عدد اول ریاضی هشتم 🥺🚶‍♂️ – کامل‌ترین آموزشی که لازم داشتید.

عدد اول ریاضی هشتم - کامل‌ترین آموزشی که لازم داشتید.

آماده باشید؛ قرار است تا چند لحظه دیگر با موجودات مستقلی روبرو شویم که فقط روی پای خود می‌ایستند! معرفی می‌کنم: اعداد اول ! در این درس خواهید دید این اعداد به کسی باج نمی‌دهند و تنها اندکی با عدد یک کنار می‌آیند. بخش‌پذیری بر اعداد دیگر برای آن‌ها ضعف محسوب می‌شود و هیچ‌گاه با این موضوع کنار نمی‌آیند…

در این درس از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، با یادآوری مفاهیم اعداد اول و اعداد مرکب، استفاده از نمودار درختی برای تجزیه یک عدد به شمارنده‌های اول را یاد گرفته و خواهیم دید دو عدد ممکن است نسبت به هم اول باشند. در ادامه روش‌های مهم اعداد اول ریاضی هشتم، یعنی روش غربال و روش تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد به کمک جذر تقریبی آن را خواهیم آموخت.

یادآوری اعداد اول

در فصل 5 ریاضی پایه هفتم با اعداد اول ، شمارنده اول، ب.م.م و ک.م.م آشنا شدیم. در این بخش اجازه دهید چند تعریف و نکته مهم را مرور کنیم تا با آمادگی کامل سراغ اصل مطلب برویم:



تعریف اعداد اول

هر عدد طبیعی و بزرگ‌تر از یک که هیچ شمارندۀ طبیعی به جز یک و خودش نداشته باشد، عدد اول نامیده می‌شود.

به بیان ساده‌تر: اعداد اول ، تنها بر عدد 1 و خودشان بخش‌پذیرند. به عنوان نمونه دو عدد 30 و 31 را در نظر بگیرید:

عدد 30 بر اعداد 1، 2، 3، 5، 6، 10 و 15 بخش‌پذیر است (یعنی بجز یک و خودش، پنج شمارندۀ دیگر نیز دارد). پس عدد 30، عدد اول نیست. اما عدد 31 تنها بر یک و خودش (31) بخش‌پذیر است و بجز آن هیچ شمارندۀ دیگری ندارد. پس عدد 31، یک عدد اول است.

تعریف اعداد مرکب

به اعداد طبیعی که بیش از دو شمارندۀ طبیعی داشته باشند، اعداد مرکب گفته می‌شود.

به عنوان نمونه شمارنده‌های طبیعی عدد 14، اعداد 1، 2، 7 و 14 است که بیش از دو شمارندۀ طبیعی (4 تا) دارد؛ بنابراین جزو اعداد مرکب محسوب می‌شود.

نکته 1: اگر بتوانیم عددی را بصورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگتر از یک بنویسیم، آن عدد مرکب خواهد بود. (از این روش برای تشخیص سریع‌تر اعداد مرکب استفاده کنید)

به نظر شما 2800 چه نوع عددی است؟ با استفاده از این نکته می‌توانیم به راحتی پاسخ دهیم: عدد مرکب. چون می‌توانیم 2800 را بصورت ضرب 28 در 100 بنویسیم.

بیا بیشتر بخونیم:
جذر تقریبی هشتم 😍 - گام به گام یاد بگیر

نکته 2: عدد یک، نه اول است و نه مرکب.

دسته‌بندی اعداد طبیعی با توجه به تعریف اعداد اول

با توجه به تعاریف گفته شده در بالا، می‌توان اعداد طبیعی را به سه دسته زیر تقسیم کرد:

  • اعداد اول
  • اعداد مرکب
  • عدد یک.

مثال 1: اعداد 1 تا 20 را نوشته و اعداد اول و اعداد مرکب را مشخص نمایید.

حل 1:

برای پاسخ به این مثال، از تعریف اعداد اول و اعداد مرکب استفاده می‌کنیم. بیایید اعداد را یکی یکی بررسی کنیم:

تکلیف عدد 1 که مشخص است: نه اول است و نه مرکب. عدد 2 تنها بر 1 و 2 بخش‌پذیر است (پس اول است). عدد 3 نیز بجز 1 و خودش هیچ شمارندۀ طبیعی ندارد (پس اول است). عدد 4 بر 1، 2 و 4 بخش‌پذیر است (پس مرکب است، چون بجز یک و خودش، عدد 2 را نیز می‌شمارد). عدد 5 بر چه اعدادی بخش‌پذیر است؟ فقط 1 و 5 (پس اول است). عدد 6 را می‌توانیم بصورت ضرب 2 در 3 بنویسیم (پس با توجه به نکته گفته شده مرکب است).

این اعداد را با همین روش بررسی می‌کنیم، دور اعداد اول با دایره سبز و دور اعداد مرکب با دایره قرمز خط می‌کشیم:

تعریف اعداد اول

رسم نمودار درختی یک عدد

می‌دانیم که هر عدد طبیعی را می‌توان بصورت ضرب شمارنده‌های آن نوشت. همچنین در برخی موارد مانند بدست آوردن ب.م.م و ک.م.م دو عدد، لازم است عدد را بصورت ضرب شمارنده‌های اول (شمارنده‌هایی که اعداد اول هستند) آن بنویسیم. برای تجزیه یک عدد بصورت ضرب شمارنده‌های اول آن، از نمودار درختی عدد استفاده می‌کنیم.

برای رسم نمودار درختی عدد، ابتدا عدد را مطابق شکل زیر نوشته و دو شمارندۀ دلخواه آن (بجز یک) را با دو شاخه به زیر آن وصل می‌کنیم. هرجا شمارندۀ اول دیدیم دور آن دایره می‌کشیم. این کار را برای هر شمارندۀ غیر اول هم ادامه می‌دهیم تا در نهایت فقط شمارنده‌های اول داشته باشیم.

تجزیه عدد با نمودار درختی

در این نمونه، نمودار درختی عدد 42 را رسم کرده‌ایم. ابتدا آن را بصورت ضرب 6 در 7 نوشته‌ایم؛ 7 یک عدد اول است، پس دور آن دایره کشیدیم. 6 یک عدد مرکب است، پس آن را باز هم بصورت ضرب 2 در 3 نوشتیم. اعداد 2 و 3 هر دو اعداد اول هستند، پس دور آن‌ها را نیز دایره می‌کشیم.

بیا بیشتر بخونیم:
اعداد صحیح 🧮📏 – نمایش روی محور مختصات

دقت کنید که در نهایت، عدد داده شده بصورت ضرب شمارنده‌های اول (اعداد درون دایره) نوشته می‌شود.

مثالی از تجزیه یک عدد طبیعی به اعداد اول

مثال 2: اعداد24 و 17 را به کمک نمودار درختی به اعداد اول تجزیه کنید.

حل 2:

ابتدا عدد 24 را مطابق روش گفته شده بصورت ضرب دو عدد می‌نویسیم. 2 ضربدر 12 یا 4 ضربدر 6 یا 8 ضربدر 3- انتخاب با شماست! بیایید 8 ضربدر 3 را پیش برویم:

حل مثال تجزیه عدد به اعداد اول

عدد 3 اول است، پس دور آن دایره می‌کشیم. عدد 8 مرکب است، پس آن را بصورت ضرب دو عدد (4 ضربدر 2) می‌نویسیم. عدد 2 اول است، دور آن دایره می‌کشیم. عدد 4 را بصورت ضرب 2 در 2 نوشته و چون هر دو عدد اول هستند، دور آن‌ها دایره رسم می‌کنیم.

بنابراین عدد 24 برابر است با ضرب شمارنده‌های اول (اعداد درون دایره). دقت کنید که با توجه به سه بار تکرار عدد 2 بر اساس مفهوم توان، می‌توان نوشت:

\( \Large 24 = 2^3 × 3 \)

امّا نمودار درختی عدد 17 چگونه است؟

گفتیم در رسم نمودار درختی، عدد را بصورت ضرب دو شمارنده بجز عدد 1 می‌نویسیم. عدد 17، یک عدد اول است، پس بجز 1 و 17 هیچ شمارندۀ دیگری ندارد و نمودار درختی آن بدین صورت خواهد بود:

نمودار درختی اعداد اول

نکته: نمودار درختی اعداد اول تنها یک خط (شاخه) دارد و خود آن عدد در دایره پایین خط نوشته می‌شود.



مضارب طبیعی یک عدد

اگر یک عدد را به ترتیب در اعداد طبیعی {1، 2، 3 و …} ضرب کنیم، مضرب‌های طبیعی آن عدد بدست خواهد آمد.

به عنوان نمونه مضارب اول، دوم و سوم عدد 6 به ترتیب برابرند با: {6، 12 و 18}.

\( \Large 6 × 1 = 6 \)

\( \Large 6 × 2 = 12 \)

\( \Large 6 × 3 = 18 \)

نکته 1: مضارب طبیعی اعداد اول به جز مضرب اول آن (خود آن عدد) مرکب‌اند. مثلاً: مضرب‌های طبیعی 7 عبارتند از: {…, 28, 21, 14, 7} که همگی بجز خود 7 مرکب هستند.

نکته 2: تمامی مضارب طبیعی اعداد مرکب، مرکب هستند. مثلاً: مضرب‌های طبیعی 9 عبارتند از: {…, 36, 27, 18, 9} که همگی مرکب هستند.

دو عدد متباین (نسبت به هم اول)

یادآوری: ب.م.م یعنی بزرگترین مقسومٌ‌علیه (شمارندۀ) مشترک دو عدد که برابر است با شمارنده‌های مشترک دو عدد با کوچکترین توان بدست می‌آید.

اگر ب.م.م دو عدد برابر یک باشد، می گوییم آن دو عدد نسبت به هم اول هستند. در واقع دو عددی که هیچ شمارندۀ اول مشترکی نداشته باشند نسبت به هم اول‌اند.

بیا بیشتر بخونیم:
جمع و تفریق اعداد صحیح ➕➖ – صحیح و سالم به مقصد برسید!

مثال 3: از بین جفت عددهای زیر کدام‌یک نسبت به هم اول‌اند؟

الف) 14 و 20

ب) 6 و 35

حل 3:

الف)

ابتدا باید ب.م.م اعداد 14 و 20 را بدست آوریم:

حل مثال دو عدد نسبت به هم اول

می‌بینیم که تنها شمارندۀ اول مشترک این دو عدد، 2 است؛ یعنی 2= (20,14). پس این دو نسبت به هم اول نیستند.

ب)

ب.م.م اعداد 6 و 35 را با رسم نمودار درختی و تجزیه به اعداد اول بدست می‌آوریم:

دو عدد متباین

این دو عدد، شمارندۀ مشترکی ندارند؛ یعنی 1= (35,6). بنابراین اعداد 6 و 35 نسبت به هم اول (متباین) هستند.

نکته 1: اعداد طبیعی زیر همواره نسبت به هم اول هستند:

  • دو عدد پشت سر هم – مانند اعداد 8 و 9: 1= (9, 8)؛
  • دو عدد اول متفاوت- مانند اعداد 23 و 11: 1= (23, 11)؛
  • هر عدد با 1 – مانند اعداد 200 و 1: 1= (200, 1).

نکته 2: اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، ک.م.م آن‌ها برابر است با ضرب آن دو عدد.

(چرا؟) چون ک.م.م از ضرب شمارنده‌های مشترک با بزرگترین توان در شمارنده‌های غیرمشترک بدست می‌آید. وقتی دو عدد نسبت به هم اول‌اند، هیچ شمارنده مشترکی ندارند و برای بدست آوردن ک.م.م باید آن دو را در هم ضرب کرد.

مثلاً ک.م.م اعداد 6 و 35 برابر است با: 210= 35 × 6 = [35, 6]؛ چون این دو نسبت به هم اول‌اند.

تعیین اعداد اول

در بخش‌های قبل با استفاده از مفاهیم عدد اول و عدد مرکب، آن‌ها را تشخیص دادیم. در مبحث اعداد اول ریاضی هشتم با دو روش برای تعیین این که یک عدد اول است یا نه آشنا خواهیم شد: «روش غربال» برای تعیین اعداد اول در یک بازه عددی و روش دیگر برای تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد.

روش غربال

برای تعیین اعداد اول در محدوده‌ای از اعداد از روش غربال استفاده می‌شود؛ برای این کار مراحل زیر را گام به گام انجام می‌دهیم:

  1. اعداد در محدودۀ خواسته شده را می‌نویسیم؛
  2. ابتدا عدد 1 را خط می‌زنیم (چون نه اول است و نه مرکب)؛
  3. به ترتیب مضارب اعداد اول (بجز خود آن اعداد) را خط می‌زنیم؛
  4. خط زدن مضارب اعداد اول را تا جایی ادامه می‌دهیم که مربع آن عدد اول بین عددهای نوشته شده نباشد (یعنی مربع آن عدد اول، از بزرگترین عدد داده شده بزرگتر باشد)؛
  5. عددهای باقی‌مانده، اعداد اول در آن محدوده خواهند بود.
بیا بیشتر بخونیم:
خط و دایره : از سیر 🧄 تا پیاز 🧅

مثال 4: اعداد اول بین 1 تا 40 را مشخص کنید.

حل 4:

چون سؤال از ما اعداد اول در یک بازه را خواسته است، مطابق مراحل روش غربال پیش می‌رویم.

تا کجا باید پیش برویم؟ تا مضارب عدد 5؛ چون مربع عدد اول بعد از آن یعنی 7 برابر است با 49 و از بزرگترین عدد این بازه (40) بزرگتر است:

  • اعداد 1 تا 40 را می‌نویسیم؛
  • عدد 1 را خط می‌زنیم؛
  • مضارب عدد 2 را (بجز خود 2) خط می‌زنیم: اعداد 4، 6، 8، 10 و … خط خواهند خورد؛
  • مضارب عدد 3 را (بجز خود 3) خط می‌زنیم: اعداد 6، 9، 12، 15 و … خط خواهند خورد؛
  • مضارب عدد 5 را (بجز خود 5) خط می‌زنیم: اعداد 10، 15، 20، 25 و … خط خواهند خورد؛
  • عددهایی که خط نخورده‌اند، اعداد اول این بازه اعداد هستند (با دایره زرد نشان داده شده‌اند).

روش غربال برای تعیین اعداد اول

تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد

برای تشخیص این که یک عدد، اول است یا مرکب کافی است آن عدد را بر اعداد اول کوچکتر از جذرش تقسیم کنیم. اگر بر هیچ‌یک از آن‌ها بخش‌پذیر نبود، عدد اول و در غیر این صورت مرکب خواهد بود.

مثال 5: عدد 143 اول است یا مرکب؟

حل 5:

با توجه به روش گفته شده، ابتدا باید جذر این عدد را محاسبه کنیم (برای این کار می‌توانیم از روش محاسبه جذر تقریبی استفاده می‌کنیم):

\( \Large \sqrt {143} \simeq 11/96 \)

بنابراین 143 را بر اعداد اول کوچکتر از 11/96 (یعنی 2، 3، 5، 7 و 11) تقسیم می‌کنیم:

تشخیص اول یا مرکب بودن یک عدد

این عدد بر 11 بخش‌پذیر است؛ پس مرکب خواهد بود.

زنگ آخر کلاس اعداد اول ریاضی هشتم

احتمالاً با مطالعه این درس متوجه شده‌اید که اعداد اول چقدر از بخش‌پذیر بودن بر سایر عددها متنفرند! تنها عددی که با این اعداد در حالت آتش‌بس قرار دارد، عدد یک است.

در این درس‌نامه تعریف اعداد اول و اعداد مرکب، روش تجزیه یک عدد به کمک نمودار درختی، مفهوم اول بودن دو عدد نسبت به هم (دو عدد متباین) را مرور کردیم. در پایان این درس به دلیل حل مثال‌های متنوع، به خوبی خواهیم توانست هر جا لازم شد از روش غربال و روش تشخیص اول یا مرکب بودن عدد استفاده کنیم.

بیا بیشتر بخونیم:
رابطه فیثاغورس ریاضی هشتم 📐📕 – وزیر بازی مثلثات!

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.



به خوندن ادامه بده!اعداد گویا – ✖️➗➖➕ چهار عمل اصلیخط تقارن ریاضی هشتم ✂️ – چندضلعی تا خورده!

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی هشتم به شما پیشنهاد می‌دهیم:

55 دیدگاه برای “عدد اول ریاضی هشتم 🥺🚶‍♂️ – کامل‌ترین آموزشی که لازم داشتید.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام دوست عزیز اگه به مثال ۵ دقت کنید جواب سواتون رو پیدا میکنید ۱۳۱ اول هست

      • ابوالفضل گفته:

        اگر نتوان عددی را به صورت ضرب و عدد بزرگتر ۱ نوشت آن عدد جای خالی است میشه بی زحمت جواب بدی

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      چون زوج هست وبه دو بخش پذیر هست پس مرکب هست

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      مانند اعاد طبیعی بیشمار عدد اول وجود داره پس بزرگترین عدد اول مشخص نیست وکوچکترین عدد اول ۲ هست

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      سلام وعرض ادب
      مرکب است چون غیر از خودش ویک به یازده وسیزده بخش پذیر است

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وعرض ادب
      فقط با داشتناختلافدو عدد نمیشه اونها رو پیدا کرد

  1. ناشناس گفته:

    چرا عدد ۲بااینکه زوج هست ولی اوله فرقش با اعداد زوج دیگه چی هست

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وعرض ادب
      ۲ فقط به خودش ویک بخش پذیره پس اوله ولی عددهای زوج دیگه غیر خودشون ویک به دو هم بخش پذیرن

  2. دلارام گفته:

    سلام وقتتوون بخیر ممنووووون بابت سایت خوبتووون و البتع چیزهای مفیدی ک در اختیار ما قرار دادید.!
    چطور بفهمیم عددی اولع یا مرکب؟
    اعداد بزرگی مانند:۵۶۸ یا ۷۳۹
    مانند اعداد بالا.!
    لطفا پاسخ بدید
    با تشکر.!🤝🏼🍩

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وادب
      راه ویژه ای وجود نداره باید با استفاده از روشهای بخشپذیری ببینید به عددیغیر خودش ویک بخش پذیر هست یا نه

  3. امید گفته:

    سلام و وقت بخیر . عدد ۱۵ به توان ۱۳ منهای ۱۱ به توان ۵ ، اول است ؟

    • رویا گفته:

      خیر مرکب، یکان ۱۵ به هر توانی برسد ۵ و یکان ۱۱ به هر توانی برسد ۱ است و تفاضل آنها ۴ پس مرکب است

      • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

        با سلام وادب
        ممنون از پاسخگویی شما دوست عزیز

  4. ناشناس گفته:

    سلام لطفاً به سوال زیر پاسخ دهید
    عددی از ۱۲۰ بزرگتر و ۱۶۰ کوچکتر است برای اینکه تعیین کنیم این عدد اول است یا مرکب حداکثر چند تقسیم باید انجام دهیم؟ چرا؟

  5. ✿✿✿ گفته:

    سلام لطفاً به این سوال جواب بدین
    عددی از ۱۰۰ بزرگتر و از ۱۴۰ کوچکتر است برای اینکه تعیین کنیم عدد اول است یا مرکب حداکثر چند تقسیم باید انجام شود چرا

  6. علی گفته:

    لطفا اگه میشه جواب بدین 🙏🙏
    حاصل جمع هفت عدد طبیعی اول است یا مرکب چرا؟

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام
      عدد مرکب ومضرب هفت میشه تگه اولین عدد رو x بگیریم وبعدی رو x+1 وبه همین ترتیب عدد هفتم میشود x+6 مجموع اینها میشود 7x+21 که اگر از ۷ فاکتور بگیریم عدد حاصل مضرب هفت میشود

  7. سعید گفته:

    لطفا اگه میشه جواب بدین 🙏🙏
    حاصل جمع هفت عدد طبیعی اول است یا مرکب چرا؟

  8. بهار گفته:

    سلام وقت بخیر بخش پذیری عدد۹۷ راتاچه عدداولی بررسی می کنیم؟

  9. ناشناس گفته:

    سلام میشه یه راه حل بدین من پس فردایک شنبه امتحان ریاضی دارم ۴فصل.فقط فصل ۱و۴بلدم حالا۲روهم یه کاریش می کنم ولی بااین حساب ازفصل(۳)۵/۵نمره داده هم نمره ی کمی میگرم هم معدلم میادپایین

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وشب به خیر
      متاسفم در این فرصت کم کاری نمیتونم بکنم از معلمتون کمک بگیرید

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.