آموزش ترکیب – ۸ قانون واجب که باید بدانید⚠️8️⃣

در آموزش ترکیب در ریاضی پایه دهم یاد می‌گیریم چگونه چند شئ را از بین اشیا انتخاب کنبم. همچنین می‌توانیم تعداد انتخاب‌هایمان را از قبل محاسبه کنیم.

ترکیب یا انتخاب \( \Large k \) شی از \( \Large n \) شی متمایز

گاهی در مسائل ما می‌خواهیم از بین \( \Large n \) شئ فقط \( \Large k \) شئ را انتخاب کنیم و ترتیب قرارگرفتن اشیا برای ما مهم نیست. در واقع ترکیب انتخاب شده برای ما مهم است. مثلا فرض کنید یک مجموعهٔ 5 عضوی داریم و می‌خواهیم تعداد زیر مجموعه‌های 3 عضوی آن را بیابیم. می‌دانیم در مجموعه ترتیب قرارگرفتن اشیا مهم نیست. یعنی داریم:

پس در این مثال از بین 5 عضو مجموعه، فقط می‌خواهیم ترکیب‌های 3 تایی انتخاب کنیم. خب از طرفی می‌دانیم تعداد جایگشت های 3 عضو برابر است با \( \Large 3!=6 \). خوب اگر جایگشت های 3 عضو از 5 عضو را پیدا کنیم. داریم:

\( \LARGE P(5,3)=\frac{5!}{2!} \)

\( \LARGE =\frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} =60 \)

می‌دانیم این با در نظرگرفتن جایگشت‌های 3 عضو انتخاب شده که مورد نظر ما نیست پس این تعداد را به !3 تقسیم می‌کنیم. داریم:

\( \LARGE \frac{60}{3!}=\frac{60}{6}=10 \)

یعنی از بین 5 عضو به 10 طریق می‌توان 3 عضو را بدون در نظرگرفتن جایگشت های آن انتخاب کرد. پس فرمول بالا به صورت زیر استفاده می‌شود:

\( \LARGE C(5,3)=\frac{5!}{2!\times 3!}=10 \)

و به طور کلی داریم. ترکیب یا انتخاب \( \Large k \) شی از بین \( \Large n \) شی برابر است با:

نکته آموزشی از ترکیب: این نماد را به صورت \( \Large nCk \) یا \( \Large \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) هم نمایش می‌دهند.

نکته مهم: دانش‌آموزان عزیز برای یادگیری بیشتر می‌توانید نوشتار آموزش جایگشت را از مجموعه آموزش‌های ریاضی دهم ریاضیکا بخوانید.

مثال ۱: می‌خواهیم از بین 10 گل، دسته گل‌های چهارتایی درست کنیم. این کار به چند طریق امکان‌پذیر است؟

حل ۱:

\( \LARGE C(10,4)=\begin{pmatrix} 10 \\ 4 \end{pmatrix} \)

\( \LARGE = \frac{10!}{4!\times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{4!\times 6!} \)

\( \LARGE =210 \)

در این مسئله نیز فقط ترکیب گل‌ها برای ما مهم است نه ترتیب قرارگرفتن آن‌ها.

مثال ۲: یک مربی فوتبال از بین 20 نفر می‌خواهد یک تیم فوتبال تشکیل دهد، این کار به چند طریق امکان‌پذیر است؟

حل ۲:

\( \LARGE C(20,11)=\begin{pmatrix} 20 \\ 11 \end{pmatrix} \)

\( \LARGE = \frac{20!}{9!\times 11!}  \)

مثال ۳: یک مربی فوتبال می‌خواهد از بین 11 نفر اعضای تیم یک نفر را برای دفاع راست یک نفر دفاع چپ و یک نفر را به عنوان دروازه‌بان انتخاب کند. این کار به چند طریق امکان پذیر است؟

حل ۳: در این مسئله نه تنها انتخاب 3 نفر مهم است، بلکه نحوه انتخاب آن‌ها نیز مهم است که چه کسی از این سه نفر نیز دفاع راست چه کسی دفاع چپ و چه کسی دروازه‌بان باشد. پس تعداد جایگشت‌های 3 نفر از 11 نفر را می‌خواهیم. یعنی داریم:

\( \LARGE P(11,3)=\frac{11!}{8!} \)

مثال 4: در کیسه‌ای 4 مهره سفید و 5 مهره سیاه است. می‌خواهیم 3 مهره از این کیسه به تصادف انتخاب کنیم این کار به چند طریق امکان دارد. اگر:

الف) 2 مهره سفید و یک مهره سیاه باشند.

\( \LARGE \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix}  \)

\( \LARGE = 6 \times 5 =30 \)

با توجه به اینکه 2 تا سفید و یکی سیاه پس طبق اصل ضرب به دست آوردیم.

ب) هر سه سیاه باشند.

\( \LARGE \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} =10  \)

ج) هر سه همرنگ باشند.

\( \LARGE \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}   \)

\( \LARGE =10+4=14 \)

یعنی یا هر سه سفید یا هر سه سیاه (اصل جمع)

د) حداقل یکی سیاه باشد.

\( \LARGE \begin{pmatrix} 5 \\ 1\end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}        \)

\( \LARGE  + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}    \)

\( \LARGE =5 \times 6 + 10 \times 4 +10  \)

\( \LARGE =80  \)

حداقل یکی سیاه یعنی یا یکی سیاه و 2 تا سفید یا دو تا سیاه یکی سفید یا هر سه سیاه (اصل ضرب و جمع)

برای محاسبه سریع‌تر مسائل مربوط به آموزش ترکیب ، قوانین زیر را به خوبی فرا بگیرید.

قوانین ترکیب (\( \Large k \) شئ از \( \Large n \) شئ)

مثال برای قانون 4:

(1

\( \LARGE \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} =4  \)

(2

\( \LARGE \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix} =7  \)

مثال برای قانون 5:

(1

\( \LARGE \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 4 \end{pmatrix}  \)

(2

\( \LARGE \begin{pmatrix} 12 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 \\ 7 \end{pmatrix}  \)

مثال برای قانون 6:

\( \LARGE \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} + .. + \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix}  \)

\( \LARGE =2^5=32  \)

مثال برای قانون 7:

\( \LARGE \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \end{pmatrix}=\frac{10 \times 9}{2} \)

\( \LARGE = 45  \)

مثال برای قانون 8:

\( \LARGE \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix}=\frac{10 \times 9 \times 8}{6} \)

\( \LARGE = 120  \)

زنگ آخر کلاس آموزش ترکیب

بچه‌ها در این نوشتار با آموزش ترکیب و یا انتخاب \( \Large k \) شئ از \( \Large n \) شئ متمایز و قوانین ترکیب (\( \Large k \) شی از \( \Large n \) شی) آشنا شدیم. همچنین این مبحث مهم را با مثال‌های مهم و مفهومی باهم به خوبی بررسی کردیم.

مباحث مهم دیگری از آموزش ریاضی دهم را می‌توانید در همین سایت بخوانید. هرسوالی که از این نوشتار آموزشی داشتید را می‌توانید در پایین هم بخش در قسمت دیدگاه‌ها برای ما بنویسید. بچه‌های ریاضیکا حتماً به سوالات شما پاسخ می‌دهند. شاد و پیروز باشید 🙂