با ضرب و تقسیم اعداد توان دار ➗✖️، توانت رو بالا ببر! آموزش ریاضی هشتم

اوووه! چقدر صفر داره این عدد! تازه باید 10 بار هم توی خودش ضربش کنم، بعد به یه عددی که 10 بار توی خودش ضرب شده تقسیمش کنم! کی میره این همه راه رو؟ اما اصلاً نگران نباشید! در این مطلب از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، روش ضرب و تقسیم اعداد توان دار را یاد می‌گیریم. اون وقت برات مثل آب خوردن میشه… این درس رو از دست نده، چون با این مبحث در سال‌های بعد هم کار داریم، مثل توان‌های گویا.

یادآوری مفهوم توان

در ریاضی پایه هفتم یاد گرفتیم که توان ، خلاصه ضرب یک عدد در خودش است. مثلاً به جای آن که عدد 20 را 17 بار در خودش ضرب کنیم، آن را به صورت \(\Large 20^{17} \) می‌نویسیم.

در عدد \(\Large a^n \)، عدد \(\Large a \) را پایه و \(\Large n \) را توان می‌گویند.

نکته: \(\Large a^{-n} \) یعنی \( \Large \frac {1}{a^n} \) .

ضرب اعداد توان‌ دار با پایه یا توان مساوی

در ضرب اعداد توان دار دو حالت برابر ممکن است رخ دهد:

1. پایه‌ها برابر باشند.
2. توان‌ها برابر باشند.

۱. اگر پایه‌ها برابر باشند

در ضرب اعداد توان ‌دار با پایه‌های برابر، یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را با هم جمع می‌کنیم.

\( \LARGE a^m × a^n = a^{m+n} \)

اگر \( \Large a^m × a^n  \) را بصورت ضرب باز کنیم، دلیل این رابطه فهمیده می‌شود (دیده می‌شود که \( \LARGE a \) به تعداد \( \LARGE (m+n) \) بار در خودش ضرب شده است):

\( \LARGE 2^{10} × 2^4 \)

\( \LARGE =2^{(10+4)} = 2^{14} \)

۲. اگر توان‌ها برابر باشند

در ضرب اعداد توان‌ دار با توان های برابر، یکی از توان ها را نوشته و پایه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم.

\( \LARGE a^m × b^m = (a×b)^m \)

اگر \( \Large a^m × b^m  \) را بصورت ضرب باز کنیم، دلیل این رابطه فهمیده می‌شود (دیده می‌شود که \( \LARGE a×b \) به تعداد \( \LARGE m \) بار در خودش ضرب شده است):

\( \LARGE 5/5^3 × 2^3 \)

\( \LARGE =(5/5 × 2)^3= 11^3 \)

به توان رساندن اعداد توان ‌دار

برای محاسبه عدد \( \Large (x^c)^n \)، کافی است دو توان را در هم ضرب کنیم؛ یعنی:

\( \LARGE (x^c)^n=x^{c × n} \)

توجه داشته باشید که برای بدست آمدن این رابطه، در واقع از همان فرمول ضرب استفاده شده و عدد \( \Large (x^c)^n \) ، \( \Large n \) بار در خودش ضرب شده است.

تذکر: دقت کنید که وقتی توان عدد، به توان رسیده باشد، نباید از این رابطه استفاده کنیم. به عنوان نمونه عدد \( \Large 7^{5^2} \) برابر است با \( \Large 7^{25} \)؛ چون کل عبارت به توان نرسیده است.

مثال 1: حاصل عبارت \( \Large 4^6+4^6+4^6+4^6 \) را بدست آورید.

حل 1:

چهار عبارت مساوی با هم جمع شده است، این مفهوم ضرب در 4 است؛ بنابراین این عبارت برابر است با:

\( \LARGE 4 × 4^6 \)

\( \LARGE = 4^{(1+6)}=4^7 \)

تقسیم اعداد توان دار با پایه یا توان مساوی

برای تقسیم اعداد توان دار نیز دو حالت کلی وجود دارد:

1. پایه‌ها برابر باشند.
2. توان‌ها برابر باشند.

۱. اگر پایه‌ها برابر باشند

در تقسیم اعداد توان ‌دار با پایه‌های برابر، یکی از پایه‌ها را نوشته و توان‌ها را از هم کم می‌کنیم.

\( \LARGE a^m \div a^n = a^{m-n} \)

(به شرطی که \(\Large a \ne 0 \))

\( \LARGE 256^9 \div 256^4 \)

\( \LARGE =256^{(9-4)} = 256^5 \)

۲. اگر توان‌ها برابر باشند

در تقسیم اعداد توان ‌دار با توان های برابر، یکی از توان ها را نوشته و پایه‌ها را بر هم تقسیم می‌کنیم.

 \( \LARGE a^m \div b^m = (\frac {a}{b})^m \)

(به شرطی که \(\Large b \ne 0 \))

\( \LARGE 18^{22} \div 9^{22} \)

\( \LARGE =(\frac {18}{9})^{22}=2^{22} \)

جذر گرفتن از اعداد توان دار

برای محاسبه ریشه دوم (جذر) عدد \( \Large x^c \)، کافی است توان \( \Large c \) را بر 2 تقسیم کنیم، یعنی:

\( \LARGE \sqrt { x^c} =x^{\frac {c}{2}} \)

در واقع جذر گرفتن، مانند رساندن عدد به توان \( \Large \frac {1}{2} \) است. با آموزش ریشه‌گیری در سال‌های بعد بیشتر کار داریم.

مثال 2: حاصل ضرب و تقسیم‌های زیر را بدست آورید.

الف) \( \Large 2^5 × 6^5 \)

ب) \( \Large (- \frac {2}{5})^4 × (- \frac {2}{5})^6 \)

ج) \( \Large (0/022)^6 \div (0/022)^2 \)

د) \( \LARGE \frac {15^{1991}}{5^{1991}} \)

حل 2:

 \( \Large 2^5 × 6^5 \) (الف

\( \Large =(2 × 6)^5= 12^5 \)

\( \Large (- \frac {2}{5})^4 × (- \frac {2}{5})^6 \) (ب

\( \Large =(- \frac {2}{5})^{4+6}=(- \frac {2}{5})^{10} \)

\( \Large (0/022)^6 \div (0/022)^2 \) (ج

\( \Large =(0/022)^{6-2}=(0/022)^4 \)

\( \LARGE \frac {15^{1991}}{5^{1991}} \) (د

\( \Large =(\frac {15}{5})^{1991}=3^{1991} \)

ضرب و تقسیم اعداد توان دار بدون پایه یا توان مساوی

اگر در ضرب و تقسیم اعداد توان ‌دار، نه توان و نه پایه برابر نباشند، نمی‌توانیم از روش‌های قبلی استفاده کنیم. در این حالت باید هر عدد را به شمارنده‌های اول تجزیه کنیم (همان کاری که در فصل 2، درس اول کتاب انجام می‌دادیم) و سپس از روش ضرب و تقسیم اعداد با پایه یا توان مساوی استفاده کنیم.

مثال 3: حاصل عبارت \( \Large 28 × 2^{12} \) را بدست آورید.

حل 3:

برای محاسبه حاصل ضرب، باید ابتدا عدد 28 را به شمارنده‌های اول تجزیه کنیم:

با جایگذاری تجزیه 28 به جای آن، ضرب تبدیل به ضرب اعداد توان ‌دار می‌شود و خواهیم داشت:

\( \Large 7 × 2^2 × 2^{12} \)

\( \Large =7 × 2^{(2+12)} \)

\( \Large =7 × 2^{14} \)

مثال 4: عدد \( \Large 9^5 \) چند برابر بیست و هفت است؟

حل 4:

ابتدا 27  و \( \Large 9^5 \) را به عامل‌های اول تجزیه می‌کنیم و سپس عدد \( \Large 9^5 \) را بر 27 تقسیم می‌کنیم:

\( \LARGE \frac {3^{20}}{3^3} \)

\( \Large =3^{(20-3)}=3^{17} \)

ساده کردن کسرهای دارای اعداد توان ‌دار

برای ساده کردن این کسرها، توان های مساوی و پایه‌های مساوی را مشخص کرده و جدا می‌کنیم. با این کار تبدیل به چند کسر شده و محاسبه آن ساده می‌شود. به نمونه زیر توجه کنید:

\( \LARGE \frac {3^4 × 2^9}{4^9 × 3^3} \)

\( \LARGE =\frac {3^4}{3^3} × \frac {2^9}{4^9} \)

\( \LARGE =3^{(4-1)} × (\frac {2}{4})^9 \)

\( \LARGE =3^3 × (\frac {1}{2})^9 \)

\( \LARGE =\frac {3^3}{2^9} \)

مقایسهٔ اعداد توان دار

برای مقایسه باید پایه یا توان این اعداد را تا جای ممکن برابر کنیم.

به توان رساندن پرانتز

اگر در یک پرانتز چند عدد در هم ضرب یا بر هم تقسیم شده باشند و کل پرانتز به توان برسد، هر یک از اعداد به توان رسیده و به همان صورت ضرب و تقسیم می‌شود؛ به زبان ریاضی:

\( \LARGE (\frac {ab}{c})^n = \frac {a^n × b^n}{c^n} \)

نکته: علامت منفی به توان عدد زوج، مثبت و به توان عدد فرد، منفی می‌شود.

تذکر: به تفاوت \( \Large -4^2 \) و \( \Large (-4)^2 \) دقت کنید؛ اولی برابر با 16- و دومی برابر با 16+ می‌باشد.

مثال 5: اعداد \( \Large 4 \) ،  \( \Large 2^{3^2} \)، \( \Large 2^3 \) ،  \( \Large 8^4 \) و  \( \Large (2^3)^2 \)را از بزرگ به کوچک مرتب نمایید.

حل 5:

برای مقایسه، پایه همه اعداد را برابر با 2 می‌کنیم (چون اگر اعداد 4 و 8 را تجزیه کنیم، پایه آن‌ها 2 خواهد بود)؛ پس با نکاتی که از این درس آموخته ایم، این اعداد را با پایه 2 می‌نویسیم:

\( \Large 4 = 2^2 \) *

\( \Large 2^{3^2} = 2^9 \) *

 \( \Large 2^3 \) *

 \( \Large 8^4 = (2^3)^4 \) *

\( \Large =2^{3 × 4}=2^{12} \)

 \( \Large (2^3)^2=2^{3 × 2}=2^6   \) *

خب! عددی بزرگتر است که توان بزرگتری دارد (یادتون نره؛ چون پایه‌ها برابرند). یعنی به ترتیب \( \Large 2^{12} \) ، \( \Large 2^9 \) ، \( \Large 2^6 \) ، \( \Large 2^3 \) و \( \Large 2^2 \) .

مثال کاربردی از اعداد توان دار در هندسه

مثال 6: حجم مکعبی به ضلع \( \Large 4x \) چند برابر حجم مکعبی به ضلع \( \Large x \) است؟

حل 6:

می‌دانیم حجم مکعب از سه بار ضرب کردن یک ضلع در خودش (یا همان به توان 3 رساندن یک ضلع) محاسبه می‌شود. پس حجم مکعبی به ضلع \( \Large 4x \) برابر است با:

\( \LARGE (4x)^3 = 4^3 × x^3 \)

\( \LARGE = 64x^3 \)

همچنین حجم مکعبی به ضلع \( \Large x \) برابر است با: \( \Large x^3 \) . حال برای این که بدانیم حجم اول چند برابر حجم دوم است، این دو را تقسیم می‌کنیم (پس حجم مکعب بزرگتر، 64 برابر مکعب کوچکتر است):

\( \LARGE \frac {64x^3}{x^3} = 64 \)

مثال 7: کسر زیر را تا جای ممکن ساده کنید:

\( \LARGE \frac {-2^2 × 81^{14}}{((-2) × 3)^{28}} \)

حل 7:

برای حل این سؤال مراحل زیر را طی می‌کنیم:

گفتیم برای ساده کردن کسر، باید تا جای ممکن پایه‌ها و توان ها را برابر کنیم

هم صورت و هم مخرج، عددی با پایه 2 دارد؛ پس می‌توانیم آن را نگه داریم. همچنین عدد \( \Large 81^{14} \) را می‌توان با تجزیه 81، بصورت \( \Large (9^2)^{14} \) نوشت که برابر با \( \Large 9^{28} \)، پس هم در صورت و هم در مخرج توان 28 داریم.

توجه: قبلاً گفتیم اعداد را به شمارنده‌های اول تجزیه می‌کنیم؛ اما در اینجا چون دیدیم مخرج دارای توان 28 بود، عدد 81 را بصورت \( \Large 9^2 \) نوشتیم.

پس تا اینجای کار کسر بدین صورت ساده شده است:

\( \LARGE = \frac {-2^2 × 9^{28}}{((-2) × 3)^{28}} \)

• به توان رساندن کل پرانتز

کل مخرج کسر به توان 28 رسیده است، قبلاً گفتیم که هر عدد به توان رسیده و در هم ضرب می‌شود.

• علامت منفی به توان یک عدد

توجه کنیم که در عبارت \( \Large -2^2 \) ، علامت منفی در پرانتز نیست، پس به توان نمی‌رسد. همچنین در مخرج کسر علامت منفی قبل از 2 چون به توان یک عدد زوج (28) می‌رسد، مثبت می‌شود.

\( \LARGE = \frac {-2^2 × 9^{28}}{2^{28} × 3^{28}} \)

• نوشتن کسر بصورت ضرب دو کسر

این کسر را بصورت ضرب دو کسر با توان و پایه مساوی تبدیل می‌کنیم:

\( \LARGE = \frac {-2^2}{2^{28}} × \frac {9^{28}}{3^{28}} \)

• انجام تقسیم‌ها

 \( \Large = -2^{(2-28)} × (\frac {9}{3})^{28} \)

\( \Large = -2^{(-26)} × 3^{28} \)

با توجه به نکته ابتدای درس، می‌توانیم با انتقال عدد با توان منفی به مخرج، این کسر را بصورت زیر بنویسیم:

\( \LARGE = -\frac {3^{28} }{ 2^{26}} \)

زنگ آخر کلاس ضرب و تقسیم اعداد توان دار

در این مطلب یاد گرفتیم که چگونه اعداد توان‌ دار با توان یا پایه برابر را ضرب و تقسیم کنیم و اگر توان یا پایه برابر نداشتند، با تجزیه اعداد به شمارنده‌های اول توانستیم آن‌ها را ضرب و تقسیم کنیم. در ادامه با حالت‌های خاصی مانند ساده کردن کسر، به توان رساندن پرانتز و مقایسه اعداد توان دار آشنا شده و با حل چندین مثال، کاملاً به این موضوع مسلط شدیم.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.