نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم ✏️📐📏 یک نمایش بی نقص

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 15 خرداد 1399 محمد بحرانی 307 بازدید
نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم

خرید درسنامه آموزش نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


تو میگی می‌تونم یک عدد رادیکالی رو بصورت حدودی روی محور اعداد نشون بدم. ولی اگه بخوام دقیق دقیق نشون بدم چی؟؟ من جوابم اینه که خیالت راحت. قبلاً اصولش رو یاد گرفتی، توی همین ریاضی هشتم! این درس‌نامه از سری آموزش ریاضی پایه هشتم روش نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم را بصورت کامل آموزش می‎دهد. خواهیم دید که این کار به سادگی با استفاده از رابطه فیثاغورس انجام می‌شود.

نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم

در درس‌نامه جذر تقریبی، یاد گرفتیم که چگونه می‌توان یک عدد رادیکالی را بصورت تقریبی بر روی محور اعداد نشان داد. اما با استفاده از رابطه فیثاغورس در مثلث‌های قائم‌الزاویه (ریاضیات پایه هشتم، فصل ششم، درس اول) می‌توانیم بصورت دقیق آن را نشان دهیم.

رسم یک خط با طولی به اندازه یک عدد رادیکالی

فرض کنید می‌خواهیم خطی به طول \(\Large \sqrt {a} \) رسم کنیم. برای این کار کافی است دو عدد پیدا کنیم که جمع مجذور این دو برابر با \(\Large (\sqrt {a})^2 \) یا همان  \(\Large {a} \) شود. یعنی:

\(\Large x^2+y^2= (\sqrt {a})^2 \)

\(\Large x^2+y^2= a \)

این رابطه، رابطه فیثاغورس است. پس اگر مثلث قائم‌الزاویه‌ای با دو ضلع \(\Large x \) و \(\Large y \) رسم کنیم، وتر آن‌ها برابر با \(\Large \sqrt {a} \) خواهد شد.

مثال نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم

به عنوان نمونه مثلث‌های شکل زیر را در نظر بگیرید. در این شکل نحوه رسم 4 خط با طول‌های رادیکالی مختلف نشان داده شده است:

بیا بیشتر بخونیم:
رابطه فیثاغورس ریاضی هشتم 📐📕 – وزیر بازی مثلثات!

مثال نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم

در این شکل، ابتدا در مثلث پایین سمت راست مثلث قائم‌الزاویه‌ای با اضلاع 1 و 1 رسم شده است. مطابق رابطه فیثاغورس می‌دانیم که وتر آن (\( \Large c \)) برابر با \(\Large \sqrt {2} \) است. چون:

\(\Large 1^2+1^2= c^2 \)

\(\Large c^2 = 2 \)

\(\Large c = \sqrt {2} \)

طول وترهای بعدی هم با همین روش از رابطه فیثاغورس بدست می‌آید. بدین ترتیب می‌توان با رسم یک یا چند مثلث قائم‌الزاویه، اندازه اعداد رادیکالی را روی کاغذ نشان داد.

با این مقدمه و حل یک مثال خوب می‌توانیم سراغ نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم برویم.

یک مثال ساده از نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد

مثال 1: خطی به طول \(\Large \sqrt {6} \) رسم کنید.

حل 1:

برای این کار باید مثلث قائم‌الزاویه‌ای با دو ضلع \(\Large x \) و \(\Large y \) رسم کنیم که وتر آن‌ها برابر با \(\Large \sqrt {6} \) باشد. مطابق رابطه فیثاغورس دو عدد پیدا می‌کنیم که جمع مجذور این دو برابر با 6 شود. یعنی:

\(\Large x^2+y^2=6 \)

می‌توانیم \(\Large \sqrt {5} \)  و \(\Large 1 \)را در نظر بگیریم. چون:

\(\Large (\sqrt {5})^2+1^2= 5+1=6 \)

بنابراین باید مثلث قائم‌الزاویه‌ای به اضلاع \(\Large \sqrt {5} \) و \(\Large 1 \) رسم کنیم. طول وتر برابر با 6 خواهد بود. اما توجه کنیم که ابتدا باید برای  \(\Large \sqrt {5} \) همین کار را انجام دهیم:

جمع مجذورهای اعداد 1 و 2 برابر با 5 است. پس با رسم مثلث قائم‌الزاویه‌ای با اضلاع 1 و2 وتر برابر با (\(\Large \sqrt {5} \)) خواهد بود.

 \(\Large 1^2+2^2= 1+4=5 \)

بنابراین با رسم دو مثلث قائم‌الزاویه، یکی با اضلاع 1 و 2 (برای بدست آوردن وتر \(\Large \sqrt {5} \) ) و دیگری با اضلاع 1 و \(\Large \sqrt {5} \) به وتری با طول \(\Large \sqrt {6} \)  خواهیم رسید:

بیا بیشتر بخونیم:
خط تقارن ریاضی هشتم ✂️ – چندضلعی تا خورده!

مثال نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم


خرید درسنامه آموزش نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


مراحل نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم

برای نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم با توجه به مراحل زیر عمل می‌کنیم: (بیایید با هم روش نمایش عدد  \( \Large 1- \sqrt{2} \) را ببینیم)

  1. مشخص کردن مبدأ حرکت: از عدد صحیح یا کسری که با عدد رادیکالی جمع شده است شروع می‌کنیم. (اگر فقط عدد رادیکالی باشد، مبدأ ما عدد صفر است) «در این مثال، مبدأ حرکت، عدد 1 خواهد بود».
  2. تعیین دو عدد که جمع مجذور آن‌ها برابر با عدد زیر رادیکال باشد (اضلاع مثلث قائم‌الزاویه): (مطابق روش رسم یک خط با طولی به اندازه یک عدد رادیکالی که در بالا توضیح داده شد) «در این مثال، عدد رادیکالی ما \( \Large \sqrt{2} \) است، پس دو ضلع مثلث قائم‌الزاویه 1 و 1 هستند».
  3. تعیین جهت حرکت روی محور: اگر علامت قبل رادیکال مثبت باشد، به سمت راست و اگر منفی باشد به سمت چپ مبدأ حرکت می‌کنیم. «در این مثال، علامت قبل از \( \Large \sqrt{2} \) ، منفی است، پس باید به سمت چپ عدد 1 حرکت کنیم».
  4. رسم خط به کمک پرگار: ابتدا و انتهای پرگار را به اندازه عدد رادیکالی (وتر مثلث) باز می‌کنیم و از مبدأ حرکت، با توجه به جهت مشخص شده روی محور کمان می‌زنیم. محلی که کمان محور را قطع می‌کند همان عدد مورد نظر است «در این مثال، ابتدا و انتهای پرگار را روی وتر مثلث به اندازه \( \Large \sqrt{2} \) می‌گذاریم و از نقطه (1) به سمت چپ کمانی رسم می‌کنیم تا محور را قطع کند؛ این نقطه همان عدد \( \Large 1- \sqrt{2} \) را نشان می‌دهد ».
بیا بیشتر بخونیم:
زاویه های خارجی 🕙♦️🕑 – نگهبان قلعه چندضلعی‌ها!

استفاده از پرگار در نمایش اعداد

چند مثال برای فهم بیشتر نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم

مثال 2: اعداد \( \Large 1 + \sqrt{2} \) و \( \Large \sqrt{2} – 1 \) را روی محور اعداد نمایش دهید.

حل 2:

برای حل این مثال از همان مراحل نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم استفاده می‌کنیم. توجه کنید که عدد رادیکالی این مثال، یعنی \( \Large \sqrt{2} \) مشابه نمونه حل شده قبل است؛ اما باید به مبدأ و جهت حرکت توجه نمود.

نمایش عدد \( \Large 1 + \sqrt{2} \):

مبدأ حرکت همان عدد 1 است و با رسم مثلث قائم‌الزاویه‌ای به اضلاع 1 و 1، به وتری با طول \( \Large \sqrt{2} \) رسیده‌ایم.

تنها تفاوت آن با نمونه قبل در جهت حرکت است. چون \( \Large \sqrt{2} \) با 1 جمع شده است، این بار کمانی به اندازه \( \Large \sqrt{2} \) را به سمت راست محور رسم می‌کنیم.

مثال نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد

نمایش عدد \( \Large \sqrt{2} – 1 \):

توجه: این عدد را می‌توانیم بصورت \( \Large -1 + \sqrt{2} \) بنویسیم. پس مبدأ حرکت عدد (1-) خواهد بود.

این بار از (1-) شروع می‌کنیم و به طول \( \Large \sqrt{2} \) کمانی به سمت راست محور رسم می‌کنیم (چون \( \Large \sqrt{2} \) با (1-) جمع شده است). محلی که این کمان محور را قطع کرده است همان عدد\( \Large \sqrt{2} – 1 \) است.

تغییر مبدا برای نمایش روی محور

و یک مثال متفاوت

مثال 3: یک محور اعداد رسم کرده و عدد  \( \Large 3- \sqrt {13} \) را روی آن نشان دهید.

حل 3:

مرحله به مرحله طبق روش نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم پیش می‌رویم:

  1. عدد غیر رادیکالی برابر با (3) است، پس مبدأ حرکت عدد (3) خواهد بود.
  2. اگر کمی دقت کنیم، جمع مجذورهای 2 و 3 برابر با 13 است؛ یعنی \( 2^2+3^2=13 \) بنابراین از مثلث قائم‌الزاویه‌ای به اضلاع 2 و 3 استفاده می‌کنیم.
  3. علامت قبل از \( \Large \sqrt{13} \) منفی است پس جهت حرکت به سمت چپ محور اعداد خواهد بود.
  4. سوزن پرگار را روی عدد (3) گذاشته و کمانی به اندازه \( \Large \sqrt{13} \) به سمت چپ محور رسم می‌کنیم تا محور را در یک نقطه قطع کند. این نقطه نشان‌دهنده عدد \( \Large 3 – \sqrt{13} \) است.
بیا بیشتر بخونیم:
خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها ریاضی هشتم ✖️➗ - یک‌ضرب یاد بگیر!

مثال نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم

زنگ آخر کلاس نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم

در این محتوا ابتدا با استفاده از مثلث قائم‌الزاویه و رابطه فیثاغورس یاد گرفتیم که چگونه اندازه یک عدد رادیکالی را رسم کنیم و سپس مرحله به مرحله نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد ریاضی هشتم را آموختیم. مطمئناً با مثال‌هایی که در این محتوا ارائه شد می‌توانیم در ادامه خیلی دقیق اعداد رادیکال‌ها را روی محور نشان دهیم.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.


خرید درسنامه آموزش نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    محمد بحرانی
    محمد بحرانی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0