آموزش جایگشت یا جابجایی 📚 مفهومی‌ترین آموزش

ابتدا با یک مثال آموزش جایگشت ریاضی دهم را باهم یادبگیریم. سپس تمامی نکات و حالات‌هایش را بررسی خواهیم کرد.

مثال ۱: فرض کنید سه مهره آبی، سبز و قرمز داریم. به چند طریق می‌توان این سه مهره را کنار هم قرار داد؟

جواب ۱: طبق اصل ضرب که در آموزش اصل شمارش با آن آشنا شدیم، برای مهره اول 3 انتخاب به ازای هر کدام، برای مهره دوم 2 انتخاب و برای مهره سوم 1 انتخاب خواهیم داشت. یعنی:

به هر کدام یک از حالت‌های قرار گرفتن مهره‌ها کنار هم یک جایگشت می‌گویند. پس تعداد جایگشت‌ های 3 مهره رنگی مختلف 6 است.

تعریف جایگشت

اگر چند شئ مختلف داشته باشیم، به هر حالت چیدن (قرار گرفتن) آن‌ها کنارهم یک جایگشت از آن اشیاء می‌گویند.

چند مثال مهم و جذاب از آموزش جایگشت

مثال ۲: 5 کتاب مختلف را به چند حالت می‌توان در کتابخانه کنارهم قرارداد؟

حل ۲:

\( \LARGE 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

مثال ۳: 6 مداد رنگی مختلف را به چند صورت در داخل جعبه مدادرنگی می‌توان چید؟

حل ۳:

\( \LARGE 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1  \)

\( \LARGE = 720 \)

مثال ۴: دانش آموزان یک کلاس 15 نفری به چند صورت می‌توانند در یک صف در مراسم صبحگاهی باشند؟

حل ۴:

\( \LARGE 15 \times 14 \times .. \times 3 \times 2 \times 1  \)

\( \LARGE  = 15! \)

پس داریم:

اگر \( \Large n \) یک عدد طبیعی باشد، تعداد جایگشت‌ های \( \Large n \) شئ متمایز به صورت زیر خواهد بود.

پس طبق این نماد (فاکتوریل) تعداد جایگشت‌ های \( \Large n \)  شئ متمایز برابر است با \( \Large n! \)

مثال ۵: تعداد جایگشت های عددهای 5 و 9 و 8 و 3 چند است؟

حل ۵:

\( \LARGE 4!= 4 \times 3 \times 2 \times 1 =24 \)

مثال ۶: تعداد جایگشت‌ های حروف کلمه (مدرسه) چندتا است؟

حل ۶:

\( \LARGE 5!=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1  \)

\( \LARGE  = 120 \)

مثال ۷: علی 5 کتاب ریاضی و 3 کتاب شیمی مختلف دارد. او می‌خواهد آن‌ها را در یک قفسه بچیند به طوریکه همیشه کتاب‌های شیمی کنارهم باشند. این کار به چند طریق امکان‌پذیر است؟

حل ۷: در اینجا چونکه باید کتاب‌های شیمی کنارهم باشند، آنها را یکی فرض می‌کنیم. پس 1 کتاب شیمی و 5 کتاب ریاضی داریم. در نتیجه تعداد جایگشت های آن‌ها می‌شود !6. اما خود 3 کتاب شیمی هم می‌توانند در کنارهم جابجا شوند. پس به ازای هر !6، !3 هم جایگشت‌ کتاب‌های شیمی را داریم. در نتیجه جواب می‌شود:

\( \LARGE 6! \times 3! \)

مثال ۸: 7 نفر می‌خواهند در یک صف بایستند که دو نفر آن‌ها با هم برادرند و قرار است یکی اول صف و دیگر در آخر صف قرار بگیرد، این کار به چند طریق ممکن است؟

حل ۸: غیر از دو برادر 5 نفر دیگر به !5 می‌توانند در صف بایستند و خود دو برادر به !2 یا همان دو حالت در اول یا آخر صف قرار می‌گیرند، پس جواب می‌شود:

\( \LARGE 5! \times 2! \)

نکته آموزش جایگشت: اگر جایگشت \( \Large n \) شئ را بخواهیم که \( \Large m \) تا از آن‌ها غیرمتمایز (یکی) باشند، تعداد جایگشت‌ های آن‌ها \( \huge \frac{n!}{m!} \) خواهد بود.

مثال ۹: تعداد جایگشت‌های حروف کلمه (سمنان) چندتا است؟

حل ۹: سمنان شامل 5 حرف است. پس تعداد جایگشت‌ های آن !5 خواهد بود. اما در آن دو حرف نون داریم که اگر در کلمه‌ای فقط این دو حرف جابجا شوند کلمه جدیدی پدید نمی‌آورند. یعنی جابجایی آن‌ها کلمه جدیدی نمی‌سازد، پس جواب می‌شود:

\( \LARGE \frac{5!}{2!}=60 \)

یعنی با حروف این کلمه 120 کلمه 5 حرفی می‌تواند نوشت که نصف آن‌ها مثل هم هستند.

مثال ۱۰: با حروف کلمه (می سی سی پی) چند کلمه هشت حرفی می‌توان نوشت؟

حل ۱۰:

\( \LARGE \frac{8!}{4! \times 2!}=60 \)

جایگشت \( \Large k \) شی از \( \Large n \) شی (ترتیب \( \Large k \) شی از \( \Large n \) شی)

فرض کنید 7 نفر هستند که از بین آن‌ها می‌خواهیم 3 نفر انتخاب و آن‌ها را به صف کنیم. چند حالت این کار امکان پذیر است؟ طبق اصل ضرب داریم:

بر اساس تعداد انتخاب‌ها

به 210 طریق این کار امکان‌پذیر است.

از طرفی داریم:

\( \LARGE \frac{7!}{4!}=\frac{7\times 6 \times 5 \times 4!}{4!} \)

\( \LARGE = 7\times 6 \times 5 \times = 210 \)

رابطه بالا را به صورت زیر هم می‌توان نوشت:

‌\( \LARGE \frac{7!}{4!}=\frac{7!}{(7-3)!} \)

حاصل به دست آمده را از رابطه زیر می‌توان نتیجه گرفت:

\( \LARGE P(7,3)=\frac{7!}{(7-3)!} \)

یعنی هرگاه بخواهیم از بین \( \Large n \) شئ تعداد جایگشت‌ های \( \Large k \) شئ را انتخاب می‌کنیم، به طوریکه ترتیب قرارگرفتن آن‌ها برایمان مهم باشد، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم. ذکر این نکته مهم است که در مبحث آموزش جایگشت به رابطه زیر رابطه ترتیب هم می‌گویند.

\( \LARGE P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!} \)

و می‌خوانیم ترتیب قرار گرفتن \( \Large k \) شئ از بین \( \Large n \) شئ یا تعداد جایگشت \( \Large k \) شئ از بین \( \Large n \) شئ.

نکته مهم آموزش جایگشت: البته به شما توصیه می‌کنم که در این موارد بهتر است از همان اصل ضرب استفاده کنید. فقط در مسائل دقت کنید ترتیب قرارگرفتن اشیا مهم است یا اینکه فقط مسئله‌ٔ انتخاب کردن است.

مثال ۱۱: با حروف کلمه \( \Large flower \)  چند کلمه (بدون تکرار)

الف) 6 حرفی می‌توان نوشت؟

\( \LARGE 6! \)

ب) 3 حرفی می‌توان نوشت؟

\( \LARGE P(7,3)=\frac{6!}{3!} \)

\( \LARGE =\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3!} =120 \)

ج) 6 حرفی که با \( \Large f \) شروع و به \( \Large  r \) ختم شود؟

چون حروف \( \Large f , r \) در جابجایی‌ها شرکت ندارند.

\( \LARGE \frac{1}{f} \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times  \frac{1}{r} \)

\( \LARGE=4! \)

یعنی تعداد جایگشت‌ها 4 شی را می‌خواهیم

د) 6 حرفی که \( \Large f , l \) کنارهم باشند؟

\( \Large f , l \) را یک حرف در نظر می‌گیریم با 4 حرف دیگر تعداد جایگشتشان !5 می‌شود و تعداد جایگشت خود \( \Large f  \) و \( \Large l \) نیز !2 است.

\( \LARGE 2! \times 5! \)

و) 6 حرفی که واژه \( \Large (flo) \) در آن وجود داشته باشد؟

\( \LARGE 4! \)

چون \( \Large flo \) به همین شکل قرار است در کلمات ظاهر شود. پس همراه 3 حرف دیگر 4 شی محسوب می‌شوند که تعداد جایگشت آن‌ها !4 می‌شود.

میخوای ۲۰ بگیری؟

زنگ آخر کلاس آموزش جایگشت

با هم در ریاضیکا آموزش جایگشت را خواندیم. مطالبی از تعریف جایگشت، جایگشت \( \Large k \) شئ از \( \Large n \) شئ (ترتیب \( \Large k \) شئ از \( \Large n \) شئ) را یاد گرفتیم.

مطالب دیگری از آموزش ریاضی دهم می‌توانیم در همین سایت بخوانید. درصورتیکه هر سوالی از این آموزش داشتید می‌توانید آن را زیر همین آموزش برای ما بنویسید. کارشناسان ریاضیکا حتماً به سوالات شما عزیزان پاسخ می‌دهند. موفق و شاد باشید 🙂

 

به خوندن ادامه بده!

آموزش فاکتوریل – قدرتتو چند برابر کن❗️❗️❗️آموزش ترکیب – ۸ قانون واجب که باید بدانید⚠️!