آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم : زیر رادیکال نمون 💪 !

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دهم 16 فروردین 1399 سید ایمان موسوی نطنزی 693 بازدید
آموزش ریشه گیری دهم

آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم مبحثی مهم در ریاضیات، هندسه، فیزیک و شیمی و هر جایی که با حساب کردن سر و کار داریم است. بنابراین یادگیری و تبحر در ساده کردن رادیکال‌ها و کار با آن بسیار مهم است. با توجه به اینکه در تست‌ها نیز جواب‌ها به ساده‌ترین شکل ممکن نوشته می‌شود، لزوم یادگیری بهتر آن بیشتر می‌گردد.

ریشه دوم در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

به عبارت زیر دقت کنید:

\( \LARGE \begin{cases} (-2)^2=4 \\ (2)^2=4 \end{cases}   \)

بنابر تعریف 2 و 2- ریشه‌های دوم عدد 4 هستند. اما بنابه قرارداد وقتی می‌نویسیم \( \Large \sqrt 4  \)، آن ریشه‌ای که مثبت است را در نظر می‌گیریم و می‌دانیم ریشه دوم یا جذر عدد 4، ۲ می‌شود( \( \Large \sqrt 4 = 2  \) ).

دقت کنید اعداد منفی ریشه دوم ندارند. چون هیچ عددی وجود ندارد که در خودش ضرب شده و منفی شود. به مثال‌های زیر دقت کنید:

81 16 4 عدد
۹ , – ۹ ۴ , – ۴ ۲ , – ۲ ریشه‌های دوم

پس به طور کلی هر عدد مثبت دو ریشه دوم دارد که قرینه یکدیگر هستند.

به مثال‌های زیر دقت کنید:

(1

\( \LARGE \sqrt 16 = 4  \)

\( \LARGE \rightarrow \sqrt {2^4} = 4  \)

(2

\( \LARGE \sqrt {(-2)^2} = \sqrt 4 = 2  \)

\( \LARGE \rightarrow \sqrt {(-2)^2} = \left| -2 \right|  \)

پس داریم:

ریشه دوم در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

نکته ۱ در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم: رادیکال‌های زیر را بی‌معنی می‌دانیم. زیرا مقادیر زیر رادیکال منفی هستند.

(1

\( \LARGE \sqrt {-25}  \)

(2

\( \LARGE \sqrt {(-2)^3}  \)

(3

\( \LARGE \sqrt {3 \times (-2)}  \)

مقدار تقریبی ریشه دوم اعدادی که مجذور کامل نیستند.

می‌دانیم ریشه دوم همه اعداد مثبت یک عدد صحیح نمی‌شود. مثلاً \( \Large \sqrt 20  \). اما می‌توانیم مقدار تقریبی ریشه دوم این عدد را پیدا کنیم.

عدد 20 بین دو عدد مجذور کامل 16 و 25 قرار دارد. پس ریشه دوم یا همان جذرش بین جذر این دو عدد یعنی 4 و 5 قراردارد. یعنی:

\( \LARGE \sqrt {16} < \sqrt {20} < \sqrt {25}  \)

بیا بیشتر بخونیم:
اتحادهای جبری 6 رابطهٔ داغِ داغ 🔥

\( \LARGE 4 < \sqrt {20} < 5  \)

حال اگر بخواهیم مقدار تقریبی آن را تا یک رقم اعشار پیدا کنیم، کافیست حدس بزنیم. چون 20 فاصله‌اش تا 16 و 25 تقریباً یک اندازه است، پس حدس می‌زنیم جذر آن تقریباً \( \Large 4.5  \) شود. حال حدس خود را امتحان می‌کنیم.

\( \LARGE (4.5)^2=20.25  \)

چون مقدار این عدد از 20 بیشتر شد، پس حدس خود را به \( \Large 4.4  \) تغییر می‌دهیم.

\( \LARGE (4.4)^2=19.36   \)

\( \LARGE \rightarrow \sqrt 20 = 4.4  \)

به همین ترتیب می‌توانیم جذر تقریبی را تا چند رقم اعشار بدون استفاده از ماشین حساب، و یا با استفاده از راه‌حل‌هایی که در پایه‌های قبل خواندیم حدس بزنیم.

ریشه ‌سوم  در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

می‌دانیم رابطهٔ زیر برقرار است:

\( \Large 3^3=27 , (-3)^3=-27  \)

پس می‌توانیم بنویسیم:

\( \LARGE \sqrt [3] {27} =3 , \sqrt [3] {-27} =-3 \)

و می‌خوانیم ریشه سوم عدد 27 می‌شود 3، و ریشه سوم 27- می‌شود 3-. نتیجه:

پس هر عدد (چه مثبت و چه منفی) یک ریشه سوم دارد.

نکتهٔ ۲ در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم: به ریشه سوم، کعب نیز گفته می‌شود. یعنی \( \LARGE \sqrt [3] {27} =3 \) خوانده می‌شود ،کعب 27 می‌شود 3.

\( \LARGE 2^3 = 8 \Leftrightarrow \sqrt [3] {8}=2 \)

\( \LARGE (-2)^3 = -8 \Leftrightarrow \sqrt [3] {-8}= -2 \)

و به طور کلی می‌توان گفت هر عدد یک ریشه سوم دارد:

ریشه ‌سوم در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

 

مقدار تقریبی اعدادی که ریشه سوم کامل ندارند

ریشه سوم همه اعداد، عدد صحیح نمی‌شود. مانند: \( \LARGE \sqrt [3] {90}  \). اما می‌توان مقدار تقریبی ریشهٔ سوم این اعداد را پیدا کنیم. می‌دانیم 90 بین دو عدد مکعب کامل  64 و 125 قراردارد. پس ریشه سوم آن نیز بین دو عدد 4 و 5 خواهد بود. یعنی:

\( \LARGE \sqrt [3] {64} < \sqrt [3] {90} < \sqrt [3] {125}  \)

\( \LARGE 4 < \sqrt [3] {90} < 5  \)

حال اگر بخواهیم تا یک رقم اعشار  آن را محاسبه کنیم، می‌بینیم فاصله 90 تا 64 کمتر است. پس حدس می‌زنیم ریشهٔ سوم آن تقریباً \( \Large  4/2  \) خواهد بود.

بیا بیشتر بخونیم:
گویا کردن مخرج‌ گنگ 🤔 مثل آب خوردن!

\( \LARGE \sqrt [3] {90} \simeq 4.2  \)

\( \LARGE \rightarrow (4.2)^3=74.088  \)

چون این عدد فاصله‌اش با 90 زیاد است، به حدس خود اضافه می‌کنیم.

\( \LARGE \sqrt [3] {90} \simeq 4.4  \)

\( \LARGE \rightarrow (4.4)^3=85.184  \)

اگر باز به حدس خود اضافه کنیم، خواهیم داشت:

\( \LARGE \sqrt [3] {90} \simeq 4.5  \)

\( \LARGE \rightarrow (4.5)^3=91.125  \)

چون این عدد از 90 بیشتر است، پس قابل قبول نیست. پس نتیجه می‌گیریم ریشه سوم 90 تا یک رقم اعشار \( \Large  4.4  \) خواهد بود.

مقدار تقریبی اعدادی که ریشه سوم کامل ندارند

ریشه چهارم و ریشه‌های زوج

می‌دانیم رابطه زیر برقرار است:

\( \LARGE \begin{cases} (-2)^4=16 \\ (2)^4=16 \end{cases}   \)

پس 2 و 2- ریشه‌های چهارم عدد 16 هستند. اما بنابه قرارداد وقتی می‌نویسیم \( \LARGE \sqrt [4] {16} \) و می‌خوانیم ریشه چهارم عدد 16، آن ریشه‌ای که مثبت است را در نظر می‌گیریم. یعنی \( \LARGE \sqrt [4] {16} =2 \). پس هر عدد مثبت دو ریشه چهارم دارد که قرینهٔ یکدیگرند. به همین ترتیب می‌توان ریشه ششم، هشتم و غیره را تعریف کرد و نتیجه بگیریم:

هر عدد مثبت دارای دو ریشه زوج است که قرینه یکدیگرند.

ریشه‌ی پنجم و ریشه‌های فرد

می‌دانیم

\( \LARGE \begin{cases} (3)^5=243 \\ (-3)^5=-243 \end{cases}   \)

\( \LARGE \rightarrow \begin{cases} \sqrt [5] {243} = 3 \\ \sqrt [5] {-243} = -3 \end{cases}   \)

پس هر عدد چه منفی چه مثبت دارای یک ریشه پنجم است. که اگر عدد مثبت باشد ریشه پنجم آن مثبت و اگر منفی باشد ریشه پنجم آن منفی است. این مطلب برای تمام توان‌های فرد برقرار است.

پس به طور کلی داریم:

هر عدد (چه مثبت و چه منفی) فقط دارای یک ریشه فرد می‌باشد.

تعریف ریشه n اُم

اگر \( \Large n \geq 2  \) یک عدد طبیعی باشد، \( \Large b \) را یک ریشه \( \Large n  \) اُم عدد \( \Large a  \) می‌نامیم. هرگاه \( \Large b^n = a \) یا به زبان ریاضی داریم:

\( \LARGE b^n = a \Leftrightarrow  \sqrt [n] {a} = b  \)

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش فاکتوریل - قدرتتو چند برابر کن❗️❗️❗️

نکته ۳ در آموزش ریشه گیری دهم: دقت داشته باشید در این تعریف وقتی n یک عدد زوج است، a باید مثبت باشد. چون اعداد منفی ریشهٔ زوج ندارند.

همین طور داریم:

تعریف ریشه n ام در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

نکته ۴: هرگاه می‌نویسیم \( \Large \sqrt [n] {a}  \) ، اگر \( \Large n  \) زوج باشد، ما \( \Large a  \) را مثبت یا صفر در نظر می‌گیریم.

قوانین رادیکال‌ها در آموزش ریشه گیری دهم

قوانین رادیکال‌ها

قوانین رادیکال‌ها در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

قوانین رادیکال‌ها

قوانین رادیکال‌ها در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

قوانین رادیکال‌ها در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

کاربرد ریشه‌گیری

شاید این سوال برایتان پیش بیاید که دانستن این مطالب چه کاربردی دارد؟ در خیلی از معادلات در درس‌های مختلف ما به دنبال ریشه‌های مختلف اعداد هستیم. به مثال زیر دقت کنید:

\( \LARGE x^2=9  \)

\( \LARGE \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \)

معنای این معادله این است که چه اعدادی به توان دو برسند 9 خواهند شد. می‌دانیم هم 3 و هم 3- به توان دو برسند 9 می‌شوند. یعنی 3 و 3- ریشه‌های دوم 9 هستند.

چند مثال دیگر برای فهم بهتر از آموزش ریشه گیری دهم 

(1

\( \LARGE x^2=5  \)

ریشه دوم می‌گیریم

\( \LARGE \rightarrow x=  \pm \sqrt 5  \)

(2

\( \LARGE x^4=16  \)

ریشه چهارم می‌گیریم

\( \LARGE \rightarrow  x = \pm \sqrt {16} = \pm 2 \)

(3

\( \LARGE x^3=27  \)

ریشه سوم می‌گیریم

\( \LARGE \rightarrow  x=3 \)

(4

\( \LARGE x^3=-64  \)

ریشه سوم می‌گیریم

\( \LARGE \rightarrow x = -4 \)

(5

\( \LARGE x^6=64  \)

ریشه ششم می‌گیریم

\( \LARGE \rightarrow x= \pm \sqrt {64} = \pm 4 \)

(6

\( \LARGE x^5=-243  \)

ریشه سوم می‌گیریم

\( \LARGE \rightarrow  x=-3 \)

مسئله 1: مساحت مربعی 81 مترمربع است. طول ضلع مربع چقدر است؟

یک ضلع به توان 2 = S

\( \LARGE \rightarrow  x^2=81 \)

\( \LARGE \rightarrow  x=\pm 9 \)

امّا می‌دانیم که ضلع مربع منفی نمی‌تواند باشد. پس فقط جواب \( \Large x=9  \) قابل قبول است.

مسئله 2: حجم منبع آبی به شکل مکعب 300 لیتر است. ارتفاع این مکعب را تا یک رقم اعشار حساب کنید.

\( \LARGE V=x^3 \)

\( \LARGE \rightarrow  x^3=300 \)

\( \LARGE \rightarrow  x=\sqrt [3] {300} \simeq 6/6\)

\( \LARGE \sqrt [3] {216} < \sqrt [3] {300} < \sqrt [3] {343}  \)

بیا بیشتر بخونیم:
تابع چند جمله‌ ای به زبان ساده 📝

\( \LARGE 6< \sqrt [3] {300} < 7  \)

چون 300 به 343 نزدیک‌تر است، پس حدس می‌زنیم اعشار آن \( \Large 6.7  \) باشد. اما \( \Large (6.7)^3=300.763  \) پس چون از 300 بیشتر است یک رقم کم می‌کنیم.

\( \Large (6/6)^3=487/496  \)

مسئله ۳: جمله پنجم یک دنباله هندسی 64 و جمله دهم آن 2048 است. قدرنسبت این دنباله چقدر است؟

\( \LARGE \begin{cases} a^5=a_1 r^4 \\ a_{10}=a_1 r^9 \end{cases}   \)

\( \LARGE \rightarrow \begin{cases} 61=a_1 r^4 \\ 2048 = a_1 r^9 \end{cases}   \)

\( \LARGE \rightarrow  \frac{a_{10}}{a^5}=\frac{a_1 r^9}{a_1 r^4 }=\frac{2048}{64}  \)

\( \LARGE \rightarrow  r^5=32  \)

\( \LARGE \rightarrow r=\sqrt [5] {32} = \sqrt [5] {2^5} = 2   \)

چند نکته در مورد ساده کردن رادیکال‌ها

  1. برای ساده کردن رادیکال‌ها، اگر زیر رادیکال عدد داشتیم ابتدا آن را تجزیه می‌کنیم. اگر توان عدد حاصل از فرجه کمتر باشد عدد از زیر رادیکال ساده نمی‌شود.

    \( \LARGE \sqrt [6] {32} = \sqrt [6] {2^5}  \)

    ساده نمی‌شود.

    \( \LARGE \sqrt [5] {a^2 b^3}  \)

    ساده نمی‌شود.

  2. اگر توان عدد تجزیه شده یا متغیر زیر رادیکال بر فرجه بخش‌پذیر باشد، عدد یا متغیر ساده شده و از زیر رادیکال بیرون می‌آید و توانش به فرجه تقسیم می‌گردد.

    (1

    \( \LARGE \sqrt [5] {32} = \sqrt [5] {2^5} =2 \)

    (2

    \( \LARGE \sqrt [6] {64 a^{12} b^3}  \)

    \( \LARGE  = \sqrt [6] {2^6 a^{12} b^3}  \)

    \( \LARGE   = 2a^2 \sqrt [6] {b^3} \)

  3. اگر توان عدد تجزیه شده یا متغیر زیر رادیکال از فرجه بزرگتر ولی بخش‌پذیر نباشد، توان را می‌شکنیم و سپس ساده می‌کنیم:

    (1

    \( \LARGE \sqrt [4] {32}   \)

    \( \LARGE  = \sqrt [4] {2^5} = \sqrt [4] {2^4 \times 2}  \)

    \( \LARGE  = 2^2 \sqrt [4]  {2} = 4 \sqrt [4]  {2} \)

    (2

    \( \LARGE \sqrt [5] {a^5 b^{19} } =  \)

    \( \LARGE  \sqrt [5] {a^5 \times b^{15} \times b^4 }  \)

    \( \LARGE = ab^3 \sqrt [5] {b^4 }  \)

مثال در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم: عبارت‌های زیر را ساده کنید.

(1

چند نکته در مورد ساده کردن رادیکال‌ها

(2

چند نکته در مورد ساده کردن رادیکال‌ها در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

(3

چند نکته در مورد ساده کردن رادیکال‌ها

(4

چند نکته در مورد ساده کردن رادیکال‌ها در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

چند نکته در مورد ساده کردن رادیکال‌ها در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

مقایسه ریشه‌ها و اعداد توان‌دار در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم

  1. اعداد بزرگتر از یک هرچه به توان برسند بزرگتر و هرچه در ریشه‌گیری جلو برویم کوچکتر می‌شوند.
    اعداد بزرگتر از یک هرچه به توان برسند بزرگتر و هرچه در ریشه‌گیری جلو برویم کوچکتر می‌شوند.
    مثال در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم:
    اعداد بزرگتر از یک هرچه به توان برسند بزرگتر و هرچه در ریشه‌گیری جلو برویم کوچکتر می‌شوند.اعداد بزرگتر از یک هرچه به توان برسند بزرگتر و هرچه در ریشه‌گیری جلو برویم کوچکتر می‌شوند.
  2. اعداد بین صفر و یک هرچه به توان برسند کوچکتر شده و هرچه در ریشه‌گیری پیشرفت کنیم بزرگتر می‌شوند.
    اعداد بین صفر و یک هرچه به توان برسند کوچکتر شده و هرچه در ریشه‌گیری پیشرفت کنیم بزرگتر می‌شوند.اعداد بین صفر و یک هرچه به توان برسند کوچکتر شده و هرچه در ریشه‌گیری پیشرفت کنیم بزرگتر می‌شوند.اعداد بین صفر و یک هرچه به توان برسند کوچکتر شده و هرچه در ریشه‌گیری پیشرفت کنیم بزرگتر می‌شوند.
  3. اعداد بین \( \Large -1<a<0  \) می‌دانیم اگر به توان زوج برسند مثبت می‌شوند و بزرگتر می‌شوند. امّا اگر به توان فرد برسند هرچه توان بیشتر باشد آن‌ها بزرگتر می‌شوند و وقتی ریشه فرد آن‌ها گرفته می‌شود هرچه بزرگتر شود مقدار آن‌ها کوچکتر می‌شود.
    وقتی ریشه فرد آن‌ها گرفته می‌شود هرچه بزرگتر شود مقدار آن‌ها کوچکتر می‌شود.وقتی ریشه فرد آن‌ها گرفته می‌شود هرچه بزرگتر شود مقدار آن‌ها کوچکتر می‌شود.
    در اعداد منفی هر چه عدد از نظر عددی (بدون در نظر گرفتن علامت منفی) بزرگتر باشد از نظر مقدار کمتر است.
    در اعداد منفی هر چه عدد از نظر عددی (بدون در نظر گرفتن علامت منفی) بزرگتر باشد از نظر مقدار کمتر است.
  4. در اعداد کوچکتر از 1- نیز اگر به توان زوج برسند که بزرگتر می‌شوند. ولی وقتی به توان فرد می‌رسند هرچه توان بزرگتر شود مقدارشان کمتر می‌شود و وقتی ریشه فرد می‌گیریم هرچه فرجه بزرگتر، مقدارشان بیشتر می‌شود.
    در اعداد کوچکتر از 1- نیز اگر به توان زوج برسند که بزرگتر می‌شوند ولی وقتی به توان فرد می‌رسند هرچه توان بزرگتر شود مقدارشان کمتر می‌شود و وقتی ریشه فرد می‌گیریم هرچه فرجه بزرگتر، مقدارشان بیشتر می‌شود.در اعداد کوچکتر از 1- نیز اگر به توان زوج برسند که بزرگتر می‌شوند ولی وقتی به توان فرد می‌رسند هرچه توان بزرگتر شود مقدارشان کمتر می‌شود و وقتی ریشه فرد می‌گیریم هرچه فرجه بزرگتر، مقدارشان بیشتر می‌شود.در اعداد کوچکتر از 1- نیز اگر به توان زوج برسند که بزرگتر می‌شوند ولی وقتی به توان فرد می‌رسند هرچه توان بزرگتر شود مقدارشان کمتر می‌شود و وقتی ریشه فرد می‌گیریم هرچه فرجه بزرگتر، مقدارشان بیشتر می‌شود.در اعداد کوچکتر از 1- نیز اگر به توان زوج برسند که بزرگتر می‌شوند ولی وقتی به توان فرد می‌رسند هرچه توان بزرگتر شود مقدارشان کمتر می‌شود و وقتی ریشه فرد می‌گیریم هرچه فرجه بزرگتر، مقدارشان بیشتر می‌شود.

نکته در آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم: برای به خاطر سپردن اعداد بزرگتر از یک و اعداد بین \( \Large -1<a<0  \) مثل هم با این فرق که اعداد منفی فقط ریشه فرد دارند و اعداد بین صفر و یک و اعداد کوچکتر از 1- مانند هم هستند.

مثال: در جاهای خالی علامت مناسب بگذارید. (< و = و >)

مثال آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم.

مثال آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم.

میخوای ۲۰ بگیری؟

زنگ آخر درس آموزش ریشه گیری دهم

بچه‌ها با هم در ریاضیکا آموزش ریشه گیری دهم که از مباحث مهم و کاربردی است را یادگرفتیم. در این آموزش ده‌ها مثال مختلف را برای فهم بهتر باهم بررسی کردیم.

ادامهٔ آموزش ریاضی دهم را می‌توانید در همین سایت مطالعه کنید. هرچه سوال از این نوشتار داشتید را در قسمت دیدگاه‌ها در پایین همین بخش مطرح کنید. بچه‌های ریاضیکا حتما به سوالات شما پاسخ می‌دهند. موفق باشید 🙂

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

  1. Zahra گفته :
    18:45 1399/01/20

    عالی بود خیلی ممنونم

  2. Reihanew گفته :
    18:51 1399/01/20

    👌🏻💖

مطالب زیر را حتما بخوانید:

سید ایمان موسوی نطنزی
سید ایمان موسوی نطنزی

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

قوانین ارسال دیدگاه در ما

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


Have no product in the cart!
0