اتحادهای جبری 6 رابطهٔ داغِ داغ 🔥

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 12 فروردین 1399 سید ایمان موسوی نطنزی 412 بازدید
اتحادهای جبری 6 رابطهٔ داغِ داغ

در سال نهم شما با آموزش اتحاد‌های جبری آشنا شدید و 4 تا از مهمترین آن‌ها را یاد گرفتید. در سال دهم شما با 2 تا دیگر از اتحادهای جبری آشنا می‌شوید و تجربه آن‌ها را نیز یاد می‌گیرید. ابتدا به یادآوری این مبحث از سال نهم می‌پردازیم. قبل از آن تعریف اتحادهای جبری را برای شما یادآوری می‌کنیم.
وقتی دو عبارت جبری داریم که به ازای هر مقدار که به جای متغیر‌های موجود قرار دهیم این دو عبارت با هم برابر باشند، گفته می‌شود که این دو عبارت با هم متحد هستند و یک اتحاد جبری را تشکیل می‌دهند. به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE (x + 1)^2 = x^2 + 2x +1 \)

اگر به جای \( \Large x \) در دو طرف این تساوی هر عدد دلخواهی قرار دهیم آن دو با هم برابر خواهند شد. مثلاً به جای \( \Large x \) عدد 2 را قرار می‌دهیم و داریم:

\( \LARGE \begin{cases} (2 + 1)^2 = 3^2 = 9 \\ 2^2 + 2 \times 2 +1 = 9 \\  \end{cases} \)

\( \LARGE \rightarrow 9 = 9 \)

پس طرف اول و دوم با هم برابر است. به ازای هر مقدار \( \Large x \) این تساوی برقرار است. پس این دو با هم متحد هستند. حال به عبارت زیر دقت کنید:

\( \LARGE (a+b)^2 \neq a^2 + b^2  \)

اگر به جای \( \Large a , b \) مقادیر دلخواه قرار دهیم، هیچ‌گاه دو طرف تساوی برابر نخواهند شد. مثلاً \( \Large b = 3 , a = 2 \) داریم:

\( \LARGE \begin{cases} (2 + 3)^2 = 5^2 = 25 \\ 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \\  \end{cases} \)

\( \LARGE \rightarrow 25 \neq 13 \)

پس طرف اول و دوم با هم برابر نیستند. در نتیجه این‌ها با هم متحد نیستند و یک اتحاد جبری را تشکیل نمی‌دهند.

در ریاضیات یکسری اتحاد‌های مهم و کاربردی داریم که بهتر است آن‌ها را فراگیریم و در درس‌های آینده و در حل معادلات از آن‌ها استفاده کنیم. در واقع روش‌های سریع پیدا کردن طرف دوم اتحاد را می‌آموزیم. بدون انجام دادن عملیات طولانی! البته می‌توانید از روش‌های طولانی هم استفاده کنید ولی زمان‌بر خواهد بود.

بیا بیشتر بخونیم:
دایره مثلثاتی یا دایره واحد : از 🅾️صفر تا 💯 صد

اتحادهای جبری: اتحاد مریع دوجمله‌ای

هرگاه یک دو جمله‌ای جبری به توان دو برسد خواهیم داشت:

\( \LARGE (a+b)^2  \)

\( \LARGE  = (a+b)(a+b)   \)

\( \LARGE  = a^2 + ab + ba + b^2   \)

\( \LARGE  = a^2 + 2ab + b^2  \)

پس نتیجه می‌گیریم در عبارت زیر با هم متحد هستند.

اتحاد های جبری: اتحاد مریع دوجمله‌ای

یا به عبارتی وقتی یک دوجمله‌ای به توان دو می‌رسد در واقع داریم:

اتحاد مریع دوجمله‌ای

مثال ۱:

\( \LARGE  (2x + 3z)^2   \)

\( \LARGE   = 4x^2 + 12xz + 9z^2  \)

نکته ۱: اگر بین دو جمله منفی باشد داریم.

اتحاد های جبری: اتحاد مریع دوجمله‌ای

مثال ۲:

\( \LARGE  (3xy – 1)^2   \)

\( \LARGE   = 9x^{2}y – 6xy + 1  \)

نکته ۲: اگر هر دو منفی باشند داریم.

 اتحاد مریع دوجمله‌ای

مثال ۳:

\( \LARGE  (-a^{2}-3b)^2   \)

\( \LARGE  = a^4 + 6a^{2}b + 9b^2  \)

اتحادهای جبری: اتحاد مزدوج

وقتی دو «دوجمله‌ای» داشته باشیم که یک جمله آن‌ها مساوی بود و جمله دیگر  قرینه هم باشند، می‌گوییم این دو «دوجمله‌ای» با هم مزدوج هستند. مانند:

\( \LARGE  a+b , a-b \)

یا

\( \LARGE -z+b , z+b \)

دقت کنید وقتی دو، دوجمله‌ای داشته باشیم که هر دوجمله‌ها قرینه یکدیگر باشند در این‎‌صورت می‌گوییم آن‌ها با هم قرینه‌انداما مزدوج نمی‌باشند. مانند:

\( \LARGE  a-b , -a+b \)

یا

\( \LARGE a+b , -a-b \)

حال اگر دو، دوجمله‌ای مزدوج در هم ضرب شوند، داریم:

\( \LARGE  (a+b)(a-b) \)

\( \LARGE   = a^2 – ab + ba – b^2   \)

\( \LARGE   = a^2 – b^2  \)

پس نتیجه می‌گیریم:

اتحاد های جبری: اتحاد مزدوج

مثال ۴:

(1

\( \LARGE  (2x-z)(2x+z)    \)

\( \LARGE = 4x^2 – z^2   \)

(2

\( \LARGE  (a^2 + 2ab)(2b – a^2)    \)

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش دنباله حسابی - از همیشه ساده‌تر😉

\( \LARGE  = 4b^2 – a^4   \)

(3

\( \LARGE  (5z-2)(2+5z)    \)

\( \LARGE  = 25z^2 – 4   \)

اتحادهای جبری: اتحاد جمله مشترک

وقتی دو، دوجمله‌ای در هم ضرب شوند که فقط یک جمله آن‌ها یکی و هم علامت باشد به اصطلاح مشترک باشد، می‌گوییم این‌ها با هم اتحاد جمله مشترک برقرار کرده‌اند و داریم:

\( \LARGE   (a+b)(a+b) \)

\( \LARGE    = x^2 + xb + ax +ab \)

\( \LARGE    = x^2 + (a+b)x + ab \)

پس داریم:

اتحاد های جبری: اتحاد جمله مشترک

به عبارتی وقتی در اتحاد جمله مشترک داریم خواهیم داشت:

اتحاد جمله مشترک

به مثال‌های زیر دقت کنید:

(1

\( \LARGE  (2a+3)(2a+4)    \)

\( \LARGE  = 4a^2 + 14a + 12   \)

(2

\( \LARGE  (x^2 – 2y)(x^2 – 3y)   \)

\( \LARGE  = x^4 -5yx^2 + 6y^2   \)

(3

\( \LARGE  (2x-1)(2x+3)    \)

\( \LARGE = 4x^2 + 4x – 3   \)

(4

\( \LARGE  (7 – 3xy)(8-3xy)   \)

\( \LARGE  = 9x^{2}y^2 -45xy+56   \)

اتحاد های جبری: اتحاد مربع سه ‎جمله‌ای

وقتی یک سه‌جمله‌ای به توان دو برسد داریم:

\( \LARGE  (a+b+c)^2   \)

\( \LARGE  = (a+b+c)(a+b+c)   \)

\( \LARGE  = a^2 + ab + ac + ba + b^2    \)

\( \LARGE   + bc + ac + bc + c^2   \)

\( \LARGE  = a^2 + b^2 + c^2    \)

\( \LARGE  + 2ab + 2ac + 2bc   \)

یعنی:

اتحاد های جبری: اتحاد مربع سه ‎جمله‌ای

یعنی وقتی یک سه‌جمله‌ای به توان 2 می‌رسد، ابتدا مربع هر کدام از جملات را نوشته سپس 2 برابر اولی در دومی و سومی ضرب شده و بعد دو برابر دومی در سومی.

اتحاد مربع سه ‎جمله‌ای

علامت جملات را همه با توجه به علامت جملات اولیه محاسبه می‌کنیم:

اتحاد های جبری: اتحاد مربع سه ‎جمله‌ای

این روش را برای هر چند جمله‌ای که به توان 2 می‌رسد می‌توان به کاربرد:

اتحاد مربع سه ‎جمله‌ای

و همیشه تعداد جملات دو برابر تعداد جملات اولیه می‌شود. به این اتحاد اتحاد لاگرانژ نیز گفته می‌شود.

بیا بیشتر بخونیم:
تابع گویا - گویاتر از همیشه یاد بگیر 📜

اتحادهای جبری بالا را شما در پایه نهم خواندید و با تجزیه آن‌ها نیز آشنا شدید. حال می‌خواهیم به اتحادهایی که در پایه دهم می‌خوانید اشاره کنیم.

اتحاد های جبری : اتحاد مکعب دوجمله‌ای

وقتی یک دوجمله‌ای جبری به توان 3 برسد خواهیم داشت:

\( \LARGE  (a+b)^3   \)

\( \LARGE =  (a+b)^{2} (a+b)   \)

\( \LARGE =  (a^{2}+2ab + b^{2}) (a+b) \)

\( \LARGE =  a^3 + a^{2}b+ 2a^{2}b \)

\( \LARGE  + 2ab^2 + b^{2}a + b^3 \)

\( \LARGE =  a^3 +3 a^{2}b+  3ab^2 + b^3 \)

 

پس داریم:

اتحاد های جبری: اتحاد مکعب دوجمله‌ای

به زبان ساده‌تر در اتحاد مکعب دو‌جمله‌ای داریم:

اتحاد مکعب دوجمله‌ای

اگر بین دو‌جمله منها باشد داریم:

اتحاد های جبری: اتحاد مکعب دوجمله‌ای

و اگر هر دو‌جمله منفی باشند:

اتحاد مکعب دوجمله‌ای

به مثال‌های زیر دقت کنید:

(1

\( \LARGE  (x+1)^3   \)

\( \LARGE =  x^3 + 3x^2 + 3x +1   \)

(2

\( \LARGE  (2a-3b)^3   \)

\( \LARGE = 8a^3 – 36a^{2}b    \)

\( \LARGE  + 54ab^2 + 27b^3   \)

از ترفند زیر برای نوشتن دو‌جمله وسط می‌توانید استفاده کنید:

(1

اتحاد های جبری: اتحاد مکعب دوجمله‌ای

(2

اتحاد مکعب دوجمله‌ای

(3

اتحاد های جبری: اتحاد مکعب دوجمله‌ای

 

اتحادهای جبری: اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

این اتحاد مانند اتحاد مزدوج اتحاد راحت و زیبایی است که به راحتی می‌توانید بیاموزید. هرگاه یک دو‌جمله‌ای در یک سه‌جمله‌ای ضرب شود، به صورتی که سه‌جمله‌ای دارای یک ارتباط ویژه با دو‌جمله‌ای باشد، به این اتحاد، اتحاد چاق و لاغر می‌گوییم. دقت کنید:

اتحاد های جبری: اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

همانطور که می‌بینید اولین جمله سه‌جمله‌ای مربع جمله اول، دومین جمله قرینه حاصلضرب دو جمله  و سومین جمله سه‌جمله‌ای ،مربع جمله دوم است. در اینصورت داریم:

\( \LARGE  (a+b)(a^2 -ab + b^2)   \)

\( \LARGE =  a^3 – a^{2}b + ab^2  \)

\( \LARGE + ba^2 -ab^2 + b^3   \)

\( \LARGE =  a^3 + b^3   \)

یعنی داریم:

اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

و به همین ترتیب خواهیم داشت:

اتحاد های جبری: اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

یعنی برای نوشتن جواب:

اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

برای همین اسم اصلی این اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دوجمله‌ای است. یعنی اسم آن از روی جواب این اتحاد گرفته شده است. ولی برای سهولت به آن اتحاد چاق و لاغر یا فیل و فنجان هم می‌گویند.
نکته ۳: حاصلضرب هر دوجمله‌ای در هر سه‌جمله‌ای اتحاد چاق و لاغر نیست.
به مثال‌های زیر دقت کنید:
اتحاد های جبری: اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

بیا بیشتر بخونیم:
متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه 🙂

در واقع ما هر جمله را در مربع خودش ضرب می‌کنیم و از ضرب کردن بقیه جملات خودداری می‌کنیم. چون می‌دانیم جملات دیگر قرینه هستند و از بین می‌روند.

(1
اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

(2

اتحاد های جبری: اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

(3اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

به مثال‌های زیر دقت کنید. چون از این نکته در آینده برای گویا کردن مخرج کسر‌های رادیکالی استفاده می‌کنیم.

(4
اتحاد های جبری: اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

(5

اتحاد مجموع یا تفاضل مکعبات دو‌جمله‌ای معروف به چاق و لاغر

میخوای ۲۰ بگیری؟

زنگ آخر درس اتحادهای جبری

در این نوشتار باهم یک مبحث شیرین دیگر از آموزش ریاضی دهم، یعنی اتحادهای جبری را یاد گرفتیم. همچنین مثال‌های متعدد همراه با فرمول تمامی آن‌ها را نیز باهم دوره کردیم. در رابطه با درس تجزیه عبارت های جبری نیز مطالب مفید دیگری در سایت ریاضیکا قرار داده شده است.

در صورتیکه که هر سوالی از این مبحث داشتید، سوال خود را زیر همین نوشتار در بخش دیدگاه‌ها برای ما بنویسید. ما در ریاضیکا به سوالات شما پاسخ خواهیم داد.

به خوندن ادامه بده!صفر تا صد توان‌ های گویا 📘 تنها آموزشی که باید بخوانید!تجزیه عبارت‌ های جبری به 4 روش مختلف 📚

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:
بیا بیشتر بخونیم:
تابع همانی - همان آموزشی که دنبالش بودید 👌

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    سید ایمان موسوی نطنزی
    سید ایمان موسوی نطنزی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0