رابطه فیثاغورس ریاضی هشتم 📐📕 – وزیر بازی مثلثات!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه هشتم 31 خرداد 1399 محمد بحرانی 256 بازدید
رابطه فیثاغورس – وزیر بازی مثلثات!

خرید درسنامه آموزش رابطه فیثاغورس ریاضی هشتم 📐📕 – وزیر بازی مثلثات! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


سال‌ها قبل دانشمندی به نام فیثاغورس کاری کرد کارستون! توی مثلث قائم‌الزاویه رابطه‌ای بین اضلاع پیدا کرد که بهش رابطه فیثاغورس میگن؛ البته بعضی‌ها اشتباهی بهش رابطه فیثاغورث هم میگن! در این درس‌نامه از سری آموزش ریاضی پایه هشتم ابتدا مرور کوتاهی بر مثلث قائم‌الزاویه و اجزای آن خواهیم داشت و سپس به معرفی رابطه فیثاغورس پرداخته و با استفاده از می‌توانیم خطی به طول یک عدد رادیکالی رسم کنیم.

مثلث قائم‌الزاویه

مثلثی است که دو ضلع آن بر هم عمودند؛ یعنی دارای یک زاویه قائمه (°90) باشد. (زاویه \( \Large \hat C \) در شکل پایین). این نوع از مثلث در مباحث مختلف مثلثات مانند روابط بین نسبت‌های مثلثاتی بسیار پرکاربرد است.

وتر مثلث قائم‌الزاویه

وتر بزرگترین ضلع مثلث قائم‌الزاویه است که روبروی زاویه قائمه قرار دارد. (ضلع \( \Large c \) در شکل پایین)

اضلاع قائمه

به دو ضلع عمود بر هم در مثلث قائم‌الزاویه، اضلاع قائمه گفته می‌شود. (ضلع‌های \( \Large a \) و \( \Large b \) در شکل پایین)

مثلث قائم الزاویه

رابطه فیثاغورس

رابطه میان مجذور (مربع) اندازه ضلع‌های مثلث قائم‌الزاویه به رابطه فیثاغورس معروف است. توجه کنید که این رابطه مخصوص مثلث‌های قائم‌الزاویه است، نه هیچ مثلث دیگری! این رابطه بدین صورت است:

در هر مثلث قائم الزاویه، مجذور وتر با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر برابر است. به زبان ریاضی در مثلث زیر:

\( \Large c^2 = a^2 + b^2 \)

مثلث قائم الزاویه

مثال 1: در مثلث زیر، مقدار \( \Large x \) را بدست آورید.

مثالی از رابطه فیثاغورس

حل 1:

این مثلث، قائم‌الزاویه است، پس بین اضلاع آن رابطه فیثاغورس برقرار است. با نوشتن این رابطه می‌توانیم مقدار \( \Large x \) را بدست آوریم:

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش احتمال هشتم 🎲👍 : احتمال رخ دادن پیشامد - احتمالاً نه! حتماً یاد می‌گیرید

\( \Large x^2 = 6^2 + 8^2 \)

\( \Large = 36 + 64 = 100 \)

\( \Large → x = \sqrt {100} = 10 \)

مثال 2: پدر رضا می‌خواهد برای رفتن به پشت‌بام خانه نردبان بسازد. اگر فاصله زمین تا پشت بام 12 متر باشد و بخواهد پای نردبان تا دیوار 5 متر فاصله داشته باشد، این نردبان باید چند متری باشد؟

حل 2:

برای حل این مثال، بیایید ابتدا یک شکل از چیزی که سؤال از ما خواسته رسم کنیم:

کاربردی از رابطه فیثاغورس

دقت کنید! این یک مثلث قائم‌الزاویه‌ای با وتری به طول نردبان (L) است. رابطه فیثاغورس را برای این مثلث می‌نویسیم:

\( \Large L^2 = 12^2 + 5^2 \)

\( \Large = 144 + 25 = 169 \)

\( \Large → L = \sqrt {169} = 13 \)

بنابراین برای بالا رفتن به نردبانی به طول 13 متر نیاز داریم.

عکس رابطه فیثاغورس

عکس رابطه فیثاغورس هم برقرار است. یعنی: اگر در یک مثلث، مجذور وتر با مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر آن برابر باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه خواهد بود.

مثال 3: تعیین کنید که کدام یک از مثلث‌های زیر قائم‌الزاویه است؟

تشخیص قائم‌الزاویه بودن مثلث

حل 3:

طبق نکته بالا می‌دانیم که اگر در مثلثی مجموع مجذورهای دو ضلع برابر با مجذور ضلع سوم (یعنی ضلع بزرگتر: وتر) باشد، آن مثلث قائم‌الزاویه خواهد بود؛ پس برای هر مثلث رابطه فیثاغورس را می‌نویسیم:

\( \Large 3^2 + 4^2 \) (مثلث الف)

\( \Large = 9 + 16 = 25 \)

\( \Large 5^2 = 25 \)

با توجه به برقراری این رابطه برای مثلث (الف)، پس این مثلث قائم‌الزاویه است.

\( \Large 6^2 + 9^2 \) (مثلث ب)

\( \Large = 36 + 81 = 117 \)

\( \Large 11^2 = 121 \)

بیا بیشتر بخونیم:
بردار و مختصات ریاضی هشتم 📍📌🗺 – جهت‌دار و کامل!

مثلث (ب) قائم‌الزاویه نیست، چون رابطه برای آن برقرار نیست.

مثال 4: اگر وتر و یک ضلع مثلث قائم‌الزاویه به ترتیب برابر با \( \Large \sqrt {13} \) و \( \Large \sqrt {12} \) باشد، طول ضلع دیگر چقدر خواهد بود؟

حل 4:

برای این مثلث، رابطه فیثاغورس را می‌نویسیم (دقت کنید که در اینجا وتر برابر با \( \Large \sqrt {13} \) است و طول ضلع سوم را \( \Large x \) گذاشته‌ایم):

\( \Large (\sqrt {13})^2 = (\sqrt {12})^2 + x^2 \)

\( \Large → 13 = 12 + x^2 \)

\( \Large  x^2 = 1 → x = 1 \)


خرید درسنامه آموزش رابطه فیثاغورس ریاضی هشتم 📐📕 – وزیر بازی مثلثات! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


رسم پاره‌خطی به طول \( \Large \sqrt {a} \)؛ بهشت رابطه فیثاغورس

فرض کنید می‌خواهیم خطی به طول \(\Large \sqrt {a} \) رسم کنیم. برای این کار از رابطه فیثاغورس استفاده می‌کنیم. کافی است دو عدد پیدا کنیم که جمع مجذور این دو برابر با \(\Large (\sqrt {a})^2 \) یا همان  \(\Large {a} \) شود؛ یعنی:

\(\Large x^2+y^2= (\sqrt {a})^2 \)

\(\Large x^2+y^2= a \)

پس اگر مثلث قائم‌الزاویه‌ای با دو ضلع قائمه \(\Large x \) و \(\Large y \) رسم کنیم، وتر آن‌ها برابر با \(\Large \sqrt {a} \) خواهد شد.

رسم پاره خط به طول عدد رادیکالی

از این روش برای نمایش اعداد رادیکالی روی محور اعداد نیز استفاده می‌کنیم.

مثال 5: با توضیح روش، پاره‌خطی به طول \( \Large \sqrt {10} \) رسم کنید.

حل 5:

طبق روش گفته شده از رابطه فیثاغورس استفاده کرده و دو عدد مانند \(\Large x \) و \(\Large y \) پیدا می‌کنیم که مجموع مجذورهای آن دو برابر با \(\Large \sqrt {10} \) باشد؛ (به زبان ریاضی):

بیا بیشتر بخونیم:
جذر تقریبی هشتم 😍 - گام به گام یاد بگیر

\(\Large x^2+y^2= (\sqrt {10})^2 \)

\(\Large → x^2+y^2= 10 \)

اگر به جای \(\Large x \) و \(\Large y \)، اعداد 1 و 3 قرار دهیم؛ این رابطه برقرار می‌شود:

\(\Large 1^2+ 3^2 = 1+9 = 10 \)

\(\Large  L^2 = 10 → L = \sqrt {10} \)

بنابراین در مثلث قائم‌الزاویه زیر، طول وتر (پاره‌خط آبی رنگ) برابر با \( \Large \sqrt {10} \) خواهد بود:

مثالی از رسم پاره خط با طول رادیکالی

رسم مثلث‌های متوالی برای رسیدن به پاره‌خطی به طول \( \Large \sqrt {a} \)

گاهی لازم است برای رسم پاره‌خطی به طول یک عدد رادیکالی، چند مثلث قائم‌الزاویه رسم کنیم. با یک مثال، این روش را توضیح می‌دهیم:

اگر بخواهیم از روش گفته شده پاره‌خطی به طول \( \Large \sqrt {7} \) رسم کنیم، آیا می‌توان تنها از یک مثلث قائم‌الزاویه و رابطه فیثاغورس استفاده کرد؟

خب! بیایید امتحان کنیم. دو عدد پیدا می‌کنیم که مجموع مجذورهای آن‌ها برابر با 7 باشد:

  • اگه طول یکی از ضلع‌ها 1 باشه، اون یکی باید چند باشه؟ آها! \( \Large \sqrt {6} \)، چون

\(\Large 1^2 + (\sqrt {6})^2= 1+6=7 \)

  • بازم راه هست؟ بله! اگه طول یکی از ضلع‌ها 2 باشه، اون یکی باید چند باشه؟ خب معلومه، \( \Large \sqrt {3} \)، چون

\(\Large 2^2 + (\sqrt {3})^2= 4+3=7 \)

اگر ضلع‌ها را \( \Large 2 \) و \( \Large \sqrt {3} \) در نظر بگیریم:

مثالی از رسم پاره خط به کمک رابطه فیثاغورس

خب! همونطور که می‌بینید اول باید \( \Large \sqrt {3} \) رسم بشه (مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع قائمه \( \Large 1 \) و \( \Large \sqrt {2} \) ):

مثالی از رسم پاره خط به کمک رابطه فیثاغورث

باز هم عددرادیکالی! پس باید \( \Large \sqrt {2} \) رسم بشه (مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع قائمه \( \Large 1 \) و \( \Large 1 \) ):

بیا بیشتر بخونیم:
خواص ضرب و تقسیم رادیکال ها ریاضی هشتم ✖️➗ - یک‌ضرب یاد بگیر!

مثالی از رسم پاره خط به کمک رابطه فیثاغورس ریاضی

مشاهده کردید که برای رسم پاره‌خطی به طول \( \Large \sqrt {7} \)، از 3 مثلث قائم‌الزاویه متوالی استفاده کردیم.

توجه: با این روش، هرچه جلو برویم و عدد رادیکالی داشته باشیم، باز هم باید مثلث قائم‌الزاویه و رابطه فیثاغورس را بکار ببریم.

مثلث‌های متوالی معروف!

مثلث‌های شکل زیر را در نظر بگیرید که در آن نحوه رسم 4 خط با طول‌های رادیکالی مختلف (به همان روشی که توضیح دادیم) نشان داده شده است. با استفاده از این روش می‌توان پاره‌خط‌هایی با هر طول رادیکالی را رسم کرد.

مثلث‌های متوالی به کمک رابطه فیثاغورس

مثال 6: زهرا می‌خواهد به کمک قسمتی از دایره به شکل زیر، مخروطی به ارتفاع 2 سانتی‌متر بسازد. قاعده مخروط (دایره) را برای او رسم کنید.

مثال ترکیبی رابطه فیثاغورس

حل 6:

اگر در دایره ناقص بالا نقاط \( \Large A \) و \( \Large B \) را به هم برسانیم، یک حالت قیفی شکل (مخروطی) بصورت زیر ایجاد می‌شود که دایره قرمز رنگ زیر این قیف، قاعده مخروط خواهد بود:

حل مثال نهایی شکل مخروط

دقت کنید که چون ارتفاع مخروط بر قاعده عمود است، مثلث قائم‌الزاویه ایجاد شده و می‌توانیم از رابطه فیثاغورس برای بدست آوردن شعاع قاعده (\( \Large r \)) استفاده کنیم:

\(\Large r^2 + 2^2= 3^2 \)

\(\Large → r^2 + 4= 9 \)

\(\Large → r^2 = 9 – 4 = 5 \)

\(\Large → r = \sqrt{5} \)

می‌خواهیم قاعده مخروط را برای زهرا رسم کنیم که دایره‌ای به شعاع \( \Large \sqrt{5} \) است. یادمان که نرفته؟ برای این کار از مثلثی با اضلاع قائمه 1 و 2 استفاده می‌کنیم:

\(\Large 1^2 + 2^2= 1+4=5 \)

دایره رسم شده با رابطه فیثاغورس

با رسم این پاره‌خط می‌توانیم دو طرف پرگار را روی دو سر پاره‌خط قرار دهیم و دایره را رسم نماییم.

بیا بیشتر بخونیم:
همه چیز درباره جدول فراوانی 🗺️ ریاضی هشتم - داده‌های آماری

زنگ آخر کلاس رابطه فیثاغورس

در این درس‌نامه پس از مرور اجزاء یک مثلث قائم‌الزاویه، با رابطه مهمی در مثلثات به نام رابطه فیثاغورس آشنا شدیم؛ مطمئن باشید حالا حالاها با این فرمول سر و کار خواهیم داشت. همچنین با استفاده از این رابطه پاره‌خط‌هایی به طول اعداد رادیکالی رسم کردیم. حل مثال‌های زیاد در این درس قطعاً در آینده کمک زیادی به ما خواهد کرد.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.


خرید درسنامه آموزش رابطه فیثاغورس ریاضی هشتم 📐📕 – وزیر بازی مثلثات! PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    محمد بحرانی
    محمد بحرانی

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0