ساده کردن عبارت های جبری 😎🧮 ؛ مختصر و مفید با صدای بلند!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 14 شهریور 1399 محمد بحرانی 55 بازدید
ساده کردن عبارت های جبری 😎🧮 ؛ مختصر و مفید با صدای بلند!

تصور کنید یه نفر فقط زبان ریاضی بلده، چطور باید باهاش حرف بزنیم؟ خب معلومه! با عبارت‌های جبری. اگه کلاس درس ما یه فیلم سینمایی باشه، اون وقت عبارت‌های جبری میشه زیرنویس ریاضی اون فیلم! در درس ساده کردن عبارت های جبری  از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، ابتدا مروری بر مفهوم عبارت‌های جبری مانند جملات متشابه، الگوهای عددی و روش ضرب عبارت‌های جبری خواهیم داشت و سپس به یادگیری ساده کردن عبارت های جبری خواهیم رسید.

یادآوری عبارت‌های جبری

ما قبلاً در ریاضیات پایه هفتم (فصل 3) با عبارت های جبری آشنا شده‌ایم. در پایه‌های بالاتر نیز با آن‌ها سر و کار داریم؛ مانند تجزیه عبارت‌های جبری پایه دهم. برای این که لازم نباشد برگردیم و کتاب سال قبل را باز کنیم، در این بخش مروری بر تعاریف مربوط به عبارت های جبری خواهیم داشت تا در ادامه بتوانیم سراغ ساده کردن عبارت های جبری برویم:

بیان عبارت‌های جبری بصورت کلامی و بالعکس

فرض کنید دوست ما با فاصله از ما ایستاده و از ما می‌خواهد عبارت‌های جبری داخل دفتر را برایش بخوانیم. اینجاست که عبارت‌های جبری که با اعداد و حروف نوشته شده را بصورت کلامی بازگو می‌کنیم. به چند مثال زیر توجه کنید:

عبارت های جبری عبارت های کلامی
\( \Large a^0 = 1 (a \ne 0) \) هر عددی (بجز صفر) به توان صفر،

برابر یک می‌شود.

\( \Large a^3 = a×a×a \) مکعب هر عدد از سه بار ضرب عدد

درخودش بدست می‌آید.

\( \Large a^m × a^n = a^{(m+n)} \) در ضرب دو عبارت توان دار با پایه های

مساوی،یک پایه را می نویسیم و توان ها

را با هم جمع می کنیم.

\( \Large c^2 = a^2 + b^2 \) رابطه فیثاغورس: مجذور وتر مثلث قائم‌الزاویه

برابر است با مجموع مجذورهای دو ضلع قائمه.

\( \Large a^1 = a  \) هر عدد به توان یک برابر خود آن عدد می‌شود.

الگوهای عددی و عبارت‌های جبری متناظر آن‌ها

حتماً تا به حال با تعدادی عدد مواجه شده‌اید که با نظم مشخصی در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند؛ این نظم مشخص می‌تواند به عنوان مثال، فاصله مشخص بین یک عدد تا عدد بعدی (مانند فاصله 4 تایی اعداد در مثال زیر) باشد. مجموعه اعداد زوج و فرد دیگر نمونه‌ها هستند.

الگوهای عددی

برای نشان دادن الگوهای عددی که به صورت کلی این نظم را نشان دهند، از عبارت‌های جبری استفاده می‌شود.

مثال 1: عبارت جبری جملۀ \( \Large n \)اُم الگوهای عددی زیر را بنویسید.

. . . ، 9 ، 7 ، 5 ، 3 ، 1 (الف

. . . ، 81 ، 27 ، 9 ، 3 ، 1 (ب

حل 1:

الف) این الگو، اعداد فرد را نشان می‌دهد. می‌بینیم که این اعداد دو تا دو تا اضافه می‌شوند، پس باید ضریب 2 داشته باشند؛ یعنی \( \Large 2n \)! خب، اگر عبارت جبری آن \( \Large 2n \) باشد، ترتیب اعداد چگونه خواهد بود؟ \( \Large n \) از 1 شروع می‌شود:

. . . ، 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، 2

با صورت سؤال مقایسه کنید! این الگو، یک واحد بیشتر از الگوی (الف) است؛ پس باید یک واحد از عبارت جبری کم کنیم، یعنی جملۀ \( \Large n \)اُم این الگوی عددی،  \( \Large 2n-1 \) است:

مثال الگوهای عددی

ب) به این الگو دقت کنید! هر عدد 3 برابر عدد قبلی شده است؛ (این یعنی توان 3). توجه کنید که هر عدد به توان صفر برابر است با 1، پس عدد اول توان صفرم 3 است:

مثالی از الگوهای عددی و عبارت های جبری متناظر

برای این که بتوانیم همه جمله‌ها را با عبارت جبری ایجاد کنیم، یک واحد از توان کم کردیم. پس جملۀ \( \Large n \)اُم این الگوی عددی، \( \Large 3^{(n-1)} \) خواهد بود.

تعریف چندجمله‌ای‌ها

فراموش نکنید! در این درس قرار است به  ساده کردن عبارت های جبری برسیم؛ اما قبل از آن داریم هر آنچه برای این کار لازم است به صورت مقدمه یاد می‌گیریم.

یک‌جمله‌ای‌ها

یک‌جمله‌ای‌ها، عبارت‌های جبری هستند که از دو قسمت ضریب (عدد قبل از حروف انگلیسی) و متغیرها (حروف انگلیسی) تشکیل شده‌اند، مانند:

\( \Large 19x^2y \)   ،  \( \Large \frac {1}{2} x \)

البته این، تعریف ساده‌ای از یک‌جمله‌ای‌ها است که در سطح ریاضی پایه هشتم ارائه شده است. تعریف دقیق‌تر یک‌جمله‌ای‌ها را می‌توانید در درس تابع چندجمله‌ای به زبان ساده از ریاضی پایه دهم مشاهده کنید.

چندجمله‌ای‌ها

اگر بین عبارت‌های جبری، علامت جمع یا تفریق قرار داشته باشد به آن‌ها چند جمله‌ای گفته می‌شود. در واقع چندجمله‌ای، از تعدادی یک‌جمله‌ای تشکیل شده است؛ به عنوان نمونه:

(دوجمله‌ای) \( \Large -4xy + 2m^2n^3y^18 \)

(سه‌جمله‌ای) \( \Large 2ab^2 – \frac {4}{3} y + 5 \)

جمله‌های متشابه ( شاه کلید ساده کردن عبارت های جبری )

جملات متشابه، جمله‌ها (عبارت های جبری) هستند که همه قسمت‌های حرفی آن‌ها (متغیرها) یکسان باشد. به عنوان نمونه، عبارت‌های زیر در هر خط با هم متشابه‌اند:

\( \Large \frac {3}{4} x^2y \) و \( \Large -5x^2y \)

\( \Large x \) و \( \Large 4x \)

\( \Large -208axyb^2 \) و \( \Large 3axyb^2 \)

توجه: جملاتی که متغیرهای شبیه هم دارند ولی توان آن‌ها متفاوت است متشابه نیستند؛ مانند دو جمله زیر که غیرمتشابه‌اند:

\( \Large 2x^2y^3 \) و \( \Large 2x^3y^2 \)

مثال 2: جملات متشابه را پیدا کرده و مشخص نمایید.

\( \Large 26x^3y^2 \)

\( \Large 26xyz \)

\( \Large -2x^3y^2 \)

\( \Large -2yzx \)

حل 2:

  • دو جمله اول ضریب 26 و دو جمله دوم ضریب (2-) دارند، پس متشابه‌اند؟؟؟ خیر! دقت کنید که گفته شد حروف (یعنی متغیرها) باید مشابه باشند.

مشاهده می‌شود که عبارت‌های جبری اول و سوم یعنی \( \Large 26x^3y^2 \) و \( \Large -2x^3y^2 \) دارای حروف همانند هستند، پس جملات متشابه خواهند بود.

امّا به جملات \( \Large 26xyz \) و \( \Large -2yzx \) دقت کنید! ظاهراً شبیه نیستند، ولی می‌دانیم که \( \Large xyz \) با \( \Large yzx \) تفاوتی ندارد؛ چون سه ضریب در هم ضرب شده و می‌دانیم عوض شدن جای اعداد در ضرب، تغییری در حاصل‌ضرب ایجاد نمی‌کند. پس این دو جمله نیز متشابه هستند.

ضرب عبارت‌های جبری

ضرب عبارت‌های جبری هم برای ساده کردن عبارت های جبری گاهی لازم می‌شود؛ بعداً در مثال 4 خواهید دید که چند عبارت در هم ضرب شده و سپس از ما خواسته شده که ساده شده آن‌ها را بنویسیم.

ضرب یک‌جمله‌ای در یک‌جمله‌ای

ضرایب در هم  و متغیرها در هم ضرب می‌شوند؛ مثلاً:

\( \Large (-6yx) × (2x^2) = -12yx^3 \)

نکته: در ضرب عبارت‌های جبری، اگر متغیرهایی که در هم ضرب می‌شوند یکسان باشند، یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم. (طبق روش گفته شده در درس خواص ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار)

ضرب یک‌جمله‌ای در چند‌جمله‌ای

یک‌جمله‌ای در تمام جملات چندجمله‌ای ضرب می‌شود؛ به عنوان نمونه در ضرب زیر، یک‌جمله‌ای ابتدا در عبارت اول و سپس در عبارت دوم ضرب شده و حاصل‌ضرب این دو با هم جمع شده است:

ضرب چندجمله‌ای، پیش نیاز ساده کردن عبارت های جبری

ضرب چند‌جمله‌ای در چند‌جمله‌ای

تک‌تک جملات چندجمله‌ای اول در تمام جملات چندجمله‌ای دوم ضرب می‌شود (به این ویژگی، خاصیت توزیع‌پذیری گفته می‌شود). به عنوان مثال:

ضرب چندجمله‌ای، مقدمه ساده کردن عبارت های جبری

توجه: ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار، قوانینی دارد که می‌توانید در درس‌نامه خواص ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار مطالعه نمایید.

مثال 3: به کمک عبارت‌های جبری تساوی مساحت‌های شکل زیر را نشان دهید.

تساوی مساحت‌ها به کمک عبارت های جبری

حل 3:

مساحت شکل سمت چپ برابر است با مجموع مساحت‌های شکل سمت راست؛ مساحت مستطیل‌های کوچک را از \( \Large S_1 \) تا \( \Large S_4 \) نام‌گذاری کرده‌ایم.

مساحت کل را \( \Large S \) نامیده و با استفاده از ضرب چندجمله‌ای آن را بدست می‌آوریم:

\( \Large S = (a+b) × (c+d) \)

\( \Large S = ac + ad + bc + bd \)

حال مساحت‌های \( \Large S_1 \) تا \( \Large S_4 \) را بدست آورده و با هم جمع می‌کنیم:

\( \Large S_1 + S_2 + S_3 + S_4 \)

\( \Large =  ac + ad + bc + bd \)

با مقایسه این دو عبارت، اکنون می‌توانیم تساوی مساحت‌های سمت چپ و راست را بدین صورت نوشت:

\( \Large S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 \)

ساده کردن عبارت های جبری

برای ساده کردن عبارت های جبری مراحل زیر را طی می‌کنیم:

  1. جملات متشابه را مشخص می‌کنیم؛
  2. ضرایب جملات متشابه را با هم جمع می‌کنیم؛
  3. جملات غیرمتشابه را بدون تغییر می‌نویسیم.

مثال 4: عبارت‌های جبری زیر را ساده کنید.

\( \Large (2x-y)^2 \) (الف

\( \Large \frac{1}{2} x (4y-6x) + 3y – 2xy \) (ب

حل 4:

الف) عبارت درون پرانتز کلاً به توان دو رسیده است؛ پس می‌توان این عبارت را دو بار در خودش ضرب کرد، یعنی:

\( \Large (2x-y) × (2x-y) \)

حال همه جملات دوجمله‌ای اول را در همه جملات چندجمله‌ای دوم ضرب می‌کنیم:

\( \Large = 4x^2 – 2xy – 2xy + y^2 \)

برای ساده کردن عبارت های جبری ، جملات متشابه را پیدا کنیم:  \( \Large – 2xy  \)و \( \Large – 2xy  \) متشابه و بقیه جملات، غیرمتشابه‌اند. پس این دو را با هم جمع می‌کنیم و بقیه را بی تغییر می‌نویسیم:

\( \Large = 4x^2 – 4xy + y^2 \)

ب) ابتدا یک‌جمله‌ای \( \Large \frac {1}{2} x \) را در پرانتز بعد از آن (دوجمله‌ای) ضرب می‌کنیم و بقیه عبارت‌ها را هم می‌نویسیم:

\( \Large 2xy – 3x^2+ 3y – 2xy \)

عبارت‌های \( \Large  2xy \) و \( \Large  -2xy \) متشابه هستند، پس آن‌ها را با هم جمع می‌کنیم؛ حاصل صفر خواهد شد. با اضافه کردن جملات غیرمتشابه نهایتاً خواهیم داشت:

\( \LARGE = – 3x^2+ 3y \)

زنگ آخر کلاس ساده کردن عبارت های جبری

در این درس‌نامه از فصل جبر و معادله ریاضی هشتم، ابتدا یادآوری مختصری از عبارت‌های جبری داشتیم و الگوهای عددی، تعریف چندجمله‌ای، جملات متشابه و نحوه ضرب چندجمله‌ای ها در هم را مرور کردیم. سپس با سه مرحله و به کمک جملات متشابه به ساده کردن عبارت های جبری پرداختیم. در واقع ساده کردن عبارت های جبری به ما کمک می‌کند به جای تعداد زیادی جمله، معادل آن را با چند عبارت کوتاه بنویسیم.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.

بیا بیشتر بخونیم:
با ضرب و تقسیم اعداد توان دار ➗✖️، توانت رو بالا ببر! آموزش ریاضی هشتم

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    محمد بحرانی
    محمد بحرانی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0