روابط بین نسبت های مثلثاتی : 💪 یاد بگیرید، حفظ کنید، ۲۰ بگیرید!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 6 دی 1398 سید ایمان موسوی نطنزی 1444 بازدید
روابط بین نسبت‌های مثلثاتی: یاد بگیرید، حفظ کنید، ۲۰ بگیرید!


خرید درسنامه ‌روابط بین نسبت های مثلثاتی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید



در بین نسبت های مثلثاتی روابط زیبایی وجود دارد که می‌توان با داشتن یک نسبت و این روابط، بقیه نسبتها را نیز بدست آورد. این روابط یا همان اتحاد‌های مثلثاتی کاربردهای زیادی در ساده کردن روابط و حل معادلات مثلثاتی دارند.
در ادامه به شرح ۸ تا از مهمترین روابط مثلثاتی که در کتاب ریاضی پایه دهم  آمده‌اند می‌پردازیم.

دسته اول در نسبت های مثلثاتی:

مثلث ABC را در نظر بگیرید. در این مثلث نسبت های مثلثاتی زیر برقرار هستند:

روابط مثلثاتی در یک مثلث قائم الزاویه

\( \LARGE sin \theta = \frac{AC}{BC} \)

\( \LARGE cos \theta = \frac{AB}{BC} \)

\( \LARGE tan \theta = \frac{AC}{AB} \)

\( \LARGE cot \theta = \frac{AB}{AC} \)

حال اگر سینوس را بر کسینوس تقسیم کنیم خواهیم داشت :

رابطه بین سینوس و کسینوس در اتحاد های مثلثاتی که حاصل می‌شود تانژانت

و اگر کسینوس را بر سینوس تقسیم کنیم داریم :

رابطه بین سینوس و کسینوس در اتحاد های مثلثاتی که حاصل می‌شود کتانژانت

پس از دو رابطه بالا می‌توانیم روابط زیر را نتیجه بگیریم :

 

\( \LARGE tan \theta = \frac{sin \theta}{cos \theta} \)

\( \LARGE cot \theta = \frac{cos \theta}{sin \theta} \)

نکته۱ : از روی دایره مثلثاتی هم می‌توان این روابط مثلثاتی را اثبات نمود.

نکته۲ : چون

تانژانت و کتانژانت

معکوس هم هستند، پس داریم :

تانژانت و کتانژانت معکوس یکدیگر هستند

دسته دوم در روابط مثلثاتی:

در مثلث ABC طبق قضیه فیثاغورس داریم :

\( \LARGE AB^2 + AC^2 = BC^2  (1) \)

از طرفی داریم

\( \LARGE sin^2 \theta + cos^2 \theta  \)

\( \LARGE = \frac{AC^2}{BC^2} + \frac{AC^2+AB^2}{BC^2} (1)  \)

\( \LARGE = \frac{BC^2}{BC^2} = 1 \)

پس برای هر زاویه دلخواه \( \Large \theta  \) داریم :

سینوس به توان دو به اضافه کسینوس به توان دو برابر با یک خواهد شد
دسته سوم – رابطه طلایی در نسبت های مثلثاتی :

از رابطه بالا دو رابطه مهم نتیجه می‌گیریم که به روابط طلایی معروف هستند:

روابط طلایی در نسبت های مثلثاتی

دسته چهارم در اتحادهای مثلثاتی:

حال می‌خواهیم رابطه بین \( \Large tan \theta \) و \( \Large cos \theta \) را پیدا کنیم تا با داشتن یکی به راحتی دیگری را نیز بدست آورید:

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش آمار ریاضی دهم 📉 تنها آموزش آمار که باید بخوانید!

\( \LARGE 1 + tan^2 \theta \)

\( \LARGE = 1 + \frac{sin^2 \theta}{cos^2 \theta}   \)

\( \LARGE = \frac{sin^2 \theta + cos^2 \theta}{cos^2 \theta}  \)

\( \LARGE = \frac{1}{cos^2 \theta} \)

 

پس در نهایت می‌توان رابطه زیر را نتیجه گرفت:

یک رابطه بسیار مهم از روابط بین نسبت های مثلثاتی مربوط به رایطه بین تانژانت و کسینوس
به همین ترتیب می‌توانیم رابطه بین \( \Large cot \theta \) و \( \Large sin \theta \) را پیدا کنیم.

\( \LARGE 1 +cot^2 \theta \)

\( \LARGE = 1 + \frac{cos^2 \theta}{sin^2 \theta}   \)

\( \LARGE = \frac{sin^2 \theta + cos^2 \theta}{sin^2 \theta}  \)

\( \LARGE = \frac{1}{sin^2 \theta} \)

پس رابطه‌ی بین این دو نیز برابر است با:

رابطه بین کتانژانت و سینوس در اتحادهای مثلثاتی

در اینجا می‌توانید جمع‌بندی تمامی دسته‌های روابط بین نسبت های مثلثاتی را به صورت یکجا مشاهده کنید:

(1

\( \LARGE cos^2 \theta + sin^2 \theta = 1   \)

(2

\( \LARGE sin^2 \theta = 1 – cos^2 \theta \)

(3

\( \LARGE cos^2 \theta = 1 – sin^2 \theta   \)

(4

\( \LARGE tan \theta = \frac{sin \theta}{cos \theta}   \)

(5

\( \LARGE cot \theta = \frac{cos \theta}{sin \theta} \)

(6

\( \LARGE tan \theta \times cot \theta = 1   \)

(7

\( \LARGE 1 + tan^2 \theta = \frac{1}{cos^2 \theta}   \)

(8

\( \LARGE 1 + cot^2 \theta = \frac{1}{sin^2 \theta}   \)

 

این 8 رابطه مهمترین روابط مثلثاتی بین نسبت‌ها هستند. البته روابط زیادی بین نسبت‌ها وجود دارد که برای اثبات آنها باید از این 8 رابطه استفاده کنید.

اثبات روابط بین نسبت های مثلثاتی

برای اثبات اتحاد‌های مثلثاتی باید از یک طرف به طرف دیگر برسیم که البته فرقی نمی‌کند از کدام سمت معادله شروع کنیم. اما نکته‌ای که باید به آن توجه داشته باشید این است که از کدام طرف رابطه می‌توانید اثبات را شروع کنید. در ادامه با اَعمال ریاضی و حتی گاهی با اضافه و کم کردن و یا ضرب صورت و مخرج در یک مقدار، باید به طرف دیگر برسید.

بیا بیشتر بخونیم:
تابع گویا - گویاتر از همیشه یاد بگیر 📜

اثبات یکی از روابط در دسته اول نسبت های مثلثاتی

اثبات یکی از اتحادهای مثلثاتی
اگر کمی دقت کنید با توجه به توان بزرگتر طرف اول (سمت چپ) بهتر است از طرف اول به دوم برسیم، در این جا از تجزیه اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم :

\( \LARGE sin^4 \theta – cos^4 \theta   \)

\( \LARGE = (sin^2 \theta – cos^2 \theta)    \)

\( \LARGE \times (sin^2 \theta + cos^2 \theta)   \)

\( \LARGE= sin^2 \theta – cos^2 \theta   \)

به همین راحتی به طرف دوم رسیدیم. اگر این عملیات را برعکس انجام دهیم به طرف اول خواهیم رسید:

 

\( \LARGE sin^2 \theta – cos^2 \theta   \)

\( \LARGE = (sin^2 \theta – cos^2 \theta) \times 1  \)

\( \LARGE = (sin^2 \theta – cos^2 \theta)   \)

\( \LARGE \times (sin^2 \theta + cos^2 \theta)  \)

\( \LARGE = sin^4 \theta – cos^4 \theta   \)

 

اثبات یکی دیگر از اتحادهای مثلثاتی
اثبات یکی دیگر از اتحادهای مثلثاتی
در این مثال می‌بینید از هیچ یک از روابطی که خواندیم نمی‌توانیم استفاده کنیم. پس کافیست صورت و مخرج را در \( \Large ۱- sin \theta \) که مزدوج \( \Large ۱+ sin \theta \) است ضرب کنیم :

 

طرف اول

\( \LARGE \frac{cos \theta}{ 1 + sin \theta} \times \frac{ 1 – sin \theta}{ 1 – sin \theta}  \)

\( \LARGE = \frac{cos \theta (1 – sin \theta) }{ 1 – sin^2 \theta}  \)

\( \LARGE = \frac{cos \theta (1 – sin \theta) }{ cos^2 \theta}  \)

\( \LARGE = \frac{1 – sin \theta }{ cos \theta}  \)

رسیدیم به طرف دوم

حال اگر بخواهیم از طرف دوم به اول برسیم، می‌توانیم صورت و مخرج را در \( \Large cos \theta \) یا \( \Large ۱+ sin \theta \) ضرب کنیم. این‌ها ترفندهایی است که ما در ریاضیات برای اثبات یک تساوی استفاده می‌کنیم:

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش ترکیب - ۸ قانون واجب که باید بدانید⚠️!

طرف دوم

\( \LARGE  \frac{1 – sin \theta}{ cos \theta} \times \frac{ cos \theta}{cos \theta}  \)

\( \LARGE = \frac{cos \theta (1 – sin \theta) }{ cos^2 \theta}  \)

\( \LARGE = \frac{cos \theta (1 – sin \theta) }{ 1 – sin^2 \theta}  \)

\( \LARGE = \frac{cos \theta (1 – sin \theta) }{ (1 – sin \theta)(1 + sin \theta)}  \)

\( \LARGE = \frac{cos \theta }{ 1 + sin \theta}  \)

رسیدیم به طرف اول

حال شما صورت و مخرج را در \( \Large ۱+ sin \theta \) ضرب کرده و از طرف دوم به اول برسید.

video

کاربرد دیگر روابط مثلثاتی وقتی است که، یک نسبت را داریم و می‌خواهیم نسبت دیگری را بدست آوریم. به مثال زیر دقت کنید.

مثال : \( \Large tan \theta = 2 \) و \( \Large \theta \) در ربع سوم می‌باشد سایر نسبت های مثلثاتی را بدست آورید ؟
جواب :

\( \LARGE tan \theta = 2 \Rightarrow cot \theta = \frac{1}{2} \)

\( \LARGE tan \theta = 2   \)

\( \LARGE 1 + tan^2 \theta = \frac{1}{cos^2 \theta}   \)

\( \LARGE 1 + 4 = \frac{1}{cos^2 \theta}   \)

\( \LARGE cos^2 \theta = \frac{1}{5}   \)

\( \LARGE cos \theta = – \frac{\sqrt5}{5}   \)

علامت کسینوس منفی است، چون در ربع سوم است.

\( \LARGE sin^2 \theta = 1 – cos^2 \theta  \)

\( \LARGE sin^2 \theta = 1 – \frac{5}{25}  \)

\( \LARGE sin^2 \theta = \frac{20}{25}  \)

\( \LARGE sin \theta = – \frac{2\sqrt5}{5}   \)

علامت سینوس منفی است، چون در ربع سوم است.

کلام آخر

شما دانش‌آموزان عزیز با استفاده از مثال‌هایی که در این پست آموزشی از وبسایت ریاضیکا دیدید، می‌توانید روابط بیشتری را با کمک اتحادها اثبات کنید. با انجام این‌کار خواهید فهمید که این کار تا چه حد لذت بخش بوده و چقدر راحت می‌توان یک اتحاد مثلثاتی را اثبات کرد. این‌کار همچنین به فهم بیشتر شما از ریاضیات کمک خواهد کرد.

بیا بیشتر بخونیم:
تابع ثابت را در حافظه خود ثابت کنید 📝 !

در صورتیکه هر سوالی از این بخش داشتید می‌توانید در بخش نظرات سوال خود را مطرح کرده و کارشناسان ریاضی ما به سرعت پاسخ شما را خواهند داد.

میخوای ۲۰ بگیری؟



خرید درسنامه ‌روابط بین نسبت های مثلثاتی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


به خوندن ادامه بده!دایره مثلثاتی یا دایره واحد : از 🅾️صفر تا 💯 صدآموزش ریشه گیری در ریاضی دهم : زیر رادیکال نمون 💪 !

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:
بیا بیشتر بخونیم:
مفهوم مجموعه در ریاضی را با ما ساده بیاموزید!🙂

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

  1. امیر حسین گفته :
    23:48 1398/11/05

    واقعا عالی بود 💯 🙂

مطالب زیر را حتما بخوانید:

سید ایمان موسوی نطنزی
سید ایمان موسوی نطنزی

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

قوانین ارسال دیدگاه در ما

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


Have no product in the cart!
0