آموزش معادله خط به زبان ساده 📈 – قدم به قدم با مثال📉

---

---

---

سلام به همه دانش‌آموزان و علاقه‌مندان ریاضی و ریاضیکا. در این آموزش می‌خواهیم در مورد آموزش معادله خط و طریقهٔ نوشتن معادله یک خط با استفاده از شیب صحبت کنیم.
یک خط از بی نهایت نقطه تشکیل شده است که طول و عرض این نقاط باهم رابطه دارند. مثلاً خطی را در نظر بگیرید که از نقاط (1,2) و (2,4) می‌گذرد. این نشان می‌دهد که تمام نقاطی که روی این خط قرار دارند، عرضشان دو برابر طولشان است. این را به زبان ریاضی و آموزش معادله خط این گونه مینویسیم:

\( \Large y = 2x \)

در واقع معادله یک خط رابطهٔ بین طول و عرض نقاط واقع بر یک خط را نشان می‌دهد. اما تشخیص این رابطه و نوشتن معادله یک خط همیشه به این آسانی نیست. برای نوشتن معادله یک خط حداقل دو نقطه از آن را نیاز داریم. در نهایت با استفاده از رابطهٔ شیب خط که در زیر آورده شده است، شیب خط را بدست می‌آوریم:

سپس شیب و مختصات یکی از نقاط را در معادله کلی خط یعنی \( \LARGE y = ax + b \)  که در آن \( \LARGE a \) شیب خط و \( \LARGE b \) عرض از مبدا است، قرار می‌دهیم. در نهایت \( \LARGE b \) را پیدا می‌کنیم.

مثال ۱: معادله خطی که از دو نقطه (1,2) و (5,3) می‌گذرد را بنویسید؟

حل ۱:

\( \LARGE m = \frac{3-2}{5-1} = \frac{1}{4} \)

\( \LARGE y = ax + b \)

\( \LARGE 2 = 1 \times \frac{1}{4} + b \)

\( \LARGE b =  \frac{7}{4} \Rightarrow y = \frac{8}{4} x + \frac{7}{4}\)

 

پس به طور کلی برای نوشتن معادله یک خط به شیب و یک نقطه از خط نیاز داریم.

مثال ۲: \( \Large m=3 \) شیب خطی است و محور طول‌ها را در نقطه‌ای به طول 2 قطع می‌کند. معادله این خط را بنویسید؟

حل ۲:

\( \LARGE m = 3 , (2,0) , y = ax + b \)

\( \LARGE y = 3x – 6 \)

\( \LARGE 0 = 2 \times 3 + b \)

\( \LARGE b =  -6 \)

آموزش معادله خط : شیب خطوط موازی و عمود

برای خط‌ها دو حالت خاص را می‌توان در نظر گرفت که به راحتی با معادله خط آن‌ها قابل تشخیص است:

1. خطوط موازی
2. خطوط عمود

۱- خطوط موازی

اگر دو خط با هم موازی باشند شیب‌هایشان برابر است. در اصل شیب یعنی مقدار کج و راستی یک خط. خط هایی با شیب برابر با هم موازی‌اند. بعنوان مثال دو خط زیر را در نظر بگیرید:

\( \Large y = 2x + 3 \) و \( \Large y = 2x + 1 \)

این دو خط با هم موازی هستند و فقط عرض از مبدا آن‌ها با هم فرق می‌کند. درنتیجه مقدار \( \LARGE a \) (همان شیب) در خطوط موازی حتماً برابر است.

۲- خطوط عمود بر هم

دو خط عمود برهم شیب‌هایشان قرینه و معکوس یکدیگر است. طوریکه حاصلضرب شیب‌های آن‌ها منفی یک می‌شود.

\( \Large mm’ = -1 \)

\( \Large y = 2x+2 \)

\( \Large \Rightarrow y = -\frac{1}{2} x + 3 \)

شیب خط

شیب یک خیابان یا یک جاده به دو کمیت ارتفاع و مسافت افقی طی شده بستگی دارد. یک نکته مهم که در آموزش معادله خط باید به آن توجه کنید این است که به طور کلی شیب یعنی نسبت ارتفاع به مسافت افقی طی شده. از رابطه شیب خط که در زیر آورده شده است، شیب خط را بدست می‌آوریم.

حال اگر دو نقطه زیر را در نظر بگیریم خواهیم داشت.

حال در مثلث ABC شیب خط AB به صورت زیر است :

معادله خط ها

آموزش معادله خط به ما کمک می‌کند خط را به دو صورت بنویسیم.

\( \LARGE 1)  y = ax + b \\ \LARGE 2) ax + by + c = 0 \)

در فرم اول \( \LARGE  a \) شیب خط و \( \LARGE  b \) عرض از مبدا است‌. ولی در فرم دوم شیب خط و عرض از مبدا به صورت زیر می‌باشند:

 

پس اگر مختصات دو نقطه را داشته باشیم و شیب را بخواهیم پیدا کنیم از رابطه ی زیر استفاده می‌کنیم:

ولی اگر معادله خط را داشته باشیم از روی معادله، شیب را پیدا می‌کنیم.

اگر خط صعودی باشد، یعنی با افزایش مقدار x مقدار y نیز افزایش پیدا کند شیب خط مثبت می‌شود.

اگر خط نزولی باشد یعنی با افزایش مقدار \( \LARGE  x \) مقدار \( \LARGE  y \) نیز کاهش پیدا کند شیب خط منفی می‌شود.

یک نکته مهم: به طور کلی نمودار از چپ به راست خوانده می‌شود. در نتیجه اگر خط به سمت بالا برود خط صعودی و اگر به سمت پایین برود خط نزولی می‌شود.

---

---

---

خط‌ های استثناء

دو حالت استثناء را می‌توان برای شیب خط ها در نظر گرفت:

• خط موازی محور افق
• خط موازی محور قائم

حط موازی محور افق

اگر خطی مانند خطی که در شکل زیر قرار دارد موازی محور \( \Large  x \)ها باشد، تمام نقاط واقع بر آن داری عرض یکسان هستند. در نهایت معادله این خط به \( \Large  x \) بستگی ندارد. پس معادله آن به صورت \( \Large y = b \) است که \( \Large  b \) همان عرض از مبدأ است. عرض از مبدأ جایی است که خط مورد نظر ما، محور عرض‌ها را قطع می‌کند. شیب این خط‌ها صفر است. زیرا:

حط موازی محور قائم

اگر خطی موازی محور \( \Large  y \)ها باشد، مانند خطی که در شکل زیر قرار دارد، تمام نقاط واقع بر آن دارای طول یکسان هستند. در نهایت معادله این خط ها به صورت \( \Large x = a \) است.  \( \LARGE  a \) جایی است که خط محور \( \Large  x \) ها را قطع می‌کند. شیب این خط ها تعریف نشده است. زیرا:

مثال ۳: معادله خطی را بنویسید که از نقاط (2,3-),(1,2) بگذرد ؟

حل ۳:

\( \LARGE m = \frac{3-2}{-2-1} = \frac{1}{-3} \)

\( \LARGE y = ax + b \)

\( \LARGE 2 = 1 \times – \frac{1}{3} + b \)

\( \LARGE b =  \frac{7}{3} \Rightarrow y = \frac{-1}{3} x + \frac{7}{3}\)

چند مثال برای درک بهتر از آموزش معادله خط

مثال ۴: معادله خطی را بنویسید که از نقاط (5,2) و (3,2) بگذرد؟

حل ۴: چون تمام نقاط عرضشان 2 است پس پاسخ برابر است با \( \Large y = 2 \)

مثال ۵: معادله خطی را بنویسید که از نقاط (2,3) و (2,8)  بگذرد ؟

حل ۵: چون نقاطی که روی این خط هستند طولشان 2 است پس معادله خط مورد نظر برابر است با \( \Large x = 2 \).

مثال ۶: معادله خطی را بنویسید که از نقطه (3,1) گذشته و برخط \(  y = \frac{-1}{2}x + 2 \) عمود باشد؟

حل ۶:

\( \LARGE m = 2 \)

\( \LARGE 1 = 3 \times  2 + b \)

\( \LARGE b = -5 \)

\( \LARGE y = 2x – 5 \)

رابطه شیب با تانژانت

اگر خطی موازی محور \( \Large  x \)ها نباشد، حتماً محور \( \Large  x \)ها را در یک نقطه قطع می‌کند و با آن دو زاویه می‌سازد. جز خط هایی که موازی محور \( \Large  x \) ها می‌باشند زاویه ای که سمت راست قرار دارد را در نظر بگیرید. شیب خط با \( \LARGE  tan \) این زاویه برابر است.

زیرا:

\( \LARGE tan\theta = \frac{AB}{BC} \)

از طرفی طبق تعریف شیب:

مثال ۷: معادله خطی را بنویسید که با جهت مثبت محور \( \Large  x \)ها زاویه 45 بسازد و محور عرض‌ها را در نقطه 2 قطع کند؟

حل ۷:

\( \LARGE m = tan45 = 1 \)

عرض از مبدا:

\( \LARGE b = 2 \)

پس

\( \LARGE y = x + 2 \)

مثال ۸: خطی از نقاط \( (-2 , 0 ) , (1 , \sqrt[2]{3} ) \) می‌گذرد. این خط با محور \( \Large  x \)ها چه زاویه‌ای می‌سازد؟

حل ۸:

\( \LARGE m = \frac{\sqrt{3} – 0}{1 – (-2) } = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

\( \LARGE m = tan30 = \frac{\sqrt{3}}{3} \)

آموزش معادله خط و نقطه وسط یک پاره خط

اگر مختصات دو سر یک پاره خط را داشته باشیم و مختصات نقطه وسط یک پاره خط را بخواهیم، از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

مثال ۹: اگر (4,3),(2,1) دو سر یک پاره خط باشند مختصات نقطه وسط این پاره خط را به دست آورید؟

حل ۹:

طول پاره خط AB

نقاط زیر را در نظر بگیرید. اگر بخواهیم با کمک آموزش معادله خط طول پاره خط \( \Large  AB \) را بیابیم، طبق شکل و رابطه فیثاغورس خواهیم داشت:

مثال ۱۰: طول پاره خط \( \Large  AB \) را بدست می آورید اگر داشته باشیم : \( A = (2,1) \) و \( B = (3,5) \)

حل ۱۰:

فاصله نقطه از خط در آموزش معادله خط

به شکل زیر دقت کنید. نقطه \( \Large  A \) خارج از خط \( \Large  d \) قرار دارد. می‌خواهیم فاصله این نقطه تا خط \( \Large  d \) را پیدا کنیم. می‌دانیم کوتاه‌ترین فاصله بین نقطه \( \Large  A \) و خط \( \Large  d \)، خط عمود گذرنده از \( \Large  A \) می‌باشد. برای پیدا کردن این فاصله به مختصات نقطه \( \Large A \) و معادله خط \( \Large  d \) به فرم گسترده نیاز داریم.

مثال ۱۱: فاصله نقطه (A=(1,2 از خط روبرو را بدست آورید؟  (\( \Large 3x-4y=5 \))

حل ۱۱:

سوال های شما

مثال ۱۲: معادله خطی بنویسید که محور طول‌ها را در نقطه‌ای به طول 2 قطع کند و موازی خط به معادله \( \Large \frac{x}{2} + \frac{y}{3}=1  \) باشد.

حل ۱۲:

چون بیان کرده که موازی باشد پس شیب خط درخواستی با شیب \( \Large \frac{x}{2} + \frac{y}{3}=1 \) برابر است.

\( \LARGE \frac{x}{2} + \frac{y}{3}=1 \)

\( \LARGE  \frac{y}{3}=1-\frac{x}{2} \)

\( \LARGE y=3-\frac{3x}{2} \)

\( \LARGE a=-\frac{3}{2} \)

سوال به ما نقطه \( \Large (2,0) \) را نیز داده است چون خط درخواستی محور طول‌ها را در نقطه ۲ قطع کرده است.

\( \LARGE y=ax+b \)

\( \LARGE a=-\frac{3}{2} , (2,0) \)

\( \LARGE 0=-\frac{3}{2} \times 2 + b \)

\( \LARGE b=3 \)

\( \LARGE y=-\frac{3}{2} x + 3 \)

آخر زنگ آموزش معادله خط

در این نوشتار سعی کردیم آموزش معادله خط را همراه با مثال‌های متنوع برای شما دانش‌آموزان و علاقمندان به ریاضیات بیان کنیم. تمام تلاش ما در ریاضیکا آموزش ریاضی به بیانی ساده و شیوا است.

در صورتیکه که هرگونه سوالی از این مبحث داشتید، می‌توانید آن را در قسمت دیدگاه‌ها در پایین همین نوشتار بنویسید. کارشناسان ما در ریاضیکا به سوالات شما پاسخ خواهند داد.

---

---

---