خط تقارن ریاضی هشتم ✂️ – چندضلعی تا خورده!

خط تقارن ریاضی هشتم – چندضلعی تا خورده!

یه جوری جلوی آینه وایسا که فقط نصف خودت رو ببینی؛ قبول داری انگار از وسط تا خوردی؟ آره خودشه، تقارن ! یکی از زیبایی‌های آفرینش خداوند که کافیه با یه نگاه دقیق‌تر به طبیعت بگردی و پیداش کنی! در این درس از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، ابتدا با تعریف چندضلعی و همچنین چند ضلعی‌های منتظم آشنا شده و خط تقارن و مرکز تقارن را در شکل‌ها بررسی خواهیم کرد.

چند ضلعی ‌ها

چند ضلعی‌ ها یکی از مهم‌ترین شکل‌های هندسی هستند. آن‌ها را در دروس مختلف و همچنین در معماری‌های ساختمان‌ها، کاشی‌کاری‌ها و … زیاد مشاهده می‌کنیم. پیش از رسیدن به موضوع خط تقارن بیایید چند تعریف را در مورد چندضلعی‌ها با هم مرور کنیم:



تعریف چند ضلعی

به هر خط‌ شکسته بسته‌ای که ضلع‌هایش همدیگر را قطع نکنند (به جز در رأس‌های آن)، چند ضلعی گفته می‌شود. به عنوان نمونه، شکل‌های زیر چند ضلعی هستند؛ دقت کنید که این خط‌ شکسته‌ها فقط همدیگر را در رأس‌ها (که با رنگ سبز نشان داده شده است) قطع کرده‌اند:

تعریف چندضلعی

 

مثال 1: با ذکر دلیل مشخص کنید کدامیک از شکل‌های زیر چند ضلعی هستند؟

مثال تعریف چندضلعی

حل 1:

طبق تعریف به خاطر داشته باشیم که چند ضلعی بودن یک شکل 3 شرط دارد:

  1. خط‌شکسته باشد؛
  2. بسته باشد؛
  3. خطوط آن همدیگر را قطع نکنند (مگر در رأس‌ها).

شکل (الف) شرایط گفته شده را دارد، پس چند ضلعی است. شکل (ب) چندضلعی نیست، چون خطوط آن همدیگر را در نقطه وسط قطع کرده‌اند (و این نقطه رأس شکل نیست). شکل (ج) چند ضلعی نیست، چون بسته نیست. شکل (د) هم چند ضلعی نیست، چون با وجود بسته بودن و قطع نکردن، دارای خط‌ شکسته نیست (منحنی است).

تعریف چند ضلعی منتظم

چند ضلعی منتظم به چندضلعی گفته می‌شود که در آن، همه زاویه‌ها با هم و همه ضلع‌ها با هم برابرند. به عنوان نمونه تعدادی چند ضلعی منتظم را با هم می‌بینیم:

مثال تعریف چندضلعی

مثال 2: شکل‌های زیر را رسم کرده و مشخص کنید کدام‌یک چند ضلعی منتظم است.

الف) متوازی‌الاضلاع؛

ب) لوزی با زاویه قائمه.

حل 2:

الف) متوازی‌الاضلاع مطابق شکل زیر رسم شده است؛ همان‌گونه که در درسنامه چهار ضلعی‌ها توضیح داده شده است، در متوازی ‌الاضلاع ضلع‌های روبرو موازی و برابرند، اما چهار ضلع و چها زاویه برابر ندارد. پس چهار ضلعی منتظم نخواهد بود.

مثال چندضلعی غیرمنتظم

ب) در لوزی هر چهار ضلع برابر و ضلع‌های روبرو موازی هستند. اگر زاویه‌های لوزی را قائمه در نظر بگیریم، تبدیل به مربع می‌شود که دارای چهار ضلع مساوی و چهار زاویه مساوی (قائمه) بوده و چهار ضلعی منتظم خواهد بود.

لوزی با زوایای قائمه

خط تقارن چیست؟

خط تقارن (محور تقارن) خطی است که شکل را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند و اگر شکل را روی آن تا بزنیم، دو قسمت شکل دقیقاً بر روی هم قرار می‌گیرند.

تعریف خط تقارن

همان‌طور که می‌بینیم در هشت‌ضلعی بالا خط‌چین قرمز خط تقارن شکل است، چون با تا زدن آن سمت راست دقیقاً روی سمت چپ قرار گرفته است. برای جا افتادن مطلب، به مستطیل زیر توجه کنید. بیایید بررسی کنیم که کدام‌یک از دو خط‌چین قرمز و آبی رنگ خط تقارن مستطیل است:

بررسی خط تقارن مستطیل

 

مستطیل را روی این دو خط ‌چین تا می‌زنیم، مشاهده می‌کنیم که با خط‌چین آبی نیمه بالا دقیقاً روی نیمه پایین قرار گرفته است، پس خط‌ چین آبی، خط تقارن مستطیل است. اما با تا زدن مستطیل روی خط‌چین قرمز، دو طرف شکل روی هم قرار نگرفته‌اند، بنابراین خط‌چین قرمز نمی‌تواند خط تقارن باشد.

راه تشخیص خط تقارن

در آموزش خط تقارن ریاضی هشتم روشی را یاد خواهیم گرفت که نیازی به تا زدن شکل بر روی خط نداشته باشیم! اگر بخواهیم بدانیم یک خط، خط تقارن شکل هست یا نه، از هر نقطه بر روی محیط شکل، بر خط موردنظر عمودی رسم کرده و به همان اندازه ادامه دهید. اگر آن نقطه روی محیط شکل قرار گرفت خط تقارن است و اگر روی مخیط شکل قرار نگرفت، خط تقارن نیست.

مثال 3: کدام‌یک از خطوط نشان داده شده در شکل زیر، خط تقارن مثلث است؟

روش تشخیص خط تقارن

حل 3:

نقطه‌ای مانند \( \Large A \) روی مثلث در نظر گرفته‌ایم. از این نقطه خطی عمود بر خط \( \Large a \) رسم می‌کنیم، به اندازه \( \Large A{H_1} \) خط را ادامه می‌دهیم. نقطه آخر خط را  \( \Large A’ \) می‌نامیم، از آنجا که این نقطه روی مثلث قرار ندارد (داخل قرار گرفته)، خط \( \Large a \) خط تقارن مثلث نیست.

مثال خط تقارن ریاضی هشتم

همچنین از نقطه \( \Large A \) خطی عمود بر خط \( \Large b \) رسم می‌کنیم، به اندازه \( \Large A{H_2} \) خط را ادامه می‌دهیم. نقطه آخر خط را  \( \Large A’’ \) می‌نامیم، از آنجا که این نقطه روی مثلث قرار گرفته است، پس خط \( \Large b \) خط تقارن مثلث است.

خط تقارن در چند ضلعی منتظم

چند ضلعی منتظم به تعداد اضلاعش، خط تقارن دارد. به عنوان مثال، تعداد محورهای تقارن در پنج‌ ضلعی منتظم 5، مربع 4 و مثلث متساوی ‌الاضلاع 3 است. در شکل زیر، به عنوان نمونه  تعدادی چند ضلعی منتظم را مشاهده می‌کنید:

خط تقارن چندضلعی منتظم

نکته: دایره دارای بی‌نهایت خط تقارن است.

مرکز تقارن

اگر شکلی را حول یک نقطه، ١٨٠ درجه دوران دهیم و نتیجه دوران، روی خودش منطبق شود، می‌گوییم شکل مرکز تقارن دارد و نقطه مورد نظر، مرکز تقارن شکل است. مثلاً اگر شکل مشکی رنگ زیر را حول نقطه‌ٔ \( \Large O \) به اندازه 180 درجه دوران دهیم، بر روی خودش قرار می‌گیرد، پس این نقطه، مرکز تقارن شکل خواهد بود.

تعریف مرکز تقارن



راه تشخیص مرکز تقارن

برای این که بدانیم شکلی مرکز تقارن دارد یا خیر، در وسط آن شکل نقطه‌ای در نظر می‌گیریم. اگر از هر نقطه‌ روی شکل به نقطه وسط، خطی رسم کرده و به همان اندازه ادامه دهیم و انتهای خط روی شکل قرار بگیرد، آن نقطه، مرکز تقارن شکل خواهد بود.

مثال 4: آیا شکل‌های زیر مرکز تقارن دارند؟

مثال مرکز تقارن

حل 4:

الف) نقطه مرکز دایره را در نظر می‌گیریم، نقاطی مانند \( \Large A \) و \( \Large B \) روی شکل انتخاب کرده و به نقطه \( \Large O \) وصل می‌کنیم، به همان اندازه ادامه می‌دهیم . چون نقاط انتهایی (یعنی \( \Large A’ \) و \( \Large B’ \)) روی شکل قرار دارند، پس \( \Large O \) مرکز تقارن شکل خواهد بود.

حل مثال مرکز تقارن

ب) نقطه‌ای در وسط مثلث مانند  \( \Large O \) در نظر می‌گیریم، اگر از نقطه \( \Large A \) به نقطه \( \Large O \) وصل کرده و به همان اندازه ادامه دهیم، نقطه انتهایی (یعنی \( \Large A’ \)) روی شکل قرار نمی‌گیرد، پس مثلث مرکز تقارن ندارد.

مرکز تقارن چندضلعی ها

ساختن شکل دارای مرکز تقارن

مثال 5: شکل زیر را به گونه‌ای کامل کنید که نقطۀ \( \Large O \) مرکز تقارن آن باشد.

مثال تکمیل شکل

حل 5:

مطابق روشی که برای تشخیص مرکز تقارن بیان کردیم، در صورتی نقطۀ \( \Large O \) مرکز تقارن شکل است که با وصل کردن هر نقطه به آن و ادامه دادن به همان اندازه باز هم به روی شکل برسیم.

پس باید چهار رأس این چهارضلعی را به نقطۀ \( \Large O \) وصل کرده و به همان اندازه امتداد دهیم تا چهار نقطه جدید ایجاد شود. از صفحه شطرنجی می‌توانیم استفاده کنیم، مثلاً فاصله نقطه بالا سمت راست تا نقطۀ \( \Large O \)، یک واحد به راست و دو واحد پایین است. پس از نقطه \( \Large O \) هم به همین ترتیب آن را ادامه داده‌ایم:

حل مثال تکمیل شکل مرکز تقارن

با وصل کردن این نقاط به هم، چهار ضلعی سبز رنگ رسم می‌شود. حالا نقطۀ  \( \Large O \) مرکز تقارن (شکل مشکی + شکل سبز) است.

مرکز تقارن در چندضلعی منتظم

اینجا این سوال پیش می آید کدامیک از چند ضلعیهای منتظم مرکز تقارن درند؟

چند ضلعی‌های منتظم، اگر تعداد اضلاع زوج باشد، مرکز تقارن دارند و اگر تعداد اضلاع فرد باشد، مرکز تقارن ندارند. به عنوان مثال 8 ضلعی منتظم مرکز تقارن دارد، اما 5 ضلعی منتظم مرکز تقارن ندارد.

مثال 6: کدامیک از شکل‌های هندسی زیر هم خط تقارن و هم مرکز تقارن دارد؟

الف) مثلث متساوی‌الاضلاع     ب) هفت‌ضلعی منتظم     ج) مربع     د) نه‌ضلعی منتظم

حل 6:

مثلث متساوی‌ الاضلاع، سه ضلعی منتظم و مربع، چهار ضلعی منتظم هستند. در بخش‌های قبل دیدیم که چند ضلعی‌های منتظم به تعداد اضلاع‌شان خط تقارن دارند، پس همه این شکل‌ها دارای خط تقارن هستند.

گزینه‌های (الف) تا (د) به ترتیب 3، 7، 4 و 9 ضلع دارند و از آن‌جا که چند ضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع زوج دارای مرکز تقارن هستند، پس فقط 4ضلعی منتظم (مربع) دارای مرکز تقارن است.

چند نکته در مورد خط تقارن اشکال هندسی

متوازی الاضلاع شکلی که مرکز تقارن دارد ولی خط تقارن ندارد

یکی از شکل‌های جالب توجه در این درس، متوازی ‌الاضلاع است. متوازی الاضلاع چند خط تقارن دارد؟ بیایید با هم ببینیم. چهار خط تقارن احتمالی را برای این شکل رسم کرده‌ایم: دو قطر متوازی ‌الاضلاع و دو خط عمودی و افقی که از مرکز می‌گذرد. از روش تشخیص خط تقارن ریاضی هشتم در این شکل دیده می‌شود که هیچ یک از این خطوط، خط تقارن نیست.

آیا متوازی‌الاضلاع خط تقارن دارد؟ 1 آیا متوازی‌الاضلاع خط تقارن دارد؟ 2 آیا متوازی‌الاضلاع خط تقارن دارد؟ 3 آیا متوازی‌الاضلاع خط تقارن دارد؟ 4

متوازی ‌الاضلاع مرکز تقارن دارد، به شکل زیر توجه کنید؛ هر نقطه‌ای روی شکل را به مرکز وصل کرده و به همان اندازه ادامه دهیم روی شکل قرار می‌گیرد.

مرکز تقارن متوازی ‌الاضلاع

شکلی که بیش از دو خط تقارن دارد ولی مرکز تقارن ندارد

قبلاً گفتیم که همه چند ضلعی‌های منتظم خط تقارن دارند، اما تنها چند ضلعی‌های منتظمی مرکز تقارن دارند که تعداد اضلاع آن‌ها زوج باشد. بنابراین چند ضلعی‌های منتظم با تعداد اضلاع فرد دارای بیش از دو محور تقارن، اما فاقد مرکز تقارن هستند.

در ادامه درسنامه خطوط موازی ومورب روحتما مطالعه کنید.

زنگ آخر کلاس خط تقارن ریاضی هشتم

اولاً امیدوارم از مطالعه این درس لذت برده باشید! قطعاً بعد از خواندن این درس به جای تا زدن شکل هندسی چشم بسته میتونی بگی متقارن هست یا نه؟ در این محتوا با چندضلعی و نوع خاصی از آن به نام چندضلعی منتظم آشنا شدیم. با روش‌های ساده توانستیم خط تقارن و مرکز تقارن شکل‌های هندسی را پیدا کنیم.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.



به خوندن ادامه بده!زاویه های خارجی 🏰🔶 – نگهبان قلعه چندضلعی‌ها!

ترتیبی که برای خواندن درسنامه‌های آموزش ریاضی هشتم به شما پیشنهاد می‌دهیم:

48 دیدگاه برای “خط تقارن ریاضی هشتم ✂️ – چندضلعی تا خورده!

  1. ستایش گفته:

    سلام وخسته نباشید من میخواستم بدونم ۱۲ضلعی منتظم خط تقارن داره یا نداره

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با عرض سلام و خسته نباشید.
      چند ضلعی منتظم به تعداد اضلاعش، خط تقارن دارد. یعنی ۱۲ ضلعی منتظم، ۱۲ خط تقارن دارد.

    • نازنین سهرابی گفته:

      سلام بله دارد . هر n ضلعی منتظم ، به تعداد ضلع هایش خط تقارن ( محور تقارن ) دارد . پس ۱۲ ضلعی منتظم ، ۱۲ تا محور تقارن دارد

  2. نرگس گفته:

    سلام و خسته نباشید
    خیلی مطالب خوبی داشت ممنون از شما لطفاً بیشتر بزارید

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام ممنون از انرژیتون حتما ادامه میدیم.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      ممنون از انرژی که دادید.
      موفق باشید.

  3. هانیه حقدادی گفته:

    ۱۰ضلعی منتظم و ۱۷ ضلعی منتظم چند خط تقارن و چند محور تقارن دارد

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام دوست عزیز
      چند ضلعیهای منتطم به اندازه اضلاعشان محور تقارن دارن خظ تقارن ومحور تقارن هر دو یک مفهوم دارند در مورد مرکز تقارن هم ده ضلعی مرکز تقارن دارد ۱۷ ضلعی ندارد

  4. تینا گفته:

    سلام
    معلم ما بهمون سوال داده گفته 1 محور تقارن توی متواضی الاضلاع پیدا کنید. جوابش چی میشه؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      متوازی الاضلاع محور تقارن ندارد ولی مرکز تقارن دارد. اما مربع و لوزی که نوعی متوازی الاضلاع محور تقارن دارند.
      موفق باشید.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب خرسندیم که براتون مفید بوده
      برای اطلاع از جشنواره ها ومطالب بیشترپیج ما رو در اینستا به آدرس زیر دنبال کنید
      https://www.instagram.com/riazica/

  5. مبین گفته:

    سلام و خسته نباشید ۲۰ ضلعی منتظم دارای چند محور تقارن دارد ؟؟؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      همونطور که در پست گفتیم چند ضلعی منتظم به تعداد اضلاعش، خط تقارن دارد پس ۲۰ تا دارد

  6. روح الله گفته:

    سلام ۸ ضلعی مرکز تقارون و محور تقارون و مجموع زاویه داره یا ن و تعدادش؟! 🙂 ممنون

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وادب
      اگه پست رو خوب مطالعه میکردید متوجه میشدید چندضلعی های منتظم به اندازه اضلاعشان محور تقارن دارن وآنهایی که تعداد اضلاعشان زوج است مرکز تقارن دارند

  7. Alipour گفته:

    سلام برای تفهیم خط تقارن به دانش آموزان پایه سوم از برش میوه استفاده کردم که آن ها خط تقارن را با قطر یکی ندانندو آن را خط فرضی بدانند که همانند چاقویی هست که جهت تقسیم مساوی شکل استفاده می شود.
    با توجه به توضیحات شما راه تشخیص خط تقارن باید روی سطح شکل را قرار بگیرد پس نمی توان گفت خطی برای تقسیم مساوی شکل.
    راهنمایی بفرمایید

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وادب
      متاسفانه مثال خوبی رو انتخاب نکردید چون سیب یک جسم سه بعدی است اما ما خطتقارن رو برای شکلهای دو بعدی تعریف میکنیم بهترین راه برای بچه های ابتدایی برش اشکال هندسی روی مقوا وتا زدن آنهاست

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام
      ممنون از انرژی که به ما میدید برای ادامه مسیر

  8. ناشناس گفته:

    سلام چند ضلعی منتظم با ضلع های فرد با چه قانونی می‌توان تعدادشان را یافت یک گل ۵برگ محور تقارن دارد چندتا

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *