زاویه های داخلی ❌⚔️ – نیروهای جوان کشور چندضلعی‌ها!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 27 تیر 1399 محمد بحرانی 186 بازدید
زاویه های داخلی – نیروهای جوان کشور چندضلعی‌ها!

خرید درسنامه آموزش زاویه های داخلی ❌⚔️ – نیروهای جوان کشور چندضلعی‌ها! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


به کشور چندضلعی‌ها خوش آمدید! قبول دارید اگر یک کشور به تولید داخل و نیروهای بومی خود اهمیت دهد، قطعاً موفق خواهد شد؟ خیالتان راحت… این درس مطالعات اجتماعی نیست. بازی و ریاضی چند ضلعی‌ هاست که زاویه های داخلی در آن بسیار اهمیت دارند. فراموش نکنید، در مثال‌های این درس شما رئیس‌جمهور این کشور خواهید بود.

در این درس‌نامه از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، با زاویه های داخلی آشنا خواهید شد. با یادگیری مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی، اندازه زاویه داخلی یک چند ضلعی منتظم و حل چندین مثال متنوع از آن‌ها آماده کاشی‌کاری خواهید بود. تعجب نکنید! تا پایان همراه ما باشید.

تعریف زاویه های داخلی

زاویه‌هایی که درون یک چند ضلعی قرار دارند، زاویه های داخلی آن چند ضلعی گفته می‌شوند.

به عنوان نمونه در شش‌ ضلعی زیر، زاویه‌هایی که با رنگ سبز مشخص شده‌اند، زاویه های داخلی آن هستند:

تعریف زاویه داخلی

انواع زاویه در چند ضلعی ‌ها

در این درس و درس زاویه های خارجی خواهیم دید که در چند ضلعی ‌ها دو نوع زاویه وجود دارد:

  1. زاویه داخلی
  2. زاویه خارجی

برای این که تفاوت این دو نوع زاویه را کاملاً متوجه شوید، به زاویه های داخلی و خارجی نشان داده شده در شکل زیر توجه کنید؛ هر زاویه داخلی با رنگ سبز و هر زاویه خارجی با رنگ قرمز نشان داده شده‌ است:

مقایسه زاویه های داخلی و خارجی

نکته: هر چندضلعی به تعداد اضلاعش دارای زاویه داخلی و خارجی است؛ به عنوان مثال یک هفت‌ضلعی، دارای 7 زاویه داخلی و 7 زاویه خارجی است.

بیا بیشتر بخونیم:
حل معادله درجه اول 🥇💎 – سرآغاز یک بحث شیرین ریاضی!

اندازه زاویه های داخلی در چند ضلعی ‌ها

مجموع زاویه های داخلی یک چند ضلعی

مجموع زاویه های داخلی یک \( \Large n \)– ضلعی از رابطه زیر بدست می‌آید:

\( \Large (n-2) × 180° \)

در این رابطه \( \Large n \) تعداد اضلاع چند ضلعی را نشان می‌دهد.

مثال 1: در چندضلعی زیر، اندازۀ زاویه \( \Large \hat C \) را بدست آورید.

مثالی از محاسبه مجموع زوایای داخلی

حل 1:

در صورت سؤال، یک پنج‌ضلعی رسم شده است. با توجه به آنچه آموختیم، کافی است در رابطه بالا به جای \( \Large n \)، عدد 5 قرار دهیم. مجموع زوایای داخلی یک پنج ‌ضلعی برابر خواهد بود با:

\( \Large (5-2) × 180° \)

\( \Large = 3 × 180° = 540° \)

اکنون که مجموع زاویه های داخلی را می‌دانیم، آن‌ها را با هم جمع زده و برابر عدد بدست آمده قرار می‌دهیم:

\( \Large \hat A + \hat B + \hat C + \hat D + \hat E = 540° \)

\( \Large 100° + 80° + \hat C + 85° + 130° = 540° \)

\( \Large → \hat C + 395° = 540° \)

\( \Large → \hat C = 540° – 395° \)

\( \Large → \hat C = 540° – 395° = 145° \)

مجموع زاویه های داخلی مثلث

با توجه به رابطۀ گفته شده، مجموع زاویه های داخلی مثلث برابر با °180 است. (چرا؟) کافی است به جای \( \Large n \)، عدد 3 (تعداد اضلاع مثلث) قرار دهیم.

\( \Large (3-2) × 180° = 180° \)

مجموع زاویه های داخلی چهارضلعی

مجموع زوایای داخلی چهار ضلعی‌ ها برابر با °360 است. (چرا؟) برای اثبات این موضوع می‌توانیم به جای \( \Large n \)، عدد 4 قرار دهیم:

\( \Large (4-2) × 180° = 360° \)

بیا بیشتر بخونیم:
خط و دایره : از سیر 🧄 تا پیاز 🧅

همچنین برای اثبات این موضوع می‌توانیم از روش زیر استفاده کنیم:

متوازی‌ الاضلاع زیر را به عنوان نمونه‌ای از چهار ضلعی‌ ها در نظر بگیرید. با رسم خط‌چین مشکی رنگ، این چهار ضلعی تبدیل به دو مثلث \( \Large ABC \) و \( \Large ADC \) می‌شود.

اثبات مجموع زاویه های داخلی چهارضلعی

از آن‌جا که مجموع زاویه های داخلی مثلث °180 بوده و همچنین با توجه به این که چهار ضلعی از دو مثلث تشکیل شده است، مجموع زوایای داخلی چهار ضلعی دو برابر مثلث خواهد بود:

\( \Large 2 × 180° = 360° \)

مثال 2: مجموع زوایای داخلی یک چند ضلعی  °1080 است. این چند ضلعی چند رأس دارد؟

حل 2:

برای حل این سؤال، باید فرمول مجموع زاویه های داخلی را نوشته و با حل معادله تعداد اضلاع را بدست آوریم:

\( \Large (n-2) × 180° = 1080° \)

\( \Large → (n-2) = \frac {1080}{180} = 6 \)

\( \Large → n = 6 + 2 = 8 \)

بنابراین این شکل، هشت‌ضلعی است. (دقّت کنید!) در صورت سؤال گفته شده تعداد رأس‌ها را بدست آورید؛ می‌دانیم هر چند ضلعی به تعداد اضلاعش دارای رأس است، بنابراین این چند ضلعی 8 رأس دارد.


خرید درسنامه آموزش زاویه های داخلی ❌⚔️ – نیروهای جوان کشور چندضلعی‌ها! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


زاویه های داخلی در چند ضلعی منتظم

اندازه زاویه داخلی یک چند ضلعی منتظم

اندازه هر زاویه داخلی یک \( \Large n \)– ضلعی منتظم از رابطه زیر بدست می‌آید:

\( \LARGE \frac {(n-2) × 180°}{n} \)

در این رابطه \( \Large n \) تعداد اضلاع چندضلعی را نشان می‌دهد.

اثبات: در درس چندضلعی‌ها آموختیم که در یک چندضلعی منتظم، زاویه‌ها با هم و ضلع‌ها با هم برابرند. بنابراین با توجه به رابطه بخش قبل برای مجموع زاویه های داخلی یک چندضلعی، کافی است مجموع زوایای داخلی را به تعداد زاویه‌ها (\( \Large n \)) تقسیم کنیم.

بیا بیشتر بخونیم:
زاویه های خارجی 🕙♦️🕑 – نگهبان قلعه چندضلعی‌ها!

مثال 3: هر یک از زاویه های داخلی چندضلعی زیر چند درجه است؟

ده ضلعی منتظم

حل 3:

این چند ضلعی، یک ده‌ ضلعی منتظم است. (چرا؟) چون همه اضلاع آن با هم برابرند. برای بدست آوردن هر یک از زوایای داخلی، از رابطه گفته شده برای چند ضلعی ‌های منتظم استفاده کرده و به جای \( \Large n \)، عدد 10 قرار می‌دهیم:

\( \Large \frac {(10-2) × 180°}{10} \)

\( \Large = \frac {1440}{10} = 144° \)

مثال 4: شکل زیر یک طرح هنری خاتم‌کاری شده بصورت چندضلعی منتظم را نشان می‌دهد که بخشی از آن در اثر حادثه‌ای از بین رفته است. از شما خواسته شده به کمک زاویه نشان داده شده تعداد اضلاع آن را بدست آورید.

پیدا کردن تعداد اضلاع به کمک زاویه داخلی

حل 4:

اندازه یک زاویه چند ضلعی منتظم داده شده است؛ پس باید از رابطه بالا استفاده کرده و با حل معادله تعداد اضلاع را بدست آوریم:

\( \Large \frac {(n-2) × 180°}{n} = 120° \)

طرفین وسطین کرده و مخرج کسر سمت چپ (\( \Large n \)) را در صورت کسر سمت راست تساوی (120) ضرب می‌کنیم:

\( \Large (n-2) × 180 = 120n \)

در این مرحله با استفاده از ضرب عدد در چندجمله‌ای سمت چپ تساوی را ساده می‌کنیم:

\( \Large → 180n – 360 = 120n \)

\( \Large → 180n – 120n = 360 \)

\( \Large → 60n = 360 \)

\( \Large → n = \frac {360}{60} = 6 \)

بنابراین طرح هنری داده شده، یک شش‌ضلعی منتظم را نشان می‌دهد.

کاشی‌کاری با چند ضلعی‌ های منتظم

یکی از شکل‌هایی که در کاشی‌کاری بسیار از آن استفاده می‌شود، چند ضلعی منتظم است. اگر بخواهیم در یک کاشی‌کاری فقط از یک نوع چند ضلعی منتظم استفاده کنیم، باید عدد 360 بر اندازه زاویه داخلی آن بخش‌پذیر باشد.

بیا بیشتر بخونیم:
خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها ریاضی هشتم ✖️➗ - یک‌ضرب یاد بگیر!

نکته: یک دور کامل (مانند یک دایره) برابر با °360 است.

مثال 5: با دلیل و رسم شکل نشان دهید کدامیک از چندضلعی‌های زیر به تنهایی مناسب کاشی‌کاری است؟

الف) هشت‌ضلعی منتظم          ب) شش‌ضلعی منتظم

حل 5:

مطابق نکته گفته‌شده، ابتدا اندازه زاویه های داخلی هر شکل را بدست می‌آوریم:

\( \Large \frac {(8-2) × 180°}{8} \) (زاویه هشت‌ضلعی منتظم)

\( \Large = \frac {1080°}{8} = 135° \)

\( \Large \frac {(6-2) × 180°}{6} \) (زاویه شش‌ضلعی منتظم)

\( \Large = \frac {720°}{6} = 120° \)

حال بررسی می‌کنیم که عدد 360 بر کدام‌یک بخش‌پذیر است:

\( \Large = \frac {360}{135} \simeq 2/67 \)

\( \Large = \frac {360}{120} = 3 \)

بنابراین تنها با استفاده از هشت ‌ضلعی منتظم نمی‌توان کاشی‌کاری کرد. اما این کار با شش‌ضلعی منتظم امکان‌پذیر است. این موضوع در شکل زیر نیز نشان داده شده است:

کاشی کاری با چندضلعی منتظم

همان‌گونه که مشاهده می‌کنید دو هشت ‌ضلعی در یک گوشه به هم متصل شده‌اند، اما نمی‌توانیم هشت ‌ضلعی سوم را به آن‌ها وصل کنیم تا آن گوشه را کامل کند.

از سوی دیگر، سه شش‌ ضلعی به صورتی کنار هم قرار گرفته‌اند که کاملاً فضا را پر می‌کنند.

زنگ آخر کلاس زاویه های داخلی

ماجراجویی ما در کشور چند ضلعی‌ها به پایان رسید! در این درس با زاویه های داخلی در چند ضلعی‌ها و تفاوت آن با زاویه خارجی آشنا شدیم. اکنون می‌توانیم مجموع زوایای داخلی در هر چند ضلعی و اندازه یک زاویه داخلی در چند ضلعی منتظم را با استفاده از رابطه ریاضی بدست آوریم. کاشی‌کاری با استفاده از چند ضلعی ‌ها فوت کوزه‌گری این درس بود که در پایان درس با یک روش ساده یاد گرفتیم.

بیا بیشتر بخونیم:
رابطه فیثاغورس ریاضی هشتم 📐📕 – وزیر بازی مثلثات!

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.


خرید درسنامه آموزش زاویه های داخلی ❌⚔️ – نیروهای جوان کشور چندضلعی‌ها! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    محمد بحرانی
    محمد بحرانی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0