آموزش ریاضی پایه دهم

آموزش ترکیب – ۸ قانون واجب که باید بدانید⚠️8️⃣

آخرین بروزرسانی در تاریخ 1401/11/08 توسط سید ایمان موسوی نطنزی
آموزش ترکیب - ۸ قانون واجب که باید بدانید
02
فروردین

در آموزش ترکیب در ریاضی پایه دهم یاد می‌گیریم چگونه چند شئ را از بین اشیا انتخاب کنبم. همچنین می‌توانیم تعداد انتخاب‌هایمان را از قبل محاسبه کنیم.

ترکیب یا انتخاب \( \Large k \) شی از \( \Large n \) شی متمایز

گاهی در مسائل ما می‌خواهیم از بین \( \Large n \) شئ فقط \( \Large k \) شئ را انتخاب کنیم و ترتیب قرارگرفتن اشیا برای ما مهم نیست. در واقع ترکیب انتخاب شده برای ما مهم است. مثلا فرض کنید یک مجموعهٔ 5 عضوی داریم و می‌خواهیم تعداد زیر مجموعه‌های 3 عضوی آن را بیابیم. می‌دانیم در مجموعه ترتیب قرارگرفتن اشیا مهم نیست. یعنی داریم:

آموزش ترکیب

پس در این مثال از بین 5 عضو مجموعه، فقط می‌خواهیم ترکیب‌های 3 تایی انتخاب کنیم. خب از طرفی می‌دانیم تعداد جایگشت های 3 عضو برابر است با \( \Large 3!=6 \). خوب اگر جایگشت های 3 عضو از 5 عضو را پیدا کنیم. داریم:

\( \LARGE P(5,3)=\frac{5!}{2!} \)

\( \LARGE =\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} =60 \)

می‌دانیم این با در نظرگرفتن جایگشت‌های 3 عضو انتخاب شده که مورد نظر ما نیست پس این تعداد را به !3 تقسیم می‌کنیم. داریم:

\( \LARGE \frac{60}{3!}=\frac{60}{6}=10 \)

یعنی از بین 5 عضو به 10 طریق می‌توان 3 عضو را بدون در نظرگرفتن جایگشت های آن انتخاب کرد. پس فرمول بالا به صورت زیر استفاده می‌شود:

\( \LARGE C(5,3)=\frac{5!}{2!\times 3!}=10 \)

و به طور کلی داریم. ترکیب یا انتخاب \( \Large k \) شی از بین \( \Large n \) شی برابر است با:

آموزش ترکیب

خرید پکیج دوره محاسبات سریع 💎🔮

397.000 تومانافزودن به سبد خرید

نکته آموزشی از ترکیب: این نماد را به صورت \( \Large nCk \) یا \( \Large \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) هم نمایش می‌دهند.

نکته مهم: دانش‌آموزان عزیز برای یادگیری بیشتر می‌توانید نوشتار آموزش جایگشت را از مجموعه آموزش‌های ریاضی دهم ریاضیکا بخوانید.

مثال ۱: می‌خواهیم از بین 10 گل، دسته گل‌های چهارتایی درست کنیم. این کار به چند طریق امکان‌پذیر است؟

حل ۱:

\( \LARGE C(10,4)=\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} \)

\( \LARGE = \frac{10!}{4!\times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4!\times 6!} \)

\( \LARGE =210 \)

در این مسئله نیز فقط ترکیب گل‌ها برای ما مهم است نه ترتیب قرارگرفتن آن‌ها.

مثال ۲: یک مربی فوتبال از بین 20 نفر می‌خواهد یک تیم فوتبال تشکیل دهد، این کار به چند طریق امکان‌پذیر است؟

حل ۲:

\( \LARGE C(20,11)=\begin{pmatrix} 20 \\ 11 \end{pmatrix} \)

\( \LARGE = \frac{20!}{9!\times 11!}  \)

مثال ۳: یک مربی فوتبال می‌خواهد از بین 11 نفر اعضای تیم یک نفر را برای دفاع راست یک نفر دفاع چپ و یک نفر را به عنوان دروازه‌بان انتخاب کند. این کار به چند طریق امکان پذیر است؟

حل ۳: در این مسئله نه تنها انتخاب 3 نفر مهم است، بلکه نحوه انتخاب آن‌ها نیز مهم است که چه کسی از این سه نفر نیز دفاع راست چه کسی دفاع چپ و چه کسی دروازه‌بان باشد. پس تعداد جایگشت‌های 3 نفر از 11 نفر را می‌خواهیم. یعنی داریم:

\( \LARGE P(11,3)=\frac{11!}{8!} \)

مثال 4: در کیسه‌ای 4 مهره سفید و 5 مهره سیاه است. می‌خواهیم 3 مهره از این کیسه به تصادف انتخاب کنیم این کار به چند طریق امکان دارد. اگر:

الف) 2 مهره سفید و یک مهره سیاه باشند.

\( \LARGE \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}  \)

\( \LARGE = 6 \times 5 =30 \)

با توجه به اینکه 2 تا سفید و یکی سیاه پس طبق اصل ضرب به دست آوردیم.

ب) هر سه سیاه باشند.

\( \LARGE \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} =10  \)

ج) هر سه همرنگ باشند.

\( \LARGE \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}   \)

\( \LARGE =10+4=14 \)

یعنی یا هر سه سفید یا هر سه سیاه (اصل جمع)

د) حداقل یکی سیاه باشد.

\( \LARGE \begin{pmatrix} 5 \\ 1\end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}        \)

\( \LARGE  + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}    \)

\( \LARGE =5 \times 6 + 10 \times 4 +10  \)

\( \LARGE =80  \)

حداقل یکی سیاه یعنی یا یکی سیاه و 2 تا سفید یا دو تا سیاه یکی سفید یا هر سه سیاه (اصل ضرب و جمع)

برای محاسبه سریع‌تر مسائل مربوط به آموزش ترکیب ، قوانین زیر را به خوبی فرا بگیرید.

خرید پکیج دوره محاسبات سریع 💎🔮

397.000 تومانافزودن به سبد خرید

قوانین ترکیب (\( \Large k \) شئ از \( \Large n \) شئ)

قوانین ترکیب

قوانین ترکیب

مثال برای قانون 4:

(1

\( \LARGE \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} =4  \)

(2

\( \LARGE \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix} =7  \)

مثال برای قانون 5:

(1

\( \LARGE \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}  \)

(2

\( \LARGE \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}  \)

مثال برای قانون 6:

\( \LARGE \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} + .. + \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}  \)

\( \LARGE =2^5=32  \)

مثال برای قانون 7:

\( \LARGE \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{10 \times 9}{2} \)

\( \LARGE = 45  \)

مثال برای قانون 8:

\( \LARGE \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}=\frac{10 \times 9 \times 8}{6} \)

\( \LARGE = 120  \)

خرید پکیج دوره محاسبات سریع 💎🔮

397.000 تومانافزودن به سبد خرید

زنگ آخر کلاس آموزش ترکیب

بچه‌ها در این نوشتار با آموزش ترکیب و یا انتخاب \( \Large k \) شئ از \( \Large n \) شئ متمایز و قوانین ترکیب (\( \Large k \) شی از \( \Large n \) شی) آشنا شدیم. همچنین این مبحث مهم را با مثال‌های مهم و مفهومی باهم به خوبی بررسی کردیم.

مباحث مهم دیگری از آموزش ریاضی دهم را می‌توانید در همین سایت بخوانید. هرسوالی که از این نوشتار آموزشی داشتید را می‌توانید در پایین هم بخش در قسمت دیدگاه‌ها برای ما بنویسید. بچه‌های ریاضیکا حتماً به سوالات شما پاسخ می‌دهند. شاد و پیروز باشید 🙂

به خوندن ادامه بده!آموزش الگو و دنباله به راحتی آب خوردن ⚛️📶!

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:
سید ایمان موسوی نطنزی

10 دیدگاه برای “آموزش ترکیب – ۸ قانون واجب که باید بدانید⚠️8️⃣ ”

  1. امین گفته:

    سلام ببخشید آیا این سوال رو میشه بدون استفاده از متمم حل کرد؟چگونه؟
    سوال:(یک آشپز 10 نوع ادویه دارد از هر سه تا از این ادویه ها یک طعم مخصوص درست می کند،این آشپز چند طعم می تواند درست کند زمانی که دو نوع ادویه هستند که نمی توانند با هم استفاده شوند؟؟

    پاسخ
    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      بله میشه این سوال کتاب هست از دبیرتون بپرسید جواب میدهن

      پاسخ
  3. نگین عرب گفته:

    بسیار مطلب مفیدی بود
    این مطلب رو برای ازمون ارشد مطالعه کردم ،تمام ریاضیات دبیرستانم که مربوط به این مبحث بود برام دوره شد.سپاس

    پاسخ
    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام ودرود
      خدا رو شاکریم که برای همه سطوح مفید هست مطالب سایت ما

      پاسخ
        • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

          با سلام وادب
          فرمولش رو بنویس با توجه به اینکه صفر فاکتوریل میشه یک حله واثبات میشه که میشه یک

          پاسخ

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *