تابع خطی به سادگی یک خط مستقیم 📈

در این نوشتار از آموزش‌های ریاضی دهم می‌خواهیم باهم با چند نوع تابع از جمله تابع خطی آشنا شویم و در مورد دامنه و برد نمودار آن‌ها صحبت کنیم. توابعی که در بخش تابع کتاب ریاضی دهم وجود دارند عبارتند از:

• توابع خطی
• تابع چندجمله‌ای
• تابع گویا
• تابع همانی
• تابع ثابت
• تابع قدرمطلق
• تابع درجه دوم
• تابع نمایی و لگاریتمی
• تابع مثلثاتی
• تابع رادیکالی

تابع خطی

معادلهٔ خط \( \Large y=2x-1 \) را در نظر بگیرید. اگر به \( \Large x \) مقادیر دلخواه بدهیم و همراه مقادیر \( \Large y \) آن‌ها را در یک جدول بنویسیم، داریم:

همانطور که مشاهده می‌کنید این جدول بیانگر یک تابع است. چون به ازای هر \( \Large x \) دقیقاً یک \( \Large y \) داریم و اگر آن‌ها را به صورت زوج مرتب بنویسیم، خواهیم داشت:

\( \LARGE f=\{(-1,-3),(0,-1),(1,1)…\} \)

پس نتیجه می‌گیریم که این خط یک تابع را نشان می‌دهد و نمودار آن به صورت زیر خواهد بود.

یک مثال از ظاهر نمودار تابع خطی

\( \LARGE D_f = \mathbb{R} \)

\( \LARGE R_f = \mathbb{R} \)

اگر به جدول دقت کنید طول‌ها و عرض‌ها با یک مقدار ثابت تغییر می‌کند. یعنی وقتی طول‌ها یکی یکی اضافه شود، \( \Large y \)ها (سه تا سه تا) اضافه می‌شود. این خاصیت تمام توابع خطی است که نقاط همه در یک امتداد هستند و برای همین نمودار آن‌ها یک خط راست است.

نمودار کلی تابع خطی به صورت زیر است:

ظاهر کلی نمودار تابع خطی

تعریف تابع خطی

هر تابعی که بتوان آن را به شکل\( \Large y=ax+b \) نمایش داده یک تابع خطی نامیده می‌شود.

مفهوم شیب در نمودار خط و فرمول آن

مثال ۱: آیا جدول زیر نمایش یک تابع است؟ اگر هست چه نوع تابعی و چرا؟

حل ۱:

بله این جدول نمایش یک تابع است. چون به ازای هر \( \Large x \) فقط یک \( \Large y \) داریم. پس از نوع تابع خطی است. به این علت که مقادیر \( \Large x,y \) با یک مقدار ثابت تغییر می‌کنند.
حال اگر بخواهیم معادله این خط را بنویسیم همانطورکه قبلاً آموخته‌ایم، ابتدا شیب خط را با استفاده از دو نقطه این خط بدست می‌آوریم.

\( \LARGE m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \)

\( \LARGE m=\frac{1-4}{0-(-1)}=\frac{-3}{+1} \)

\( \LARGE m=-3 \)

\( \LARGE y=ax+b \)

\( \LARGE \rightarrow (0,1),a=-3 \)

\( \LARGE 1=0\times (-3)+b \)

\( \LARGE b=1 \)

\( \LARGE y=-3x+1 \)

نکته ۱: به معادله یک تابع ضابطه تابع یا نمایش جبری تابع نیز گفته می‌شود.
نکته مهم ۲: تا کنون یاد گرفتیم که هر تابع را به چهارشکل (زوج مرتب، نمودار ون، جدول و نمودار مختصاتی) می‌توان نمایش داد اما نمایش دیگر تابع ضابطه یا همان معادله تابع است. البته این نوع نمایش برای همه توابع امکان پذیر نیست و برای بعضی از توابع نمی‌توان معادله نوشت.
نکته ۳: خط \( \Large x=a \) جزو توابع نیست.
نکته ۴: دامنه و برد تمام توابع خطی \( \Large \mathbb{R} \) می‌باشد به جز خط‌ها \( \Large y=b \) که بردشان فقط شامل \( \Large b \) است.

نکته ۵: در عکس زیر حالت‌های متفاوت علامت شیب خط را مشاهده می‌کنیم.

مثال ۲: نمودار معادله خط \( \Large y=2x+3 \) را رسم کنید.

حل ۲:

حل مثال ۲ روی تخته سیاه ریاضیکا 🙂

آخر کلاس آموزش تابع خطی

در این آموزش از تابع خطی سعی کردیم همراه با تصاویر و فرمول‌های مفهومی این آموزش مهم از ریاضی دهم را باهم یاد بگیریم. در صورتیکه هرگونه سوالی از این مبحث داشتید، در بخش دیدگاه‌ها در پایین همین نوشتار سوال خود را بپرسید. ما در ریاضیکا به سوالات شما پاسخ می‌دهیم.