تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس 📐 – یک اصل مهم در ریاضی دهم

تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس - یک اصل مهم در ریاضی دهم

خرید درسنامه تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس 📐 PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


مفهوم دیگری که در فصل دوم کتاب ریاضی یازدهم تجربی بیان شده است در مورد تشابه مثلث ها است. این مفهوم به سادگی با کمک قضیه تالس قابل اثبات است. تشابه مثلث ها مفهومی مهم و کاربردی است که در ادامه با آن بیشتر آشنا می‌شویم.

در پست آموزش مثلثات و نسبت‌هایش خواندید دو مثلث وقتی با هم متشابه‌اند که تمام زاویه های نظیر به نظیرشان با هم برابر باشند. در مثلث‌های متشابه اضلاع متناظر نیز با هم تناسب دارند. وقتی می‌گوییم مثلث ABC و ‘A’B’C با هم متشابه‌اند که:

دو مثلث وقتی با هم متشابه اند که تمام و زاویه های نظیر به نظیرشان با هم برابر باشند و اضلاع متناظر با هم متناسب باشد

دو مثلث وقتی با هم متشابه اند که تمام و زاویه های نظیر به نظیرشان با هم برابر باشند و اضلاع متناظر با هم متناسب باشد

زمانیکه شما بر روی شکلی در گوشی یا رایانه خوتان زوم می‌کنید، در اصل شکلی متشابه با آن شکل را می بینید که اضلاع آن به یک تناسب بزرگ شده‌اند. و نکته مهم اینجاست که اندازه زاویه ها تغییر نکرده است.

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

صورت قضیه :
اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث دو ضلع دیگر را قطع کند، در این صورت مثلث کوچکی که به وجود می‌آید با مثلث بزرگ اولیه متشابه است.

اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث دو ضلع دیگر را قطع کند . در این صورت مثلث کوچکی که به وجود می آید با مثلث بزرگ اولیه متشابه است .

اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث دو ضلع دیگر را قطع کند . در این صورت مثلث کوچکی که به وجود می آید با مثلث بزرگ اولیه متشابه است .

اثبات :

اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث دو ضلع دیگر را قطع کند . در این صورت مثلث کوچکی که به وجود می آید با مثلث بزرگ اولیه متشابه است .

اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث دو ضلع دیگر را قطع کند . در این صورت مثلث کوچکی که به وجود می آید با مثلث بزرگ اولیه متشابه است .

اگر خطی موازی یکی از اضلاع مثلث دو ضلع دیگر را قطع کند . در این صورت مثلث کوچکی که به وجود می آید با مثلث بزرگ اولیه متشابه است .

پس زاویه ها مساوی واضلاع متناسب هستند. در نتیجه مثلث‌ها متشابه‌اند:

با استفاده از قضیه اساسی تشابه می‌توان قضیه‌های زیر را بیان و اثبات کرد. البته اثبات آن‌ها مدنظر کتاب ریاضی پایه یازدهم تجربی نیست. اما ما در اینجا اثبات این قضیه‌های مهم تشابه را برایتان بیان می‌کنیم. با استفاده از آن‌ها و با داشتن اندازه بعضی از اضلاع و یا زاویه‌ها، می‌توان به تشابه مثلث ها پی‌ برد.
قضیه 1: هرگاه دو زاویه از دو مثلث با هم برابر باشند، آن دو مثلث با هم متشابه‌اند.

بیا بیشتر بخونیم:
ترسیم های هندسی - آموزش گام به گام👣 و عملی به زبان ساده

هرگاه دو زاویه از دو مثلث با هم برابر باشند آن دو مثلث با هم متشابه اند .

اثبات ۱:
چون دو زاویه این دو مثلث برابرند پس زاویه سوم نیز برابر است.

چون دو زاویه این دو مثلث برابرند پس زاویه سوم نیز برابر است .

چون دو زاویه این دو مثلث برابرند پس زاویه سوم نیز برابر است .

برای اثبات این قضیه با اندازه ‘A’B روی AB جدا می کنیم و آن را “AB می‌نامیم. به اندازه ی ‘A’C روی AC جدا کرده و آن را نیز “AC نامگذازی می‌کنیم. “B را به “C وصل می‌کنیم. دو مثلث ‘A’B’C و “A”B”C بایکدیگر هم‌نهشت هستند، زیرا :

دو مثلث 'A'B'C و "A"B"C با هم ، هم نهشت می باشند

از طرفی :

طبق قضیه توازی BC با "B"C موازی می باشد . در نتیجه طبق قضیه اساسی دو مثلث ABC و 'A'B'C متشابه است .

طبق قضیه توازی BC با "B"C موازی می باشد . در نتیجه طبق قضیه اساسی دو مثلث ABC و 'A'B'C متشابه است .

پس نتیجه می‌گیریم طبق قضیه توازی BC با “B”C موازی است. در نتیجه طبق قضیه اساسی، دو مثلث ABC و ‘A’B’C متشابه هستند. از طرفی چون دو مثلث “AB”C و ‘AB’C با یکدیگر برابرند، پس طبق اصل تشابه مثلث ها دو مثلث ABC و ‘A’B’C نیز متشابه هستند.

قضیه 2:

هرگاه دو ضلع از دو مثلث با هم متناسب و زاویه بین دو ضلع از دو مثلث برابر باشند، آنگاه دو مثلث متشابه‌اند.

هرگاه دو زاویه از دو مثلث با هم برابر باشند آن دو مثلث با هم متشابه اند .

هرگاه دو ضلع از دو مثلث با هم متناسب و زاویه بین دو ضلع از دو مثلث برابر باشند آنگاه دو مثلث متشابه اند .

اثبات ۲: برای اثبات این قضیه روی ضلع AB به اندازه ‘A’B جدا می‌کنیم تا “AB به وجود آید. روی AC نیز به اندازه ‘A’C جدا می‌کنیم تا “AC به وجود آید. همچنین از “B به “C وصل می‌کنیم. دو مثلث “A”B”C و ‘A’B’C با هم برابرند. زیرا:

روی AC به اندازه 'A'C جدا می کنیم تا "AC به وجود آید و "B به "C وصل می کنیم . دو مثلث "A"B"C و 'A'B'C با هم برابرند

در فرض داشتیم:

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

در این تناسب به جای ‘A’B و ‘A’C دو ضلع “AB و “AC را جایگذاری می‌کنیم و خواهیم داشت:

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

از طرفی می‌دانیم:

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

قضیه 3 تشابه مثلث ها:
اگر سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر متناسب باشند آن دو مثلث متشابه هستند.

هرگاه دو زاویه از دو مثلث با هم برابر باشند آن دو مثلث با هم متشابه اند .

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

روی ضلع AB به اندازه ‘A’B جدا می‌کنیم. پس ‘AB” = A’B و آن را “B می‌نامیم . سپس “B”C را موازی BC را رسم می‌کنیم . در نتیجه خواهیم داشت:

بیا بیشتر بخونیم:
روابط بین ریشه های معادله درجه دو ✖️➕ - مجموع و حاصل ضرب ریشه ها!

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

پس دو مثلث “A”B”C و ‘A’B’C با هم به حالت سه ضلع برابرند.

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

از طرفی چون BC با “B”C موازی است پس طبق قضیه توازی داریم:

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

قضیه اساسی تشابه مثلث ها به کمک قضیه تالس

مثال ۳: در شکل زیر دو زاویه A> و B> با هم برابرند X و Y را بدست آورید ؟

حل ۳: با استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه داریم .

استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه

استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه

نکته در تشابه مثلث ها: گاهی دانش آموزانی در نوشتن ضلع‌های متناسب دچار مشکل هستند. به خصوص در بعضی شکل‌ها که اضلاع مشترک دارند. برای تشخیص ضلع‌های متناظر متناسب باید ابتدا زاویه‌های برابر را پیدا کرده. در این حالت اضلاع روبرویشان با هم متناسب هستند.

برای تشخیص ضلعها متناظر متناسب باید ابتدا زاویه های برابر را پیدا کرده اضلاع روبرویشان با هم متناسب هستند .

مثلاً در شکل بالا:

 \( \LARGE <A = < D_1 \)

مشترک \( \LARGE <C = <C \)

\( \LARGE <E = <B \)

 

چون زاویه \( \LARGE < D_1 \)در مثلث DEC روبروی EC است و ضلع BC در مثلث ABC روبروی زاویه A است، پس دو ضلع EC و BC باهم متناسب هستند. کسر رو به رو را در نظر داشته باشید: \( \Large \frac{EC}{BC} \)

از طرفی چون زاویه C بین دو مثلث EDC و ABC مشترک است، پس اضلاع رو به روی این زاویه در دو مثلت نیز باهم متناسب هستند. در نتیجه می‌توان کسر رو به رو را نیز در نظر گرفت \( \Large \frac{ED}{AB} \)

در نهایت برای اضلاع رو به روی E و B نیز به همین ترتیب کسر \( \Large \frac{DC}{AC} \) را در نظر می‌گیریم. نتیجه نهایی:

برای تشخیص ضلعها متناظر متناسب باید ابتدا زاویه های برابر را پیدا کرده اضلاع روبرویشان با هم متناسب هستند .

مثال ۴: در شکل زیر  \( \LARGE <A = < D_1 \) اندازه اضلاع خواسته شده را بدست آورید ؟

حل ۴: با استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه داریم:

بیا بیشتر بخونیم:
رسم نمودار تابع جز صحیح ✏️⚙️ - پله پله رسمش کن!

استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه

استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه

استفاده از آموزش قضیه تالس و نوشتن قضایای تشابه


خرید درسنامه تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس 📐 PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


یک مفهوم اساسی در تشابه مثلث ها

وقتی دو مثلث با هم متشابه هستند، تمامی موارد زیر نیز با هم تناسب دارند:

  • اضلاع
  • ارتفاع‌ها
  • نیمساز‌ها
  • میانه‌ها
  • محیط‌ها
  • مساحت‌هایشان

اگر نسبت اضلاع به یکدیگر K باشد، نسبت ارتفاع‌ها، نیمساز‌ها، میانهها و محیط هایشان نیز K خواهد بود. اما نسبت مساحت‌هایشان \( \Large K^2 \) می‌شود.

در ادامه تناسب هر یک از موارد گفته شده را باهم اثبات می‌کنیم.

قضیه 1: تناسب ارتفاع‌ها

ثابت کنید در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع‌ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آن‌ها برابر است.

در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است

در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است

دو مثلث ABC و ‘A’B’C را در نظر می‌گیریم. ارتفاع‌های وارد بر اضلاع BC و ‘B’C را رسم می‌کنیم. حال دو مثلث ABH و ‘A’B’H را در نظر می‌گیریم. این دو مثلث طبق اصل تشابه مثلث ها با هم متشابه‌اند.

در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است

از فرض نتیجه می‌گیریم:

در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است

ادامهٔ قضایای مربوط به تشابه مثلث ها

قضیه 2: تناسب میانه‌ها

ثابت کنید در دو مثلث متشابه نسبت میانه‌ها با نسبت تشابه اضلاع با هم برابر است.

در دو مثلث متشابه نسبت میانه ها با نسبت تشابه اضلاع با هم برابر است .

در دو مثلث متشابه نسبت میانه ها با نسبت تشابه اضلاع با هم برابر است .

در مثلث ABC و ‘A’B’C میانه‌های وارد بر BC و ‘B’C را رسم می‌کنیم. پس:

در دو مثلث متشابه نسبت میانه ها با نسبت تشابه اضلاع با هم برابر است .

در دو مثلث متشابه نسبت میانه ها با نسبت تشابه اضلاع با هم برابر است .

قضیه 3 : تناسب نیمسازها

ثابت کنید در دو مثلث متشابه، نسبت نیمسازها با نسبت اضلاع با هم برابر است.

در دو مثلث متشابه نسبت نیمساز ها با نسبت اضلاع با هم برابر است .

نیمساز دو زاویه A و ‘A را رسم می‌کنیم و آنها را AD و ‘A’D می‌نامیم.

در دو مثلث متشابه نسبت نیمساز ها با نسبت اضلاع با هم برابر است .

چون A’ = <A> است، پس وقتی نیمسازهای آنها را رسم می‌کنیم زوایای \( \LARGE <A’_1 = < A \) نیز با هم برابر می‌شوند. پس داریم:

بیا بیشتر بخونیم:
ماکزیمم و مینیمم سهمی 🔼🔽 - بالا و پایین نمودارتو بشناس!

در دو مثلث متشابه نسبت نیمساز ها با نسبت اضلاع با هم برابر است .

قضیه 4: تناسب محیط‌ها

ثابت کنید در دو مثلث متشابه، نسبت محیط‌ها با نسبت اضلاع متناسب برابر است.

در دو مثلث متشابه نسبت نیمساز ها با نسبت اضلاع با هم برابر است .

در دو مثلث متشابه نسبت نیمساز ها با نسبت اضلاع با هم برابر است .

نکته: رابطه‌ٔ زیر یکی از خواص تناسب است:

در دو مثلث متشابه نسبت نیمساز ها با نسبت اضلاع با هم برابر است .

قضیه 5: تناسب مساحت‌ها

ثابت کنید در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت‌ها با مجذور نسبت اضلاع متناسب برابر است.

در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است

در دو مثلث متشابه به نسبت مساحت ها مجذور نسبت اضلاع متناسب برابر است .

چند مثال از قضایایی که تا کنون یادگرفتم

مثال ۵: دو مثلث با هم متشابه‌اند. اگر نسبت تشابه آن‌ها \( \Large \frac{3}{5} \) باشد، نسبت مساحت‌های آن‌ها چقدر است؟

حل ۵: در قضیه تالس یاد گرفتیم که در دو مثلث متشابه، نسبت مساحت‌ها با مجذور نسبت اضلاع متناسب برابر است. در نتیجه می‌نویسیم:

در دو مثلث متشابه به نسبت مساحت ها مجذور نسبت اضلاع متناسب برابر است .

مثال ۶: دو مثلث ABC و ‘A’B’C با هم متشابه‌اند. اگر محیط ABC برابر 10 و AB’ = 8 و B’C’ = 7 و A’C’ = 5 باشند، سوالات زیر را پاسخ دهید:
الف ) نسبت مساحت‌های آن‌ها چقدر است؟
ب ) اگر مساحت ABC = 18 باشد مساحت ‘A’B’C چقدر است ؟

حل ۶: در آموزش قضیه تالس یاد گرفتیم که در دو مثلث متشابه نسبت محیط ها با نسبت اضلاع متناسب با هم برابر است و نسبت مساحت ها با مجذور نسبت اضلاع.

الف)

در دو مثلث متشابه نسبت محیط ها با نسبت اضلاع متناسب با هم برابر است و نسبت مساحت ها با مجذور نسبت اضلاع.

ب)

در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است .

مثال ۷: اگر دو مثلث متشابه باشند و نسبت ارتفاع های آنها \( \Large \frac{3}{7} \)  باشد و یک ضلع مثلث کوچکتر ۵ باشد متناظر آن در مثلث بزرگتر چقدر است ؟

حل ۷: در آموزش قضیه تالس یاد گرفتیم که در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است.

در دو مثلث متشابه نسبت ارتفاع ها به یکدیگر با نسبت اضلاع آنها برابر است .

مثال ۸: اضلاع مثلث ABC و 9 , 12 , 15 می‌باشند و با مثلث ‘A’B’C متشابه است. اگر مساحت ‘A’B’C برابر 81 باشد، نسبت محیط‌های آن‌ها چقدر است ؟
حل ۸: چون مثلث ABC قائم الزاویه است:

بیا بیشتر بخونیم:
حل معادلات گویا ⚙️⏸ - همان آموزشی که می‌خواستید!

در دو مثلث متشابه نسبت محیط ها با نسبت اضلاع متناسب با هم برابر است و نسبت مساحت ها با مجذور نسبت اضلاع.

آخر کلاس تشابه مثلث ها

در این نوشتار که از کتاب ریاضی یازدهم تجربی، مفهوم تشابه مثلث ها را با مثال‌های متنوع و رسم شکل‌های گوناگون باهم یادگرفتیم. همچنین تمامی قضیه‌های این مفهوم مهم را بررسی و اثبات کردیم.

در صورتیکه که هرگونه سوالی از این مبحث داشتید، می‌توانید سوال خود را در بخش دیدگاه‌ها در پایین همین قسمت مطرح کنید. کارشناسان ریاضیکا به سوالات شما پاسخ خواهند داد.


خرید درسنامه تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس 📐 PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


میخوای ۲۰ بگیری؟

6 دیدگاه برای “تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس 📐 – یک اصل مهم در ریاضی دهم

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام ممنون از نظر و انرژی فوق العاده تون.

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام ممنون از نظرتون
      خوشحالیم که براتون مفید بود 😉

  1. Asal گفته:

    در دو مثلث متشابه کدام یک از موارد زیر برابر نسبت تشابه نمیباشد؟ ۱)نسبت ارتفاع ها ۲)نسبت اضلاع ۳)نسبت محیط ها۴)نسبت مساحت ها ممنون میشم پاسخ بدین.😘

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و وقت به خیر نسبت مساحت ها برابر با نسبت تشابه به توان دو می باشد.

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.