تجزیه عبارت‌ های جبری به 4 روش مختلف 📚

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 13 فروردین 1399 سید ایمان موسوی نطنزی 1149 بازدید
تجزیه عبارت‌ های جبری به 4 روش مختلف

در این نوشتار می‌خواهیم باهم در رابطه با تجزیه عبارت‌ های جبری صحبت کنیم. این مبحث از سری آموزش‌ ریاضی دهم است که در عین سادگی از اهمیت بالایی برخوردار است.

مفهوم تجزیه عبارت‌ های جبری

تجزیه عبارت‌ های جبری بدان معناست که:

یک عبارت جبری که به صورت مجموع یا تفاضل چند جمله است. یا به عبارت بهتر یک چند جمله‌ای را به صورت حاصلضرب دو یا چند چند جمله‌ای درآوریم.

مثلاً:

\( \LARGE a^2 + 3a + 4ab    \)

\( \LARGE = a (a + 3 + 4b)    \)

در اینصورت به هر یک از چند جمله‌ای‌ها شمارنده چند جمله‌ای اولیه می‌گویند و چند جمله‌ای اولیه مضرب این چند جمله‌ای‌های جدید است.
در مثال بالا \( \Large a , a+3+4b    \) شمارنده‌های \( \Large a^2 + 3a + 4ab    \) هستند. \( \Large a^2 + 3a + 4ab    \) هم مضرب \( \Large a  \) و هم مضرب \( \Large a + 3 + 4b    \) است.
نکته ۱: وقتی صحبت از تجزیه می‌شود باید تجزیه با ضرایب صحیح و غیر‌رادیکالی انجام گیرد. چون جملات با ضرایب غیر‌صحیح طبق قرارداد مضرب چند‌جمله‌ای‌ها محسوب نمی‌شوند.

روش‌های تجزیه عبارت‌ های جبری

  1. فاکتور‌گیری (عامل مشترک‌گیری)
  2. استفاده از اتحاد‌ها
  3. دسته‌بندی و فاکتور‌گیری
  4. شکستن و دسته‌بندی

1- فاکتور‌گیری یا عامل مشترک‌گیری

یکی از مهم‌ترین روش‌های تتجزیه عبارت‌ های جبری روش فاکتور‌گیری یا همان عامل مشترک‌گیری است. در این روش:

  1. ابتدا ب.م.م (بزرگترین مقسوم علیه مشترک) جملات را پیدا می‌کنیم .ب.م.م عبارت‌ های جبری برابر راست با حاصلضرب عامل‌های مشترک با توان کمتر. یا به زبان ساده‌تر در مورد ضرایب عددی ب.م.م آن‌ها را پیدا می‌کنیم. در مورد متغیرها نیز ، متغیرهای مشترک با توان کمتر را انتخاب می‌کنیم
  2. سپس تمام جملات را به ب.م.م تقسیم می‌کنیم. به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE 4a^{2}b^{2} + 8a^{4}b^{3}c  \)

\( \LARGE  + 24a^{2}b^{2}c^{2}  \)

در این مثال ب.م.م ضرایب 4 است. به عبارتی تمام ضرایب عددی به ۴ بخش‌پذیر هستند. عامل مشترک تمام جملات \( \Large a^2 , b  \) است. همانطور که دقت می‌کنیم در مورد متغیرهای مشترک توان کمتر انتخاب می‌شود. پس از ب.م.م یا همان عامل مشترک \( \Large 4a^{2}b \) فاکتور می‌گیریم. یعنی تمام جملات را به این جمله تقسیم کرده و بعد از ساده کردن جواب نهایی را می‌نویسیم.

تجزیه عبارت‌ های جبری به کمک فاکتورگیری

همانطور که مشاهده کردید این سه جمله‌ای به صورت حاصلضرب یک «یک‌جمله‌ای» و یک «سه‌جمله‌ای» درآمد، این یعنی تجزیه.
نکته ۲: کار تقسیم را ذهنی انجام می‌دهیم و فقط جواب آخر را می نویسیم. به مثال دیگری در زیر دقت کنید:

(1
تجزیه عبارت‌ های جبری به کمک فاکتورگیری

(2

\( \LARGE 17a^4 – 5a^2 \)

\( \LARGE = a^2(17a^2 – 5) \)

(3

\( \LARGE 3abc+9a^{2}b^{2}c\)

\( \LARGE +18a^{3}bc^{2} \)

\( \LARGE = 3abc(1 + 3ab+ 6a^{2}c) \)

2- استفاده از اتحاد‌ها

در تجزیه عبارت‌ های جبری ، گاهی چند جمله‌ای داده شده را می‌توان با استفاده از اتحادها تجزیه کرد. برای استفاده از این روش باید به اتحاد‌های جبری تسلط کامل داشته باشیم تا بتوانیم اتحاد مورد نظر را به راحتی شناسایی و عبارت را تجزیه کنیم.

الف) اتحاد مربع دو‌جمله‌ای

اگر یک سه‌جمله‌ای داشته باشیم که دو تا از جملات آن مربع کامل باشند، باید حدس بزنیم اتحاد مربع دوجمله‌ای است. سپس حدس خود را امتحان کنیم. به مثال زیر دقت کنید:

بیا بیشتر بخونیم:
مفهوم مجموعه در ریاضی را با ما ساده بیاموزید!🙂

\( \LARGE a^2 + 6a + 9 \)

در این سه‌جمله‌ای دو جمله مجذور کامل یا همان مربع کامل داریم. حال از کجا مطمئن شویم که این جواب یک اتحاد مربع دو‌جمله‌ای است:

  1. ابتدا جذر دو‌جمله‌ای را می‌نویسیم. یعنی \( \Large a , 3  \).
  2. حال دقت می‌کنیم آیا دو برابر یکی در دیگری جمله وسط می‌شود.
  3. اگر این طور بود پس حدس ما درست است و تجزیه عبارت را می‌نویسیم.

\( \LARGE (a^2 + 6a +9 ) = (a+3)^2 \)

نکته ۳: علامت بین آن‌ها را از جمله‌ای که مجذور کامل نیست متوجه می‌شویم. به مثال دیگر در زیر دقت کنید:

\( \LARGE (4a^4 – 20a^{2} + 25b^2)  \)

\( \LARGE = (2a^2 – 5b)^2  \)

در این مثال هم ملاحظه می‌کنید دو برابر اولی در دومی جمله وسطی می‌شود. البته همیشه ترتیب جملات به همین شکل نیست. مثلاً:

\( \LARGE (16x^2 + y^2 -8xy)  \)

\( \LARGE = (4x-y)^2  \)

اما اگر جمله‌ای که مجذور کامل نیست دو برابر جذر دو جمله دیگر نباشد، می‌گوییم این عبارت به این روش تجزیه نمی‌شود. مثلاً:

\( \LARGE a^2 – 10a + 49  \)

در این عبارت با اینکه دو جمله مجذور کامل داریم. اما به روش اتحاد مربع دوجمله‌ای تجزیه پذیر نیست.

نکته ۴: تمام عبارت‌های جبری با ضرایب صحیح قابل تجزیه نیستند.

ب) تجزیه عبارت‌ های جبری به روش اتحاد مزدوج

برای اینکه بتوانیم عبارتی را از این روش تجزیه کنیم باید دو جمله مجذور کامل باشند، اما یکی منفی باشد. به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE a^2 – 4 \)

این عبارت هر دو مجذور کامل و یکی منفی است. پس می‌توان از روش اتحاد مزدوج آن را تجزیه کرد. برای این کار جذر این دو جمله را به صورت دو دو‌جمله‌ای مزدوج می‌نویسیم.

یعنی:

\( \LARGE a^2 – 4 = (a-2)(a+2)  \)

مثال:

(1

\( \LARGE 25a^{4}b^{2} – 1  \)

\( \LARGE = (5a^{2}b-1)(5a^{2}b+1) \)

(2

\( \LARGE -9 + x^4 \)

\( \LARGE = x^4  – 9 \)

\( \LARGE = (x^2 – 3)(x^2 + 3) \)

به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE a^5 – a \)

در این مثال به نظر نمی‌رسد اتحاد مزدوج باشد. ولی هر دو فاکتور \( \Large a \) را دارند. پس ابتدا فاکتور‌گیری می‌کنیم:

\( \LARGE a^5 – a = a(a^4 – 1) \)

بعد از فاکتورگیری ملاحظه می‌کنید عبارت داخل پرانتز اتحاد مزدوج است. پس دوباره قابل تجزیه است پس داریم:

\( \LARGE a^5 – a  \)

\( \LARGE  = a(a^4 – 1) \)

\( \LARGE  = a(a^2 – 1)(a^2 + 1) \)

\( \LARGE = a(a – 1)(a + 1) \)

\( \LARGE \times (a^2 + 1) \)

نکته ۵: گاهی هم روش فاکتور‌گیری هم روش اتحاد برای تجزیه به کار گرفته می‌شود.
نکته ۶: در تجزیه عبارت‌ های جبری بایدتا جایی که امکان دارد عبارت جبری تجزیه شود.

ج) تجزیه به روش اتحاد جمله مشترک

اگر یک سه‌جمله‌ای داشته باشیم که یک جمله آن مربع کامل باشد، حدس می‌زنیم که این عبارت به روش اتحاد جمله مشترک تجزیه می‌شود. مانند:

\( \LARGE x^2 + 5x +6 \)

بیا بیشتر بخونیم:
تابع چند جمله‌ ای به زبان ساده 📝

می‌دانیم در اتحاد جمله مشترک، یک جمله مشترک و دو جمله غیر‌مشترک داریم که درجواب این اتحاد یک جمله مجذور جمله مشترک است. پس ابتدا جذر جمله مربع کامل را می‌گیریم. در دو پرانتز می‌نویسیم:

\( \LARGE x^2 + 5x +6  \)

\( \LARGE  = (x….)(x….) \)

جملات غیرمشترک یک‌بار جمع شده و در جمله مشترک ضرب می‌شوند و یک‌بار در هم ضرب می‌شوند. پس ما در این جا به دنبال دو عدد می‌گردیم که حاصلضرب آن‌ها 6 و مجموعشان 5+ باشد که آن دو عدد 2+ و 3+ هستند. پس داریم:

\( \LARGE x^2 + 5x +6  \)

\( \LARGE = (x+3)(x+2) \)

گاهی به این راحتی دو عدد را نمی‌توان پیدا کرد. به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE x^4 – x^2 – 12  \)

\( \LARGE = (x^{2}….)(x^{2}….) \)

در این مثال به دنبال دو عدد می‌گردیم که حاصلضربشان 12 و مجموعشان 1- شود. اگر نتوانستید ذهنی این کار را انجام دهید ابتدا اعدادی که حاصلضربشان 12 می‌شود را پیدا کنید، یعنی:

\( \LARGE 3 \times 4 \)
\( \LARGE 2 \times 6 \)
\( \LARGE 1 \times 12 \)

حال می‌دانیم در جمع همیشه جواب ،علامت عدد بزرگتر را می‌گیرد پس به عددهای بزرگتر علامت حاصل جمع یعنی 1- را میدهیم. یعنی:

\( \LARGE 3 \times (-4) \)
\( \LARGE 2 \times (-6) \)
\( \LARGE 1 \times (-12) \)

چون علامت 12 یعنی حاصلضرب منفی است پس باید عدد دیگر مثبت باشد. خوب حال دقت کنید مجموع کدام دسته منفی یک می‌شود؟
درست است 4- و 3 پس داریم:

\( \LARGE x^4 – x^2 – 12  \)

\( \LARGE = (x^2 + 3)(x^2 -4) \)

باز در اینجا پرانتز دوم از روش مزدوج باز هم تجزیه می‌شود. پس داریم:

\( \LARGE x^4 – x^2 – 12 \)

\( \LARGE  = (x^2 + 3) \)

\( \LARGE  \times (x-2)(x+2) \)

نکته ۷: پس گاهی از چند اتحاد همزمان برای تجزیه استفاده می‌شود.
حال به مثال دیگری دقت کنید:

\( \LARGE x^2 – 5xy -24y^2 \)

\( \LARGE  = (x…y)(x…y) \)

پس دو جمله غیر‌مشترک باید شامل \( \Large y \) باشند. حال دنبال دو عدد می‌گردیم که ضربشان 24- و جمعشان 5- باشد. پس داریم:

\( \LARGE 3 \times (-8) \)
\( \LARGE 4 \times (-6) \)
\( \LARGE 2 \times (-12) \)
\( \LARGE 1 \times (-24) \)

\( \LARGE  x^2 – 5xy – 24y^2  \)

\( \LARGE   = (x + 3y)(x – 8y) \)

البته وقتی شما در این‌کار مهارت پیدا کردید این مراحل را می‌توانید ذهنی انجام دهید.
چند مثال دیگر در زیر برای شما آوردیم:

(1

\( \LARGE  a^{2}x^2 – 7ax + 10 \)

\( \LARGE  =(ax-2)(ax-5) \)

(2

\( \LARGE  x^3 +3x^2 – 28x \)

\( \LARGE  = x(x^2 + 3x-28) \)

\( \LARGE  = x(x-4)(x+7) \)

(3

\( \LARGE  x^4 -13x^2 +36 \)

\( \LARGE  = (x^2 – 9)(x^2 – 4) \)

\( \LARGE  = (x-3)(x+3)\)

\( \LARGE  \times (x-2)(x+2) \)

(4

\( \LARGE  9x^2 -6x -8 \)

\( \LARGE = (3x+2)(3x-4) \)

در این مثال چون جمله مشترک ضریب دارد، ابتدا جمله \( \Large 6x \) را به جمله مشترک تقسیم می‌کنیم، یعنی:

\( \LARGE  -\frac{6x}{3x} = -2 \)

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش آمار ریاضی دهم 📉 تنها آموزش آمار که باید بخوانید!

پس دنبال دو عدد می‌گیریم که حاصلضرب آن‌ها 8- و جمع آن‌ها 2- باشد. که بعد از ضرب در جمله مشترک \( \Large -6x \) شده.
حال به نمونه دیگری که به کمک اتحاد جمله مشترک می‌توان آن را تجزیه کرد، دقت کنید:

\( \LARGE  3x^2 -4x – 15 \)

در این سه جمله ای اصلاً جمله مجذور کامل نداریم. پس به نظر می‌رسد نمی‌توان آن را از روش جمله مشترک تجزیه کرد. اما به کمک روشی که به روش \( \Large A \) معروف است می‌توان آن را تجزیه کرد. به این صورت که ابتدا اسم این عبارت را \( \Large A \) می‌گذاریم تا یک تساوی داشته باشیم:

تجزیه عبارت‌ های جبری به کمک اتحادها

دنبال دو عدد می‌گیریم که حاصلضرب آن‌ها 45- و مجموع آن‌ها 4- باشد چون \( \Large 3x \) جمله مشترک است و برای همین \( \Large -4 \times 3x \) را یه این صورت نوشتیم داریم:

\( \LARGE  3A = (3x-9)(3x+5) \)

اما ما به جای عبارت داده شده سه برابر آن را تجزیه کردیم. پس از پرانتز اول به اندازه عدد 3 فاکتور می‌گیریم و با ضریب \( \Large A \) ساده می‌کنیم:

\( \LARGE  3A = 3(x-3)(3x+5) \)

\( \LARGE  A = (x-3)(3x+5) \)

نکته ۸: برای تجزیه این عبارت از روش شکستن و دسته‌بندی که در ادامه آموزش می‌دهیم نیز می‌توانید استفاده کنید.

مثالی دیگر برای شما می‌آوریم:

(\( \LARGE 6x^2 + 25x + 14  \))

\( \LARGE  A = 6x^2 + 25x + 14 \)

\( \LARGE  6A = 36x^2  \)

\( \LARGE  + 25 \times (6x) + 84 \)

\( \LARGE  6A = (6x+21)(6x+4) \)

\( \LARGE  6A = 2\times 3(3x+7) \)

\( \LARGE  \times (3x+2) \)

در این مثال باید به اندازه ۶ واحد فاکتور بگیریم. اما چون هیچ کدام از پرانتزها به عدد 6 بخش‌پذیر نبودند از پرانتز اول 3 واحد و از پرانتز دوم 2 واحد فاکتور می‌گیریم.

نکته ۹: هر سه جمله‌ای لزوما تجزیه‌ پذیر نیست. مانند:

\( \LARGE  x^2 – x +12 \)

د) تجزیه عبارت‌ های جبری به روش اتحاد چاق و لاغر

از این روش وقتی می‌توان استفاده کرد که دو جمله داشته باشیم که هر دو مکعب کامل باشند. مانند:

\( \LARGE a^3 – 8 \)

یا

\( \LARGE a^3 + 8  \)

حال برای تجزیه ابتدا کعب یا همان ریشه سوم دو جمله را پیدا می‌کنیم و علامت بین آن‌ها همان علامت بین مکعب‌ها است.

\( \LARGE a^3 – 8 = (a-2)( …..) \)

برای نوشتن سه جمله‌ای این اتحاد از دو جمله ای کمک می‌گیریم، به این صورت که:

تجزیه عبارت‌ های جبری به روش اتحاد چاق و لاغر

\( \LARGE a^3 – 8  \)

\( \LARGE = (a-2)(a^2 + 2a +4   ) \)

مثال:

(1

\( \LARGE a^3 +27  \)

\( \LARGE  = (a+3)(a^2 -3a + 9  ) \)

(2

\( \LARGE a^{3}b^{6} – 1 \)

\( \LARGE = (ab^2 – 1) \)

\( \LARGE \times (a^{2}b^4 + ab^{2} + 1) \)

نکته ۱۰: در مورد اعداد، عدد‌های مکعب کامل را می‌شناسید. مانند:

\( \LARGE 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , ….. \)

در مورد متغیرها اگر توان متغیر مضرب 3 باشد یعنی مکعب کامل است و وقتی کعب یا همان ریشه سوم می‌گیریم توان به 3 تقسیم می‌شود.

نکته ۱۱: در این روش هم گاهی از فاکتور‌گیری همراه این اتحاد استفاده می‌کنیم و تا حد امکان عبارت را تجزیه می‌نماییم.

بیا بیشتر بخونیم:
دامنه و برد تابع به زبان عکس‌ها 😍

(1

\( \LARGE a^4  – 125a \)

\( \LARGE = a(a^3 – 125) \)

\( \LARGE = a(a-5) \)

\( \LARGE \times (a^2 +5a + 25) \)

(2

\( \LARGE a^6  – 1 \)

\( \LARGE = (a^2 – 1)(a^4 + a^2 + 1) \)

\( \LARGE =(a-1)(a+1) \)

\( \LARGE \times (a^4 + a^2 + 1) \)

پ) تجزیه به روش اتحاد مکعب دوجمله‌ای

اگر یک چهار‌جمله‌ای داشته باشیم که دوجمله آن مکعب کامل باشد، حدس می‌زنیم اتحاد مکعب دو‌جمله‌ای است. مانند:

تجزیه عبارت‌ های جبری به روش اتحاد مکعب دوجمله‌ای

ابتدا مکعب دو جمله مکعب کامل را نوشته و بعد بررسی می‌کنیم آیا دو جمله دیگر 3 برابر مربع یکی در دیگر هست یا خیر؟
البته از این تجزیه کمتر استفاده می‌شود و هر چهارجمله‌ای لزوما از این روش تجزیه نمی‌شود.

3-تجزیه عبارت‌ های جبری به روش دسته‌بندی و فاکتور‌گیری

در تجزیه عبارت‌ های جبری ، گاهی در چند جمله‌ای‌ها به خصوص چهار‌جمله‌ای‌ها، در تمام جملات یک عامل مشترک نداریم و می‌توانیم با دسته‌بندی آن‌ها و فاکتور‌گیری از این جملات به جملات مشترک برسیم. به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE a^2  – 2ab + a^{2}b – 2b^2 \)

در اینجا می‌بینید همگی یک عامل مشترک ندارند ولی دوتا از جملات عامل مشترک \( \Large a^2 \) و دوتا از جملات عامل مشترک \( \Large -2b \) را دارند پس خواهیم داشت:

\( \LARGE a^2  – 2ab + a^{2}b – 2b^2 \)

\( \LARGE = a^2(a+b)-2b(a+b) \)

می‌بینید که حال دوجمله‌ای \( \Large (a+b) \) عامل‌مشترک است. پس از این عامل فاکتور می‌گیریم.

\( \LARGE a^2  – 2ab + a^{2}b – 2b^2 \)

\( \LARGE = a^2(a+b)-2b(a+b) \)

\( \LARGE = (a+b)(a^2 – 2b) \)

مثال:

\( \LARGE 2x^3 – 4x^2 – 6xy + 12y \)

\( \LARGE = 2x(x^2 – 3y) \)

\( \LARGE -4(x^2 – 3y) \)

\( \LARGE = (x^2 – 3y)(2x-4) \)

نکته ۱۲: اگر بعد از فاکتورگیری اولیه دیدید دوجمله‌ای‌ها یکی نیستند، دسته‌بندی خود را تغییر دهید.

4-روش شکستن و دسته‌بندی

در تجزیه عبارت‌ های جبری ، گاهی ملاحظه می‌شود برای تجزیه نمی‎‌توانیم مانند روش دسته‌بندی و فاکتورگیری عبارت را تجزیه کنیم. اما با شکستن یک یا دو جمله می‌توان به روش دسته‌بندی و فاکتورگیری عبارت را تجزیه کرد.
به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE 2x^2 + 3x +1 \)

این سه‌جمله‌ای را در ابتدا نمی‌توان دسته بندی کرد ولی می‌توانیم با شکستن دو جمله این کار را انجام دهیم. جمله \( \Large 2x^2 , 3x \) را به شکل زیر می‌شکنیم.

\( \LARGE \rightarrow \begin{cases} 2x^2 = x^2 + x^2 \\ 3x = 2x + x  \end{cases} \)

\( \LARGE 2x^2 + 3x +1 \)

\( \LARGE = (x^2 + 2x +1) \)

\( \LARGE +(x^2 + x)  \)

\( \LARGE = (x+1)^2+x(x+1) \)

\( \LARGE = (x+1)(x+1+x) \)

\( \LARGE = (x+1)(2x+1) \)

به مثال دیگری در این زمینه دقت کنید که در آن فقط یک جمله را می‌شکنیم و به صورت تفریق دو جمله می‌نویسیم.

 

\( \LARGE 3x^2 + x – 4 \)

\( \LARGE = 3x^2 + 4x – 3x – 4 \)

\( \LARGE = (3x^2-3x) \)

\( \LARGE +(4x-4) \)

\( \LARGE = 3x(x-1)+4(x-1) \)

\( \LARGE = (x-1)(3x+4) \)

بیا بیشتر بخونیم:
تابع خطی به سادگی یک خط مستقیم 📈

البته این نمونه‌ها را می‌توانید از روش \( \Large A \) که در تجزیه اتحاد جمله مشترک که به آن اشاره کردیم نیز استفاده کنید.

نکته ۱۳: این دو روش آخر در کتاب درسی و در حد یک مثال آمده است و بیشتر تمرکز کتاب بر روی تجزیه به روش فاکتور‌گیری و اتحاد است.

میخوای ۲۰ بگیری؟

زنگ آخر کلاس تجزیه عبارت‌ های جبری

دوستان با هم در ریاضیکا مبحث تجزیه عبارت‌ های جبری را همراه با بیش از ۲۰ مثال گوناگون یادگرفتیم. اگر علاقمند به مطالعه درس شیرین اتحادها نیز هستید، آن را نیز برای شما در بخش آموزش ریاضی دهم قرار داده‌ایم.

سوال‌هایتان را زیر همین نوشتار در بخش دیدگاه‌ها بنویسید.. کارشناسان ریاضیکا به سوال‌هایتان پاسخ می‌دهند.

به خوندن ادامه بده!اتحادهای جبری 6 رابطهٔ داغِ داغ 🔥عبارت های گویا 📜 به سادگی آب خوردن

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    سید ایمان موسوی نطنزی
    سید ایمان موسوی نطنزی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0