متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه 🙂

متمم و تعداد عضوهای اجتماع - یکبار برای همیشه یاد بگیرید

موضوع درس دوم از فصل اول کتاب ریاضی پایه دهم متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه است. این بخش از کتاب، مبحثی مهم است،‌ چرا که در بخش احتمالات نیز در آینده از این مبحث استفاده خواهد شد.

 مجموعه مرجع

در بحث متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه در ریاضیات، زمانی که در مورد یک مجموعه خاص و زیرمجموعه‌های آن صحبت می‌کنیم، به  مجموعه مورد نظر مجموعه، مادر یا جهانی یا به قول کتاب مجموعه مرجع می گویند. مجموعه مرجع را با U یا در بعضی از کتاب‌های درسی با M نمایش می‌دهند.

متمم یک مجموعه

حال اگر مجموعه A بخشی را از این مجموعه مرجع در نظر بگیریم، آنگاه ‘A یا متمم A مجموعه‌ای می‌باشد که عضوهایش عضو A نباشند. در این حالت به زبان ریاضی می‌نویسیم:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

  پس اشتراک یک مجموعه با متممش تهی و اجتماع آن با متممش مجموعه مرجع می باشد.اگر بخواهیم به زبان نمودار این مسئله را بیان کنیم خواهیم داشت:

نوشتن متمم و تعداد عضوهای اجتماع با زبان نمودار



چند مثال از متمم یک مجموعه

اجازه بدهید با حل یک مثال، این مورد را برای شما بهتر توضیح دهیم.

مثال ۱: اگر مجموعه‌ی Z را مجموعه مرجع در نظر بگیریم و مجموعه A به شکل زیر تعریف بشود، مجموعه متمم آن را بنویسید.

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

حل: با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌نویسیم:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

مثال ۲: اگر مجموعه‌ی مرجع R باشد و (A=[-1,22 ، آنگاه متمم آن را بنویسید.

حل: با کمک متمم یک مجموعه خواهیم داشت:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

قوانین مجموعه مرجع و متمم یک مجموعه :

در بحث متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه قوانینی برقرار هستند که دانستن آن‌ها برای دانش‌آموزان ریاضی پایه دهم بسیار مهم است. این قوانین عبارتند از:

(1
\( \Large U’ = \emptyset \)

(2
\( \Large  \emptyset’ =U \)

(3
\( \Large A \cup A’ = U \)

(4
\( \Large A \cap A’ = \emptyset \)

(5
\( \Large (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \)

(6
\( \Large (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \)

(7
\( \Large A – B = A \cap B’ \)

(8
\( \Large A – B = A – (A \cap B) \)

(9
\( \Large (A’)’ = A \)

(10
\( \Large A \cup U = U \)

(11
\( \Large A \cap U = A \)

(12
\( \Large A’ = U – A \)

(13
\( \Large A = U – A’ \)

نکته ۱: 5 و 6 به قوانین دمورگان معروف هستند.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش آمار ریاضی دهم 📉 تنها آموزش آمار که باید بخوانید!

دو مجموعه‌ی جدا از هم

به دو مجموعه‌ای که هیچ عضو مشترکی ندارند، دو مجموعه جدا از هم می‌گویند. یعنی:

دو مجموعه جدا از هم در بحث متمم و تعداد عضوهای اجتماع

دقت کنید که لزوماً دو مجموعه‌ی جدا از هم متمم نمی‌باشند. چون اجتماع تمام آن‌ها مجموعه‌ی مرجع نمی‌شود. پس دو مجموعه‌ی متمم جدا از یکدیگر هستند. ولی عکس این مطلب لزوماً درست نیست.



تعداد عضو های اجتماع

همانطور که در سال‌های قبل دیدیم وقتی تعداد عضوهای یک مجموعه متناهی است، مانند مجموعه‌ی A، تعداد عضوهای آن را با \( \Large n(A) \) نمایش می‌دهیم.

حال می‌خواهیم در مورد تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه صحبت کرده و چند مسئله‌ی مهم در این‌باره را مطرح کنیم.

تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه برابر است با مجموع عضوهای دو مجموعه، منهای تعداد عضوهای مشترک آنها. یعنی:

\( \Large n(A \cup B) \)

\( \Large =n(A)+n(B)-n(A \cap B) \)

 نکته ۲: تمام قوانین بالا که در مورد مجموعه مرجع و متمم گفته شد درمورد تعداد اعضایشان نیز برقرار است.

(1
\( \Large n(U’) = n(\emptyset) \)

(2
\( \Large  n(\emptyset’) =n(U) \)

(3
\( \Large n(A \cup A’) = n(U) \)

(4
\( \Large n(A \cap A’) = n(\emptyset) \)

(5
\( \Large n((A \cup B)’ )= n(A’ \cap B’) \)

(6
\( \Large n((A \cap B)’ ) = n(A’ \cup B’) \)

(7
\( \Large n(A – B) = n(A \cap B’) \)

(8
\( \Large n(A – B) = n(A – (A \cap B)) \)

(9
\( \Large n((A’)’) = n(A) \)

(10
\( \Large n(A \cup U) = n(U) \)

(11
\( \Large n(A \cap U) = n(A) \)

(12
\( \Large n(A’) = n( U – A) \)

(13
\( \Large n(A) = n(U – A’) \)

 

چند مثال از تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه

مثال ۳: در یک مدرسه‌ی ۱۰۰ نفری اگر تیم والیبال مدرسه‌ی A از ۳۲ نفر تشکیل شده باشد و تعداد عضوهای تیم فوتبال مدرسه‌ی B، برابر ۲۸ نفر باشد و ۷ نفر در هر دو تیم عضو باشند، به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) تعداد افرادی که حداقل در یکی از دو تیم عضو هستند؟

ب) تعداد افرادی که فقط در تیم والیبال هستند؟

ج) تعداد افرادی که در هیچ کدام از دو تیم عضو نیستند؟

حل :  با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌نویسیم .

بیا بیشتر بخونیم:
دامنه و برد تابع به زبان عکس‌ها 😍

\( \Large n(U) = 100  \)

\( \Large n(A) = 32 \)

\( \Large n(B) = 28 \)

\( \Large n(A \cap B) = 7 \)

(الف

\( \Large n(A \cup B) \)

\( \Large =n(A)+n(B)-n(A \cap B) \)

\( \Large = 32 + 28 – 7 = 53 \)

\( \Large n(A – B)  \)

\( \Large = n(A) – n(A \cap B) \)

\( \Large = 32 -7 = 25 \)

طبق اصل 8

\( \Large n(A’ \cap B’)  \)

\( \Large = n(A \cup B)’  \)

\( \Large = n(U) – n(A \cup B) \)

\( \Large = 100 – 53 = 47 \)

طبق اصل 13 و 5

مثال ۴: اگر رابطه زیر برقرار باشد:

\( \Large n(U) = 100  \)

\( \Large n(A) = 60 \)

\( \Large n(B) = 40 \)

\( \Large n(A \cup B) = 80 \)

مطلوبست:

فرمول تعداد اعضای در بحث متمم و تعداد عضوهای اجتماع

حل: با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌توان نوشت:

 

(الف

\( \Large n(A \cup B) \)

\( \Large = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \)

\( \Large 80 = 40 + 60 – n(A \cap B) \)

\( \Large n(A \cap B) = 20 \)


\( \Large n(A’ \cap B)  \)

\( \Large = n(B \cap A’) = n(B – A) \)

\( \Large = n(B) – n(A \cap B)  \)

\( \Large = 40 – 20 = 20  \)

یعنی فقط B

\( \Large n(A \cap B’)  \)

\( \Large = n(A – B)  \)

\( \Large = n(A) – n(A \cap B) \)

\( \Large = 60 – 20 = 40 \)

یعنی فقط A

\( \Large n(A’ \cup B’) \)

\( \Large = n(A \cap B)’  \)

\( \Large = n(U) – n(A \cap B) \)

\( \Large = 100 – 20 = 80 \)

یعنی حداقل 80 نفر عضو هیچ تیمی نیستند

نکته ۳: وقتی مسئله می گوید حداقل یا لااقل یا دست کم چند نفر عضو هر دو مجموعه هستند یعنی تعداد اعضای اجتماع را می خواهد یا وقتی می‌گوید چند عضو A یا B یا هر دو هستند باز مفهوم اجتماع را می دهد.



آخر کلاس

قوانین مجموعه‌ها که در این آموزش برای شما دانش آموزان عزیز بیان شد، قوانین مهمی هستند که با به خاطر سپردن این روابط نکته‌ی دیگری برای شما باقی نمی‌ماندوهر مسئله در این زمینه را میتوانیدپاسخگو باشید.

اگر از هر بخش این آموزش سوالی دارید، می‌توانید سوال خود را در بخش نظرات همین صفحه مطرح کنید تا کارشناسان ما در ریاضیکا در سریع‌ترین زمان ممکن به شما پاسخ دهند.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش دنباله هندسی 📈👌 - دنباله را اینجا دنبال کنید!
به خوندن ادامه بده!مفهوم مجموعه در ریاضی را با ما ساده بیاموزید!🙂آموزش الگو و دنباله به راحتی آب خوردن 🌊💡!

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:

21 دیدگاه برای “متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه 🙂

  1. فرهادی گفته:

    ببخشید میدونم سوالم سادست اما چرا تو مثبت و منفی بی نهایت علامت بازه بسته نیست؟؟؟

    • سید محمدامین موسوی نطنزی گفته:

      ضمن عرض سلام
      مشکلی نیست دوست عزیز
      اعداد مثبت و منفی بی‌نهایت اعداد مشخصی نیستند که بخواهیم بازه را بسته قرار دهیم.

    • ناشناس گفته:

      سلام چونکه بینهایت در واقع محدودیتی نداره که بخوایم توی ی عدد خاص محدودش کنیم چ شامل تمام اعداد میشه

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام وقت به خیر
      علامت اجتماع U است.
      موفق باشید.

  2. متین گفته:

    سلام ممنون از سایت خوبتون واقعا توضیاحات مفید و خوبی دادید متچکرم:)

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وروز به خیر
      ممنون از توجه شما ونظرات مفیدتون
      برای اطلاع از جشنواره ها ومطالب بیشترپیج ما رو در اینستا به آدرس زیر دنبال کنید
      https://www.instagram.com/riazica/

  3. فریبا گفته:

    سلام. وقتتون بخیر. منظور از حداکثر در یکی از گروه ها باشند چیه؟

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وعرض ادب
      وقتی میگه حداکثر دونفر یعنی دونفر وکمتر وقتی میگه حداقل دونفر یعنی دونفر وبیشتر

  4. سرباز امام حسین گفته:

    خییییییییییییییلییییییییییی عالییییییی بود
    ممنون ازتون

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام واحترام
      ممنون از نظر لطف شما دوست عزیز

  5. 9013381051 گفته:

    سلام وقت بخیر ۰ند تا سوال داشتم اول این که چطوری اشتراک دو عدد رو پیدا میکنیم؟ مثلا توی سوال اگه بپرسه که از ۳۵ نفر ۲۰ نفر فوتبال و ۲۳ نفر والیبال دوست دارند و ۳ نفر علاقیه ای بی هیچ یک ندارند . اشتراک ۲۰ و ۲۳ چگونه به دست میاد؟؟

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وعرض ادب
      دوست عزیز اشتراک بین دو مجموعه است نه عدد
      شما ابتدا ۳-۳۵ میکنیمتا تعداد اعضای اجتماع دو‌مجموعه بدست آید سپس تعداد اعضای دومجموعه یعنی ۲۰ و۲۳ را جمع می‌کنیم سپس از تعداد اعضای اجتماع کم کنید یعنی ۳۲-۴۳پس یازده نفر عضو هر دو‌تیم هستند یعنی تعداد اعضای اشتراک دو‌مجموعه

  6. ابوالفضل عباسی گفته:

    سلام وقت بخیر
    میشه قسمت”متمم دو مجموعه‌ی جدا از هم”رو برای من به صورت ساده تر توضیح بدین؟

    خیلی ممنون میشم

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام
      فرق دو مجموعه متمم و دومجموعه جدا از هم در این هست که هردو با اینکه اشتراکشون تهی هست وای اجتماع دومجموعه متمم همیسه میشود مجموعه مرجع ولی در مورد دو مجموعه جدا از هم اینطورنیست

  7. ابوالفضل عباسی گفته:

    یا این سوال رو اگر میشه جواب بدین
    “اگردو مجموعه از هم جدا باشد،آیا میتوان گفت متمم های ان ها نیز از هم جدا هستند؟چرا؟”

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وادب
      بسته به نوع مجموعه ها فرق میکنه

  8. Amir گفته:

    سلام . میدونم که متمم کیو میشود کیوپریم .
    اما نمیدونم چطوری اعضای اون رو نشون بدم … آیا با بازه اینکار رو انجام بدم ؟ اگه اینطوره لطفا بگید چجوری نشون بدم🙏🏻

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وادب
      این مجموعه که همون اعد اد گنگ یااصم هسترو نه میشه بااعضایشنشانداد نه با بازه فقطباید بشناسیدشون

  9. 🌌 گفته:

    سلام
    دریک روزازبین ۱۰۴موردجرم گزارش شده ۷۰مورددرشب و۶۱مورددرحومه شهربوده است حداقل چندموردجرم درشب ودرون شهر گزارش شده است؟؟
    میشه توضیح بدید

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.


Notice: ob_end_flush(): failed to send buffer of zlib output compression (1) in /home/riazica2/domains/riazica.com/public_html/wp-includes/functions.php on line 5275

Notice: ob_end_flush(): failed to send buffer of zlib output compression (1) in /home/riazica2/domains/riazica.com/public_html/wp-includes/functions.php on line 5275