خط و دایره : از سیر 🧄 تا پیاز 🧅

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 6 اردیبهشت 1399 محمد بحرانی 601 بازدید
خط و دایره : از سیر تا پیاز

خرید درسنامه آموزش خط و دایره PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


خب من که هم خط رو می‌شناسم، هم دایره رو! پس چی می‌تونه باشه این درس؟؟؟ در این درس‌نامه از دسته آموزش ریاضی پایه هشتم به آموزش تعریف ریاضی دایره، وضعیت‌های خط و دایره نسبت به هم، تعریف خط مماس بر دایره، بررسی ویژگی‌های خط مماس، تعریف وتر و بررسی مثلث‌هایی که یکی از اضلاع آن، خط مماس است می‌پردازیم و با حل چندین مثال به این مبحث مسلط می‌شویم.

تعریف دایره

به مجموعه نقاطی از صفحه که فاصله همه این نقاط از یک نقطه مشخص، به یک اندازه باشد، دایره گفته می‌شود.

تعریف دایره

این نقطه مشخص، مرکز دایره \( \Large \ (O) \) و آن فاصله ثابت، شعاع دایره \( \Large \ (r) \) نامیده می‌شود.

یکی از کاربردهای اساسی دایره، در مبحث مثلثات است که تحت عنوان دایره واحد (مربوط به کتاب ریاضی دهم) بطور مفصل توضیح داده شده است.

مرکز و شعاع دایره

نکته: دایره‌ای به مرکز نقطه \( \Large \ O \) و شعاع \(\Large \ r \) را به اختصار بصورت \(\Large \ C(O,r) \) نشان می‌دهند. بنابراین \(\Large \ C(M,4) \) یعنی دایره‌ای به مرکز نقطه \(\Large \ M \) و شعاع 4.

وضعیت خط و دایره

یک خط و دایره می‌توانند نسبت به هم سه وضعیت مختلف داشته باشند:

الف) خط، دایره را در هیچ نقطه‌ای قطع نکند.

خط و دایره، بدون نقطه تماس

در این حالت، فاصله خط تا مرکز دایره  (\(\Large \ \overline{OH} \)) از شعاع دایره \(\Large \ (r) \) بیشتر است: (\(\Large \ r<\overline{OH} \)).

نکته: فاصله خط تا یک نقطه، کوتاه‌ترین فاصله آن‌هاست؛ به عبارتی برابر است با طول پاره خط عمود بین نقطه و خط.

بیا بیشتر بخونیم:
زاویه های داخلی ❌⚔️ – نیروهای جوان کشور چندضلعی‌ها!

ب) خط، دایره را در دو نقطه قطع کند.

خط و دایره، دو نقطه تماس

در این حالت، فاصله خط تا مرکز دایره (\(\Large \ \overline{OH} \)) از شعاع دایره \(\Large \ (r) \) کمتر است: (\(\Large \ r>\overline{OH} \)).

مثال 1: خط \(\Large \ d \)، دایره \(\Large \ c \) را در چند نقطه قطع می‌کند؟

خط و دایره

حل 1:

آیا پاسخ شما این بود که با توجه به شکل، خط دایره را قطع نمی‌کند؟

باید بگویم پاسخ صحیح نیست! اگر خط را امتداد دهید، خواهید دید که دایره را در دو نقطه قطع می‌کند.

امتداد خط و دایره

بنابراین:

نکته: در تعیین وضعیت خط و دایره نسبت به هم، باید خط را آن‌قدر امتداد داد تا نقاط برخورد در صورت وجود مشخص شوند.

ج) خط، دایره را تنها در یک نقطه قطع کند.

خط مماس

در این حالت، فاصله خط تا مرکز دایره (\(\Large \ \overline{OH} \)) برابر با شعاع دایره \(\Large \ (r) \) است: (\(\Large \ r=\overline{OH} \)). این حالت، در هندسه بسیار پرکاربرد است که در بخش بعد با آن بیشتر آشنا می‌شویم.

مثال 2: فاصله خطی تا مرکز دایره برابر با \(\Large\ \frac{2}{5}r \) است. خط و دایره چه وضعیتی نسبت به یکدیگر دارند؟

حل 2:

از آنجا که فاصله خط تا دایره از شعاع کمتر است (\(\Large \ \overline{OH}=\frac{2}{5}r<r \))، بنابراین خط در دو نقطه دایره را قطع می‌کند.

خط مماس بر دایره

تعریف خط مماس بر دایره

خطی که دایره را تنها در یک نقطه (نقطه تماس) قطع کند، خط مماس بر دایره نامیده می‌شود.

ویژگی‌های خط مماس

خط مماس بر دایره، ویژگی‌های منحصربفردی در ریاضیات دارد که در ادامه می‌بینیم:

  1. شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود است.
  2. از هر نقطه خارج دایره می‌توان 2 خط مماس بر دایره رسم کرد؛ به عنوان مثال در شکل زیر، از نقطه \(\Large \ A \) دو مماس بر دایره \(\Large \ C(O,r) \) رسم شده است.
بیا بیشتر بخونیم:
فاکتورگیری ریاضی هشتم 🧮📚 – هنرمندانه از عبارت‌های جبری استفاده کن!

خطوط مماس از یک نقطه

مثال 3: زاویه خواسته شده در شکل زیر را پیدا کنید؟

تعامد شعاع و خط مماس بر دایره

حل 3:

مثلثی داریم که در صورت سؤال، تنها اندازه یک زاویه از آن داده شده است.

با دقت به وضعیت خط و دایره، مشاهده می‌کنیم که پاره خط \(\Large \ \overline{AB} \) بر دایره در نقطه A مماس است؛ بنابراین طبق ویژگی خط مماس، این پاره خط در نقطه A بر شعاع دایره (پاره خط \(\Large \ \overline{OA} \)) عمود است، پس زاویه \(\Large \ \hat A \) قائمه است.

از سویی می‌دانیم مجموع زوایای داخلی مثلث، برابر با °180 است؛ بنابراین:

\(\Large \ \hat A + \hat O + \hat B = 180°  \)

\(\Large \ → 90+40+ \hat B = 180  \)

\(\Large \ → \hat B =180- (90+40)= 50° \)

مثال 4: در شکل زیر، خطوط \(\Large \ a \) و \(\Large \ b \) موازیند. اندازه زاویه \(\Large \ \hat M \) را بدست آورید؟

خط مماس، توازی و تعامد

حل 4:

مثال خط مماس، توازی

  1. می‌دانیم که خط b تنها دایره را در یک نقطه قطع کرده است، پس خط مماس بر دایره است.
  2. می‌دانیم شعاع دایره در نقطه تماس بر خط مماس عمود است؛ بنابراین خط رسم شده از مرکز دایره \(\Large \ (O) \) به نقطه تماس \(\Large \ (H) \) بر خط b عمود است.
  3. با توجه به موازی بودن خطوط a و b، می‌توان قائمه بودن زاویه \(\Large \ \hat P \) را نتیجه گرفت؛ چون خطی که دو خط موازی را قطع کند با آن‌ها زاویه‌های مساوی می‌سازد (یادآوری: فصل سوم، درس دوم کتاب درسی).

مثلث قائم الزاویه

در مثلث قائم‌الزاویه \(\Large \ PMN \)، دو ضلع برابرند؛ بنابراین این مثلث متساوی الساقین بوده و دارای یک زاویه قائمه و دو زاویه برابر است. پس:

\(\Large \ \hat P + \hat M + \hat N = 180°  \)

\(\Large \ →90+2 \hat M =180  \)

بیا بیشتر بخونیم:
تعریف اعداد گویا و ... ! 🔢📝 همه چیز اینجاست!

\(\Large \ → 2 \hat M= 180-90=90\)

\( \Large \  →\hat M= 45°  \)


خرید درسنامه آموزش خط و دایره PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


وتر ؛ یک نمونه جذاب از مبحث خط و دایره

تعریف وتر

پاره‌خطی است که دو نقطه روی محیط دایره را به یکدیگر وصل می‌کند و با دو حرف نشان داده می‌شود. مانند وتر \(\Large \ AB \) در شکل زیر، که پاره‌خط بین دو نقطه \(\Large \ A \) و \(\Large \ B \) روی محیط دایره است.

وتر

ویژگی‌های وتر

وتر دایره، تعدادی ویژگی دارد که به شرح زیر می‌باشد:

  1. دایره دارای تعداد بی‌شماری وتر است.
  2. بزرگترین وتر دایره، وتری است که از مرکز دایره عبور می‌کند و قطر نام دارد. (مانند قطر \(\Large \ CD \) در شکل)
  3. دایره دارای تعداد بی‌شماری قطر است.
  4. فاصله هر وتر تا مرکز دایره، عمود منصّف آن وتر است. (به عبارت دیگر، پاره‌خطی که از مرکز دایره بر یک وتر عمود می‌شود، آن وتر را نصف می‌کند.
  5. برای پیدا کردن مرکز یک دایره، کافی است عمود منصّف دو وتر غیر موازی را رسم کرده و امتداد دهید. نقطه تقاطع این دو عمود منصّف، مرکز دایره خواهد بود.

پیدا کردن مرکز دایره به کمک دو وتر

مثال 5: در دایره ناقص زیر، مقدار \(\Large \ x \) را بدست آورید.

مثال ترکیبی؛ وتر و خط مماس

حل 5:

توجه شود که در این دایره ناقص، دو وتر رسم شده است و عمود منصّف هر یک از این وترها نیز رسم شده است. همان‌طور که یاد گرفتیم، محل تقاطع عمود منصّف‌های وترهای دایره، مرکز دایره است. بنابراین نقطه \(\Large \ M \) مرکز دایره است.

از طرفی مشاهده می‌شود که خط شامل پاره‌خط \(\Large \ PN \)، تنها دایره را در یک نقطه قطع کرده و بنابراین، مماس بر دایره است.

بیا بیشتر بخونیم:
با ضرب و تقسیم اعداد توان دار ➗✖️، توانت رو بالا ببر! آموزش ریاضی هشتم

پس \(\Large \ MN \) شعاع دایره است و بر خط مماس عمود است، بنابراین زاویه \(\Large \ \hat N \) قائمه و مثلث \(\Large \ PNM \) قائم‌الزاویه است.

حال برای یافتن \(\Large \ x \) کافی است از رابطه فیثاغورس استفاده کنیم:

\(\Large \ x^2 + 4^2 = 5^2 \)

\(\Large \ → x^2 = 25 – 16 = 9 \)

\(\Large \ → x = 3 \)

اثبات ویژگی شماره 4 از ویژگی‌های وتر

قبلاً گفته شد که فاصله یک نقطه تا یک خط، پاره‌خطی است که از نقطه بر خط عمود می‌شود. بنابراین برای این که ویژگی 4 را اثبات کنیم باید پاره‌خطی از مرکز دایره \(\Large \ (O) \) بر وتر \(\Large \ (\overline {AB}) \)عمود کرده \(\Large \ (\overline {OH}) \) و سپس بررسی کنیم که آیا این پاره‌خط، وتر را نصف می‌کند یا خیر؟

عمود منصف وتر

مشاهده می‌شود که مثلث‌های \(\Large \ AOH \) و \(\Large \ BOH \) که هر دو قائم‌الزاویه هستند (چون پاره‌خط بر وتر عمود است) به حالت وتر و یک ضلع (و ض) هم‌نهشت هستند (یادآوری: فصل ششم، درس چهارم کتاب درسی)؛ چون:

الف) برابری وترهای دو مثلث: \(\Large \ (\overline {OA} = \overline {OB}) \) ؛ چون هر دو شعاع دایره‌اند.

ب) برابری یک ضلع: ضلع \(\Large \ \overline {OH} \) در هر دو مشترک است.

از هم‌نهشتی این دو مثلث نتیجه می‌شود که: \(\Large \ \overline {OH} = \overline {BH} \) (یعنی پاره‌خط \( (r) \)، وتر را نصف کرده است).

بنابراین پاره‌خط \(\Large \ OH \)، عمود منصّف وتر \(\Large \ AB \) می‌باشد.

زنگ آخر کلاس خط و دایره

در این درس، تعریف ریاضی دایره به عنوان مجموعه نقاط، وضعیت‌های سه‌گانه خط و دایره، ویژگی‌های خط مماس، تعریف وتر و ویژگی‌های آن و نحوه پیدا کردن مرکز دایره به کمک وتر را یاد گرفتیم. همچنین مثال‌های مختلفی از این مباحث و نیز ترکیب آن‌ها با هم را مورد بررسی قرار دادیم. با در نظر داشتن همین چند نکته می‌توانیم به مسائلی که در این باره مطرح می‌شود، پاسخ بدهیم.

بیا بیشتر بخونیم:
مثلث های هم نهشت 📐🖍️ گل سرسبد شکل‌های هم‌نهشت!

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سوالات شما پاسخ خواهند داد.


خرید درسنامه آموزش خط و دایره PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    محمد بحرانی
    محمد بحرانی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0