آموزش رسم سهمی به همراه ۲ روش کاربردی ⚙️

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 10 اسفند 1398 سید ایمان موسوی نطنزی 2372 بازدید
آموزش رسم سهمی به همراه ۲ روش کاربردی


خرید درسنامه آموزش رسم سهمی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید



آموزش رسم سهمی و رسم نمودار معادلات و توابع (که در فصل بعدی از کتاب آموزش ریاضی دهم با آن‌ها آشنا می‌شویم) در ریاضیات بسیار حائز اهمیت است. زیرا ما با استفاده از نمودار یک معادله به سوالات زیادی می‌توانیم پاسخ دهیم و حتی ریشه‌های آن را پیدا کنیم. همینطور به تابع بودن یا نبودن آن را پی می‌بریم. قبلاً دیدیم که نمودار معادلات درجه اول به صورت یک خط راست است. در مبحث آموزش رسم سهمی باهم یاد خواهیم گرفت که نمودار معادلات درجه دوم، یک منحنی به نام سهمی می‌شود.

آموزش رسم سهمی

رسم نمودار معادله درجه دوم ساده \( \LARGE y = x^2 \)

از نکات مهم و ساده‌ای که در آموزش رسم سهمی یاد می‌گیریم این است یکی از ساده‌ترین روش‌های رسم نمودار هر معادله و تابعی نقطه‌یابی است. یعنی به \( \Large x \) مقدار داده و مقادیر \( \Large y  \) را پیدا می‌کنیم. به جدول زیر دقت کنید.

2 1 \( \Large \frac{1}{2} \) \( \Large \frac{-1}{2} \) -1 -2 x
4 1 \( \Large \frac{1}{4} \) \( \Large \frac{1}{4} \) 1 4 y

اگر این نقاط را روی محور مختصات پیدا می‌کنیم نمودار این معادله یک منحنی خواهد شد که آن را سهمی می‌نامیم.

نمودار این معادله یک منحنی می‌شود که آن را سهمی می‌نامیم.

در این سهمی، مبدأ را راس سهمی می‌گویند. دهانه سهمی رو به بالا است و محور عرض‌ها محور تقارن این نمودار خواهد بود. در اینجا \( \Large a \) یعنی ضریب \( \Large x^2 \) مثبت است. در ادامه می‌خواهیم قرینه معادله بالا را رسم کنیم.

رسم نمودار معادله درجه دوم ساده \( \LARGE y = -x^2 \)

2 1 \( \Large \frac{1}{2} \) \( \Large \frac{-1}{2} \) -1 -2 x
-4 -1 \( \Large \frac{-1}{4} \) \( \Large \frac{-1}{4} \) -1 -4 y

در این نمودار مبدا راس سهمی ولی دهانه سهمی رو به پایین می‌باشد.

در مبحث آموزش رسم سهمی می‌بینیم مبدأ رأس سهمی است. ولی دهانهٔ سهمی رو به پایین و باز محور عرض‌ها محور تقارن نمودار است. در اینجا \( \Large a \) بعنی ضریب \( \Large x^2 \) منفی است.
پس به طور کلی نمودار هر معادله \( \Large y = ax^2 + bx + c \) که در آن \( \Large a , b , c \) اعداد حقیقی هستند و \( \Large a \neq 0 \) یک سهمی می‌شود. توجه به سه مورد زیر بسیار مهم و ضروری است:

  1. اگر \( \Large a > 0 \) باشد نمودار ∪ و راس سهمی پایین‌ترین نقطه نمودار است.
  2. اگر \( \Large a < 0 \) باشد نمودار ∩ می‌باشد و راس بالاترین نقطه نمودار است.
  3. همچنین خط عمودی که از رأس سهمی می‌گذرد محور تقارن سهمی نامیده می‌شود.

حال این سوال پیش می‌آید که ما هر بار برای رسم نمودار یک معادله درجه دوم باید این همه نقاط پیدا کنیم و راه ساده‌تری وجود ندارد؟ بله، وجود دارد. در قسمت پایین از آموزش رسم سهمی می‌توانید ببینید:

بیا بیشتر بخونیم:
روابط بین نسبت های مثلثاتی : 💪 یاد بگیرید، حفظ کنید، ۲۰ بگیرید!

روش‌های رسم نمودار معادله درجه دوم

به طور کلی می‌توان دو روش مختلف را برای رسم نمودار معادله درجه دوم به خاطر سپرد:

  1. روش مربع کامل برای رسم نمودار معادله درجه دوم
  2. پیدا کردن راس از رابطه \( \LARGE (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}) \)

1- روش مربع کامل برای رسم نمودار معادله درجه دوم

ابتدا باید توضیح دهیم معادلات درجه دوم به دو فرم نوشته می‌شوند:

  • فرم گسترده

    \( \LARGE y = ax^2 + bx + c    \)

    \( \LARGE   a \neq 0   \)

  • فرم تجزیه شده یا مربع کامل

    \( \LARGE y = a(x-h)^2 + k    \)

    \( \LARGE  a \neq 0   \)

اگر معادله داده شده برای رسم نمودار به فرم تجزیه شده یا همان مربع کامل باشد، کار برای ما راحت‌تر است. ابتدا رأس را که برابر است با
\( \Large (-h , k) \) پیدا کرده و در وسط جدول نوشته و با دو نقطه کمکی دیگر که معمولاً یک واحد قبل و بعد \( \Large h \) را برای \( \Large x \) در نظر گرفته، پیدا می‌کنیم. خط \( \Large x = -h \) محور تقارن است.
به مثال زیر دقت کنید.

مثال ۱: نمودار معادله مقابل را رسم کنید؟ \( \LARGE y = (x+1)^2 – 3 \)

حل ۱:

\( \Large 0 \) -1 -2 x
-2 -3 -2 y

راس سهمی \( \LARGE S:(-1,-3) \)

دهانه رو به بالا \( \LARGE a>0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=-1 \)

روش مربع کامل برای آموزش رسم سهمی. (معادله درجه دوم)

در واقع ما رأس و دو نقطه متقارن با آن را پیدا کرده و به راحتی نمودار را رسم می‌کنیم. در این مثال \( \Large S:(-1,-3) \) و چون \( \Large a > 0 \) است نمودار رو به بالا است. همچنین خط \( \Large x = -1 \) محور تقارن نمودار خواهد بود.

مثال ۲: نمودار تابع روبرو را رسم کنید؟ \( \LARGE y = -(x-2)^2 \)

حل ۲:

3 2 1 x
-1 \( \Large 0 \) -1 y

راس سهمی \( \LARGE S:(2,0) \)

دهانه رو به پایین \( \LARGE a<0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=2 \)

روش مربع کامل برای آموزش رسم سهمی. (معادله درجه دوم)

اما اگر معادله درجه دوم ما به فرم گسترده \( \Large y = ax^2 + bx + c \) باشد، ابتدا آن را به فرم تجزیه شده یا همان مربع کامل در می‌آوریم. اجازه دهید با یک مثال ابتدا موضوع را مطرح می‌کنم.

مثال ۳: نمودار تابع \( \Large y = x^2 -2x + 3 \) را رسم کنید؟

حل ۳:
همانطور که در روش مربع کامل در حل معادلات درجه دوم گفتیم برای اینکه این معادله به صورت مربع کامل شود، نباید \( \Large x^2 \) ضریب غیر از یک داشته باشد. سپس ضریب \( \Large x \) را نصف و به توان دو می‌رسانیم. عدد به دست آمده را اضافه و کم می‌کنیم. در واقع ما به اندازه صفر اضافه کرده‌ایم ولی این کار به تجزیه معادله کمک می‌کند. یعنی:

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش آمار ریاضی دهم 📉 تنها آموزش آمار که باید بخوانید!

\( \LARGE y = x^2 -2x + 3 \)

\( \LARGE y = (x^2 -2x+1)-1+3 \)
\( \LARGE y = (x-1)^2 + 2 \)

حال به همان روش که در بالا گفتیم نمودار را رسم می‌کنیم.

2 1 \( \Large 0 \) x
3 2 3 y

رأس سهمی \( \LARGE S:(1,2) \)

دهانه رو به بالا \( \LARGE a>0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=1 \)

روش مربع کامل برای رسم معادله درجه دوم.

نکته ۱: نقاط کمکی برای بهتر رسم کردن است و گرنه با همان راس و اطلاعات بدست آمده به راحتی نمودار رسم می‌شود.

مثال ۴: نمودار تابع \( \Large y = -x^2 + x \) را رسم کنید؟

حل ۴:

در این مثال ابتدا از منفی فاکتور می‌گیریم، سپس تجزیه می‌کنیم.

\( \LARGE y = -(x^2 – x) \)

\( \LARGE y = -(x^2 – x + \frac{1}{4} – \frac{1}{4}) \)

\( \LARGE y = -(x – \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} \)

در این مثال برای پیدا کردن نقطه‌های کمکی، برای راحت‌تر کردن کار، می‌توانیم نیم واحد قبل و بعد را در نظر بگیریم.

\( \Large 0 \) \( \LARGE \frac{1}{2} \) \( \Large 0 \) x
\( \Large 0 \) \( \LARGE \frac{1}{4} \) \( \Large 0 \) y

رأس سهمی \( \LARGE S:(\frac{1}{2},\frac{1}{4}) \)

دهانه رو به پایین \( \LARGE a<0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=\frac{1}{2} \)

روش مربع کامل برای رسم معادله درجه دوم.

مثال ۵: نمودار \( \Large y = 3x^2 – 6x + 1 \) را رسم کنید؟

حل ۵:
در این مثال نیز چون \( \Large x^2 \) ضریب دارد، ابتدا از 3 فاکتور می‌گیریم و سپس تجزیه می‌کنیم.

\( \LARGE y = 3(x^2 – 2x + \frac{1}{3}) \)

\( \LARGE y = 3(x^2 – 2x + 1 – 1 + \frac{1}{3}) \)

\( \LARGE y = 3(x-1)^2 –  \frac{2}{3} \)

2 1 \( \Large 0 \) x
\( \LARGE \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \) \( \LARGE -\frac{2}{3} \) \( \LARGE \frac{7}{3} \) y

رأس سهمی \( \LARGE S:(1, -\frac{2}{3}) \)

دهانه رو به بالا \( \LARGE a>0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=1 \)

رسم معادله درجه دو.

نکته آموزش رسم سهمی ۲: وقتی \( \Large a \) عدد بزرگتر از 1 یا کوچکتر از 1- باشد دهانه سهمی بسته‌تر می‌شود.
نکته آموزش رسم سهمی ۳: وقتی \( \Large a \) عدد بین 0 و 1 باشد یا بین 0 و 1- دهانه سهمی بازتر می‌شود.

2- پیدا کردن راس از رابطه \( \LARGE (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}) \)

اگر معادله درجه دوم به فرم گسترده را بخواهیم به فرم مربع کامل بنویسیم خواهیم داشت:

\( \LARGE y = ax^2 + bx +c \)

\( \LARGE y = a(x^2 + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a}) \)

\( \LARGE y = a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2 }{4a^2} \)

\( \LARGE – \frac{b^2 }{4a^2}+\frac{c}{a}) \)

\( \LARGE y = a(x^2 + \frac{b}{2a} x)^2 \)

\( \LARGE  + \frac{4ac-b^2 }{4a} \)

خب در این رابطه \( \LARGE h = – \frac{b}{2a} \) و \( \LARGE k =  \frac{4ac-b^2}{4a} – \frac{\Delta}{4a} \) خواهند بود.
یعنی راس سهمی برابر است با: \( \LARGE S : (-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}) \)
خب از این پس وقتی معادله درجه دومی را بخواهیم رسم کنیم که به فرم گسترده داده شده بود، دیگر نیازی به مربع کامل کردن آن نیست. ما می‌توانیم از روابط بالا برای پیدا کردن رأس سهمی استفاده می‌کنیم.
نکته ۴: آموزش رسم سهمی می‌گوید، شما با داشتن رابطه \( \LARGE x_s = – \frac{b}{2a} \) به تنهایی نیز می‌توانید نمودار معادله درجه دوم را رسم کنید. وقتی \( \Large x_s \) یعنی طول رأس را پیدا کردید با جایگذاری آن در معادله \( \Large y \) رأس را نیز می‌توانید به سادگی پیدا کنید.

بیا بیشتر بخونیم:
اتحادهای جبری 6 رابطهٔ داغِ داغ 🔥

مثال ۶: نمودار تابع \( \Large y = x^2 + 4x +1 \) را رسم کنید؟

حل ۶:

\( \LARGE x_s = -\frac{b}{2a} =-\frac{4}{2}=-2  \)

جایگذاری در معادله:

\( \LARGE y_s = (-2)^2 + 4(-2) +1  \)

\( \LARGE y_s = -3  \)

-1 -2 -3 x
-2 -3 -2 y

رأس سهمی \( \LARGE S:(-2,-3) \)

دهانه رو به بالا \( \LARGE a>0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=-2 \)

آموزش رسم سهمی به کمک پیدا کردن راس.

مثال ۷: نمودار معادله \( \Large y = 3x^2 – 2 \) را رسم کنید؟

حل ۷:

\( \LARGE x_s = -\frac{b}{2a} =\frac{0}{6}=0  \)

جایگذاری در معادله:

\( \LARGE y_s = 3(0)^2 – 2=-2  \)

1 \( \Large 0 \) -1 x
1 -2 1 y

رأس سهمی \( \LARGE S:(0,-2) \)

دهانه رو به بالا \( \LARGE a>0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=0 \)

آموزش رسم سهمی به کمک پیدا کردن راس.

مثال ۸: نمودار یک سهمی محور \( \Large y \)ها را در نقطه‌ای به عرض 2 و محور \( \Large x \)ها را در نقاط 1- و 2 قطع کرده است معادله این سهی را بنویسید و آن را رسم کنید؟

حل ۸:

می‌دانیم معادله سهمی یا همان معادله درجه دوم برابر است با:

\( \LARGE y = ax^2 + bx + c  , (1)  \)

در این تمرین در واقع به سه نقطه یا سه مقدار برای \( \Large x , y \) داده شده است. یعنی داریم:

\( \LARGE (0,2)  \)

\( \LARGE \rightarrow 2 = a(0)^2 + b(0) + c   \)

\( \LARGE \rightarrow  c = 2   \)

حال به جای \( \Large c \) عدد 2 قرار می‌دهیم.

\( \LARGE (2,0)  \)

\( \LARGE  0 = a(2)^2 + b(2) + 2   \)

\( \LARGE \rightarrow  4a+2b=-2   \)

\( \LARGE (-1,0)  \)

\( \LARGE  0 = a(-1)^2 + b(-1) + 2   \)

\( \LARGE \rightarrow  a-b=-2   \)

حال این دو معادله در یک دستگاه حل می‌کنیم:

\( \LARGE \begin{cases} 4a+2b=-2 \\ a-b=-2 \end{cases} \)

معادله پایین را در یک 2 ضرب می‌کنیم.

\( \LARGE \begin{cases} 4a+2b=-2 \\ 2a-2b=-4 \end{cases} \)

\( \LARGE \rightarrow  a = -1 , b = 1   \)

\( \LARGE x_s = -\frac{b}{2a} =-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2} \)

جایگذاری در معادله:

\( \Large y_s =-(\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}+2  \)

\( \LARGE y_s =\frac{9}{4} \)

1 \( \LARGE \frac{1}{2} \) \( \Large 0 \) x
2 \( \LARGE \frac{9}{4} \) 2 y
بیا بیشتر بخونیم:
آموزش فاکتوریل - قدرتتو چند برابر کن❗️❗️❗️

راس سهمی \( \LARGE S:( \frac{1}{2},\frac{9}{4}) \)

دهانه رو به پایین \( \LARGE a<0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=\frac{1}{2} \)

آموزش رسم معادله درجه دو به کمک پیدا کردن راس.

حل معادله درجه دوم از طریق آموزش رسم سهمی

با دانشی که در آموزش رسم سهمی بدست می‌آوریم، قادر خواهیم بود یک معادله درجه دوم را به راحتی حل کنیم. البته گاهی در این روش اگر جواب‌ها عدد صحیح نباشند، مقدار دقیق آن‎‌ها مشخص نیست. ولی به راحتی از روی رسم نمودار معادله درجه دوم می‌تواند تعداد جواب و علامت جواب‌ها را متوجه شد.

  • اگر معادله درجه دوم دو جواب داشته باشد، یعنی \( \Large \Delta>0 \) ، نمودار آن‌ها محور \( \Large x \)ها را در نقاطی که همان جواب‌ها هستند قطع می‌کند. یعنی داریم:
    اگر معادله درجه دوم دو جواب داشته باشد، نمودار آن‌ها محورxها را در نقطه که همان جواب‌ها هستند قطع می‌کند.

که علامت جواب‌ها از روی قسمتی که نمودار محور \( \Large x \)ها را قطع کرده می‌توان فهمید.

  • اگر معادله درجه دوم یک جواب داشته باشد یعنی \( \Large \Delta=0 \)، نمودار آن در یک نقطه که همان ریشه معادله است بر محور \( \Large x \)ها مماس می‌شود. یعنی داریم:
    اگر معادله درجه دوم یک جواب داشته باشد یعنی نمودار آن در یک نقطه که همان ریشه معادله است بر محور xها مماس می‌شود.
  • اگر معادله درجه دوم اصلا جواب نداشته باشد، یعنی \( \Large \Delta<0 \)، آنگاه نمودار اصلا محور \( \Large x \)ها را قطع نمی‌کند. یعنی داریم:اگر معادله درجه دوم اصلا جواب نداشته باشد، آنگاه نمودار اصلا محورxها را قطع نمی‌کند.

مثال ۹: با رسم نمودار معادله زیر جواب‌ها را پیدا کنید؟

حل ۹:

\( \LARGE (x^2-2x-3=0) \)

\( \LARGE x_s = -\frac{b}{2a} =\frac{2}{2}=1 \)

جایگذاری در معادله:

\( \LARGE y_s = (1)^2-2(1)-3  \)

\( \LARGE y_s =  -4 \)

2 1 \( \Large 0 \) x
-3 -4 -3 y

رأس سهمی \( \LARGE S:(1,-4) \)

دهانه رو به بالا \( \LARGE a>0 \)

محور تقارن \( \LARGE x=1 \)

پیدا کردن ریشه معادله درجه دوم به کمک رسم سهی.

همانطور که می‌بینید نمودار محور\( \Large x \)ها را در دونقطه قطع کرده و یکی از جواب‌ها منفی و دیگری مثبت است حال این معادله را از روش کلی حل می‌کنیم.

\( \LARGE \Delta = b^2-4ac  \)

\( \LARGE \Delta 4+12=16 \)

\( \LARGE x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} =\frac{2\pm \sqrt{4} }{2} \)

\( \LARGE x_1 = 3 , x_2 = -1 \)

نکته ۵: نقطه‌ای که نمودار محور \( \Large y \)ها را قطع می‌کند، همان مقدار \( \Large c \) است. در مثال بالا \( \Large c = -3 \) است. نمودار نیز محور \( \Large y \)ها را در نقطه 3- قطع کرده است.

جمع‌بندی آموزش رسم سهمی با یک ویدیو کوتاه

آخر کلاس آموزش رسم سهمی

روش دیگر رسم سهمی یعنی انتقال را می‌توانید در پست‌های رسم توابع مشاهده کنید. برای این بخش از آموزش ریاضی دهم، نمونه سوال ریاضی دهم نیز در سایت برای علاقمندان قرار داده شده است که می‌توانید از بخش محصولات سایت آن‌ها را ببینید.

در صورتیکه که هرگونه سوالی از آموزش رسم سهمی داشتید، می‌توانید سوال خود را در بخش دیدگاه‌ها در پایین همین نوشتار مطرح کنید.  گروه آموزشی ریاضیکا به سوال‌هایتان پاسخ می‌دهد.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش حل نامعادله همراه با رسم نمودار و مثال‌های متنوع📈

میخوای ۲۰ بگیری؟



خرید درسنامه آموزش رسم سهمی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


به خوندن ادامه بده!آموزش حل معادله درجه دو + 4 روش‌ مختلف حل آن💪تعیین علامت عبارت های جبری به زبان ساده ➕ ➖

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی دهم به شما پیشنهاد می‌دهیم:

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    سید ایمان موسوی نطنزی
    سید ایمان موسوی نطنزی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0