متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه 🙂

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 5 دی 1398 سید ایمان موسوی نطنزی 1899 بازدید
متمم و تعداد عضوهای اجتماع - یکبار برای همیشه یاد بگیرید

خرید درسنامه آموزش متمم یک مجموعه PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


موضوع درس دوم از فصل اول کتاب ریاضی پایه دهم متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه است. این بخش از کتاب، مبحثی مهم است،‌ چرا که در بخش احتمالات نیز در آینده از این مبحث استفاده خواهد شد.

متمم یک مجموعه

در بحث متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه در ریاضیات، زمانی که در مورد یک مجموعه خاص و زیرمجموعه‌های آن صحبت می‌کنیم، منظور مجموعه مادر یا جهانی یا به قول کتاب مجموعه مرجع است. مجموعه مرجع را با U یا در بعضی از کتاب‌های درسی با M نمایش می‌دهند.

حال اگر مجموعه A بخشی را از این مجموعه مرجع در نظر بگیریم، آنگاه ‘A یا متمم A مجموعه‌ای می‌باشد که عضوهایش عضو A نباشند. در این حالت به زبان ریاضی می‌نویسیم:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

  پس اشتراک یک مجموعه با متممش تهی و اجتماع آن با متممش مجموعه مرجع می باشد.اگر بخواهیم به زبان نمودار این مسئله را بیان کنیم خواهیم داشت:

نوشتن متمم و تعداد عضوهای اجتماع با زبان نمودار

اجازه بدهید با حل یک مثال، این مورد را برای شما بهتر توضیح دهیم.

مثال ۱: اگر مجموعه‌ی Z را مجموعه مرجع در نظر بگیریم و مجموعه A به شکل زیر تعریف بشود، مجموعه متمم آن را بنویسید.

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

حل: با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌نویسیم:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

مثال ۲: اگر مجموعه‌ی مرجع R باشد و (A=[-1,22 ، آنگاه متمم آن را بنویسید.

حل: با کمک متمم یک مجموعه خواهیم داشت:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

قوانینی در مورد مجموعه مرجع و متمم یک مجموعه :

در بحث متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه قوانینی برقرار هستند که دانستن آن‌ها برای دانش‌آموزان ریاضی پایه دهم بسیار مهم است. این قوانین عبارتند از:

بیا بیشتر بخونیم:
رسم نمودار تابع قدر مطلق به زبان شکل‌ها 📐

(1

\( \Large U’ = \emptyset \)
(2
\( \Large  \emptyset’ =U \)
(3
\( \Large A \cup A’ = U \)
(4
\( \Large A \cap A’ = \emptyset \)
(5
\( \Large (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \)
(6
\( \Large (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \)
(7
\( \Large A – B = A \cap B’ \)
(8
\( \Large A – B = A – (A \cap B) \)
(9
\( \Large (A’)’ = A \)
(10
\( \Large A \cup U = U \)
(11
\( \Large A \cap U = A \)
(12
\( \Large A’ = U – A \)
(13
\( \Large A = U – A’ \)

نکته ۱: 5 و 6 به قوانین دمورگان معروف هستند.

دو مجموعه‌ی جدا از هم

به دو مجموعه‌ای که هیچ عضو مشترکی ندارند، دو مجموعه جدا از هم می‌گویند. یعنی:

دو مجموعه جدا از هم در بحث متمم و تعداد عضوهای اجتماع

دقت کنید که لزوماً دو مجموعه‌ی جدا از هم متمم نمی‌باشند. چون اجتماع تمام آن‌ها مجموعه‌ی مرجع نمی‌شود. پس دو مجموعه‌ی متمم جدا از یکدیگر هستند. ولی عکس این مطلب لزوماً درست نیست.


خرید درسنامه آموزش متمم یک مجموعه PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


تعداد عضو های اجتماع

همانطور که در سال‌های قبل دیدیم وقتی تعداد عضوهای یک مجموعه متناهی است، مانند مجموعه‌ی A، تعداد عضوهای آن را با \( \Large n(A) \) نمایش می‌دهیم.

حال می‌خواهیم در مورد تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه صحبت کرده و چند مسئله‌ی مهم در این‌باره را مطرح کنیم.

تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه برابر است با مجموع عضوهای دو مجموعه، منهای تعداد عضوهای مشترک آنها. یعنی:

\( \Large n(A \cup B) \)
\( \Large =n(A)+n(B)-n(A \cap B) \)

 نکته ۲: تمام قوانین بالا که در مورد مجموعه مرجع و متمم گفته شد درمورد تعداد اعضایشان نیز برقرار است.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش جایگشت یا جابجایی 📚 مفهومی‌ترین آموزش

(1

\( \Large n(U’) = n(\emptyset) \)
(2
\( \Large  n(\emptyset’) =n(U) \)
(3
\( \Large n(A \cup A’) = n(U) \)
(4
\( \Large n(A \cap A’) = n(\emptyset) \)
(5
\( \Large n((A \cup B)’ )= n(A’ \cap B’) \)
(6
\( \Large n((A \cap B)’ ) = n(A’ \cup B’) \)
(7
\( \Large n(A – B) = n(A \cap B’) \)
(8
\( \Large n(A – B) = n(A – (A \cap B)) \)
(9
\( \Large n((A’)’) = n(A) \)
(10
\( \Large n(A \cup U) = n(U) \)
(11
\( \Large n(A \cap U) = n(A) \)
(12
\( \Large n(A’) = n( U – A) \)
(13
\( \Large n(A) = n(U – A’) \)

مثال ۳: در یک مدرسه‌ی ۱۰۰ نفری اگر تیم والیبال مدرسه‌ی A از ۳۲ نفر تشکیل شده باشد و تعداد عضوهای تیم فوتبال مدرسه‌ی B، برابر ۲۸ نفر باشد و ۷ نفر در هر دو تیم عضو باشند، به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) تعداد افرادی که حداقل در یکی از دو تیم عضو هستند؟

ب) تعداد افرادی که فقط در تیم والیبال هستند؟

ج) تعداد افرادی که در هیچ کدام از دو تیم عضو نیستند؟

حل :  با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌نویسیم .

\( \Large n(U) = 100  \)
\( \Large n(A) = 32 \)
\( \Large n(B) = 28 \)
\( \Large n(A \cap B) = 7 \)

(الف

\( \Large n(A \cup B) \)
\( \Large =n(A)+n(B)-n(A \cap B) \)
\( \Large = 32 + 28 – 7 = 53 \)

\( \Large n(A – B)  \)
\( \Large = n(A) – n(A \cap B) \)
\( \Large = 32 -7 = 25 \)

بیا بیشتر بخونیم:
روابط بین نسبت های مثلثاتی : 💪 یاد بگیرید، حفظ کنید، ۲۰ بگیرید!

طبق اصل 8

\( \Large n(A’ \cap B’)  \)
\( \Large = n(A \cup B)’  \)
\( \Large = n(U) – n(A \cup B) \)
\( \Large = 100 – 53 = 47 \)

طبق اصل 13 و 5

مثال ۴: اگر رابطه زیر برقرار باشد:

\( \Large n(U) = 100  \)
\( \Large n(A) = 60 \)
\( \Large n(B) = 40 \)
\( \Large n(A \cup B) = 80 \)

مطلوبست:

فرمول تعداد اعضای در بحث متمم و تعداد عضوهای اجتماع

حل: با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌توان نوشت:

 

(الف

\( \Large n(A \cup B) \)

\( \Large = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \)

\( \Large 80 = 40 + 60 – n(A \cap B) \)
\( \Large n(A \cap B) = 20 \)


\( \Large n(A’ \cap B)  \)
\( \Large = n(B \cap A’) = n(B – A) \)
\( \Large = n(B) – n(A \cap B)  \)
\( \Large = 40 – 20 = 20  \)
یعنی فقط B

\( \Large n(A \cap B’)  \)
\( \Large = n(A – B)  \)
\( \Large = n(A) – n(A \cap B) \)
\( \Large = 60 – 20 = 40 \)
یعنی فقط A

\( \Large n(A’ \cup B’) \)
\( \Large = n(A \cap B)’  \)
\( \Large = n(U) – n(A \cap B) \)
\( \Large = 100 – 20 = 80 \)

یعنی حداقل 80 نفر عضو هیچ تیمی نیستند

نکته ۳: وقتی مسئله می گوید حداقل یا لااقل یا دست کم چند نفر عضو هر دو مجموعه هستند یعنی تعداد اعضای اجتماع را می خواهد یا وقتی می‌گوید چند عضو A یا B یا هر دو هستند باز مفهوم اجتماع را می دهد.

بیا بیشتر بخونیم:
عبارت های گویا 📜 به سادگی آب خوردن

خرید درسنامه آموزش متمم یک مجموعه PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


آخر کلاس

قوانین مجموعه‌ها که در این آموزش برای شما دانش آموزان عزیز بیان شد، قوانین مهمی هستند که با به خاطر سپردن این روابط نکته‌ی دیگری برای شما باقی نمی‌ماندوهر مسئله در این زمینه را میتوانیدپاسخگو باشید.

اگر از هر بخش این آموزش سوالی دارید، می‌توانید سوال خود را در بخش نظرات همین صفحه مطرح کنید تا کارشناسان ما در ریاضیکا در سریع‌ترین زمان ممکن به شما پاسخ دهند.

میخوای ۲۰ بگیری؟

به خوندن ادامه بده!مفهوم مجموعه در ریاضی را با ما ساده بیاموزید!🙂آموزش الگو و دنباله به راحتی آب خوردن 🌊!

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:
بیا بیشتر بخونیم:
آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم : زیر رادیکال نمون 💪 !

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

  1. فرهادی گفته :
    23:28 1398/11/29

    ببخشید میدونم سوالم سادست اما چرا تو مثبت و منفی بی نهایت علامت بازه بسته نیست؟؟؟

    • ضمن عرض سلام
      مشکلی نیست دوست عزیز
      اعداد مثبت و منفی بی‌نهایت اعداد مشخصی نیستند که بخواهیم بازه را بسته قرار دهیم.

مطالب زیر را حتما بخوانید:

سید ایمان موسوی نطنزی
سید ایمان موسوی نطنزی

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

قوانین ارسال دیدگاه در ما

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


Have no product in the cart!
0