مثلث های هم نهشت 📐🖍️ گل سرسبد شکل‌های هم‌نهشت!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 6 تیر 1399 محمد بحرانی 186 بازدید
مثلث های هم نهشت – گل سرسبد شکل‌های هم‌نهشت!

خرید درسنامه آموزش مثلث های هم نهشت – گل سرسبد شکل‌های هم‌نهشت! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


یعنی مثلث ‌ها رو هم مثل شکل‌ های هم‌ نهشت بچرخونم تا ببینم هم‌ نهشت هستن یا نه؟ خب نه! مثلث های هم نهشت پارتی‌شون قویه… در این درس مهم از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، ابتدا به بررسی مثلث های هم نهشت که حالتی خاص از شکل‌ های هم‌ نهشت هستند می‌پردازیم و حالت‌های هم نهشتی مثلث ها را معرفی می‌کنیم. همچنین حالت‌های دیگری برای مثلث‌های قائم‌الزاویه آموزش داده می‌شود تا ساده‌تر از این موضوع جذاب استفاده کنید.

مثلث های هم نهشت

مثلث های هم نهشت نوع خاصی از شکل‌ های هم‌ نهشت هستند که کاربرد زیادی در هندسه دارند. به همین دلیل در مثلث های هم نهشت ریاضی هشتم، حالت‌های هم نهشتی مثلث ها را یاد می‌گیریم. این موضوع در ریاضیات پایه‌های بالاتر مانند بحث تشابه مثلث‌ها کاربرد دارد.

حالت‌های هم نهشتی مثلث ها – شاه‌کلید درس مثلث های هم نهشت

سه مثلث دلخواه در سه حالت مختلف با یکدیگر هم‌نهشت هستند:

  1. برابری سه ضلع (ض ض ض): یعنی سه ضلع از یک مثلث با سه ضلع از مثلث دیگر برابر باشد؛
  2. برابری دو ضلع و زاویه بین (ض ز ض): یعنی دو ضلع و زاویه بین آن‌ها با دو ضلع و زاویه بین مثلث دیگر برابر باشد؛
  3. برابری دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز): یعنی دو زاویه و ضلع بین آن‌ها با دو زاویه و ضلع بین مثلث دیگر برابر باشد.

این سه حالت را در شکل زیر به صورت خلاصه مشاهده می‌کنید:

حالت‌های هم نهشتی مثلث ها

تذکر: برابری سه زاویه از دو مثلث (ز ز ز) لزوماً به معنای هم نهشتی مثلث ها نیست. مانند دو مثلث زیر:

برابری سه زاویه جزو حالت‌های هم نهشتی مثلث ها نیست

با این که زاویه‌های نشان داده شده (با نام‌های 1، 2 و 3) در دو مثلث برابرند، اما این دو، مثلث های هم نهشت نیستند.

بیا بیشتر بخونیم:
شکل های هم نهشت آموزش ریاضی هشتم 🔍🔎 – کپی برابر اصل!

مثال 1: حالت هم‌ نهشتی مثلث ‌ها را در شکل زیر تعیین کنید.

برابری سه زاویه جزو حالت‌های هم نهشتی مثلث ها نیست

حل 1:

مشاهده می‌شود که سه زاویه از این دو مثلث با هم برابرند (ز ز ز) هم نهشت هستند؟؟؟ خیر!!! هم‌نهشت نیستند. یادمان باشد … تعریف هم ‌نهشتی این بود که با تبدیل‌های هندسی، دو شکل یکدیگر را کاملاً بپوشانند. این دو مثلث ضلع برابری ندارند.

نکته (یادآوری از شکل‌های هم‌نهشت): در مثلث های هم نهشت زاویه‌ها و ضلع‌های متناظر برابرند.

مثال‌هایی از مثلث های هم نهشت

مثال 2: در هر یک از موارد زیر، حالت و دلیل هم نهشتی مثلث ها را بیان کنید.

الف) دو مثلث که از رسم یک قطر لوزی ایجاد شده است؛

ب) دو مثلث که از رسم یک قطر متوازی‌الاضلاع ایجاد شده است.

حل 2:

الف) یک لوزی مانند شکل زیر در نظر گرفته و یکی از قطرهای آن را (\( \Large \overline {AD} \)) رسم کرده‌ایم:

دو مثلث هم نهشت درون لوزی

با توجه به ویژگی‌های لوزی که که در آن چهار ضلع برابر بوده و همچنین زاویه‌های روبرو با هم برابرند، دو مثلث \( \Large ABD \) و \( \Large CBD \) به حالت دو ضلع و زاویه بین (ض ز ض) هم‌نهشت خواهند بود. به زیان ریاضی:

 (برابری دو زاویه روبرو در لوزی) \( \Large \hat A = \hat C \)

 (برابری اضلاع لوزی) \( \Large \overline{AB} = \overline{BC}  \)

 (برابری اضلاع لوزی) \( \Large \overline{AD} = \overline{CD}  \)

\( \Large → \mathop {{\rm{ABD}}}\limits^\Delta   \cong \mathop {{\rm{CBD}}}\limits^\Delta  \)

ب) یک متوازی‌الاضلاع مانند شکل زیر در نظر گرفته و یکی از قطرهای آن را (\( \Large \overline {BD} \)) رسم کرده‌ایم:

مثلث های هم نهشت درون متوازی‌الاضلاع

با توجه به ویژگی‌های متوازی‌الاضلاع که در آن اضلاع روبرو دو به دو برابرند، دو مثلث \( \Large ABD \) و \( \Large ACD \) به حالت برابری سه ضلع (ض ض ض) هم ‌نهشت خواهند بود. به زیان ریاضی:

(برابری اضلاع روبرو متوازی‌الاضلاع)\( \Large \overline{AB} = \overline{CD}  \)

 (برابری اضلاع روبرو متوازی‌الاضلاع)\( \Large \overline{AC} = \overline{BD}  \)

بیا بیشتر بخونیم:
حل معادله درجه اول 🥇💎 – سرآغاز یک بحث شیرین ریاضی!

(ضلع مشترک دو مثلث)\( \Large \overline{AD} = \overline{AD}  \)

\( \Large → \mathop {{\rm{ABD}}}\limits^\Delta   \cong \mathop {{\rm{ACD}}}\limits^\Delta  \)

مثال دایره‌ای این درس

مثال 3: در شکل زیر مشخص کنید که آیا این دو مثلث، مثلث های هم نهشت هستند؟ اگر جواب مثبت است، حالت هم نهشتی مثلث ها را مشخص کرده و سپس مجهولات مسأله را بدست آورید.

مثلث‌های هم‌نهشت درون دو دایره

حل 3:

در این شکل دو دایره هم‌مرکز رسم شده‌اند و قطرهای دو دایره اضلاع دو مثلث \( \Large OAB \) و \( \Large OCD \) را تشکیل داده‌اند. برابری‌های زیر در این دو مثلث مشاهده می‌شود:

 (شعاع‌های دایره کوچک)  \( \Large \overline{OB} = \overline{OC}  \)

(شعاع‌های دایره بزرگ)  \( \Large \overline{OD} = \overline{OA}  \)

 (فاصله بین دو دایره)  \( \Large \overline{AB} = \overline{CD}  \)

\( \Large → \mathop {{\rm{OAB}}}\limits^\Delta   \cong \mathop {{\rm{OCD}}}\limits^\Delta  \)

بنابراین دو مثلث \( \Large OAB \) و \( \Large OCD \) به حالت برابری سه ضلع (ض ض ض) هم ‌نهشت هستند.

با توجه به این نکته که در مثلث های هم نهشت اضلاع و زوایای متناظر برابرند، پس زاویه‌های روبرو به ضلع‌های برابر با هم برابرند؛ یعنی:

\( \Large \hat A = \hat D→ 40° = 2x \)

\( \Large → x = \frac {40}{2} = 20° \)

\( \Large \hat {O_1} = \hat {O_2}→ 50° = 5y \)

\( \Large → y = \frac {50}{5} = 10° \)


خرید درسنامه آموزش مثلث های هم نهشت – گل سرسبد شکل‌های هم‌نهشت! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


حالت‌های هم نهشتی مثلث های قائم‌الزاویه

علاوه بر 3 حالت قبلی (که برای هر نوع مثلثی کاربرد دارد)، دو مثلث قائم‌الزاویه، بنا به دو حالت با یکدیگر هم‌ نهشت خواهند بود:

  1. برابری وتر و یک ضلع (و ض): یعنی وتر و یک ضلع از یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک ضلع از مثلث قائم‌الزاویه دیگر برابر باشد؛
  2. برابری وتر و یک زاویه تند (و ز): یعنی وتر و یک زاویه تند از یک مثلث قائم‌الزاویه با وتر و یک زاویه تند از مثلث قائم‌الزاویه دیگر برابر باشد.
بیا بیشتر بخونیم:
عدد اول ریاضی هشتم 🥺🚶‍♂️ - کامل‌ترین آموزشی که لازم داشتید.

حالت‌های هم نهشتی مثلث‌های قائم‌الزاویه را در شکل زیر به صورت خلاصه شده مشاهده می‌کنید:

حالت‌های هم‌نهشتی مثلث های قائم الزاویه

مثال 4: در دو مثلث زیر مقادیر \( \Large x \) و \( \Large y \) را بدست آورید.

مثال هم ‌نهشتی

حل 4:

در مثلث‌های \( \Large OAB \) و \( \Large OCD \) برابری‌های زیر برقرار است:

\( \Large \hat A = \hat C \)

\( \Large \overline {AB} = \overline {CD} \)

بنابراین با توجه به قائم‌الزاویه بودن، به حالت وتر و یک زاویه تند (و ز) هم ‌نهشت هستند. از آن‎جا که اجزای متناظر در مثلث های هم نهشت با هم برابرند، خواهیم داشت:

\( \Large \hat D = \hat B→ x = 40° \)

 \( \Large \overline {OB} = \overline {OD} → 5y = 20 \)

\( \Large → y = \frac {20}{5} = 4 \)

اثبات حالت هم ‌نهشتی اول ( و ض)

در شکل زیر دو مثلث قائم‌الزاویه دیده می‌شود که وتر و یک ضلع آن دو برابرند. بیایید رابطه فیثاغورس را برای این دو مثلث بنویسیم:

اثبات حالت های هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه

 (مثلث 1) \( \Large x^2 + a^2 = c^2 \)

(مثلث 2) \( \Large y^2 + a^2 = c^2 \)

اگر این دو رابطه را مقایسه کنیم، خواهیم دید که \( \Large x = y \)؛ یعنی ضلع سوم دو مثلث هم برابر شده است. بنابراین مثلث‌های (1) و (2)، مثلث های هم نهشت از نوع (ض ض ض) خواهد بود.

اثبات حالت هم ‌نهشتی دوم ( و ز)

در شکل زیر دو مثلث قائم‌الزاویه داریم که وتر و یک زاویه تند در آن دو برابرند (زاویه \( \Large \hat A \) در مثلث 1 و زاویه \( \Large \hat K \) در مثلث 2).

اثبات حالت های هم نهشتی مثلث های قائم الزاویه 2

می‌دانیم که مجموع زاویه‌های داخلی مثلث برابر با °180 است (یادآوری: فصل 3، درس 4 ریاضی پایه هشتم). این رابطه را برای هر دو مثلث می‌نویسیم:

 (مثلث 1) \( \Large \hat A + \hat B + \hat C = 180° \)

 (مثلث 2) \( \Large \hat K + \hat O + \hat M = 180° \)

بیا بیشتر بخونیم:
همه چیز درباره جدول فراوانی 🗺️ ریاضی هشتم - داده‌های آماری

با توجه به این که زوایای \( \Large \hat B \) و \( \Large \hat O \) برابر با °90 بوده و زوایای زوایای \( \Large \hat A \) و \( \Large \hat K \) با هم برابرند، این دو رابطه را به این شکل می‌نویسیم:

 (مثلث 1) \( \Large \hat A + 90° + \hat C = 180° \)

 (مثلث 2) \( \Large \hat A + 90° + \hat M = 180° \)

اگر به این دو رابطه توجه کنیم، متوجه خواهیم شد که زوایای \( \Large \hat C \) و \( \Large \hat M \) برابرند، پس دو مثلث به حالت (ض ز ض) هم‌نهشت هستند:

\( \Large \hat A = \hat K \)

\( \Large \overline {AC} = \overline {KM} \)

\( \Large \hat C = \hat M \)

میوه‌های درخت « مثلث های هم نهشت »

با استفاده از هم نهشتی مثلث ها، دو نکته کاربردی در هندسه به دست می‌آید که ابتدا بیان شده و در ادامه هر کدام اثبات خواهد شد. اما در ابتدا به دو یادآوری توجه کنید که در اثبات‌ها به ما کمک خواهند کرد:

یادآوری 1: فاصله دو نقطه از هم برابر طول پار‌ه‌خطی است که آن نقاط را به هم وصل می کند.

یادآوری 2: فاصله یک نقطه از یک خط، برابر طول پاره‌خطی است که از آن نقطه بر آن خط عمود می شود.

قضیه اول

هر نقطه روی عمودمُنَصّف یک پاره خط از دو سر آن پاره‌خط به یک فاصله است.

اثبات قضیه اول:

پاره‌خطی مانند AB در نظر گرفته و عمودمنصف آن (یعنی OH) را رسم می‌کنیم. عمودمنصف، پاره‌خط را نصف کرده و بر آن عمود می‌شود.

قضیه عمود منصف و اثبات آن به کمک هم نهشتی

فاصله یک نقطه از عمودمنصف (مانند نقطه O) از دو سر پاره‌خط در این شکل، پاره‌خط‌های OA و OB هستند. در دو مثلث ایجاد شده، این برابری‌ها را می‌بینیم:

\( \Large \hat {H_1} = \hat {H_2} = 90° \)

(عمودمنصف) \( \Large \overline {AH} = \overline {HB} \)

(ضلع مشترک) \( \Large \overline {OH} = \overline {OH} \)

این روابط نشان می‌دهد که دو مثلث AOH و BOH به حالت (ض ز ض) مثلث های هم نهشت هستند. با توجه به تساوی اجزای متناظر: \( \Large \overline {OA} = \overline {OB} \)

بیا بیشتر بخونیم:
اعداد صحیح 🧮📏 – نمایش روی محور مختصات

قضیه دوم

 هر نقطه روی نیمساز یک زاویه از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.

اثبات قضیه دوم:

زاویه‌ای مانند \( \Large \hat O \) در نظر گرفته و نیمساز آن را رسم می‌کنیم (خط نقطه‌چین). فاصله نقطه‌ای مانند M بر روی نمیساز تا دو ضلع زاویه، طول پاره‌خطی است که از آن نقطه بر آن دو خط عمود می شود.

قضیه نیمساز به کمک هم نهشتی

با رسم این دو پاره‌خط (یعنی AM و BM) دو مثلث قائم‌الزاویه ایجاد می‌شود که می‌توان برابری‌های زیر را برای آن‌ها نوشت:

(نیمساز) \( \Large \hat {O_1} = \hat {O_2} = 90° \)

(ضلع مشترک) \( \Large \overline {OM} = \overline {OM} \)

این روابط نشان می‌دهد که دو مثلث AOM و BOM به حالت (و ز) مثلث های هم نهشت هستند. با توجه به تساوی اجزای متناظر: \( \Large \overline {AM} = \overline {BM} \)

نکته: عکس قضیه دوم هم برقرار است؛ یعنی نقطه‌ای که فاصله آن تا دو ضلع زاویه برابر است، روی نیمساز زاویه قرار دارد.

زنگ آخر کلاس مثلث های هم نهشت

در این مطلب به یادگیری حالت خاص و مهمی از شکل‌های هم‌نهشت یعنی مثلث های هم نهشت و حالت‌های هم نهشتی مثلث ها پرداختیم که در هندسه بسیار پرکاربرد هستند. برای مثلث‌های قائم‌الزاویه نیز حالت‌های دیگری معرفی کردیم و با استفاده از آن دو قضیه کاربردی در هندسه را یاد گرفتیم.مطمئناً با مثال‌های مختلفی که حل کردیم، از این به بعد می‌توانیم با قدرت با این‌گونه مسائل مواجه شویم.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.


خرید درسنامه آموزش مثلث های هم نهشت – گل سرسبد شکل‌های هم‌نهشت! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    محمد بحرانی
    محمد بحرانی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0