آموزش دنباله هندسی 📈👌 – دنباله را اینجا دنبال کنید!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 18 بهمن 1398 سید ایمان موسوی نطنزی 1210 بازدید
آموزش دنباله هندسی - به همین سادگی

خرید درسنامه آموزش دنباله هندسی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


یکی دیگر از دنباله‌های با الگو پرکاربرد در ریاضیات آموزش دنباله هندسی است که در شاخه‌های مختلف ریاضی و زیست و غیره کاربرد زیادی دارد. در این نوشتار قصد داریم باهم مبحث دنباله هندسی را همراه با مثال‌های متنوع یاد بگیریم.

تعریف دنباله هندسی

در دنباله هندسی برای نوشتن هر جمله به غیر از جمله اول، باید جملهٔ قبلی را در یک مقدار ثابت ضرب کرد. در ریاضیات به این مقدار ثابت قدر نسبت می‌گویند و آن را با حرف \( \Large r  \) نمایش می‌دهند. قدر نسبت یا \( \Large r  \) می‌تواند هر عدد حقیقی مخالف صفر باشد.

\( \LARGE r \in \mathbb{R} , r \neq 0 \)

مثال 1: یک دنباله هندسی بنویسید که جمله اول آن 5 و قدر نسبت آن 2 باشد.

حل 1:

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 5 \\ r = 2 \end{cases}  \)

\( \LARGE 5 , 10 , 20 , 40 , 80 , … \)

تشخیص یک دنباله هندسی

در آموزش دنباله هندسی برای تشخیص آن دنباله کافیست دو جفت از جملات متوالی دنباله را به هم تقسیم کنیم. مثلاً:

در آموزش دنباله هندسی برای تشخیص یک دنباله هندسی کافیست دو جفت از جملات متوالی دنباله را به هم تقسیم کنیم.

اگر به یک مقدار ثابت برسیم یعنی مجموعه اعداد ما یک دنباله هندسی را تشکیل می‌دهند.

مثال 2: آیا دنباله زیر یک دنباله هندسی است؟

(\( \LARGE 4 , 2 , 1 , \frac{1}{2} , … \))

حل 2:

\( \LARGE 4 , 2 , 1 , \frac{1}{2} , … \)

\( \LARGE \begin{cases} \frac{a_2}{a_1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \\ \frac{a_3}{a_2} = \frac{1}{2} \end{cases}  \)

پس دنبالهٔ زیر یک دنباله هندسی است.

جمله عمومی دنباله هندسی

فرض کنید اعداد زیر جملات متوالی یک دنباله هندسی باشند:

\( \LARGE a_1 , a_2 , a_3 , … , a_n , … \)

بیا بیشتر بخونیم:
تابع چیست ؟ تمام آنچه باید بدانید.📍

طبق تعریف دنباله هندسی داریم:

اثبات جمله عمومی یک دنباله هندسی

پس جمله عمومی یک دنباله هندسی از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

\( \LARGE a_n = a_{1}r^{n-1} \)

مثال 3: جمله عمومی دنباله زیر را بنویسید. سپس جمله دهم آن را محاسبه کنید؟

(\( \LARGE 1 , 3 , 9 , 27 , … \))

حل 3:

\( \LARGE 1 , 3 , 9 , 27 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 1 \\ r = 3 \\ a_{10} = ? \end{cases}  \)

\( \LARGE a_n = a_{1}r^{n-1} \)

\( \LARGE a_n = 1 \times 3^{n-1} \)

\( \LARGE a_{10} = 3^9 \)

نکته ۱: همانطور که ملاحظه می‌کنید وقتی \( \Large r  \) یک عدد مثبت بزرگتر از ۱ باشد، دنباله صعودی و رشد جملات دنباله خیلی سریع است. به همین دلیل در مبحث آموزش دنباله هندسی، به دنباله هندسی تصاعد هندسی نیز گفته می‌شود.

مثال 4: جمله چندم دنباله زیر 1024 است؟

(\( \LARGE 2 , 4 , 8 , … \))

حل 4:

\( \LARGE 2 , 4 , 8 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 2 \\ r = 2 \\ a_n = 1024 \rightarrow n = ? \end{cases}  \)

\( \LARGE a_n = a_{1}r^{n-1} \)

\( \LARGE 1024 = 2 \times 2^{n-1} \)

\( \LARGE 512 = 2^{n-1} \)

\( \LARGE 2^9 = 2^{n-1} \)

\( \LARGE 9 = n-1 \rightarrow n = 10 \)

پس جمله هشتم دنباله 1024 است.

مثال 5: دنباله زیر را در نظر بگیرید و جمله بیستم آن را محاسبه کنید.

(\( \LARGE 3 , 1 , \frac{1}{3} , \frac{1}{9} , … \))

حل 5:

 

\( \LARGE 3 , 1 , \frac{1}{3} , \frac{1}{9} , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 3 \\ r = \frac{1}{3} \\ a_{20} = ? \end{cases}  \)

\( \LARGE a_n = a_{1}r^{n-1} \)

\( \LARGE a_{20} = a_{1}r^{19} \)

\( \LARGE a_{20} = 3 \times (\frac{1}{3})^{19} \)

\( \LARGE a_{20} = \frac{1}{3^{18}} \)

نکته ۲: در مثال ۳ و ۴ چون قدر نسبت عدد مثبت بزرگتر از یک بود دنباله صعودی شد و رشد زیادی کرد. در مثال 5 که قدر نسبت عدد مثبت کوچکتر از یک است دنباله، یک دنباله نزولی است که جملات دنباله به صفر نزدیک می‌شوند.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش فاکتوریل - قدرتتو چند برابر کن❗️❗️❗️

مثال 6: در یک دنباله هندسی جمله سوم 18 و جمله ششم 486 است. این دنباله را مشخص کنید.

حل 6:

\( \LARGE \begin{cases} a_3 = 18 \\ a_6 = 486  \end{cases}  \)

\( \LARGE \rightarrow  \begin{cases} a_3 = a_{1}r^{2} \\ a_6 = a_{1}r^{5}  \end{cases}  \)

این هم یک دستگاه دو مجهولی است. اما چون بین مجهول‌ها عمل ضرب وجود دارد، برای حل دستگاه دو طرف تساوی را به هم تقسیم می‌کنیم.

(البته جمله شماره بیشتر به جمله شماره کمتر)

\( \LARGE \frac{a_{1}r^5}{a_{1}r^2} = \frac{486}{18}  \)

\( \LARGE r^3 = 27  \)

\( \LARGE r = 3  \)

حال باید جمله اول را پیدا کنیم:

\( \LARGE \begin{cases} a_3 = 18 \\ r = 3  \end{cases}  \)

\( \LARGE a_3 = a_{1} \times r^{2} \)

\( \LARGE 18 = a_{1} \times 3^{2} \)

\( \LARGE a_1 = 2 \)

پس دنباله به این صورت است:

\( \LARGE 2 , 6 , 18 , … \)

مثال ۷: جمع بیست جمله اول دنباله زیر را حساب کنید. (فصل اول ریاضی دهم – تمرین ۵ ویرایش ۱۳۹۸)

\( \LARGE 2 , 4 , 8 , …  \)

حل ۷:


خرید درسنامه آموزش دنباله هندسی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


آموزش دنباله هندسی : واسطه هندسی

وقتی سه عدد متوالی \( \Large a  \) , \( \Large b  \) , \( \Large c  \) را داریم، به طوری که آن‌ها تشکیل یک دنباله هندسی بدهند، در این صورت \( \Large b  \) را واسطه هندسی بین \( \Large a  \) , \( \Large c  \) می‌نامند و داریم:

\( \LARGE \begin{cases} r= \frac{b}{a} \\ r= \frac{c}{b} \end{cases}   \)

\( \LARGE \rightarrow  \frac{b}{a} = \frac{c}{b}  \)

\( \LARGE b^2 = ac  \)

بیا بیشتر بخونیم:
تابع ثابت را در حافظه خود ثابت کنید 📝 !

یعنی مجذور جمله وسطی برابر است با حاصلضرب جمله اول و سوم.

مثال 8: مقدار x را چنان تعیین کنید که دنباله زیر یک دنباله هندسی باشد.

(\( \LARGE x , x – 3 , x + 1    \))

حل 8:

\( \LARGE x , x – 3 , x + 1  \)

\( \LARGE (x – 3)^2 = x(x + 1)  \)

\( \LARGE x^2 – 6x + 9 = x^2 + x  \)

\( \LARGE -7x = -9  \)

\( \LARGE x = \frac{9}{7}  \)

حال اگر بین دو عدد بیش از یک واسطه هندسی بخواهیم به روش زیر عمل می کنیم.

مثال 9: بین دو عدد 3 و 48 سه واسطه هندسی پیدا کنید.

حل 9:

\( \LARGE 3 , … , … , … , 48  \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_5 = 48 \end{cases}  \)

\( \LARGE a_5 = a_{1}r^4 = 48 \)

\( \LARGE 48 = 3 \times r^4  \)

\( \LARGE  r^4 = 2^4 \rightarrow r = \pm 2  \)

\( \LARGE 3 , \pm 6 , 12 , \pm 24 , 48  \)

نکته ۳: وقتی یک دنباله هندسی را داریم می‌توانیم برای بدست آوردن قدر نسبت از رابطه زیر استفاده کنیم. در این رابطه \( \Large a_m , a_n \) جملات داده شده‌اند.

نوشتن قدر نسبت با آموزش دنباله هندسی

نکته ۴: دنباله ثابت هم جزء دنباله های هندسی و هم حسابی محسوب می‌شود.

حل ویدیویی یک نمونه سوال ریاضی دهم از مبحث دنباله هندسی

در این ویدیو آموزشی یک نمونه سوال از مبحث دنباله هندسی برای شما عزیزان حل شده است. برای دانلود سایر سوالات به صفحه نمونه سوال ریاضی دهم با جواب مراجعه فرمایید.

video

کلام آخر کلاس امروزمون

تو این نوشتار در مورد آموزش دنباله هندسی باهم صحبت کردیم. یاد گرفتیم که چطور می‌توان قدر نسبت یک دنباله هندسی را محاسبه کرد. همچنین یاد گرفتیم که با داشتن قدر نسبت جملات دلخواه یک دنباله هندسی را بدست آوریم. در نهایت آموزش‌هایمان را با مثال‌های متنوع باهم مرور کردیم.

بیا بیشتر بخونیم:
مفهوم مجموعه در ریاضی را با ما ساده بیاموزید!🙂

در صورتیکه هر سوالی در این رابطه با آموزش این جلسه یا آموزش ریاضی پایه دهم داشتید، در زیر همین قسمت در بخش دیدگاه‌ها مطرح کنید. ما در ریاضیکا اینجا هستیم تا به سوالات شما پاسخ دهیم.

میخوای ۲۰ بگیری؟

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

  1. جهان گفته :
    13:08 1399/01/23

    سلام ببخشید تقسیم 2 جمله از یک دنباله چطوریه؟

    • ضمن عرض سلام
      خوشحالیم که مارو دنبال می‌کنید
      کافیست برای پیدا کردن قدر نسبت دنباله هندیثسی یکی از جملات را انتخاب کرده و به جمله‌ی قبلی‌اش تقسیم کنید.

  2. امید گفته :
    22:22 1399/04/03

    سلام یکی از سوالاتتون رو اشتباه حل کردید مثال ۴ n_1=9نمیشه ۸ میشه ۱۰

    • ضمن عرض سلام
      بله حق با شماست
      این مورد اصلاح شد
      متشکریم که با دقت سایت ما رو بررسی می‌کنید.
      موفق و پیروز باشید.

مطالب زیر را حتما بخوانید:

سید ایمان موسوی نطنزی
سید ایمان موسوی نطنزی

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

قوانین ارسال دیدگاه در ما

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


Have no product in the cart!
0