ساده کردن عبارت های جبری 😎🧮 ؛ مختصر و مفید با صدای بلند!

ساده کردن عبارت های جبری 😎🧮 ؛ مختصر و مفید با صدای بلند!

تصور کنید یه نفر فقط زبان ریاضی بلده، چطور باید باهاش حرف بزنیم؟ خب معلومه! با عبارت‌های جبری. اگه کلاس درس ما یه فیلم سینمایی باشه، اون وقت عبارت‌های جبری میشه زیرنویس ریاضی اون فیلم! در درس ساده کردن عبارت های جبری  از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، ابتدا مروری بر مفهوم عبارت‌های جبری مانند جملات متشابه، الگوهای عددی و روش ضرب عبارت‌های جبری خواهیم داشت و سپس به یادگیری ساده کردن عبارت های جبری خواهیم رسید.

یادآوری عبارت‌های جبری

ما قبلاً در ریاضیات پایه هفتم (فصل 3) با عبارت های جبری آشنا شده‌ایم. در پایه‌های بالاتر نیز با آن‌ها سر و کار داریم؛ مانند تجزیه عبارت‌های جبری پایه دهم. برای این که لازم نباشد برگردیم و کتاب سال قبل را باز کنیم، در این بخش مروری بر تعاریف مربوط به عبارت های جبری خواهیم داشت تا در ادامه بتوانیم سراغ ساده کردن عبارت های جبری برویم:



بیان عبارت‌های جبری بصورت کلامی و بالعکس

فرض کنید دوست ما با فاصله از ما ایستاده و از ما می‌خواهد عبارت‌های جبری داخل دفتر را برایش بخوانیم. اینجاست که عبارت‌های جبری که با اعداد و حروف نوشته شده را بصورت کلامی بازگو می‌کنیم. به چند مثال زیر توجه کنید:

عبارت های جبری عبارت های کلامی
\( \Large a^0 = 1 (a \ne 0) \) هر عددی (بجز صفر) به توان صفر،

برابر یک می‌شود.

\( \Large a^3 = a×a×a \) مکعب هر عدد از سه بار ضرب عدد

درخودش بدست می‌آید.

\( \Large a^m × a^n = a^{(m+n)} \) در ضرب دو عبارت توان دار با پایه های

مساوی،یک پایه را می نویسیم و توان ها

را با هم جمع می کنیم.

\( \Large c^2 = a^2 + b^2 \) رابطه فیثاغورس: مجذور وتر مثلث قائم‌الزاویه

برابر است با مجموع مجذورهای دو ضلع قائمه.

\( \Large a^1 = a  \) هر عدد به توان یک برابر خود آن عدد می‌شود.

الگوهای عددی و عبارت‌های جبری متناظر آن‌ها

حتماً تا به حال با تعدادی عدد مواجه شده‌اید که با نظم مشخصی در کنار یکدیگر قرار گرفته‌اند؛ این نظم مشخص می‌تواند به عنوان مثال، فاصله مشخص بین یک عدد تا عدد بعدی (مانند فاصله 4 تایی اعداد در مثال زیر) باشد. مجموعه اعداد زوج و فرد دیگر نمونه‌ها هستند.

الگوهای عددی

برای نشان دادن الگوهای عددی که به صورت کلی این نظم را نشان دهند، از عبارت‌های جبری استفاده می‌شود.

مثال 1: عبارت جبری جملۀ \( \Large n \)اُم الگوهای عددی زیر را بنویسید.

. . . ، 9 ، 7 ، 5 ، 3 ، 1 (الف

. . . ، 81 ، 27 ، 9 ، 3 ، 1 (ب

حل 1:

الف) این الگو، اعداد فرد را نشان می‌دهد. می‌بینیم که این اعداد دو تا دو تا اضافه می‌شوند، پس باید ضریب 2 داشته باشند؛ یعنی \( \Large 2n \)! خب، اگر عبارت جبری آن \( \Large 2n \) باشد، ترتیب اعداد چگونه خواهد بود؟ \( \Large n \) از 1 شروع می‌شود:

. . . ، 10 ، 8 ، 6 ، 4 ، 2

با صورت سؤال مقایسه کنید! این الگو، یک واحد بیشتر از الگوی (الف) است؛ پس باید یک واحد از عبارت جبری کم کنیم، یعنی جملۀ \( \Large n \)اُم این الگوی عددی،  \( \Large 2n-1 \) است:

مثال الگوهای عددی

ب) به این الگو دقت کنید! هر عدد 3 برابر عدد قبلی شده است؛ (این یعنی توان 3). توجه کنید که هر عدد به توان صفر برابر است با 1، پس عدد اول توان صفرم 3 است:

مثالی از الگوهای عددی و عبارت های جبری متناظر

برای این که بتوانیم همه جمله‌ها را با عبارت جبری ایجاد کنیم، یک واحد از توان کم کردیم. پس جملۀ \( \Large n \)اُم این الگوی عددی، \( \Large 3^{(n-1)} \) خواهد بود.

تعریف چندجمله‌ای‌ها

فراموش نکنید! در این درس قرار است به  ساده کردن عبارت های جبری برسیم؛ اما قبل از آن داریم هر آنچه برای این کار لازم است به صورت مقدمه یاد می‌گیریم.

یک‌جمله‌ای‌ها

یک‌جمله‌ای‌ها، عبارت‌های جبری هستند که از دو قسمت ضریب (عدد قبل از حروف انگلیسی) و متغیرها (حروف انگلیسی) تشکیل شده‌اند، مانند:

\( \Large 19x^2y \)   ،  \( \Large \frac {1}{2} x \)

البته این، تعریف ساده‌ای از یک‌جمله‌ای‌ها است که در سطح ریاضی پایه هشتم ارائه شده است. تعریف دقیق‌تر یک‌جمله‌ای‌ها را می‌توانید در درس تابع چندجمله‌ای به زبان ساده از ریاضی پایه دهم مشاهده کنید.

چندجمله‌ای‌ها

اگر بین عبارت‌های جبری، علامت جمع یا تفریق قرار داشته باشد به آن‌ها چند جمله‌ای گفته می‌شود. در واقع چندجمله‌ای، از تعدادی یک‌جمله‌ای تشکیل شده است؛ به عنوان نمونه:

(دوجمله‌ای) \( \Large -4xy + 2m^2n^3y^18 \)

(سه‌جمله‌ای) \( \Large 2ab^2 – \frac {4}{3} y + 5 \)



جمله‌های متشابه ( شاه کلید ساده کردن عبارت های جبری )

جملات متشابه، جمله‌ها (عبارت های جبری) هستند که همه قسمت‌های حرفی آن‌ها (متغیرها) یکسان باشد. به عنوان نمونه، عبارت‌های زیر در هر خط با هم متشابه‌اند:

\( \Large \frac {3}{4} x^2y \) و \( \Large -5x^2y \)

\( \Large x \) و \( \Large 4x \)

\( \Large -208axyb^2 \) و \( \Large 3axyb^2 \)

توجه: جملاتی که متغیرهای شبیه هم دارند ولی توان آن‌ها متفاوت است متشابه نیستند؛ مانند دو جمله زیر که غیرمتشابه‌اند:

\( \Large 2x^2y^3 \) و \( \Large 2x^3y^2 \)

مثال 2: جملات متشابه را پیدا کرده و مشخص نمایید.

\( \Large 26x^3y^2 \)

\( \Large 26xyz \)

\( \Large -2x^3y^2 \)

\( \Large -2yzx \)

حل 2:

  • دو جمله اول ضریب 26 و دو جمله دوم ضریب (2-) دارند، پس متشابه‌اند؟؟؟ خیر! دقت کنید که گفته شد حروف (یعنی متغیرها) باید مشابه باشند.

مشاهده می‌شود که عبارت‌های جبری اول و سوم یعنی \( \Large 26x^3y^2 \) و \( \Large -2x^3y^2 \) دارای حروف همانند هستند، پس جملات متشابه خواهند بود.

امّا به جملات \( \Large 26xyz \) و \( \Large -2yzx \) دقت کنید! ظاهراً شبیه نیستند، ولی می‌دانیم که \( \Large xyz \) با \( \Large yzx \) تفاوتی ندارد؛ چون سه ضریب در هم ضرب شده و می‌دانیم عوض شدن جای اعداد در ضرب، تغییری در حاصل‌ضرب ایجاد نمی‌کند. پس این دو جمله نیز متشابه هستند.

ضرب عبارت‌های جبری

ضرب عبارت‌های جبری هم برای ساده کردن عبارت های جبری گاهی لازم می‌شود؛ بعداً در مثال 4 خواهید دید که چند عبارت در هم ضرب شده و سپس از ما خواسته شده که ساده شده آن‌ها را بنویسیم.

ضرب یک‌جمله‌ای در یک‌جمله‌ای

ضرایب در هم  و متغیرها در هم ضرب می‌شوند؛ مثلاً:

\( \Large (-6yx) × (2x^2) = -12yx^3 \)

نکته: در ضرب عبارت‌های جبری، اگر متغیرهایی که در هم ضرب می‌شوند یکسان باشند، یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم. (طبق روش گفته شده در درس خواص ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار)

ضرب یک‌جمله‌ای در چند‌جمله‌ای

یک‌جمله‌ای در تمام جملات چندجمله‌ای ضرب می‌شود؛ به عنوان نمونه در ضرب زیر، یک‌جمله‌ای ابتدا در عبارت اول و سپس در عبارت دوم ضرب شده و حاصل‌ضرب این دو با هم جمع شده است:

ضرب چندجمله‌ای، پیش نیاز ساده کردن عبارت های جبری

ضرب چند‌جمله‌ای در چند‌جمله‌ای

تک‌تک جملات چندجمله‌ای اول در تمام جملات چندجمله‌ای دوم ضرب می‌شود (به این ویژگی، خاصیت توزیع‌پذیری گفته می‌شود). به عنوان مثال:

ضرب چندجمله‌ای، مقدمه ساده کردن عبارت های جبری

توجه: ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار، قوانینی دارد که می‌توانید در درس‌نامه ضرب و تقسیم اعداد توان‌دار مطالعه نمایید.

مثال 3: به کمک عبارت‌های جبری تساوی مساحت‌های شکل زیر را نشان دهید.

تساوی مساحت‌ها به کمک عبارت های جبری

حل 3:

مساحت شکل سمت چپ برابر است با مجموع مساحت‌های شکل سمت راست؛ مساحت مستطیل‌های کوچک را از \( \Large S_1 \) تا \( \Large S_4 \) نام‌گذاری کرده‌ایم.

مساحت کل را \( \Large S \) نامیده و با استفاده از ضرب چندجمله‌ای آن را بدست می‌آوریم:

\( \Large S = (a+b) × (c+d) \)

\( \Large S = ac + ad + bc + bd \)

حال مساحت‌های \( \Large S_1 \) تا \( \Large S_4 \) را بدست آورده و با هم جمع می‌کنیم:

\( \Large S_1 + S_2 + S_3 + S_4 \)

\( \Large =  ac + ad + bc + bd \)

با مقایسه این دو عبارت، اکنون می‌توانیم تساوی مساحت‌های سمت چپ و راست را بدین صورت نوشت:

\( \Large S = S_1 + S_2 + S_3 + S_4 \)

ساده کردن عبارت های جبری

برای ساده کردن عبارت های جبری مراحل زیر را طی می‌کنیم:

  1. جملات متشابه را مشخص می‌کنیم؛
  2. ضرایب جملات متشابه را با هم جمع می‌کنیم؛
  3. جملات غیرمتشابه را بدون تغییر می‌نویسیم.

مثال 4: عبارت‌های جبری زیر را ساده کنید.

\( \Large (2x-y)^2 \) (الف

\( \Large \frac{1}{2} x (4y-6x) + 3y – 2xy \) (ب

حل 4:

الف) عبارت درون پرانتز کلاً به توان دو رسیده است؛ پس می‌توان این عبارت را دو بار در خودش ضرب کرد، یعنی:

\( \Large (2x-y) × (2x-y) \)

حال همه جملات دوجمله‌ای اول را در همه جملات چندجمله‌ای دوم ضرب می‌کنیم:

\( \Large = 4x^2 – 2xy – 2xy + y^2 \)

برای ساده کردن عبارت های جبری ، جملات متشابه را پیدا کنیم:  \( \Large – 2xy  \)و \( \Large – 2xy  \) متشابه و بقیه جملات، غیرمتشابه‌اند. پس این دو را با هم جمع می‌کنیم و بقیه را بی تغییر می‌نویسیم:

\( \Large = 4x^2 – 4xy + y^2 \)

ب) ابتدا یک‌جمله‌ای \( \Large \frac {1}{2} x \) را در پرانتز بعد از آن (دوجمله‌ای) ضرب می‌کنیم و بقیه عبارت‌ها را هم می‌نویسیم:

\( \Large 2xy – 3x^2+ 3y – 2xy \)

عبارت‌های \( \Large  2xy \) و \( \Large  -2xy \) متشابه هستند، پس آن‌ها را با هم جمع می‌کنیم؛ حاصل صفر خواهد شد. با اضافه کردن جملات غیرمتشابه نهایتاً خواهیم داشت:

\( \LARGE = – 3x^2+ 3y \)

زنگ آخر کلاس ساده کردن عبارت های جبری

در این درس‌نامه از فصل جبر و معادله ریاضی هشتم، ابتدا یادآوری مختصری از عبارت‌های جبری داشتیم و الگوهای عددی، تعریف چندجمله‌ای، جملات متشابه و نحوه ضرب چندجمله‌ای ها در هم را مرور کردیم. سپس با سه مرحله و به کمک جملات متشابه به ساده کردن عبارت های جبری پرداختیم. در واقع ساده کردن عبارت های جبری به ما کمک می‌کند به جای تعداد زیادی جمله، معادل آن را با چند عبارت کوتاه بنویسیم.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.



به خوندن ادامه بده!زاویه های خارجی 🕙♦️🕑 – نگهبان قلعه چندضلعی‌ها!فاکتورگیری ریاضی هشتم 🧮📚 – هنرمندانه از عبارت‌های جبری استفاده کن!

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی هشتم به شما پیشنهاد می‌دهیم:
بیا بیشتر بخونیم:
جمع و تفریق اعداد صحیح ➕➖ – صحیح و سالم به مقصد برسید!

43 دیدگاه برای “ساده کردن عبارت های جبری 😎🧮 ؛ مختصر و مفید با صدای بلند!

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام عرض ادب
      خیلی ممنون از پیام پر مهرتون.
      موفق باشید.

        • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

          یا سلام ووقتبه خیر
          دوست عزیز جواب این سوالات خیلی ساده هست اگه پست رو خوب بخونید جواب رو میتونید بنویسید

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      a+b) 3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b3)
      موفق باشید.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام
      ممنون ازاینکه با انرژیاتون ما را در ادامه راه حمایت می کنید.
      موفق باشید.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و وقت به خیر
      ما در دوره ابتدایی به جای مجهول های از جای خالی استفاده می کردیم مثلا مربع، دایره و غیره. اما بخاطر راحتی و سهولت کار به جای جای خالی از حروف انگلیسی استفاده می کنیم مثل x,y,.. ، که به هرکدام یک جمله جبری می گویند شرط جمع و تفریق عبارت های جبری متشابه بودن آن ها است. یعنی متغیرها یکی باشند، در اینصورت ضریب های آن ها یعنی عددهای کنار متغیر را با هم جمع و تفریق می کنیم.
      موفق باشید.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      عدد بالای متغیر توان است اگر هیچی نداشت برابر با ۱ است.
      موفق باشید.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      ممنون از توجهتون.
      موفق باشید.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام عرض ادب
      یعنی توان دوم هر عدد را مجذور آن عدد می گویند.
      موفق باشید.

  1. الیسا گفته:

    سلام عالی خیلی خوب توضیح دادید دست گلتون درد نکن👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏این هم تشویق برای شما لطفا ولی بهم جواب بدید👏👏👏👏

  2. الیسا گفته:

    سلام خیلی عالی من از این توضیح خوشم اومد خیلی عالی و این تشویق برای شما و دست گلتون درد نکنه👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👍

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام دوست عزیز
      ممنون از انرژی که دادید.
      موفق باشید.

  3. ناشناس گفته:

    عبارت جبری زیر را ساده کنید.
    لطفا توضیح هم بدهید ممنون.

    (۴x²+2x+1)(2x_1)_8x³

    • fateme2866 گفته:

      سلام چون جواب پرانتز میشود 8x^3-1 که در منفی ضرب میشود ودوجمله قرینه با م ساده میشود و1 باقی می ماند

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام به شما دوست عزیز
      ممنون از توجه ولطف شما

  4. اشتراک‌ها: امیر محمد حسینی

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      خدا رو شکر که براتون مفید بوده
      برای اطلاع از جشنواره ها ومطالب بیشترپیج ما رو در اینستا به آدرس زیر دنبال کنید
      https://www.instagram.com/riazica/

  5. Arii گفته:

    سلام. لطفا جواب این رو بهم بگید، ممنونتون می‌شم:
    رادیکال‌ ۵۰ به اضافه رادیکال ۹۸ منهای ۸=
    خیلی ممنون و مرسی🙏

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام
      رادیکال ۵۰ میشه ۵رادیکال ۲ورادیکال ۹۸ میشه ۷رادیکال ۲و رادیکال ۸ میشه ۲رادیکال ۲ پس حاصل نهایی میشه ۱۰ رادیکال ۲
      برای اطلاع از جشنواره ها ومطالب بیشترپیج ما رو در اینستا به آدرس زیر دنبال کنید
      https://www.instagram.com/riazica/

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلامد وست عزیز
      پست رو نوشتیم تا عبارتی به این سادگی رو خودتون ساده کنید

  6. Elaheh گفته:

    مرسی برای توضیحات تان میشه لطفاً بگید حاصل این عبارت چی میشه ؟ 👇😘
    −4 𝑥𝑦 + 2 𝑥(𝑥 + 3 𝑦) + 5𝑥
    2 =

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      این عبارتی که شما نوشتید ساده نمیشه

    • fateme2866 گفته:

      با سلام واحترام صورتسوال مشخص نیست که بین دو تا a,b چه علامتی هست

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.