همه چیز درباره جدول فراوانی 🗺️ ریاضی هشتم – داده‌های آماری

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 19 اردیبهشت 1399 محمد بحرانی 535 بازدید
همه چیز درباره جدول فراوانی 🗺️ ریاضی هشتم - داده‌های آماری

خرید درسنامه آموزش جدول فراوانی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


دوست داری با «دو دو تا چهار تا»ی خودت بفهمی بهترین تیم تاریخ لیگ برتر فوتبال کدومه؟ یا مثلاً نمودار عملکرد درسی خودت رو توی سال‌های مختلف ببینی؟ ما خیلی وقت‌ها با اعدادی مثل نمرات درسی، خرج و مخارج زندگی، تعداد کاربران فضای مجازی و … سر و کار داریم که بررسی آن‌ها خیلی به ما کمک می‌کند. در این آموزش، از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، مفهوم بسیار کاربردی دسته بندی داده ها و جدول فراوانی به ما کمک خواهد کرد تا تعداد زیادی داده آماری را از هم تفکیک کرده و بررسی کنیم؛ اما قبل از آن مروری هم بر انواع نمودارهای آماری خواهیم داشت. حتماً تا آخر مطلب رو بخونید!

یادآوری

تعریف آمار

علم جمع آوری، سازماندهی و تحلیل و تفسیر اطلاعات را علم آمار می‌گویند. (با این مبحث در پایه‌های مختلف سر و کار داریم؛ مانند آموزش آمار ریاضی دهم)

تعریف داده آماری

به اطلاعات عددی که جمع‌آوری می‌کنیم، داده آماری گفته می‌شود.

انواع نمودارها و کاربردهای آن‌ها

انواع نمودار داده‌های آماری شامل موارد ذیل می‌باشد:

  1. نمودار میله‌ای: برای مقایسه تعداد و مشخص کردن کمترین و بیشترین داده آماری
  2. نمودار خط شکسته: برای نشان دادن تغییرات در مدتی مشخص
  3. نمودار تصویری: برای نشان دادن یک تعداد مشخص از داده‌ها با تصویر
  4. نمودار دایره‌ای: برای نشان دادن تعداد داده‌ها نسبت به کل

برای روشن‌تر شدن مفهوم نمودارها به مثال‌های مفهومی زیر در مورد ویروس کرونا توجه کنید:

نمودار میله‌ای و نمودار خط شکسته

(الف) نمودار میله‌ای: تعداد مبتلایان در روز 13 فروردین (ب) نمودار خط شکسته: تعداد مبتلایان نیشابور در روز اول سال

نمودار دایره‌ای و نمودار تصویری

(ج) نمودار دایره‌ای: مقایسه تعداد کل مبتلایان در چهار شهر (د) نمودار تصویری: تعداد مبتلایان روز دهم سال

دسته بندی داده ها – شاهراه رسیدن به جدول فراوانی

هنگام کار با داده‌های آماری، ممکن است با تعداد داده بسیار زیاد مواجه شوید. مثلاً آیا می‌توانید وضعیت نمرات درس زبان انگلیسی یک مدرسه بزرگ 200 نفری را تک تک بررسی کنید؟ قطعاً نه!

بیا بیشتر بخونیم:
تعریف اعداد گویا و ... ! 🔢📝 همه چیز اینجاست!

چگونه می‌توانیم این همه داده پراکنده را که جمع‌آوری شده است بررسی کنیم و به نتیجه برسیم؟ با دسته بندی داده ها متناسب با موضوع آماری و تشکیل جدول فراوانی آن.

دسته بندی داده ها

به عنوان مثال در یک بررسی آماری با تعداد 36 داده، می‌توان 6 دسته داشت که هر کدام 6 داده دارند؛ با تعاریف و روش‌هایی که در ادامه یاد می‌گیرید، آن‌ها را بررسی کرده و برای آن‌ها جدول فراوانی تشکیل می‌دهیم.

تعاریف

دامنه تغییرات

اختلاف بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده آماری را دامنه تغییرات می‌گویند.

دامنه تغییرات

طول دسته

اختلاف بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده در یک دسته را طول دسته می‌گویند.

طول دسته

میانگین

میانگین، همان‌طور که در سال‌های قبل یاد گرفته‌اید، متوسط داده‌هاست که از تقسیم مجموع داده‌ها به تعداد آن‌ها محاسبه می‌شود.

تعریف میانگین برای تشکیل جدول فراوانی

مرکز دسته

میانگین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده‌های یک دسته می‌باشد که از تقسیم جمع این دو داده تقسیم بر 2 بدست می‌آید.

مرکز دسته برای دسته بندی داده ها

فراوانی

تعداد داده‌های هر دسته را فراوانی می‌گویند.

جدول فراوانی

جدولی شامل طول دسته ها، فراوانی هر دسته و مرکز دسته، که در ادامه بررسی خواهد شد.

مثال 1: در یک کلاس درس 14 نفری، معلم گروه‌های علمی تشکیل داده و اعلام کرده است به بالاترین میانگین نمرات گروهی، جایزه می‌دهد. نمرات و گروه‌بندی دانش‌آموزان به این صورت است:

مثالی از تعاریف مقدماتی جدول فراوانی

دامنه تغییرات، طول هر دسته، میانگین کل، مرکز هر دسته و فراوانی دسته‌ها را بدست آورید. کدام گروه برنده جایزه می‌شوند؟ در کدام گروه دانش‌آموزان از لحاظ نمره به هم نزدیکترند؟

حل 1:

برای بدست آوردن دامنه تغییرات، باید بزرگترین و کوچکترین داده را مشخص کنیم (در کل داده‌ها): 20 و 14/25، پس دامنه تغییرات برابر است با: \( \Large 20 – 14/25 = 5/75\)

بیا بیشتر بخونیم:
فاکتورگیری ریاضی هشتم 🧮📚 – هنرمندانه از عبارت‌های جبری استفاده کن!

برای محاسبه طول هر دسته، از تفاضل بیشترین و کمترین نمره هر گروه استفاده می‌کنیم:

  • طول دسته 1: \(\Large 19/5{\rm{ }} – 16 = 3/5\)
  • طول دسته 2: \(\Large 20 – 14/25 = 5/75\)
  • طول دسته 3: \(\Large 20 – 19 = 1\)

میانگین نمرات کل کلاس:

برای محاسبه مرکز هر دسته بزرگترین و کوچکترین نمره هر گروه را با هم جمع کرده و به 2 تقسیم می‌کنیم:

\(\Large \begin{array}{l}\overline {\rm{x}}  = \frac{{\rm{S}}}{{\rm{N}}}\\\overline {\rm{x}}  = \frac{{17 + 19 + 16/5 + … + 19/75 + 19}}{{14}}\\\overline {\rm{x}}  = 18\end{array}\)

  • مرکز دسته 1: \( \Large \frac{{19/5 + 16}}{2} = 17/75\) ؛
  • مرکز دسته 2: \(\Large \frac{{20 + 14/25}}{2} = 17/125\) ؛
  • مرکز دسته 3: \(\Large \frac{{20 + 19}}{2} = 19/5\) .

فراوانی دسته، همان تعداد داده‌های هر گروه است:

  • فراوانی دسته 1: 5 عدد
  • فراوانی دسته 2: 5 عدد
  • فراوانی دسته 3: 4 عدد.

گروهی برنده چایزه است که بهترین میانگین را داشته باشد. پس میانگین هر گروه را محاسبه می‌کنیم:

  • میانگین گروه 1: \(\Large {\overline {\rm{x}} _1} = \frac{{17 + … + 16}}{5} = 17/6\)
  • میانگین گروه 2:\(\Large {\overline {\rm{x}} _2} = \frac{{20 + … + 14/25}}{5} = 17/15\)
  • میانگین گروه 3: \(\Large {\overline {\rm{x}} _3} = \frac{{19/5 + … + 19}}{4} = 19/56\)

بنابراین گروه 3 با میانگین بالاتر برنده جایزه خواهد بود.

حال می‌توانیم موارد بدست آمده را به شکل جدول هم دسته‌بندی کنیم:

نتایج محاسبات آماری مثال 1

طول دسته، معیاری برای نزدیک بودن داده‌ها در دسته بندی داده ها:

برای پاسخ به سؤال در مورد این که کدام گروه از لحاظ نمره به هم نزدیک‌تر بوده‌اند، می‌توان از طول دسته استفاده کرد؛ چون نشان می‌دهد بهترین و بدترین نمره چقدر فاصله دارند. در این مورد، گروه 3 با طول دسته 1 بهترین عملکرد را داشته‌اند.

مثال 2: اگر میانگین 5 نمره درسی شما 17/5 باشد، با گرفتن نمره‌های 19 و 15 در دو آزمون بعدی وضعیت نمره شما بهتر خواهد بود یا خیر؟

حل 2:

میانگین 5 نمره درسی شما 17/5 بوده است؛ بنابراین طبق فرمول میانگین \( \Large \overline {\rm{x}}  = \frac{{\rm{S}}}{{\rm{N}}} \to 17/5 = \frac{{\rm{S}}}{5}\) مجموع نمرات او (S) برابر است با: \( \Large {\rm{S = }}5 \times 17/5 = 87/5 \)

بیا بیشتر بخونیم:
شکل های هم نهشت آموزش ریاضی هشتم 🔍🔎 – کپی برابر اصل!

برای تعیین وضعیت، باید میانگین قبلی و میانگین جدید را با هم مقایسه کرد. برای بدست آوردن میانگین جدید:

\( \Large \overline {\rm{x}}  = \frac{{\rm{S}}}{{\rm{N}}} = \frac{{87/5 + 19 + 15}}{7} \)

\( \Large \overline {\rm{x}}  = \frac{{121/5}}{7} \simeq 17/35 \)

به دلیل کاهش میانگین، نمره او کاهش یافته است.


خرید درسنامه آموزش جدول فراوانی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


روش دسته بندی داده ها و تشکیل جدول فراوانی

در این بخش ابتدا روند کلی دسته بندی داده ها و تشکیل جدول فراوانی را مرور کرده و پس از آن این موارد را در مثال بکار می‌گیریم. برای دسته بندی داده ها تا رسیدن به جدول فراوانی مراحل زیر را طی می‌کنیم:

  1. دامنه تغییرات داده‌ها را بدست می‌آوریم.
  2. با تقسیم دامنه تغییرات به تعداد دسته‌های مورد نظر، طول هر دسته را محاسبه می‌کنیم. (طول دسته‌ها برابرند.)
  3. بر اساس طول دسته بدست آمده در مرحله قبل، داده‌ها را به بازه‌های مساوی با طول دسته تقسیم می‌کنیم.
  4. داده‌ها را با توجه به بازه‌های موردنظر، در دسته‌بندی‌ها قرار می‌دهیم.
  5. فراوانی هر دسته را با شمارش داده‌های هر دسته (بازه) بدست می‌آوریم. (می‌توان برای شمارش تعداد داده‌ها از خط نشان استفاده کرد.)
  6. مرکز دسته‌ها را تعیین می‌کنیم.
  7. هر دسته را در یک سطر از جدول فراوانی قرار داده و حاصل‌ضرب مرکز دسته در فراوانی را برای هر کدام محاسبه می‌کنیم.
  8. در صورت نیاز، نمودار فراوانی را نیز رسم می‌کنیم. در این نمودار، محور افقی طول دسته‌ها و محور قائم فراوانی می‌باشد.

تذکر: بازه عددی هر دسته بدین صورت است: ؛ یعنی عدد انتهایی مربوط به دسته بعدی است؛ به جز در دسته آخر که عدد انتهای بازه هم جزو دسته است.

بیا بیشتر بخونیم:
خطوط موازی و مورب 📏📐 ؛ رانندگی خط‌ها در چهارراه زاویه!

محاسبه میانگین به کمک جدول فراوانی

زمانی که تعداد داده‌ها زیاد باشد، استفاده از فرمول گفته شده در بخش قبل، بسیار زمان‌بر خواهد بود.

در چنین شرایطی می‌توان ابتدا مطابق مراحل گفته شده در قسمت قبل، جدول فراوانی را تشکیل داد و سپس از فرمول زیر برای محاسبه میانگین کل داده‌ها استفاده کرد:

فرمول محاسبه میانگین به کمک جدول فراوانی داده ها

در واقع در این فرمول، جهت کاهش محاسبات، مرکز هر دسته به عنوان میانگین دسته در نظر گرفته شده است.

مثال 3: نمرات ریاضی 30 دانش‌آموز به صورت زیر می‌باشد:

داده‌های نمرات یک کلاس برای دسته بندی داده ها

با دسته بندی داده ها در 3 دسته، میانگین نمره کلاس را بدست آورده و نمودار فراوانی آن را رسم کنید.

حل 3:

مشاهده می‌شود که بیشترین و کمترین داده به ترتیب 20 و 8 است. مراحل زیر را طی می‌کنیم:

 

مراحل حل 3:

مراحل زیر را برای رسیدن به پاسخ طی می‌کنیم:

    1. با تقسیم دامنه تغییرات به تعداد دسته‌ها، طول هر دسته محاسبه می‌شود: \(\Large \frac {12}{3}= 4 \).
    2. نمرات 8 الی 12 را به حدود دسته‌هایی با طول 4 تفکیک می‌کنیم؛ مطابق ستون اول (به باز و بسته بودن بازه دقت کنید- مثلاً عدد 12 متعلق به دسته دوم است، نه دسته اول). دسته اول: عدد اول 8 و طول دسته 4 است، پس عدد انتهای دسته اول برابر است با \(\Large 8+4=12  \) (عدد 12 مربوط به دسته بعدی است) پس حدود دسته \( 8≤x<12 \) است؛ دسته دوم: عدد اول 12 و طول دسته 4 است، پس عدد انتهای دسته دوم برابر است با \(\Large 12+4=16  \) (عدد 16 مربوط به دسته بعدی است) پس حدود دسته
    3. \( 12≤x<16\) است؛ دسته سوم: عدد اول 16 و طول دسته 4 است، پس عدد انتهای دسته اول برابر است با \( 16+4=20 \) (عدد 20 مربوط به همین دسته است؛ چون دسته آخر است) پس حدود دسته \( 16≤x≤20 \) است.
    4. با توجه به بازه‌های مشخص شده در جدول، تعداد نمرات هر بازه را شمارش می‌کنیم و خط نشان می‌کشیم و همچنین در قسمت فراوانی آن تعداد را ثبت می‌کنیم.
    5. مرکز دسته‌ها با توجه به حدود دسته‌ها تعیین می‌شود (در اینجا بر خلاف بند 2 به باز یا بسته بودن بازه توجه نکنید). مرکز دسته اول، میانگین اعداد 8 و 12 است، یعنی \( \Large \frac {8+12}{2}= 10 \) ؛ مرکز دسته دوم میانگین اعداد 12 و 16 است، یعنی \( \Large \frac {12+16}{2}= 14 \) ؛ مرکز دسته سوم، میانگین اعداد 16 و 20 است، یعنی \(\Large \frac {16+20}{2}= 18 \) .
بیا بیشتر بخونیم:
جذر تقریبی هشتم 😍 - گام به گام یاد بگیر

جدول فراوانی داده ها

میانگین نمرات کلاس، از تقسیم (مجموع حاصل‌ضرب فراوانی در مرکز دسته) بر (مجموع فراوانی‌ها = تعداد داده‌ها) بدست می‌آید:

\( \Large \overline {\rm{x}} = \frac{{452}}{{30}} \simeq 15/07 \)

همچنین نمودار فراوانی آن به این صورت خواهد بود:

نمودار فراوانی جدول فراوانی

زنگ آخر کلاس جدول فراوانی

در این درس‌نامه مهم، یاد گرفتیم که چگونه با یک سری مراحل ساده مانند محاسبه دامنه تغییرات و طول دسته، تعداد زیادی داده آماری را دسته بندی کنیم و برای آن‌ها جدول فراوانی تشکیل دهیم.

با این روش اکنون می‌توانیم میانگین را در بررسی حجم زیادی از داده‌های پراکنده بدست آوریم. حالا به راحتی می‌تونی با میانگین‌گیری ببینی مثلاً توی کدوم مقطع تحصیلی عملکرد بهتری در درس ریاضیات داشتی.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.


خرید درسنامه آموزش جدول فراوانی PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

  1. ناشناس گفته :
    15:57 1399/02/20

    ممنون عالی بود

مطالب زیر را حتما بخوانید:

محمد بحرانی
محمد بحرانی

راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

قوانین ارسال دیدگاه در ما

چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


Have no product in the cart!
0