آموزش معادله خط به زبان ساده 📈 – قدم به قدم با مثال📉

آموزش معادله خط به زبان ساده

سلام به همه دانش‌آموزان و علاقه‌مندان ریاضی و ریاضیکا. در این آموزش می‌خواهیم در مورد آموزش معادله خط و طریقهٔ نوشتن معادله یک خط با استفاده از شیب صحبت کنیم.
یک خط از بی نهایت نقطه تشکیل شده است که طول و عرض این نقاط باهم رابطه دارند. مثلاً خطی را در نظر بگیرید که از نقاط (1,2) و (2,4) می‌گذرد. این نشان می‌دهد که تمام نقاطی که روی این خط قرار دارند، عرضشان دو برابر طولشان است. این را به زبان ریاضی و آموزش معادله خط این گونه مینویسیم:

\( \Large y = 2x \)

در واقع معادله یک خط رابطهٔ بین طول و عرض نقاط واقع بر یک خط را نشان می‌دهد. اما تشخیص این رابطه و نوشتن معادله یک خط همیشه به این آسانی نیست. برای نوشتن معادله یک خط حداقل دو نقطه از آن را نیاز داریم. در نهایت با استفاده از رابطهٔ شیب خط که در زیر آورده شده است، شیب خط را بدست می‌آوریم:

آموزش معادله خط می آموزد که شیب خط را از تقسیم تفاضل عرضها به طولها بدست آوریم .

سپس شیب و مختصات یکی از نقاط را در معادله کلی خط یعنی \( \LARGE y = ax + b \)  که در آن \( \LARGE a \) شیب خط و \( \LARGE b \) عرض از مبدا است، قرار می‌دهیم. در نهایت \( \LARGE b \) را پیدا می‌کنیم.



مثال ۱: معادله خطی که از دو نقطه (1,2) و (5,3) می‌گذرد را بنویسید؟

حل ۱:

\( \LARGE m = \frac{3-2}{5-1} = \frac{1}{4} \)

\( \LARGE y = ax + b \)

\( \LARGE 2 = 1 \times \frac{1}{4} + b \)

\( \LARGE b =  \frac{7}{4} \Rightarrow y = \frac{8}{4} x + \frac{7}{4}\)

 

پس به طور کلی برای نوشتن معادله یک خط به شیب و یک نقطه از خط نیاز داریم.

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش تابع لگاریتمی - تابع معکوس موفقیت 🏆 !

مثال ۲: \( \Large m=3 \) شیب خطی است و محور طول‌ها را در نقطه‌ای به طول 2 قطع می‌کند. معادله این خط را بنویسید؟

حل ۲:

\( \LARGE m = 3 , (2,0) , y = ax + b \)

\( \LARGE y = 3x – 6 \)

\( \LARGE 0 = 2 \times 3 + b \)

\( \LARGE b =  -6 \)

آموزش معادله خط : شیب خطوط موازی و عمود

برای خط‌ها دو حالت خاص را می‌توان در نظر گرفت که به راحتی با معادله خط آن‌ها قابل تشخیص است:

  1. خطوط موازی
  2. خطوط عمود

۱- خطوط موازی

اگر دو خط با هم موازی باشند شیب‌هایشان برابر است. در اصل شیب یعنی مقدار کج و راستی یک خط. خط هایی با شیب برابر با هم موازی‌اند. بعنوان مثال دو خط زیر را در نظر بگیرید:

\( \Large y = 2x + 3 \) و \( \Large y = 2x + 1 \)

این دو خط با هم موازی هستند و فقط عرض از مبدا آن‌ها با هم فرق می‌کند. درنتیجه مقدار \( \LARGE a \) (همان شیب) در خطوط موازی حتماً برابر است.

آموزش معادله خط یاد می دهد در خطوط موازی شیب ها برابر هستند .

۲- خطوط عمود بر هم

دو خط عمود برهم شیب‌هایشان قرینه و معکوس یکدیگر است. طوریکه حاصلضرب شیب‌های آن‌ها منفی یک می‌شود.

\( \Large mm’ = -1 \)

\( \Large y = 2x+2 \)

\( \Large \Rightarrow y = -\frac{1}{2} x + 3 \)

شیب خط

شیب یک خیابان یا یک جاده به دو کمیت ارتفاع و مسافت افقی طی شده بستگی دارد. یک نکته مهم که در آموزش معادله خط باید به آن توجه کنید این است که به طور کلی شیب یعنی نسبت ارتفاع به مسافت افقی طی شده. از رابطه شیب خط که در زیر آورده شده است، شیب خط را بدست می‌آوریم.

آموزش معادله خط می گوید که شیب به نسبت ارتفاع به مسافت افقی طی شده بستگی دارد .

حال اگر دو نقطه زیر را در نظر بگیریم خواهیم داشت.

بیا بیشتر بخونیم:
تناسب و خواص تناسب : یک نتیجه از قضیه تالس - یک دنیای متناسب 🌍 !

 شیب خط از نسبت تفاضل عرض ها به طول ها به دست می آید .

حال در مثلث ABC شیب خط AB به صورت زیر است :

 شیب خط از تفاضل عرضها به طولها بدست می آید .

معادله خط ها

آموزش معادله خط به ما کمک می‌کند خط را به دو صورت بنویسیم.

\( \LARGE 1)  y = ax + b \\ \LARGE 2) ax + by + c = 0 \)

در فرم اول \( \LARGE  a \) شیب خط و \( \LARGE  b \) عرض از مبدا است‌. ولی در فرم دوم شیب خط و عرض از مبدا به صورت زیر می‌باشند:

در آموزش معادله خط میبینیم که چطور شیب و عرض از مبدا بدست می آید .

 

در آموزش معادله خط میبینیم که چطور شیب و عرض از مبدا بدست می آید .

پس اگر مختصات دو نقطه را داشته باشیم و شیب را بخواهیم پیدا کنیم از رابطه ی زیر استفاده می‌کنیم:

 شیب خط را از تقسیم تفاضل عرض‌ها به طول‌ها بدست آوریم .

ولی اگر معادله خط را داشته باشیم از روی معادله، شیب را پیدا می‌کنیم.

اگر خط صعودی باشد، یعنی با افزایش مقدار x مقدار y نیز افزایش پیدا کند شیب خط مثبت می‌شود.

 نمودار خطوط صعودی طوریست که با افزایش مقدار x , y نیز افزایش پیدا کند و شیب خط مثبت می شود.

اگر خط نزولی باشد یعنی با افزایش مقدار \( \LARGE  x \) مقدار \( \LARGE  y \) نیز کاهش پیدا کند شیب خط منفی می‌شود.

نمودار خطوط نزولی طوریست که با افزایش مقدار x , y نیز کاهش پیدا کند و شیب خط منفی می شود .

یک نکته مهم: به طور کلی نمودار از چپ به راست خوانده می‌شود. در نتیجه اگر خط به سمت بالا برود خط صعودی و اگر به سمت پایین برود خط نزولی می‌شود.



خط‌ های استثناء

دو حالت استثناء را می‌توان برای شیب خط ها در نظر گرفت:

  • خط موازی محور افق
  • خط موازی محور قائم

حط موازی محور افق

اگر خطی مانند خطی که در شکل زیر قرار دارد موازی محور \( \Large  x \)ها باشد، تمام نقاط واقع بر آن داری عرض یکسان هستند. در نهایت معادله این خط به \( \Large  x \) بستگی ندارد. پس معادله آن به صورت \( \Large y = b \) است که \( \Large  b \) همان عرض از مبدأ است. عرض از مبدأ جایی است که خط مورد نظر ما، محور عرض‌ها را قطع می‌کند. شیب این خط‌ها صفر است. زیرا:

بیا بیشتر بخونیم:
ماکزیمم و مینیمم سهمی 🔼🔽 - بالا و پایین نمودارتو بشناس!

آموزش معادله خط می آموزد که اگر خطی موازی محورx ها باشد ، داری عرض یکسان هستند و معادله این خط به x بستگی ندارد و شیب این خط ها صفر است .

آموزش معادله خط می آموزد که اگر خطی موازی محورx ها باشد ، داری عرض یکسان هستند و معادله این خط به x بستگی ندارد و شیب این خط ها صفر است .

حط موازی محور قائم

اگر خطی موازی محور \( \Large  y \)ها باشد، مانند خطی که در شکل زیر قرار دارد، تمام نقاط واقع بر آن دارای طول یکسان هستند. در نهایت معادله این خط ها به صورت \( \Large x = a \) است.  \( \LARGE  a \) جایی است که خط محور \( \Large  x \) ها را قطع می‌کند. شیب این خط ها تعریف نشده است. زیرا:

آموزش معادله خط می آموزد که اگر خطی موازی محورx ها باشد ، داری عرض یکسان هستند و معادله این خط به x بستگی ندارد و شیب این خط ها صفر است .

آموزش معادله خط می آموزد که اگر خطی موازی محورx ها باشد ، داری عرض یکسان هستند و معادله این خط به x بستگی ندارد و شیب این خط ها صفر است .

مثال ۳: معادله خطی را بنویسید که از نقاط (2,3-),(1,2) بگذرد ؟

حل ۳:

\( \LARGE m = \frac{3-2}{-2-1} = \frac{1}{-3} \)

\( \LARGE y = ax + b \)

\( \LARGE 2 = 1 \times – \frac{1}{3} + b \)

\( \LARGE b =  \frac{7}{3} \Rightarrow y = \frac{-1}{3} x + \frac{7}{3}\)

چند مثال برای درک بهتر از آموزش معادله خط

مثال ۴: معادله خطی را بنویسید که از نقاط (5,2) و (3,2) بگذرد؟

حل ۴: چون تمام نقاط عرضشان 2 است پس پاسخ برابر است با \( \Large y = 2 \)

مثال ۵: معادله خطی را بنویسید که از نقاط (2,3) و (2,8)  بگذرد ؟

حل ۵: چون نقاطی که روی این خط هستند طولشان 2 است پس معادله خط مورد نظر برابر است با \( \Large x = 2 \).

مثال ۶: معادله خطی را بنویسید که از نقطه (3,1) گذشته و برخط \(  y = \frac{-1}{2}x + 2 \) عمود باشد؟

حل ۶:

\( \LARGE m = 2 \)

\( \LARGE 1 = 3 \times  2 + b \)

\( \LARGE b = -5 \)

\( \LARGE y = 2x – 5 \)

رابطه شیب با تانژانت

اگر خطی موازی محور \( \Large  x \)ها نباشد، حتماً محور \( \Large  x \)ها را در یک نقطه قطع می‌کند و با آن دو زاویه می‌سازد. جز خط هایی که موازی محور \( \Large  x \) ها می‌باشند زاویه ای که سمت راست قرار دارد را در نظر بگیرید. شیب خط با \( \LARGE  tan \) این زاویه برابر است.

بیا بیشتر بخونیم:
حل معادلات گویا ⚙️⏸ - همان آموزشی که می‌خواستید!

زیرا:

\( \LARGE tan\theta = \frac{AB}{BC} \)

از طرفی طبق تعریف شیب:

آموزش معادله خط می آموزد که شیب با tan برابر است .

آموزش معادله خط می آموزد که شیب با tan برابر است .

مثال ۷: معادله خطی را بنویسید که با جهت مثبت محور \( \Large  x \)ها زاویه 45 بسازد و محور عرض‌ها را در نقطه 2 قطع کند؟

حل ۷:

\( \LARGE m = tan45 = 1 \)

عرض از مبدا:

\( \LARGE b = 2 \)

پس

\( \LARGE y = x + 2 \)

مثال ۸: خطی از نقاط \( (-2 , 0 ) , (1 , \sqrt[2]{3} ) \) می‌گذرد. این خط با محور \( \Large  x \)ها چه زاویه‌ای می‌سازد؟

حل ۸:

\( \LARGE m = \frac{\sqrt{3} – 0}{1 – (-2) } = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

\( \LARGE m = tan30 = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

آموزش معادله خط و نقطه وسط یک پاره خط

اگر مختصات دو سر یک پاره خط را داشته باشیم و مختصات نقطه وسط یک پاره خط را بخواهیم، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

آموزش معادله خط می آموزد که اگر مختصات دو سر یک پاره خط را داشته باشیم می توانیم مختصات نقطه وسط یک پاره خط را پیدا کنیم .

آموزش معادله خط می آموزد که اگر مختصات دو سر یک پاره خط را داشته باشیم می توانیم مختصات نقطه وسط یک پاره خط را پیدا کنیم .

مثال ۹: اگر (4,3),(2,1) دو سر یک پاره خط باشند مختصات نقطه وسط این پاره خط را به دست آورید؟

حل ۹:

 اگر مختصات دو سر یک پاره خط را داشته باشیم می توانیم مختصات نقطه وسط یک پاره خط را پیدا کنیم .

طول پاره خط AB

نقاط زیر را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم با کمک آموزش معادله خط طول پاره خط \( \Large  AB \) را بیابیم، طبق شکل و رابطه فیثاغورس خواهیم داشت:

آموزش معادله خط می آموزد که اگر نقاطی را داشته باشیم و طول پاره خط متشکل از آن را بخواهیم از رابطه فیثاغورس می توانیم کمک بگیریم .

آموزش معادله خط می آموزد که اگر نقاطی را داشته باشیم و طول پاره خط متشکل از آن را بخواهیم از رابطه فیثاغورس می توانیم کمک بگیریم .

مثال ۱۰: طول پاره خط \( \Large  AB \) را بدست می آورید اگر داشته باشیم : \( A = (2,1) \) و \( B = (3,5) \)

حل ۱۰:

آموزش معادله خط می آموزد که اگر نقاطی را داشته باشیم و طول پاره خط متشکل از آن را بخواهیم از رابطه فیثاغورس می توانیم کمک بگیریم .

فاصله نقطه از خط در آموزش معادله خط

به شکل زیر دقت کنید. نقطه \( \Large  A \) خارج از خط \( \Large  d \) قرار دارد. می‌خواهیم فاصله این نقطه تا خط \( \Large  d \) را پیدا کنیم. می‌دانیم کوتاه‌ترین فاصله بین نقطه \( \Large  A \) و خط \( \Large  d \)، خط عمود گذرنده از \( \Large  A \) می‌باشد. برای پیدا کردن این فاصله به مختصات نقطه \( \Large A \) و معادله خط \( \Large  d \) به فرم گسترده نیاز داریم.

بیا بیشتر بخونیم:
رسم تابع رادیکالی 🥇📈 - ۲ روش طلایی!

برای پیدا کردن فاصله نقطه از خط ، از فرم گسترده زیر بهره ببریم .

برای پیدا کردن فاصله نقطه از خط ، از فرم گسترده زیر بهره ببریم .

مثال ۱۱: فاصله نقطه (A=(1,2 از خط روبرو را بدست آورید؟  (\( \Large 3x-4y=5 \))

حل ۱۱:

 برای پیدا کردن فاصله نقطه از خط ، از فرم گسترده زیر بهره ببریم .

سوال های شما

مثال ۱۲: معادله خطی بنویسید که محور طول‌ها را در نقطه‌ای به طول 2 قطع کند و موازی خط به معادله \( \Large \frac{x}{2} + \frac{y}{3}=1  \) باشد.

حل ۱۲:

چون بیان کرده که موازی باشد پس شیب خط درخواستی با شیب \( \Large \frac{x}{2} + \frac{y}{3}=1 \) برابر است.

\( \LARGE \frac{x}{2} + \frac{y}{3}=1 \)

\( \LARGE  \frac{y}{3}=1-\frac{x}{2} \)

\( \LARGE y=3-\frac{3x}{2} \)

\( \LARGE a=-\frac{3}{2} \)

سوال به ما نقطه \( \Large (2,0) \) را نیز داده است چون خط درخواستی محور طول‌ها را در نقطه ۲ قطع کرده است.

\( \LARGE y=ax+b \)

\( \LARGE a=-\frac{3}{2} , (2,0) \)

\( \LARGE 0=-\frac{3}{2} \times 2 + b \)

\( \LARGE b=3 \)

\( \LARGE y=-\frac{3}{2} x + 3 \)

آخر زنگ آموزش معادله خط

در این نوشتار سعی کردیم آموزش معادله خط را همراه با مثال‌های متنوع برای شما دانش‌آموزان و علاقمندان به ریاضیات بیان کنیم. تمام تلاش ما در ریاضیکا آموزش ریاضی به بیانی ساده و شیوا است.

در صورتیکه که هرگونه سوالی از این مبحث داشتید، می‌توانید آن را در قسمت دیدگاه‌ها در پایین همین نوشتار بنویسید. کارشناسان ما در ریاضیکا به سوالات شما پاسخ خواهند داد.



44 دیدگاه برای “آموزش معادله خط به زبان ساده 📈 – قدم به قدم با مثال📉

  1. جواد گفته:

    سلام با عرض خسته نباشید از آموزش کاملتون.
    فاصله دو خط موازی چه جوری پیدا کنیم.
    مرسی.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام بر شما دوست عزیز.
      به وسیله فرمول، فاصله نقطه از خط.

  2. علی توفیق گفته:

    سلام من یه معادله خط دارم و سوال داده که مختصاتی پیدا کنید ازش که طول و عرض ان مساوی باشد اینو چطوری حل کنم

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و وقت به خیر
      کافی است به جای x، y را قرار دهید.
      یعنی به جای عرض، طول را می‌گذاریم.
      یک معادله یک مجهولی بدست می‌آید که درنهایت طول و عرض محاسبه می‌شود.

  3. علیرضا گفته:

    باسلام عالی بود فقط یک سوال داشتم خط موازی با y=3x+2چیست؟؟؟؟

    • سید محمدامین موسوی نطنزی گفته:

      سلام و وقت بخیر
      شیب این خط ضریب x یعنی ۳ است. پس هر خطی که شیب آن ۳ باشد، با این خط موازی است. یعنی بی نهایت خط وجود دارد که با عرض از مبداهای مختلف که با این خط موازی هستند.

  4. یونس گفته:

    سلام جواب سوال معادله خطی را بنویسید که محور طول ها را در نقطه ای به طول 2 قطع کند و موازی به خط معادله x\2 +y\3 =1 باشد چیست

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام دوست عزیز.
      جواب می شود :
      y=-3/2x+3
      در آپدیت این نوشتار می توانید جواب کامل راببینید.

  5. یونس گفته:

    سلام جواب سوال معادله خطی بنویسید که محور طول ها را در نقطه ای به طول 2 قطع کند و موازی خط به معادله x\2 +y\3 =1 باشد چیست

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام دوست عزیز.
      جواب می شود :
      y=-3/2x+3
      در آپدیت این نوشتار می توانید جواب کامل راببینید.

  6. ~. گفته:

    سلام ببخشید میشه به این سوال جواب بدین
    ضابطه ی تابع خطی را بیابید که از دو نقطه ی (۲,۴) A و(۴,۶) B می گذرد

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با عرض سلام واحترام
      دقیقا مانند مثال سه عمل کنید

  7. ناشناس گفته:

    سلام وخسته نباشید معادله خطی بتویسید که از سه نقطه a, b ,c بگذرد مختصات نقاط داده شده است

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام
      با استفاده از دو تا نقطه ها شیب رو پیدا کنید ومانند مثالهای حل شده رد پست معادله رو بنویسید

  8. فائزه گفته:

    معادله خطی که از نقطه A با مختصات (۳-،۲)میگذرد تا زاویه ۵x /۶ بسازد

  9. ... گفته:

    سلام ببخشید میشه لطفا این سوال رو حل کنید ممنون میشم
    معادله تمام خطوطی که از نقطه(۰و۱) می‌گذرند بنویسید

  10. Emad گفته:

    با سلام و احترام
    آیا میشود بدون داشتن مختصات دو نقطه محور x و فقط با دو نقطه محور y شیب خط را حساب کرد؟

      • ناشناس گفته:

        محور x تاریخ هست و محور y قیمت و به نظرم برای محور x نمیشه عدد در نظر گرفت
        آیا میشه یک عدد دستی وارد کرد مثلاً 1 برای نقطه اول و 2 برای نقطه دوم

        • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

          با سلام
          بله، می شود برای هر تاریخی یک عددی را مشخص کرد یا خود تاریخ را زیر محور بنویسید.
          رای اطلاع از جشنواره ها ومطالب بیشترپیج ما رو در اینستا به آدرس زیر دنبال کنید
          https://www.instagram.com/riazica/

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      خوشحالیم که مفید واقع شده

  11. ۰ گفته:

    ببخشید میشه جواب این سوال رو بدین
    معادله ی خطی را بنویسید که از دو نقطه ی طول ۲ عرض ۶ و طول منفی ۴ و عرض ۳ بگذرد

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام واحترام
      دوست عزیز اگه پست رو خوب بخونید به جواب میرسید

  12. ناشناس گفته:

    سلام
    وقتی به ما یک معادله خط میدن چجوری میتونیم به طور دقیق نقطه رو پیدا کنیم

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      کافیه هر چند تا نقطه میخواهی به ایکس مقدار بدی وو وای رو بدست بیاری

  13. - گفته:

    سلام من یک سوال داشتم من همیشه در پیدا کردن نقاط برای یک معادله خط مشکل دارم چجوری میتونم با یک فرمول مشخص به جواب درست برسم ؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      خیلی راحت به ایکس مقدار بده تو معادله ووای رو بدست بیار

  14. مبینا رضائی گفته:

    سلام ممنون از توضیحات خوبتون ببخشید به سوال داشتم :
    اگر سوال ضابطه دو تابع رو بده و از ما نقطه ای که این دو تا تابع هم دیگه رو قطع میکنن رو بخواد
    چه طور باید عمل کنیم ؟؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض ادب
      بهترین روش رسم نمودار دو تابع وپیدا کردن محل برخورد آنها

  15. ابوالفضل اسمعیلی گفته:

    سلام خسته نباشید واقعا توضیحات کامل بود حتی از کتاب خودمون.من در یک سوال گیر کردم اگه میشه کمکم کنید.
    سوال=از نقطه A به طول 2 که روی خط 2x+y=3 است، خطی عمود بر 4x_3y=7 رسم کرده ایم. معادله این خط چیست؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وروز به خیر
      کافیه این نفطه رو بگذارید داخل معادله خط اولی تا عرض نقطه بدست بیادوشیب خط دومی رو پیدا کنید وقرینه ومعکوسش کنید وبا اون نقطه معادله خط رو بنویسید

  16. Tsukiko گفته:

    معادله خطی بنویسید که از نقطه (2 , 3 _)A گذشته و زاویه آن با محور x ها ۳۰ باشد
    اینو چطور میشه حل کرد؟

    • fateme2866 گفته:

      با سلام وعرض ادب
      شیب خط با تانژانت زاویه ای که خط یا جهت مثبت محور ایکسها میسازه برابر هست پس شیب این خط رو بهتون داده بذارید تا نقطه داده شده در معادله خط وبدستش بیارید

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

سوال ریاضی داری؟ 😍 به ما زنگ بزن 📞