تعریف اعداد گویا و … ! 🔢📝 همه چیز اینجاست!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 16 شهریور 1399 محمد بحرانی 37 بازدید
تعریف اعداد گویا و ... ! 🔢📝 همه چیز اینجاست!

گویا قرار است در این جلسه به تعریف اعداد گویا بپردازیم؟! ولی به نظر من هرچقدر از عددهای گویا تعریف کنیم، باز هم کم است، آخر این عددها مادر خیلی از اعدادی است که تا به حال خوانده‌ایم. احترام مادر هم واجب است؛ می‌پرسید چرا مادر؟ عجله نکنید، در این درس به آن هم خواهیم رسید. تا ارتباط تصویری مجموعه اعداد صبر کنید.

در این درس از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، در مورد اعداد گویا صحبت خواهیم کرد. پس از تعریف اعداد گویا و نوع خاص آن (اعداد اعشاری)، ارتباط مجموعه اعداد مختلف، ساده کردن کسرها، مقایسه اعدادگویا با هم، نوشتن چند عدد گویای مساوی توضیح داده خواهد شد. حل مثال‌های این درس قطعاً به تسلط شما بسیار کمک خواهد کرد.

تعریف اعداد گویا

به هر عددی که بتوان به صورت کسر \( \Large \frac{a}{b} \) نوشت که در آن  \( \Large a \) و \( \Large b \) هر دو عدد صحیح باشند و \( \Large b \ne 0 \)، عدد گویا گفته می‌شود.

مجموعه اعداد گویا، با حرف انگلیسی \( \Large Q \) نشان داده می‌شود. لازم به ذکر است که تعریف گفته شده در بالا، با نمادهای ریاضی بصورت زیر نوشته شده است:

\( \Large Q= \) { \( \Large \frac{a}{b} \mid a,b \in Z , b \ne 0 \) }

به عنوان نمونه، \( \Large \frac{2}{3} \) و \( \Large -\frac{8}{5} \) اعداد گویا هستند؛ اما \( \Large \frac{4}{0} \) تعریف نشده است (مخرج نباید صفر باشد).

تبدیل عدد گویای کسری به عدد مخلوط و بالعکس

عدد مخلوط، نحوه دیگر نمایش عدد کسری است که به شکل \( \Large c\frac{a}{b} \) نوشته می‌شود (\( \Large c \) هم مانند \( \Large a \) و  \( \Large b \)، یک عدد صحیح است). وقتی اندازه یک عدد بزرگتر از یک باشد (یعنی صورت کسر از مخرج آن بزرگتر باشد)، می‌توان بخش صحیح آن را جدا کرد (\( \Large c \)) و مابقی را بصورت کسری در سمت راست آن نوشت.

عدد کسری همان نحوه نمایشی است که در تعریف اعداد گویا یاد گرفتیم. همچنین برای تبدیل عدد مخلوط به عدد کسری، قسمت صحیح را در مخرج ضرب کرده و با صورت جمع می‌کنیم و به مخرج تقسیم می‌کنیم؛ یعنی:

\( \LARGE c\frac{a}{b} = c + \frac{a}{b} \)

\( \LARGE = \frac{(c×b)+a}{b} \)

مثال 1: اعداد کسری \( \Large -\frac{2}{1} \)، \( \Large \frac{5}{2} \) و \( \Large -\frac{4}{3} \) را بصورت عدد مخلوط و عدد \( \Large 3\frac{2}{5} \)  را بصورت عدد کسری نشان دهید.

حل 1:

برای تبدیل عدد کسری به مخلوط باید ببینیم چه مقدار صحیحی از کسر بیرون می‌آید (\( \Large c \)). به عبارتی،حاصل تقسیم صورت به مخرج پشت کسر و باقی‌مانده آن در صورت قرار می‌گیرد و مخرج هم دست‌نخورده باقی می‌ماند.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش احتمال هشتم 🎲👍 : احتمال رخ دادن پیشامد - احتمالاً نه! حتماً یاد می‌گیرید

\( \Large -\frac{2}{1} = -2 \)  ؛ در واقع، (2-) قسمت صحیح داریم و هیچ کسری باقی نمی‌ماند.

\( \LARGE \frac{5}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} \)

\( \LARGE = 2 + \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2} \)

\( \LARGE -\frac{4}{3} = \frac{-3}{3} + \frac{-1}{3} \)

\( \LARGE = -1 – \frac{1}{3} = -1\frac{1}{3} \)

برای تبدیل عدد مخلوط به کسری ( مشابه تعریف اعداد گویا ) نیز از روش گفته شده در بالا استفاده می‌کنیم:

\( \LARGE 3\frac{2}{5} = 3 + \frac{2}{5} \)

\( \LARGE = \frac{(3×5)+2}{5} = \frac{17}{5} \)

نکته: علامت منفی عدد مخلوط را می‌توان در صورت، مخرج یا قبل از عدد آورد.

عدد اعشاری- برمی‌گردیم به تعریف اعداد گویا با مخرج 10

هر عدد اعشاری، در واقع یک عدد گویا با مخرج 10 است؛ کافی است در تعریف اعداد گویا به جای مخرج، عدد 10 قرار دهید. به عنوان مثال تعدادی عدد اعشاری در زیر بصورت گویا نشان داده شده است:

\( \LARGE -1/2 = -1\frac{2}{10} \)

\( \LARGE 0/5 = \frac{5}{10} \)

\( \LARGE 2/9 = 2\frac{9}{10} \)

ارتباط تصویری مجموعه اعداد

تا به حال با مجموعه اعدادی مانند مجموعه اعداد صحیح یا همین مجموعه اعداد گویا آشنا شده‌ایم. برای آن‌که این مجموعه اعداد بهتر در ذهن ما بماند و همچنین چگونگی ارتباط مجموعه اعداد را بدانیم، نمودار زیر بسیار به ما کمک می‌کند (البته نگران مجموعه‌هایی که تا به حال نخوانده‌اید، نباشید).

ارتباط تصویری مجموعه اعداد

این تصویر نشان می‌دهد که مجموعه اعداد حقیقی از مجموعه اعداد گویا و گنگ تشکیل شده است. اعداد طبیعی زیرمجموعه اعداد حسابی و آن هم زیرمجموعه اعداد صحیح است. مجموعه اعداد صحیح زیرمجموعه اعداد گویاست.

با توجه به این ارتباط، می‌توان به عنوان مثال گفت هر عدد صحیح یک عدد گویا نیز هست، یا هر عدد طبیعی، یک عدد صحیح هم محسوب می‌شود.

مثال 2: نشان دهید مجموعه اعداد صحیح، زیرمجموعه اعداد گویاست.

حل 2:

در واقع سؤال را اینطور ترجمه می‌کنیم: نشان دهید هر عدد صحیح، یک عدد گویاست، به عبارتی باید بتوانیم هر عدد صحیح را به صورت یک عدد گویا بنویسیم، یعنی به صورت کسر\( \Large \frac{a}{b} \) (به شرطی که \( \Large b \)  صفر نباشد).

بیا بیشتر بخونیم:
همه چیز درباره جدول فراوانی 🗺️ ریاضی هشتم - داده‌های آماری

کدام عدد است که با تقسیم هر عدد به آن، حاصل تقسیم تغییر نمی‌کند؟ بله! عدد 1. پس می‌توانیم هر عدد صحیح \( \Large a \) را به صورت \( \Large \frac{a}{1} \)  بنویسیم؛ مثلاً می‌توان 4- را بصورت \( \Large -\frac{4}{1} \) نوشت. پس هر عدد صحیح، گویا هم هست و این، یعنی مجموعه اعداد صحیح، زیرمجموعه اعداد گویاست.

قرینه اعداد گویا

پس از تعریف اعداد گویا و همچنین آموختن نحوه ارتباط مجموعه اعداد، حالا نوبت به مطالبی در مورد عددهای گویا می‌رسیم. قرینه اعداد گویا هم مانند قرینه سایر اعداد است که در درس‌نامه مجموعه اعداد صحیح بصورت دقیق آموزش داده شده است. برای محاسبه قرینه یک عدد کافی است علامت قبل از آن را تغییر دهیم؛ از طرفی قرینه عدد صفر، خود صفر است.

ساده کردن کسرها

برای ساده کردن کسر، ابتدا آن را با توجه به روش گفته شده در درس‌نامه مجموعه اعداد صحیح برای تقسیم علامت‌ها، تعیین علامت می‌کنیم؛ سپس اگر هم صورت و هم مخرج به یک عدد بخش‌پذیر باشند، می‌توان آن‌ها را به آن عدد تقسیم کرد تا کسر ساده‌تر شود. این عمل را می‌توان تا جایی که صورت و مخرج به یک عدد مشترک بخش‌پذیر نباشد، ادامه داد.

مثال 3: کسرهای زیر را تا حد امکان ساده کنید:

الف) \( \Large \frac{20}{60} \)       ب) \( \Large \frac{-13}{-39} \)       ج)\( \Large \frac{126}{-90} \)

حل 3:

برای ساده کردن کسر، همان‌طور که گفته شد کافی است ببینیم صورت و مخرج هر دو بر چه عددی بخش‌پذیرند. سپس هر دو را به آن عدد تقسیم کنیم:

(الف)

همان‌گونه که می‌بینیم، هر دو عدد 20 و 60 به 10 بخش‌پذیرند؛ پس ابتدا هر دو را به 10 تقسیم می‌کنیم. سپس می‌بینیم باز هم می‌توان آن را ساده کرد، چون هر دو به 2 بخش‌پذیرند. با تقسیم اعداد 2 و 6 به دو، کسر به ساده‌ترین شکل نوشته می‌شود (چون دیگر نمی‌توانیم هر دو را به یک عدد تقسیم کنیم):

ساده کردن کسرها

(ب)

ابتدا تعیین علامت می‌کنیم: (-) تقسیم بر (-) می‌شود (+):

مثال ساده کردن عدد گویا

(ب)

ابتدا تعیین علامت می‌کنیم: (+) تقسیم بر (-) می‌شود (-):

ساده کردن عدد گویا

پیدا کردن چند عدد گویای مساوی

برای پیدا کردن چند عدد برابر با یک عدد گویا می‌توان صورت و مخرج را در یک عدد ثابت ضرب کرد؛ با این کار مقدار کسر هیچ تغییری نمی‌کند.

بیا بیشتر بخونیم:
زاویه های خارجی 🕙♦️🕑 – نگهبان قلعه چندضلعی‌ها!

مثال 4: سه کسر مساوی با عدد گویای \( \Large -\frac {4}{14} \) بنویسید. آیا عدد \( \Large -\frac {2}{7} \) با این عدد برابر است؟

حل 4:

گفتیم با ضرب صورت و مخرج در یک عدد، اندازه آن عدد گویا با کسر اول برابر خواهد بود؛ پس بی‌شمار عدد کسری مساوی با آن می‌توان نوشت. برای این کار اعداد (2)، (3) و (10) را در صورت و مخرج عدد داده شده ضرب می‌کنیم:

\( \LARGE -\frac {4×2}{14×2} = -\frac {8}{28} \)  (ضرب 2)

\( \LARGE -\frac {4×3}{14×3} = -\frac {12}{42} \)  (ضرب 3)

\( \LARGE -\frac {4×10}{14×10} = -\frac {40}{140} \)  (ضرب 10)

\( \LARGE -\frac {4×2}{14×2} = -\frac {8}{28} \) (ضرب 2)

برای این که ببینیم آیا عدد \( \Large -\frac {2}{7} \) نیز با عدد داده شده برابر است یانه، کافی است ببینیم با ضرب صورت و مخرج آن در یک عدد به آن می‌رسیم یا نه!

اگر دقت کنیم می‌بینیم که با ضرب صورت و مخرج \( \Large -\frac {2}{7} \) در عدد 2، به همان کسر \( \Large -\frac {4}{14} \) می‌رسیم. پس این دو عدد گویا با هم برابرند.

مقایسه اعداد گویا- کاربرد مهم تعریف اعداد گویا

برای مقایسه اعداد گویا با یکدیگر یا مرتب کردن اعداد گویا از کوچک به بزرگ و … به نکات ذیل توجه نمایید:

هر دو کسر مثبت

(الف) اگر مخرج دو کسر برابر باشد، کسری بزرگتر است که صورت بزگتری دارد.

(ب) اگر صورت دو کسر برابر باشد، کسری بزرگتر است که مخرج کوچکتری دارد.

(ج) اگر صورت یا مخرج دو کسر برابر نباشد، ابتدا مخرج مشترک گرفته و سپس مطابق حالت (الف) مقایسه می‌کنیم.

هر دو کسر منفی

(الف) اگر مخرج دو کسر برابر باشد، کسری بزرگتر است که صورت کوچکتری دارد.

(ب) اگر صورت دو کسر برابر باشد، کسری بزرگتر است که مخرج بزرگتری دارد.

(ج) اگر صورت یا مخرج دو کسر برابر نباشد، ابتدا مخرج مشترک گرفته و سپس مطابق حالت (الف) مقایسه می‌کنیم.

نکته 1: اعداد گویای مثبت از صفر بزرگتر و اعداد گویای منفی از صفر کوچکترند.

نکته 2: اگر یک کسر مثبت و کسر دیگری منفی باشد، همواره اعداد مثبت از منفی بزرگترند.

بیا بیشتر بخونیم:
خط تقارن ریاضی هشتم ✂️ – چندضلعی تا خورده!

مثال 5: اعداد زیر را از بزرگ به کوچک مرتب کنید (از چپ به راست):

\( \Large 2 \) ، \( \Large -3/1 \)، \( \LARGE -\frac {31}{3} \)، \(\LARGE 1\frac {7}{6} \)، \( \LARGE \frac {5}{7} \)

حل 5:

با توجه به نکات بالا، ابتدا اعداد مثبت و منفی را از هم جدا می‌کنیم (چون هر عدد مثبتی از هر عدد منفی بزرگتر است):

\( \Large 2 \) , \( \LARGE 1\frac {7}{6} \) , \( \LARGE \frac{5}{7} \) (مثبت)

 \( \Large -3/1 \) , \( \LARGE -\frac {31}{3} \)(منفی)

حالا اعداد مثبت را با هم و اعداد منفی را با هم مقایسه می‌کنیم:

(مقایسه اعداد مثبت):

یک عدد صحیح (\( \Large 2 \))، یک عدد گویا مخلوط (\( \Large 1\frac{7}{6} \)) و یک عدد گویا کسری (\( \Large \frac{5}{7} \)) داریم. برای آن که بتوانیم آن‌ها را با هم مقایسه کنیم، چون هیچ یک صورت یا مخرج برابر ندارند، مخرج مشترک می‌گیریم:

برای این کار ابتدا هر سه را بصورت کسری می‌نویسیم (توجه کنید که هر عدد صحیح، یک عدد گویا با مخرج 1 است):

\( \LARGE 2 = \frac {2}{1} \)

\( \LARGE 1\frac {7}{8} = \frac{(1×8)+7}{8} = \frac{15}{8}   \)

\( \LARGE \frac{5}{7} \)

یادآوری ک.م.م

بنابراین مخرج کسرها به ترتیب 1، 8 و 7 است. بهترین مخرج مشترک چیست؟ بله! ک.م.م.

بدست آوردن ک.م.م برای تعریف اعداد گویا

مطابق روش نمودار درختی (که در درس اعداد اول آموزش داده شد)، ک.م.م این سه عدد برابر است با 56. پس مخرج مشترک آن‌ها برابر است با 56 و این کسرها به ترتیب برابرند با:

\( \LARGE \frac {2×56}{56} = \frac {112}{56} \)

\( \LARGE \frac {15×7}{56} = \frac {105}{56} \)

\( \LARGE \frac {5×8}{56} = \frac {40}{56} \)

حال سه کسر مثبت با مخرج برابر داریم، کسری بزرگتر است که صورت بزرگتری داشته باشد:

\( \LARGE \frac {112}{56} \) , \( \LARGE \frac {105}{56} \) , \( \LARGE \frac {40}{56} \)

یعنی:

\( \LARGE 2 \) , \( \LARGE 1\frac {7}{8} \) , \( \LARGE \frac{5}{7}  \)

(مقایسه اعداد منفی):

در مورد اعداد منفی نیز ابتدا آن‌ها را بصورت کسری می‌نویسیم (توجه کنید که طبق تعریف اعداد گویا هر عدد اعشاری، یک عدد کسری با مخرج 10 است):

\( \LARGE-\frac {31}{3} \)

\( \LARGE -3/1 = -3\frac {1}{10} \)

\( \LARGE = -\frac{(3×10)+1}{10} = -\frac{31}{10} \)

مشاهده می‌کنیم که صورت هر دو کسر منفی برابرند، پس کسری بزرگتر است که مخرج بزرگتر داشته باشد (یعنی \( \Large -\frac{31}{10} \)).

بیا بیشتر بخونیم:
شکل های هم نهشت آموزش ریاضی هشتم 🔍🔎 – کپی برابر اصل!

بنابراین این اعداد را به ترتیب از کوچک به بزرگ (از چپ به راست) می‌نویسیم:

\( \LARGE 2 \) , \( \LARGE 1\frac {7}{8} \) , \( \LARGE \frac{5}{7}  \) , \( \Large -3/1 \) , \( \LARGE -\frac {31}{3} \)

نوشتن چند عدد بین دو عدد گویا

برای نوشتن چند عدد گویا بین دو عدد گویای داده شده، دو روش زیر را به کار ببرید:

  1. صورت‌ها را با هم و مخرج‌ها را با هم جمع می‌کنیم؛
  2. ابتدا مخرج مشترک گرفته و سپس صورت و مخرج را در یک واحد بیشتر از تعداد خواسته شده ضرب می‌کنیم.

مثال 6: بین دو عدد \( \Large \frac {2}{3} \) و \( \Large \frac {1}{5} \)  دو عدد گویا بنویسید.

حل 6:

(روش اول): صورت‌ها را با هم و مخرج‌ها را با هم جمع می‌کنیم، اولین عدد بدست می‌آید، برای بدست آمدن عدد دوم باز هم صورت و مخرج دو طرف را با هم جمع می‌کنیم:

نوشتن عدد بین دو عدد گویا طبق تعریف اعداد گویا

(روش دوم): مخرج مشترک می‌گیریم (15)؛ بنابراین این دو کسر به ترتیب برابرند با:

\( \LARGE \frac {2×5}{15} = \frac {10}{15} \)

\( \LARGE \frac {1×3}{15} = \frac {3}{15} \)

چون دو عدد از ما خواسته شده، مخرج کسر (15) را در (3) ضرب می‌کنیم:

نوشتن دو عدد بین اعداد گویا

بدست آوردن مجهول از تساوی دو کسر

در تساوی دو کسر، اگر یک مجهول در صورت یا مخرج داشته باشیم، می‌توان با «طرفین وسطین» آن را محاسبه نمود. برای این کار مطابق شکل زیر بصورت ضربدری اعداد را در هم ضرب می‌کنیم. سپس تبدیل به حل معادله درجه اول می‌شود.

برای فهم بهتر این موضوع، به مثال زیر توجه کنید:

بدست آوردن مجهول از تساوی دو کسر

\( \Large 5×x = 25×3 \)

\( \Large 5x = 75 \)

\( \LARGE x = \frac {75}{5} = 15 \)

زنگ آخر کلاس تعریف اعداد گویا

در این درس ضمن تعریف اعداد گویا به بررسی ارتباط مجموعه اعداد مختلف با هم پرداختیم و مسائل مختلفی در مورد عددهای گویا از جمله روش ساده کردن کسر، نوشتن چند عدد گویا بین دو عدد گویا و مقایسه اعداد گویا با هم را یاد گرفتیم. تعداد زیاد مثال‌های این درس، تمرین مناسبی برای عبور از قله عددهای گویاست.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    محمد بحرانی
    محمد بحرانی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0