اعداد گویا – ✖️➗➖➕ چهار عمل اصلی

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 16 شهریور 1399 محمد بحرانی 74 بازدید
اعداد گویا - ✖️➗➖➕ چهار عمل اصلی

اعداد گویا هم دل دارند دیگر! قرار نیست فقط اسم‌شان گویا باشد، می‌خواهند ما ریاضی‌دانان جوان کلاس هشتمی بتوانیم از آن‌ها خوب استفاده کنیم. اما چطور؟ اگر چند دقیقه‌ای با ما همراه باشید، راز حساب و کتاب اعداد گویا را به شما خواهیم گفت.

در این درس از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، روش جمع و تفریق، ضرب و تقسیم اعداد گویا و همچنین روش معکوس کردن آن‌ها را با هم یاد خواهیم گرفت.

جمع و تفریق اعداد گویا

جمع و تفریق اعداد گویا ، تقریباً مشابه روش جمع و تفریق اعداد صحیح است؛ با این تفاوت که در اینجا با اعداد کسری روبرو هستیم و باید چند مرحله بیشتر انجام دهیم.

برای جمع و تفریق اعداد گویا مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

  1. اعداد مخلوط را به کسری تبدیل می‌کنیم؛
  2. بین کسرها، مخرج مشترک می‌گیریم (بهترین مخرج مشترک، ک.م.م مخرج‌هاست.)؛
  3. اعداد مثبت را با هم و اعداد منفی را با هم جمع می‌کنیم؛
  4. حاصل اعداد مثبت و منفی را از هم کم می‌کنیم؛
  5. علامت حاصل، علامت عدد بزرگتر خواهد بود.

مثال 1: حاصل عبارت‌های زیر را بدست آورید:

\( \LARGE \frac {4}{5} + 2 – 1\frac {2}{3} \) (الف)

\( \LARGE \frac {14}{28} – (-\frac {3}{28}) – 7/2 \) (ب)

حل 1:

(الف) طبق روش گفته شده برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا اعداد مخلوط را به کسری تبدیل می‌کنیم (روش تبدیل عدد مخلوط به کسری را در درس‌نامه اعداد گویا آموختیم):

\( \LARGE 1\frac {2}{3} = \frac {(1×3)+2}{3} \)

\( \LARGE = \frac {5}{3} \)

در این مثال، سه کسر با مخرج‌های 5، 1 و 3 داریم (فراموش نکنید که هر عدد صحیح، یک عدد کسری با مخرج 1 است). برای گرفتن مخرج مشترک، از محاسبه ک.م.م استفاده می‌کنیم:

ک.م.م حاصل‌ضرب شمارنده‌های اول مشترک با بیشترین توان در شمارنده‌های غیر مشترک است. با توجه به این که این سه عدد هیچ شمارنده مشترکی ندارند، تنها باید آن سه را در هم ضرب نمود:

بیا بیشتر بخونیم:
زاویه های خارجی 🕙♦️🕑 – نگهبان قلعه چندضلعی‌ها!

\( \Large [1,3,5] = 1 × 3 × 5 = 15 \)

بنابراین با گرفتن مخرج مشترک، سه عدد بدین صورت تبدیل می‌شوند:

\( \LARGE \frac {4×3}{15} + \frac {2×15}{15} – \frac {5×5}{15} \)

\( \LARGE = \frac {12}{15} + \frac {30}{15} – \frac {25}{15} \)

حال اعداد مثبت را با هم و اعداد منفی را با هم جمع می‌کنیم:

 \( \LARGE = \frac {12}{15} + \frac {30}{15} \) (مثبت)

\( \LARGE = \frac {42}{15} \)

\( \LARGE = -\frac {25}{15} \) (منفی)

مجموع اعداد مثبت و منفی را از هم کم می‌کنیم:

\( \LARGE \frac {42-25}{15} = \frac {17}{15} \)

چون عدد مثبت بزرگتر است، علامت مثبت خواهد بود (\( \Large \frac {17}{15} \)).

(ب) آیا در این مثال، عدد مخلوط نداریم؟ بله! عدد اعشاری نوعی عدد مخلوط با مخرج 10 است؛ بنابراین آن را تبدیل به عدد کسری می‌کنیم:

\( \LARGE 7/2 = 7\frac {2}{10} \)

\( \LARGE = \frac {(7×10)+2}{10} = \frac {72}{10} \)

سپس ک.م.م دو عدد 28 و 10 را محاسبه کرده و مخرج مشترک می‌گیریم:ک.م.م؛ مخرج مشترک اعداد گویا

\( \LARGE \frac {14×5}{140} – (-\frac {3×5}{140}) – \frac {72×14}{140} \)

\( \LARGE \frac {70}{140} – (-\frac {15}{140}) – \frac {1008}{140} \)

حال اعداد مثبت را با هم و اعداد منفی را با هم جمع می‌کنیم (دقت کنید که علامت عدد دوم، مثبت است؛ چون ضرب منفی در منفی می‌شود مثبت!):

\( \LARGE \frac {70}{140} + \frac {15}{140} – \frac {1008}{140} \)

\( \LARGE \frac {70}{140} + \frac {15}{140} \) (مثبت)

\( \LARGE = \frac {70+15}{140} = \frac {85}{140} \)

\( \LARGE – \frac {1008}{140} \) (منفی)

اگر اعداد مثبت و منفی را از هم کم کنیم و علامت را برابر علامت بزرگترین عدد قرار دهیم (که در اینجا اندازه عدد منفی بزرگتر است)، داریم:

\( \LARGE = -\frac {1008 – 85}{140} \)

\( \LARGE = -\frac {923}{140} \)

ضرب اعداد گویا

برای ضرب چند عدد گویا، مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

  1. اعداد مخلوط را به کسری تبدیل می‌کنیم؛
  2. صورت و مخرج کسرها را با هم تا حد امکان ساده می‌کنیم (روش ساده کردن کسر را در درس‌نامه اعداد گویا آموختیم)؛
  3. علامت حاصل‌ضرب را با توجه به قانون ضرب علامت‌ها تعیین می‌کنیم؛
  4. صورت کسرها را در هم و مخرج کسرها را در هم ضرب می‌کنیم.
بیا بیشتر بخونیم:
فاکتورگیری ریاضی هشتم 🧮📚 – هنرمندانه از عبارت‌های جبری استفاده کن!

مثال 2: حاصل‌ضرب عبارت زیر را بدست آورید:

\( \LARGE \frac {12}{5} × 1\frac {2}{3} × (-\frac {9}{14}) \)

حل 2:

طبق روش گفته شده برای ضرب اعداد گویا مرحله به مرحله پیش می‌رویم:

یکی از اعداد، مخلوط است (\( \Large 1\frac {2}{3} \)). آن را به عدد کسری تبدیل می‌کنیم:

\( \LARGE 1\frac {2}{3} = \frac {(1×3)+2}{3} \)

\( \LARGE = \frac {5}{3} \)

حالا نوبت به ساده کردن صورت و مخرج کسرها می‌رسد؛ دقت کنید! قرار نیست فقط صورت و مخرج یک کسر را ساده کنیم، بلکه در ضرب، هر صورت را با هر مخرجی می‌توان ساده کرد:

ساده کردن کسرها در ضرب اعداد گویا

همانطور که می‌بینیم عدد 5 از صورت و مخرج دو کسر خط می‌خورد؛ عددهای 12 و 3 بر سه بخش‌پذیر است، پس هر دو را به 3 تقسیم می‌کنیم؛ عدد 2 از مخرج کسر آخر با عدد 4 (که حاصل ساده کردن 12 با 3 بود) نیز هر دو بر 2 بخش‌پذیرند.

می‌دانیم حاصل‌ضرب مثبت در مثبت، مثبت و سپس حاصل‌ضرب مثبت در منفی، منفی می‌شود. حال باید صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها را در هم ضرب کنیم (توجه کنید که هر جا صورت یا مخرجی خط خورده باشد، به این معنی است که آن صورت یا مخرج تبدیل به 1 شده است):

\( \LARGE 2 × 1 × (-\frac {9}{7}) \)

\( \LARGE = – \frac {18}{7} \)

تقسیم اعداد گویا

برای تقسیم اعداد گویا نیز چند مرحله را باید طی کنیم که یکی از این مراحل، معکوس کردن است؛ به همین دلیل ابتدا روش معکوس کردن یک عدد گویا را با هم یاد می‌گیریم:

معکوس یک عدد گویا

برای معکوس کردن یک عدد گویا، مراحل زیر را طی می‌کنیم:

  1. عدد گویا اگر مخلوط باشد، آن را تبدیل به عدد کسری می‌کنیم؛
  2. با همان علامت، جای صورت و مخرج را عوض می‌کنیم.
بیا بیشتر بخونیم:
اعداد صحیح 🧮📏 – نمایش روی محور مختصات

نکته 1: حاصل‌ضرب هر عدد در معکوس آن عدد، برابر با 1 خواهد بود.

نکته 2: صفر، تنها عددی است که معکوس ندارد؛ چون کسری که مخرج آن صفر باشد تعریف نشده است.

مثال 3: جای خالی را با عدد مناسب پر کنید:

\( \LARGE …..  × (-2\frac {3}{4}) = 1 \)

حل 3:

در نکته 1 دیدیم که ضرب یک عدد در معکوس آن عدد برابر با 1 است؛ پس برای این که حاصل‌ضرب بالا برابر با 1 باشد، باید در جای خالی معکوس عدد \( \Large -2\frac {3}{4} \) را قرار دهیم.

ابتدا این عدد مخلوط را به صورت کسری می‌نویسیم:

 \( \LARGE -2\frac {3}{4} = -\frac {(2×4)+3}{4} \)

\( \LARGE = -\frac {11}{4} \)

مطابق روش معکوس کردن یک عدد، علامت منفی را نگه داشته و جای صورت و مخرج را عوض می‌کنیم؛ پس معکوس این عدد برابر است با:

\( \LARGE = -\frac {4}{11} \)

مثال 4: معکوس عدد (4-) برابر با کدام گزینه است؟

الف) 4          ب) 0/25          ج) 4-          د) 0/25-

حل 4:

می‌دانیم که عدد (4-) یک عدد صحیح است و هر عدد صحیح، در واقع یک عدد گویا با مخرج 1 است. پس برای معکوس کردن آن کافی است با همان علامت، عدد 1 را بر آن عدد تقسیم کنیم:

\( \LARGE -\frac {1}{4} = -0/25 \)

روش‌های تقسیم اعداد گویا

برای تقسیم اعداد گویا ، دو روش وجود دارد:

روش اول (تبدیل تقسیم به ضرب)

برای این کار، صورت را به همان شکل نوشته و در معکوس مخرج ضرب می‌کنیم.

روش دوم (دور در دور – نزدیک در نزدیک)

برای تقسیم دو عدد کسری، می‌توان مطابق مراحل زیر از روش «دور در دور- نزدیک در نزدیک» استفاده کرد:

  1. اگر اعداد گویا ، مخلوط باشد آن‌ها را به صورت کسری می‌نویسیم؛
  2. دو عدد دور را در هم ضرب کرده و به عنوان صورت حاصل تقسیم می‌نویسیم؛
  3. دو عدد نزدیک را در هم ضرب کرده و به عنوان مخرج حاصل تقسیم می‌نویسیم.
بیا بیشتر بخونیم:
تعریف اعداد گویا و ... ! 🔢📝 همه چیز اینجاست!

روش دور در دور نزدیک در نزدیک

مثال 5: حاصل عبارت زیر را بدست آورید:

\( \LARGE \frac {2}{3} ÷ 1\frac {2}{9} \)

حل 5:

برای تمرین، از هر دو روش این مثال را حل می‌کنیم:

(روش اول): عدد دوم، یک عدد مخلوط است، پس برای معکوس کردن آن ابتدا آن را بصورت کسری می‌نویسیم:

\( \LARGE 1\frac {2}{9} = \frac {(1×9)+2}{9} \)

\( \LARGE = \frac {11}{9} \)

پس معکوس عدد دوم، برابر است با: \( \Large = \frac {9}{11} \)؛ حال عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌کنیم:

\( \LARGE \frac {2}{3} × \frac {9}{11} \)

پس این سؤال، تبدیل به ضرب دو عدد گویا شد. اکنون از روش ضرب اعداد گویا که در بخش‌های قبل یاد گرفتیم استفاده می‌کنیم:

\( \LARGE \frac {2×9}{3×11} = \frac {2×3}{1×11} \)

\( \LARGE \frac {6}{11} \)

توجه کنید که اعداد 9 و 3 به سه بخش‌پذیرند و در صورت و مخرج ساده می‌شوند؛ همچنین با توجه به مثبت بودن صورت و مخرج، علامت حاصل، مثبت شده است.

(روش دوم): عدد دوم، یک عدد مخلوط است که در روش اول آن را بصورت کسری نوشتیم؛ حالا وقت آن است که از روش دور در دور- نزدیک در نزدیک استفاده کنیم:

مثال تقسیم اعداد گویا

بنابراین حاصل برابر است با: \( \Large \frac {6}{11} \).

مثال ترکیبی با مبحث اعداد صحیح و جمع و تفریق اعداد گویا

مثال 6: حاصل عبارت زیر را بدست آورید:

\( \LARGE (-2\frac {1}{2} + 1\frac {1}{3}) ÷ (-1\frac {1}{4} × -\frac {2}{5})  \)

حل 6:

در درس اعداد صحیح با اولویت عملیات ریاضی آشنا شدیم و می‌دانیم که ابتد باید داخل هر پرانتز را محاسبه کنیم. پس پرانتزهای اول و دوم را محاسبه می‌کنیم.

توجه کنید که در تمام محاسبات، عدد مخلوط را طبق روشی که قبلاً یاد گرفته‌ایم، به عدد کسری تبدیل می‌کنیم.

بیا بیشتر بخونیم:
زاویه های دایره : زاویه محاطی و زاویه مرکزی ⭕️📐 – مبحثی کاربردی در هندسه!

\( \LARGE -2\frac {1}{2} + 1\frac {1}{3} \) (پرانتز اول)

\( \LARGE = -\frac {(2×2)+1}{2} + \frac {(1×3+1)}{3} \)

\( \LARGE = -\frac {5}{2} + \frac {4}{3} \)

حال باید برای جمع و تفریق بالا، مخرج مشترک بگیریم (ک.م.م اعداد 2 و 3 برابر است با 6):

\( \LARGE = -\frac {5×3}{6} + \frac {4×2}{6} \)

\( \LARGE = -\frac {15}{6} + \frac {8}{6} \)

\( \LARGE = -\frac {15-8}{6} = -\frac {7}{6} \)

پرانتز دوم، ضرب دو عدد گویاست که برای این کار ابتدا عدد مخلوط را به کسری تبدیل کرده و می‌دانیم علامت حاصل‌ضرب مثبت است (منفی در منفی):

\( \Large -1\frac {1}{4} × -\frac {2}{5} \) (پرانتز دوم)

\( \LARGE = -\frac {5}{4} × -\frac {2}{5} \)

\( \LARGE = \frac {5×2}{4×5} = \frac {2}{4} = \frac {1}{2} \)

توجه کنید که در کسر بالا، دو بار کسر را به اعداد 5 و سپس 2 ساده کرده‌ایم. بنابراین، صورت سؤال بدین صورت خواهد بود:

\( \LARGE -\frac {7}{6} ÷ \frac {1}{2} \)

اکنون با توجه به روش اول تقسیم اعداد گویا ، عدد اول را در معکوس عدد دوم (2) ضرب می‌کنیم:

\( \LARGE -\frac {7}{6} × 2 \)

\( \LARGE -\frac {7× 2}{6} \)

\( \LARGE -\frac {14}{6} = -\frac {7}{3}  \)

زنگ آخر کلاس اعداد گویا – چهار عمل اصلی

در این درس‌نامه یاد گرفتیم که اعداد گویا را نیز مانند همه مجموعه اعداد دیگر می‌توانیم با هم جمع، از یکدیگر تفریق، در هم ضرب یا بر یکدیگر تقسیم کنیم (البته با ترفندهایی که با مطالعه این درس، دیگر راز نیست).

در هر بخش، چندین مثال با روش‌های مختلف حل شد تا کاملاً به نوع سؤالات این درس هم آشنا شوید و از این به بعد مشکلی با اعداد گویا نداشته باشید.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    محمد بحرانی
    محمد بحرانی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0