightarrow x=5  \)

نکته ۲: دقت کنید هرگاه در معادله درجه دو \( \Large c=0  \) باشد، حتماً یکی از جواب‌ها صفر خواهد بود. در این موارد بهتر است همیشه از روش فاکتور‌گیری عمل تجزیه را انجام دهیم.

نکته ۳: دقت کنید روش تجزیه یک روش کلی نیست و فقط مواقعی که معادله تجزیه‌پذیر است استفاده می‌شود.

2- روش ریشه‌گیری

این روش هم مثل روش تجزیه یک روش کلی نیست و در یکی از شرایط زیر استفاده می‌شود:

  1. \( \Large b=0  \) باشد
  2. یک طرف اتحاد مربع‌ دو‌جمله‌ای و در طرف دیگر عدد مثبت داشته باشیم.

به این مثال دقت کنید: \( \LARGE x^2 – 4 =0  \)
ما این معادله را در بالا به روش تجزیه حل کردیم اما برای این معادله روش ریشه‌گیری خیلی بهتر و سریع‌تر است. کافیست \( \Large x^2  \) بدون ضریب به یک طرف و  \( \Large c \)  به طرف دیگر برده شود. اگر طرف دوم مثبت باشد از دو طرف ریشه دوم می‌گیریم و معادله دو جواب دارد. همچنین اگر منفی باشد معادله جواب نخواهد داشت.

بیا بیشتر بخونیم:
تعیین علامت عبارت های جبری به زبان ساده ➕ ➖

در این مثال داریم:

\( \LARGE x^2 – 4 =0  \)

\( \LARGE \rightarrow x^2=4  \)

\( \LARGE \rightarrow x=\pm 2  \)

دو جواب دارد.

\( \LARGE x^2 =0  \)

\( \LARGE \rightarrow x=0  \)

یک جواب دارد.

\( \LARGE 2x^2  = 12  \)

\( \LARGE \rightarrow x^2=6  \)

\( \LARGE \rightarrow x=\pm \sqrt6  \)

دو جواب دارد.

\( \LARGE 2x^2 + 14 =0  \)

\( \LARGE \rightarrow x^2=-7  \)

معادله جواب ندارد یا ریشه ندارد. یعنی هیچ عدد حقیقی یافت نمی‌شود که در این معادله صدق کند. پس به طور کلی می‌توان گفت:

اگر \( \Large c \)  یک عدد حقیقی نامنفی (بزرگتر یا مساوی صفر) باشد با ریشه‌های معادله درجه دوم \( \Large x^2 = c \)  عبارتند از: \( \Large x= \sqrt c , x= -\sqrt c \)

به مثال دیگری دقت کنید:

\( \LARGE (x-2)^2=25  \)

در این مثال هم چون طرف اول مجذرو کامل است می‌توان با ریشه‌گیری از دو طرف و بدون توان رساندن و ساده‌کردن جواب را بدست آورید.

حل معادله درجه دو به روش ریشه گیری.

البته ما در سوالات کمتر به این نمونه‌ها بر می‌خوریم. ولی در روش مربع کامل از این روش زیاد استفاده می‌شود.

3- روش مربع کامل

روش مربع کامل را در حقیقت برای اولین بار توسط خوارزمی به کار برده شد. اما نه به این شیوه کامل کنونی. بعدها ریاضیدانان با کامل کردن روش خوارزمی به این روش رسیدند. روشی که از روی آن روش کلی و \( \Large \Delta  \) را بدست می‌آوریم.

ما در سال‌های آینده از خود این روش استفاده نمی‌کنیم. بلکه این روش را به صورت فرمولی درآورده (روش \( \Large \Delta  \)) و از آن استفاده می‌کنیم خود این روش یک روش کلی محسوب میشود و برای حل همه معادلات می‌توان از آن استفاده کرد.

مثال ۱: معادله \( \Large x^2-5x+6=0  \)  را به روش مربع کامل حل کنید.

حل ۱:

  1. ابتدا \( \Large c \) را به طرف دوم برده یا بهتر بگوییم قرینه \( \Large c  \) را به دو طرف اضافه می‌کنیم.

    \( \LARGE x^2-5x=-6  \)

  2. طرف اول را به صورت مربع کامل در می‌آوریم. برای اینکار \( \Large b \) یعنی ضریب \( \Large x \) را نصف و به توان دو رسانده و عدد بدست آمده را به دو طرف اضافه می‌کنیم. (\( \LARGE \frac{b^2}{4} \))

    \( \LARGE x^2-5x+\frac{25}{4}  \)

    \( \LARGE =-6+\frac{25}{4}  \)

  3. طرف اول که اکنون مربع کامل است را تجزیه می‌کنیم و حاصل طرف دوم را بدست می‌آوریم.

    \( \LARGE (x-\frac{5}{2})^2=\frac{1}{4} \)

  4. اگر طرف دوم منفی شد که معادله جواب ندارد. اما اگر مثبت شد دو جواب و اگر صفر شد یک جواب دارد. حال به روش ریشه‌گیری از دو طرف ریشه می‌گیریم. در نهایت جواب‌ها را بدست می‌آوریم.
    حل معادله درجه دو به روش مربع کامل.
بیا بیشتر بخونیم:
‌محاسبه مساحت بدون داشتن ارتفاع!🔮 - چیزی شبیه معجزه

به نمونه دیگری دقت کنید.  \( \LARGE x^2-8x+3=0  \)

  1. \( \LARGE x^2-8x=-3 \)
  2. \( \LARGE x^2-8x+16 \)
    \( \LARGE =-3+16 \)
  3. \( \LARGE (x-4)^2=12 \)
  4. \( \LARGE x-4= \pm \sqrt 12 \)

حل معادله درجه دو به روش مربع کامل.

نکته ۴: اگر \( \Large x^2 \) ضریب داشت، یعنی \( \Large a>1 \) بود، ابتدا تمام جملات را به ضریب \( \Large a \) تقسیم می‌کنیم. سپس از روش مربع کامل استفاده می‌کنیم.

\( \LARGE 2x^2-3x+4=0 \)

به 2 تقسیم می‌کنیم.

\( \LARGE x^2-\frac{3}{2}x+2=0 \)

\( \LARGE \rightarrow x^2-\frac{3}{2}x=-2 \)

\( \LARGE \rightarrow x^2-\frac{3}{2}x + \frac{9}{16} \)

\( \LARGE =-2+\frac{9}{16} \)

\( \LARGE \rightarrow (x-\frac{3}{4})^2=-23 \)

معادله جواب ندارد.

4-حل معادله درجه دوم به روش فرمول کلی یا \( \LARGE \Delta \)

فرمول‌های روش دلتا.

در واقع همانطور که قبلا گفته شد، روش فرمول کلی همان روش مربع کامل است. که به صورت فرمولی نوشته شده و می‌توان با داشتن دو فرمول، سریعتر به جواب‌ها رسید.

گفتیم فرم کلی معادلات درجه دوم به صورت \( \Large ax^2 + bx + c =0 , a \neq 0 \) است. حال با یکدیگر این فرم را به روش مربع کامل حل می‌کنیم.

  1. چون \( \Large x^2  \) ضریب \( \Large a \) را دارد، ابتدا معادله را به \( \Large a \) تقسیم می‌کنیم.

    \( \LARGE ax^2 + bx+c=0 \)

    \( \LARGE \rightarrow x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \)

  2. قرینه \( \LARGE \frac{c}{a} \) را به دو طرف اضافه می‌کنیم (یا به زبان ساده \( \LARGE \frac{c}{a} \) را به طرف دوم می‌بریم).

    \( \LARGE x^2+\frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \)

  3. ضریب \( \Large x \) یعنی \( \LARGE \frac{b}{a} \) را نصف کرده که می‌شود \( \LARGE \frac{b}{2a} \) و سپس به توان 2 می‌رسانیم که می‌شود \( \LARGE \frac{b^2}{4a^2} \) . در ادامه آن را به دو طرف معادله اضافه می‌کنیم.

    \( \LARGE x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} \)

    \( \LARGE =- \frac{c}{a} +\frac{b^2}{4a^2} \)

  4. طرف اول را تجزیه و طرف دوم را محاسبه می‌کنیم.

    \( \LARGE (x+\frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2-4ac}{4a^2} \)

  5. حال در طرف دوم، مخرج که مجذور کامل و مثبت است. پس علامت کسر به صورت، یعنی \( \Large b^2-4ac \) بستگی دارد. اگر این عبارت مثبت باشد، معادله دو جواب دارد. اگر صفر باشد یک جواب و اگر منفی باشد جواب ندارد. برای همین به \( \Large b^2-4ac \)
    مبیّن یا روشن کننده می‌گویند و اسم آن را \( \Large \Delta \) که یک حروف یونانی است قرار می‌دهند. یعنی:

    \( \LARGE \Delta = b^2-4ac \)

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش جایگشت یا جابجایی 📚 مفهومی‌ترین آموزش

خوب اگر \( \Large \Delta >0 \) باشد باید از دو طرف ریشه دوم بگیریم و داریم:

جواب های x بر اساس روش دلتا.

پس اگر \( \Large \Delta>0 \) باشد دو جواب داریم که از رابطه \( \LARGE x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} \) به دست می‌آید.

به طور خلاصه داریم:

جواب‌های مختلف حل در روش دلتا.

به چند مثال برای بهتر فهمیدن این مطلب دقت کنید. (نکته: در این روش باید همه جملات یک طرف و طرف دوم صفر باشد.)

مثال ۲: معادلات زیر را به روش فرمول کلی یا \( \Large \Delta \) حل کنید.

حل ۲:

(1

\( \LARGE x^2+7x=12 \)

\( \LARGE x^2+7x+12=0 \)

\( \LARGE a=1,b=7,c=12 \)

\( \LARGE \Delta = b^2-4ac \)

\( \LARGE  = 49-4\times 1 \times 12  \)

\( \LARGE   = 49-48=1 \)

چون \( \Large \Delta >0 \) پس دو جواب دارد.

\( \LARGE x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7\pm \sqrt{1}}{2} \)

\( \LARGE x_1 =-3 , x_2=-4 \)

(2

\( \LARGE -2x^2+x+3=0 \)

\( \LARGE a=-2,b=1,c=3 \)

\( \LARGE \Delta = b^2-4ac \)

\( \LARGE  = 1-4\times (-2) \times 3  \)

\( \LARGE  = 1+24=25 \)

چون \( \Large \Delta >0 \) پس دو جواب دارد.

\( \LARGE x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-1\pm \sqrt{25}}{-4} \)

\( \LARGE x_1 =-1 , x_2=+\frac{3}{2} \)

(3

\( \LARGE x(x-1)=-1 \)

\( \LARGE x^2-x+1=0 \)

\( \LARGE a=1,b=-1,c=1 \)

\( \LARGE \Delta = b^2-4ac \)

\( \LARGE  = 1-4\times 1 \times 1  \)

\( \LARGE  =  1-4=-3 \)

چون \( \Large \Delta <0 \) پس جواب ندارد.

(4

\( \LARGE x^2-6x+9=0 \)

\( \LARGE a=1,b=-6,c=9 \)

\( \LARGE \Delta = b^2-4ac \)

\( \LARGE  = 36-4\times 9 \times 1  \)

\( \LARGE  =  36-36=0 \)

چون \( \Large \Delta =0 \) پس یک جواب دارد.

\( \LARGE x=\frac{-b}{2a} = \frac{6}{2} = 3 \)

(5

\( \LARGE x^2-6x+4=0 \)

\( \LARGE a=1,b=-6,c=4 \)

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش دنباله حسابی - از همیشه ساده‌تر😉

\( \LARGE \Delta = b^2-4ac \)

\( \LARGE  = 36-4\times 4 \times 1  \)

\( \LARGE  = 36-16=20 \)

چون \( \Large \Delta >0 \) پس دو جواب دارد.

\( \LARGE x=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}  \)

\( \LARGE x=\frac{6\pm \sqrt{20}}{2}  \)

\( \LARGE x=\frac{6\pm 2\sqrt 5}{2}  \)

\( \LARGE x=\frac{2(3\pm \sqrt 5)}{2}  \)

\( \LARGE x_1=3+\sqrt 5 \)

\( \LARGE  x_2=3-\sqrt 5\)

مثال ۳: معادله  \( \Large a^2 + 2\sqrt 3 a = 9 \) را به روش کلی حل کنید. (تمرین ۴ صفحه ۷۷ کتاب ریاضی دهم)

حل ۳:

چند نکته در مورد حل معادله درجه دو

  1. اگر در معادله درجه دوم \( \Large b=0 \) باشد بهترین روش، روش ریشه‌گیری بوده و در صورت وجود جواب، جواب‌ها قرینه یکدیگرند.

    بهترین روش، روش ریشه‌گیری بوده و در صورت وجود جواب، جواب‌ها قرینه یکدیگرند.

  2. اگر \( \Large c=0 \) باشد بهترین روش، روش تجزیه به روش فاکتور‌گیری است که حتما یک جواب صفر است.

    \( \LARGE ax^2+bx=0  \)

    \( \LARGE x(ax+b)=0 \)

    \( \LARGE \rightarrow x_1=0 , x_2= -\frac{b}{a} \)

  3. اگر \( \Large a+b+c=0 \) باشد حتما یکی از جواب‌ها یک خواهد بود.

    \( \LARGE x^2+2x-3=0 \)

    \( \LARGE 1+2-3=0 \)

    \( \LARGE (x-1)(x+3)=0 \)

    \( \LARGE x_1=1 , x_2=3 \)

  4. اگر \( \Large a+c=-b \) باشد حتما یکی از جواب‌ها 1- خواهد بود.

    \( \LARGE x^2+3x+2=0 \)

    \( \LARGE 1+2=-3 \)

    \( \LARGE (x+1)(x+2)=0 \)

    \( \LARGE x_1=-1 , x_2=-2 \)

  5. اگر \( \Large c , a \) مختلف العلامت باشند، یعنی علامتشان با هم فرق داشته باشد حتما معادله دو جواب دارد.

میخوای ۲۰ بگیری؟

آخر کلاس آموزش حل معادله درجه دو

در بخش رسم نمودار یاد می‌گیریم که می‌توان جواب‌های معادله درجه دو را از روی نمودار آن نیز پیدا کرد. در این نوشتار آموزشی ریاضی پایه دهم تمامی روش‌های حل معادله درجه دوم را یاد گرفتیم. با تمام این روش‌ها آشنا شده و از هر کدام چند مثال با یکدیگر حل کردیم.

در صورتیکه که هر سوالی از این بخش دارید، می‌توانید در قسمت دیدگاه‌ها در زیر همین پست سوال خود را مطرح کنید. ما در ریاضیکا به سوالات شما پاسخ می‌دهیم.


خرید درسنامه ‌حل معادله درجه دو PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

  1. محمد گفته :
    20:05 1398/12/04

    خیلی محتوای کاملی بود. تشکر

  2. مجید گفته :
    02:44 1399/01/23

    واقعا ممنون اگر تمام سیستم تدریس کشور این طور مطلب رو باز وقابل فهم برای دانش اموزها توضیج بدن سطح سواد تو مملکت انقدر پایین نبود وتمیز تر در مورد :اگر a+c=-b انگاه یه جواب 1-وجواب دیگه c/a- بازم ممنون

    • ضمن عرض سلام و احترام
      خیلی خوشحالیم که مطلب براتون مفید بوده
      چنین کامنتی انرژی مارو برای ادامه مسیر دو‌ چندان میکنه
      موفق و پیروز باشید

  3. ناشناس گفته :
    18:17 1399/01/24

    سلام خیلی ممنون از توضیح عالیتون
    من برای فهمیدن یه مطلب بسیار پیش پا افتاده چند سایت رو گشتم ولی انقدر پیچیده گفته بود که هیچی دستگیرم نشد بسیار ساده و روان توضیح دادید ممنون

    • عرض سلام و ادب
      بسیار از شما دوست عزیز سپاسگزاریم که برای ادامه مسیر انرژی ما رو دو چندان می‌کنید.
      موفق و پیروز باشید.

  4. یوسف گفته :
    01:21 1399/01/26

    روش ریشه گیری جالب بودش
    بهش توجه نکرده بودم
    ممنونم🖐🏻🤞🏻

  5. ناشناس گفته :
    16:19 1399/01/28

    عالی وجامع بود

  6. ناشناس گفته :
    20:19 1399/04/25

    خوب نبود

مطالب زیر را حتما بخوانید:

سید ایمان موسوی نطنزی
سید ایمان موسوی نطنزی

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

قوانین ارسال دیدگاه در ما

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


Have no product in the cart!
0