متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه 🙂

متمم و تعداد عضوهای اجتماع - یکبار برای همیشه یاد بگیرید

خرید درسنامه آموزش متمم یک مجموعه PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


موضوع درس دوم از فصل اول کتاب ریاضی پایه دهم متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه است. این بخش از کتاب، مبحثی مهم است،‌ چرا که در بخش احتمالات نیز در آینده از این مبحث استفاده خواهد شد.

متمم یک مجموعه

در بحث متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه در ریاضیات، زمانی که در مورد یک مجموعه خاص و زیرمجموعه‌های آن صحبت می‌کنیم، منظور مجموعه مادر یا جهانی یا به قول کتاب مجموعه مرجع است. مجموعه مرجع را با U یا در بعضی از کتاب‌های درسی با M نمایش می‌دهند.

حال اگر مجموعه A بخشی را از این مجموعه مرجع در نظر بگیریم، آنگاه ‘A یا متمم A مجموعه‌ای می‌باشد که عضوهایش عضو A نباشند. در این حالت به زبان ریاضی می‌نویسیم:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

  پس اشتراک یک مجموعه با متممش تهی و اجتماع آن با متممش مجموعه مرجع می باشد.اگر بخواهیم به زبان نمودار این مسئله را بیان کنیم خواهیم داشت:

نوشتن متمم و تعداد عضوهای اجتماع با زبان نمودار

اجازه بدهید با حل یک مثال، این مورد را برای شما بهتر توضیح دهیم.

مثال ۱: اگر مجموعه‌ی Z را مجموعه مرجع در نظر بگیریم و مجموعه A به شکل زیر تعریف بشود، مجموعه متمم آن را بنویسید.

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

حل: با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌نویسیم:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

مثال ۲: اگر مجموعه‌ی مرجع R باشد و (A=[-1,22 ، آنگاه متمم آن را بنویسید.

حل: با کمک متمم یک مجموعه خواهیم داشت:

متمم و تعداد عضوهای اجتماع

قوانینی در مورد مجموعه مرجع و متمم یک مجموعه :

در بحث متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه قوانینی برقرار هستند که دانستن آن‌ها برای دانش‌آموزان ریاضی پایه دهم بسیار مهم است. این قوانین عبارتند از:

بیا بیشتر بخونیم:
تابع ثابت را در حافظه خود ثابت کنید 📝 !

(1

\( \Large U’ = \emptyset \) (2
\( \Large  \emptyset’ =U \) (3
\( \Large A \cup A’ = U \) (4
\( \Large A \cap A’ = \emptyset \) (5
\( \Large (A \cup B)’ = A’ \cap B’ \) (6
\( \Large (A \cap B)’ = A’ \cup B’ \) (7
\( \Large A – B = A \cap B’ \) (8
\( \Large A – B = A – (A \cap B) \) (9
\( \Large (A’)’ = A \) (10
\( \Large A \cup U = U \) (11
\( \Large A \cap U = A \) (12
\( \Large A’ = U – A \) (13
\( \Large A = U – A’ \)

نکته ۱: 5 و 6 به قوانین دمورگان معروف هستند.

دو مجموعه‌ی جدا از هم

به دو مجموعه‌ای که هیچ عضو مشترکی ندارند، دو مجموعه جدا از هم می‌گویند. یعنی:

دو مجموعه جدا از هم در بحث متمم و تعداد عضوهای اجتماع

دقت کنید که لزوماً دو مجموعه‌ی جدا از هم متمم نمی‌باشند. چون اجتماع تمام آن‌ها مجموعه‌ی مرجع نمی‌شود. پس دو مجموعه‌ی متمم جدا از یکدیگر هستند. ولی عکس این مطلب لزوماً درست نیست.


خرید درسنامه آموزش متمم یک مجموعه PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


تعداد عضو های اجتماع

همانطور که در سال‌های قبل دیدیم وقتی تعداد عضوهای یک مجموعه متناهی است، مانند مجموعه‌ی A، تعداد عضوهای آن را با \( \Large n(A) \) نمایش می‌دهیم.

حال می‌خواهیم در مورد تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه صحبت کرده و چند مسئله‌ی مهم در این‌باره را مطرح کنیم.

تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه برابر است با مجموع عضوهای دو مجموعه، منهای تعداد عضوهای مشترک آنها. یعنی:

\( \Large n(A \cup B) \) \( \Large =n(A)+n(B)-n(A \cap B) \)

 نکته ۲: تمام قوانین بالا که در مورد مجموعه مرجع و متمم گفته شد درمورد تعداد اعضایشان نیز برقرار است.

بیا بیشتر بخونیم:
تابع خطی به سادگی یک خط مستقیم 📈

(1

\( \Large n(U’) = n(\emptyset) \) (2
\( \Large  n(\emptyset’) =n(U) \) (3
\( \Large n(A \cup A’) = n(U) \) (4
\( \Large n(A \cap A’) = n(\emptyset) \) (5
\( \Large n((A \cup B)’ )= n(A’ \cap B’) \) (6
\( \Large n((A \cap B)’ ) = n(A’ \cup B’) \) (7
\( \Large n(A – B) = n(A \cap B’) \) (8
\( \Large n(A – B) = n(A – (A \cap B)) \) (9
\( \Large n((A’)’) = n(A) \) (10
\( \Large n(A \cup U) = n(U) \) (11
\( \Large n(A \cap U) = n(A) \) (12
\( \Large n(A’) = n( U – A) \) (13
\( \Large n(A) = n(U – A’) \)

مثال ۳: در یک مدرسه‌ی ۱۰۰ نفری اگر تیم والیبال مدرسه‌ی A از ۳۲ نفر تشکیل شده باشد و تعداد عضوهای تیم فوتبال مدرسه‌ی B، برابر ۲۸ نفر باشد و ۷ نفر در هر دو تیم عضو باشند، به سوالات زیر پاسخ دهید.

الف) تعداد افرادی که حداقل در یکی از دو تیم عضو هستند؟

ب) تعداد افرادی که فقط در تیم والیبال هستند؟

ج) تعداد افرادی که در هیچ کدام از دو تیم عضو نیستند؟

حل :  با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌نویسیم .

\( \Large n(U) = 100  \) \( \Large n(A) = 32 \) \( \Large n(B) = 28 \) \( \Large n(A \cap B) = 7 \)

(الف

\( \Large n(A \cup B) \) \( \Large =n(A)+n(B)-n(A \cap B) \) \( \Large = 32 + 28 – 7 = 53 \)

\( \Large n(A – B)  \) \( \Large = n(A) – n(A \cap B) \) \( \Large = 32 -7 = 25 \)

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش حل نامعادله همراه با رسم نمودار و مثال‌های متنوع📈

طبق اصل 8

\( \Large n(A’ \cap B’)  \) \( \Large = n(A \cup B)’  \) \( \Large = n(U) – n(A \cup B) \) \( \Large = 100 – 53 = 47 \)

طبق اصل 13 و 5

مثال ۴: اگر رابطه زیر برقرار باشد:

\( \Large n(U) = 100  \) \( \Large n(A) = 60 \) \( \Large n(B) = 40 \) \( \Large n(A \cup B) = 80 \)

مطلوبست:

فرمول تعداد اعضای در بحث متمم و تعداد عضوهای اجتماع

حل: با کمک متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه می‌توان نوشت:

 

(الف

\( \Large n(A \cup B) \)

\( \Large = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \)

\( \Large 80 = 40 + 60 – n(A \cap B) \) \( \Large n(A \cap B) = 20 \)


\( \Large n(A’ \cap B)  \) \( \Large = n(B \cap A’) = n(B – A) \) \( \Large = n(B) – n(A \cap B)  \) \( \Large = 40 – 20 = 20  \) یعنی فقط B

\( \Large n(A \cap B’)  \) \( \Large = n(A – B)  \) \( \Large = n(A) – n(A \cap B) \) \( \Large = 60 – 20 = 40 \) یعنی فقط A

\( \Large n(A’ \cup B’) \) \( \Large = n(A \cap B)’  \) \( \Large = n(U) – n(A \cap B) \) \( \Large = 100 – 20 = 80 \)

یعنی حداقل 80 نفر عضو هیچ تیمی نیستند

نکته ۳: وقتی مسئله می گوید حداقل یا لااقل یا دست کم چند نفر عضو هر دو مجموعه هستند یعنی تعداد اعضای اجتماع را می خواهد یا وقتی می‌گوید چند عضو A یا B یا هر دو هستند باز مفهوم اجتماع را می دهد.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش حل معادله درجه دو + 4 روش‌ مختلف حل آن💪🔮

خرید درسنامه آموزش متمم یک مجموعه PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


آخر کلاس

قوانین مجموعه‌ها که در این آموزش برای شما دانش آموزان عزیز بیان شد، قوانین مهمی هستند که با به خاطر سپردن این روابط نکته‌ی دیگری برای شما باقی نمی‌ماندوهر مسئله در این زمینه را میتوانیدپاسخگو باشید.

اگر از هر بخش این آموزش سوالی دارید، می‌توانید سوال خود را در بخش نظرات همین صفحه مطرح کنید تا کارشناسان ما در ریاضیکا در سریع‌ترین زمان ممکن به شما پاسخ دهند.

میخوای ۲۰ بگیری؟

به خوندن ادامه بده!مفهوم مجموعه در ریاضی را با ما ساده بیاموزید!🙂آموزش الگو و دنباله به راحتی آب خوردن 🌊💡!

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:
بیا بیشتر بخونیم:
آموزش جایگشت یا جابجایی 📚 مفهومی‌ترین آموزش

2 دیدگاه برای “متمم یک مجموعه و تعداد عضوهای اجتماع دو مجموعه 🙂

  1. فرهادی گفته:

    ببخشید میدونم سوالم سادست اما چرا تو مثبت و منفی بی نهایت علامت بازه بسته نیست؟؟؟

    • سید محمدامین موسوی نطنزی گفته:

      ضمن عرض سلام
      مشکلی نیست دوست عزیز
      اعداد مثبت و منفی بی‌نهایت اعداد مشخصی نیستند که بخواهیم بازه را بسته قرار دهیم.

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.