آموزش دنباله حسابی – از همیشه ساده‌تر😉

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 14 بهمن 1398 سید ایمان موسوی نطنزی 817 بازدید
آموزش دنباله حسابی ساده تر از همیشه

خرید درسنامه آموزش دنباله حسابی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


در این پست از مجموعه آموزش‌های ریاضی پایه دهم از سایت ریاضیکا با آموزش دنباله حسابی در خدمت شما دانش‌آموزان هستیم. دنباله حسابی یکی از مهمترین دنباله‌های با الگو در ریاضیات است که به فراوانی در اطراف ما دیده می‌شود. پس داشتن یک الگوی کلی برای تمام دنباله های حسابی و بررسی آن‌ها مهم است که ما در این نوشتار به آن می‌پردازیم. شما در این مطلب (آموزش دنباله حسابی) به طور قطع به جواب تمامی سوال‌هایتان می‌رسید.

در قسمت قبل با الگوی خطی آشنا شدیم. نام دیگر الگوی خطی دنباله حسابی است که تعریف دقیق آن به صورت زیر است.

تعریف دنباله حسابی

دنباله ای عددی که فاصله هر دو جمله متوالی آن یک مقدار ثابت است که به این مقدار ثابت قدر نسبت می گویند. قدر نسبت را با حرف \( \Large d  \) نمایش می‌دهند. قدرنسبت هر عدد حقیقی می‌تواند باشد.
مثال 1: در دنباله های حسابی زیر، جمله اول و قدر نسبت را مشخص کنید؟

حل 1:

(1

\( \LARGE 4 , 7 , 10 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 4 \\ d = 3 \end{cases}  \)

(2

\( \LARGE -1 , -3 , -5 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = -1 \\ d = -2 \end{cases}  \)

(3

\( \LARGE 1 , 1\frac{1}{2} , 2 , 2\frac{1}{2} , 3 ,  … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 1 \\ d = \frac{1}{2} \end{cases}  \)

(4

\( \LARGE 5 , 5 , 5 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 5 \\ d = 0 \end{cases}  \)

(5

\( \LARGE \sqrt2 , 2\sqrt2 , 3\sqrt2 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = \sqrt2 \\ d = \sqrt2 \end{cases}  \)

همانطور که مشاهده می‌کنید قدر نسبت می‌تواند مثبت، منفی، عدد گویا و حتی صفر باشد.
نکته ۱: اگر \( \Large d  \) مقداری مثبت باشد، دنباله صعودی و اگر \( \Large d  \) مقداری منفی باشد، دنبال نزولی است. اگر \( \Large d = 0  \) باشد، دنباله ثابت خواهد بود. پس برای هر دنباله سه حالت وجود دارد:

  • صعودی: قدر نسبت مثبت
  • نزولی: قدر نسبت منفی
  • ثابت: قدر نسبت صفر

نکته ۲: در دنباله هایی با قدر نسبت مساوی این جمله اول است که باعث می‌شود دنباله ها یکسان نباشند. پس در یک دنباله حسابی هم جمله اول و هم قدر نسبت دارای اهمیت هستند.

بیا بیشتر بخونیم:
عبارت های گویا 📜 به سادگی آب خوردن

در این دو دنباله جمله‌های اول یکسان اما قدر نسبت‌ها متفاوت است.

\( \LARGE 5 , 2 , -1 , -4 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 5 \\ d = -3 \end{cases}  \)

\( \LARGE 5 , 8 , 11 , 14 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 5 \\ d = 3 \end{cases}  \)

در این دو دنباله حسابی، قدر نسبت‌‌ها مساوی، ولی جملات اول یکسان نیستند.

\( \LARGE 2 , 4 , 6 , 8 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 2 \\ d = 2 \end{cases}  \)

 

\( \LARGE 1 , 3 , 5 , 7 , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 1 \\ d = 2 \end{cases}  \)

تشخیص دنباله حسابی

یکی از نکات مهم در آموزش دنباله حسابی، تشخیص این دنباله است. برای تشخیص دادن یک دنباله حسابی کافیست دو جفت جمله متوالی را از هم کم کنیم اگر مقداری ثابت شد دنباله حسابی است.

مثال 2: آیا دنباله های زیر حسابی هستند؟

حل 2:

(1

\( \LARGE \frac{5}{3} , \frac{7}{6} , \frac{2}{3}  , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_2 – a_1 = \frac{7}{6} – \frac{5}{3} = -\frac{1}{2} \\ a_3 – a_2 = \frac{2}{3} – \frac{7}{6} = -\frac{1}{2} \end{cases}  \)

دنباله حسابی است.

(2

\( \LARGE \frac{1}{2} , \frac{1}{4} , \frac{1}{6}  , … \)

\( \LARGE \begin{cases} a_2 – a_1 = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} \\ a_3 – a_2 = \frac{1}{6} – \frac{1}{4} = -\frac{1}{12} \end{cases}  \)

دنباله حسابی نیست.


خرید درسنامه آموزش دنباله حسابی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


جمله عمومی دنباله حسابی

فرض کنید، \( \Large a_1  , a_2 , a_3 , … \) جملات متوالی یک دنباله حسابی باشند. پس می‌دانیم:

\( \LARGE \begin{cases} 1) a_2 = a_1 + d \\  2) a_3 = a_2 + d \end{cases}  \)

از رابطه 1 و 2 به رابطه زیر می‌رسیم:

\( \LARGE a_3 = a_1 + 2d  \)

پس به طور کلی داریم:

جمله عمومی دنباله حسابی

پس نتیجه می‌گیریم برای پیدا کردن جمله عمومی یک دنباله حسابی به جمله اول و قدر نسبت نیاز داریم تا با قرار دادن آن‌ها در رابطه زیر جمله عمومی به دست آید:

نوشتن جمله عمومی دنباله حسابی به کمک آموزش دنباله حسابی

مثال 3: جمله عمومی دنباله حسابی زیر را بنویسید؟

(\( \LARGE -7 , -4 , -1 , … \))

حل 3:

\( \LARGE -7 , -4 , -1 , …  \)

\( \LARGE \begin{cases} d = -4 – (-7) = 3 \\ a_1 = -7 \\ a_n = ? \end{cases}  \)

\( \LARGE a_n = a_1 + (n – 1) d \)

\( \LARGE a_n = -7 + (n – 1) \times 3 \)

بیا بیشتر بخونیم:
دامنه و برد تابع به زبان عکس‌ها 😍

پس از مرتب کردن:

\( \LARGE a_n = 3n – 10 \)

یعنی لازم نیست که مانند قسمت قبل \( \Large a  \) , \( \Large b  \) را بدست آوریم. از این به بعد راحتی جمله عمومی و یا جملات دیگر را می‌توانیم بدست آوریم.

مثال 4: در دنباله حسابی زیر جمله بیستم را بدست آورید.

(\( \LARGE 3 , 1 , -1 , … \))

حل 4:

\( \LARGE 3 , 1 , -1 , …  \)

\( \LARGE \begin{cases} d = 1 – 3 = -2 \\ a_1 = 3 \\ a_{20} = ? \end{cases}  \)

\( \LARGE n = 20  \)

\( \LARGE \rightarrow a_{20} = a_1 + 19d \)

\( \LARGE  \rightarrow a_{20} = 3 + 19 \times (-2)  \)

\( \LARGE  \rightarrow a_{20} = -35 \)

پس جمله 20ام عدد 35- است.

 مثال 5: جمله چندم دنباله حسابی زیر 12 است؟

(\( \LARGE 3 , \frac{10}{3} , \frac{11}{3} , … \))

حل 5:

\( \LARGE 3 , \frac{10}{3} , \frac{11}{3} , …  \)

\( \LARGE \begin{cases} d = \frac{11}{3} – \frac{10}{3} = \frac{1}{3}  \\ a_1 = 3 \\ a_n = 12 \rightarrow n = ? \end{cases}  \)

\( \LARGE a_n = a_1 + (n – 1) d \)

\( \LARGE 12 = 3 + (n – 1) \times \frac{1}{3} \)

پس از مرتب کردن:

\( \LARGE \frac{n}{3} = \frac{28}{3} \rightarrow n = 28 \)

مثال 6: در یک دنباله حسابی جمله چهارم 25 ، و جمله دهم 67 است. این دنباله را مشخص کنید.

حل 6:

\( \LARGE \begin{cases} a_4 = 25 \\ a_{10} = 67 \end{cases}  \)

\( \LARGE \rightarrow \begin{cases} a_4 = a_1 + 3d = 25 \\ a_{10} = a_1 + 9d =67  \end{cases}  \)

حل دستگاه:

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 4 \\ d = 7 \end{cases}  \)

پس دنباله را به صورت زیر می‌نویسیم:

\( \LARGE 4 , 11 , 18 , 25  \)

نکته ۳: برای حل مثال‌هایی مانند مثال بالا که دو جملهٔ یک دنباله حسابی داده شده و قدر نسبت و جمله اول را می‌خواهیم، می‌توانیم از رابطهٔ زیر که در اصل از ساده کردن همان دستگاه بالا به دست می‌آید استفاده کنیم:
قدر نسبت دنباله حسابی با تفاضل جملاتش
که در آن \( \Large m , n  \) شماره جملات دنباله و \( \Large a_m , a_n  \) جملات داده شده هستند. به شکلی که \( \Large m > n  \) است.
لازم است به این نکته توجه کنیم که بعد از بدست آوردن \( \Large d  \)، باید با استفاده از رابطه، یکی از جملات داده شده \( \LARGE a_1 \) را به دست آوریم.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش حل نامعادله همراه با رسم نمودار و مثال‌های متنوع📈

مثال 7: جملهٔ پنجم یک دنباله 11- و جملهٔ یازدهم آن 47- است. این دنباله را مشخص کنید.

حل 7:

\( \LARGE \begin{cases} a_5 = -11 \\ a_{11} = -47 \end{cases}  \)

\( \LARGE d = \frac{a_m – a_n}{m – n} \)

\( \LARGE \rightarrow d = \frac{-47 – (-11)}{11 – 5} = -6  \)

\( \LARGE  a_5 = -11    \)

\( \LARGE  \rightarrow a_{5} = a_1 + 4d   \)

\( \LARGE -11 = a_1 +4 \times (-6)  \)

\( \LARGE \rightarrow a_1 = 13  \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 13 \\ d = -6 \end{cases}  \)

\( \LARGE a_n = a_1 + (n – 1)d  \)

\( \LARGE a_n = -6n + 19  \)

نکته ۴: اگر بین دو عدد \( \Large a  \) و \( \Large b  \) چند عدد را طوری درج کنیم که همگی تشکیل دنباله حسابی دهند، می‌گوییم این اعداد واسطه حسابی هستند.

مثال ۸: جمع سه جمله اول یک دنباله حسابی برابر با ۳ است. جمع سه جمله دوم آن نیز برابر با ۳۹ می‌باشد. این دنباله را مشخص کنید. (تمرین ۳ صفحه ۲۴ کتاب ریاضی دهم)

حل ۸:

مثال ۹: بین دو عدد ۱۸ و 62 سه واسطه حسابی درج کنید.

حل ۹:

راه اول:

\( \LARGE 18 , … , … , … , 62  \)

\( \LARGE a_1 = 18 \)

\( \LARGE  a_5 = 62    \)

\( \LARGE  \rightarrow a_{5} = a_1 + 4d   \)

\( \LARGE  62 = 18 + 4d  \)

\( \LARGE \rightarrow d = \frac{62 – 18}{4} = \frac{44}{4} = 11 \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 18 \\ d = 11 \end{cases}  \)

پس داریم:

\( \LARGE 18 , 29 , 40 , 51 , 62  \)

راه دوم:

از رابطه
قدر نسبت دنباله حسابی با تفاضل جملاتش
استفاده کنیم.

 

\( \LARGE 18 , … , … , … , 62  \)

\( \LARGE a_1 = 18 \)

\( \LARGE  a_n = a_1 , a_m = a_5  \)

\( \LARGE d = \frac{a_m – a_n}{m – n} \)

\( \LARGE \rightarrow d = \frac{62 – 18}{4} = \frac{44}{4} = 11 \)

\( \LARGE \begin{cases} a_1 = 18 \\ d = 11 \end{cases}  \)

پس داریم:

\( \LARGE 18 , 29 , 40 , 51 , 62  \)

نوشتن واسطه حسابی با آموزش دنباله حسابی

نکته ۵: اگر \( \Large a , b , c  \) سه جملهٔ متوالی یک دنباله حسابی باشند، آنگاه داریم:

\( \LARGE \begin{cases} b – a = d \\ c – b = d \end{cases}  \)

بیا بیشتر بخونیم:
صفر تا صد توان‌ های گویا 📘 تنها آموزشی که باید بخوانید!

\( \LARGE \rightarrow b – a = c – d  \)

\( \LARGE \rightarrow 2b  = a + c  \)

\( \LARGE \rightarrow b = \frac{a + c}{2}  \)

یعنی در سه جملهٔ متوالی یک دنباله حسابی، جملهٔ وسطی میانگین جملهٔ اول و سوم است و به آن واسطه حسابی می‌گویند.

مثال ۱۰: مقدار \( \Large x \) را چنان بیابید که سه جملهٔ زیر جملات متوالی یک دنباله حسابی باشند.

(\( \LARGE 4x – 1 , x + 2 , 2 – x  \))

حل ۱۰:

\( \LARGE \begin{cases} a = 4x – 1 \\ b = x +2 \\ c = 2 – x  \end{cases}  \)

\( \LARGE b = \frac{a + c}{2}  \)

\( \LARGE x + 2 = \frac{4x – 1 + 2 -x}{2}  \)

\( \LARGE 2x + 4 = 3x + 1  \)

\( \LARGE \rightarrow x = 3  \)

اگر \( \Large x  \) را جایگذاری کنیم، داریم:

\( \LARGE 11 , 5 , -1   \)

دو نکتهٔ مهم مشاوره‌ای از آموزش دنباله حسابی

نکته ۶: دقت کنید با دانستن آموزش دنباله حسابی، تعریف دنباله حسابی و رابطهٔ جملهٔ عمومی دنباله حسابی بدون احتیاج به هیچ کدام از رابطه های دیگر می‌توان به تمام سوالات این قسمت جواب دهیم.
نکته ۷: قبل از آن که در یک موضوع ریاضی به دنبال حل مسائل بیشتر و تست زدن باشیم، باید ابتدا مفهوم اصلی را به خوبی درک کنیم و مسائل ساده را چندین بار و با مثال‌های متعدد حل کنیم. سپس به مسائل پیچیده‌تر و تست زدن بپردازیم.

میخوای ۲۰ بگیری؟

آخر کلاس امروز

آموزش دنباله حسابی یکی از بخش‌های مهم در ریاضی پایه دهم است. ما در این نوشتار با مثال‌های خیلی زیادی این مبحث رو باهم یادگرفتیم. با سه نوع صعودی، نزولی و ثابت آشنا شدیم و تونستیم باهم دنباله‌های مختلفی رو تشخیص بدهیم. همچنین یاد گرفتیم که قدر نسبت و جمله اول یه دنباله رو حساب کنیم.

اگر بعد از مطالعه این نوشتار هر سوالی به ذهنتون رسید، می‌تونید تو بخش دیدگاه‌ها در پایین همین قسمت از ما سوالتون رو بپرسید. ما در ریاضیکا اینجاییم تا به سوالات شما پاسخ بدیم.


خرید درسنامه آموزش دنباله حسابی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید

بیا بیشتر بخونیم:
تابع همانی - همان آموزشی که دنبالش بودید 👌

به خوندن ادامه بده!آموزش الگو و دنباله به راحتی آب خوردن 🌊!آموزش دنباله هندسی 📈👌 – دنباله را اینجا دنبال کنید!

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

  1. محمد گفته :
    18:05 1398/11/27

    خوب بود ممنون

مطالب زیر را حتما بخوانید:

سید ایمان موسوی نطنزی
سید ایمان موسوی نطنزی

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

قوانین ارسال دیدگاه در ما

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


Have no product in the cart!
0