همنهشتی مثلث ها نهم 📐📍 – ۳ حالتشو یادبگیر!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه نهم 24 آبان 1399 حسین بهزادی‌پور 44 بازدید
همنهشتی مثلث ها نهم 📐📍 - ۳ حالتشو یادبگیر!

مبحث همنهشتی مثلث ها نهم مروری است بر مطالبی که در سال هشتم خواندید. بنابراین پیشنها می‌کنیم که اگر درس مثلث ‌های هم‌نهشت پایۀ هشتم را فراموش کرده‌اید، قبل از مطالعۀ این درسنامه، درسنامۀ مثلث‌ های هم نهشت هشتم را مطالعه کنید. در واقع در این درسنامه تنها سعی داریم حالت های هم نهشتی مثلث‌ ها را به زبان ریاضی بازنویسی کنیم. با مطالعۀ متن درسنامه و حل مثال‌های آن، مشکلی در درک این درس نخواهید داشت. با ما همراه باشید.

نتایج همنهشتی دو مثلث

این که در چه حالت‌هایی دو مثلث، هم نهشت هستند را در قسمت‌های بعدی درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم بررسی می‌کنیم. اما قبل از آن بهتر است مرور کوتاهی کنیم بر پایۀ هشتم و به این سؤال پاسخ دهیم که همنهشتی دو مثلث، چه نتایجی دارد؟ زمانی که دو مثلث، هم نهشت هستند، ضلع‌ها و زاویه‌های آن‌ها نظیر به نظیر با یکدیگر برابرند. به طور مثال، دو مثلث زیر را در نظر بگیرید:

نتایج همنهشتی دو مثلث

همنهشتی این دو مثلث، برابری‌های زیر را نتیجه می‌دهد:

برابری زوایا و اضلاع متناظر

این که کدام ضلع یکی با دیگری برابر است و کدام زاویه از یک مثلث، با زاویۀ دیگر هم‌اندازه است، به فرضیات مسئله و حالت‌های همنهشتی بستگی دارد که در ادامه آن‌ها را بررسی خواهیم کرد.

حالت‌های مختلف همنهشتی مثلث ها نهم

حال که نتایج حاصل از همنهشتی دو مثلث را مرور کردیم، به بررسی حالت‌های مختلفی که به واسطۀ آن‌ها دو مثلث، هم نهشت می‌شوند، می‌پردازیم. همان‌طور که در پایۀ هشتم خوانده‌اید، سه حالت برای هم نهشتی مثلث ‌ها وجود دارد:

  1. برابری سه ضلع (ض ض ض)
  2. برابری دو ضلع و زاویۀ بین (ض ز ض)
  3. برابری دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز)
بیا بیشتر بخونیم:
مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم 🎲👣 - قدم به قدم با مثال!

در ادامۀ درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم هر حالت را ابتدا به صورت جداگانه و با استفاده از نماد‌های ریاضی بازنویسی کرده و سپس مثال‌هایی از هر حالت حل می‌کنیم.

برابری سه ضلع (ض ض ض)

در صورتی که سه ضلع یک مثلث با مثلث دیگری برابر باشند، آن دو مثلث با یکدیگر همنهشت هستند. این حالت از هم نهشتی را می‌توانیم به صورت زیر نشان دهیم:

همنهشتی مثلث ها نهم - تساوی سه ضلع

تساوی سه ضلع مثلث

در نتیجۀ این همنهشتی، زوایای دو مثلث نیز، نظیر به نظیر با یکدیگر برابرند. یعنی:

برابری زوایای متناظر

مثال از برابری سه ضلع (ض ض ض)

مثال 1: در شکل زیر، مثلث \(\Large ABC\) متساوی‌الساقین است. \(\Large AM\) نیز میانه است. ثابت کنید \(\Large AM\) نیمساز زاویۀ \(\Large A\) بوده و بر \(\Large BC\) عمود است.

همنهشتی مثلث ها نهم - مثال از برابری سه ضلع

حل: ابتدا ثابت می‌کنیم مثلث \(\Large ABM\) با مثلث \(\Large ACM\) همنهشت است:

همنهشتی مثلث ها نهم - اثبات همنهشتی

بنابراین در قسمت اول این مثال از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم ثابت کردیم مثلث \(\Large ABM\) با مثلث \(\Large ACM\) همنهشت است. حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

مثال از تساوی سه ضلع

در نتیجه \(\Large AM\) نیمساز زاویۀ \(\Large A\) است. از طرفی به دلیل هم نهشت بودن دو مثلث \(\Large ABM\) و \(\Large ACM\)، زوایای \(\Large M_1\) و \(\Large M_2\) نیز با یکدیگر برابرند. از آنجاییکه زوایای \(\Large M_1\) و \(\Large M_2\) مکمل یکدیگر هستند، نتیجه می‌گیریم \(\Large M_1=M_2=90^{\circ}\). بنابراین، \(\Large AM\) بر \(\Large BC\) عمود است. به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید.

مثال از دایره

مثال 2: در شکل زیر، \(\Large AB=CD\) است. ثابت کنید \(\Large \hat{O_1}=\hat{O_2}\).

همنهشتی مثلث ها نهم - مثال از هم نهشتی مثلث ها

حل: ثابت می‌کنیم مثلث \(\Large OAB\) با مثلث \(\Large OCD\) همنهشت است:

همنهشتی مثلث ها نهم - حل مثال از برابری سه ضلع

حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

همنهشتی دو مثلث در حالت تساوی سه ضلع

بنابراین ثابت کردیم \(\Large \hat{O_1}=\hat{O_2}\). در قسمت بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم به حالت دوم هم نهشتی مثلث ‌ها می‌پردازیم.

برابری دو ضلع و زاویۀ بین (ض ز ض)

در صورتی که دو صلع و زاویۀ بین آن در یک مثلث با مثلث دیگری برابر باشند، آن دو مثلث با یکدیگر همنهشت هستند. این حالت از هم نهشتی را می‌توانیم به صورت زیر نشان دهیم:

بیا بیشتر بخونیم:
اعداد حقیقی ریاضی نهم 🔢✅ - همه عددهای که می‌شناسید!

برابری دو ضلع و زاویۀ بین

همنهشتی مثلث ها نهم - برابری دو ضلع و زاویۀ بین

در نتیجۀ این همنهشتی، تساوی‌های زیر نیز برقرار است:

برابری اضلاع و زوایای متناظر

به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید.

مثال از برابری دو ضلع و زاویۀ بین (ض ز ض)

مثال 3: در شکل زیر، \(\Large ABCD\) مربع است. نقطۀ \(\Large M\) وسط ضلع \(\Large DA\)، نقطۀ \(\Large N\) وسط ضلع \(\Large AB\) و نقطۀ \(\Large P\) وسط ضلع \(\Large BC\) قرار دارد. ثابت کنید \(\Large MN=NP\) است.

مثال از برابری دو ضلع و زاویۀ بین

حل: ثابت می‌کنیم مثلث \(\Large AMN\) با مثلث \(\Large BPN\) همنهشت است:

همنهشتی مثلث ها نهم - اثبات همنهشتی مثلث‌ها

حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

برابری اضلاع و زوایای متناظر

بنابراین ثابت کردیم \(\Large MN=PN\). به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید

مثال 4: در شکل زیر، مثلث \(\Large ABC\) را در نظر بگیرید. ضلع \(\Large AB\) را به اندازۀ خودش و ضلع \(\Large AC\) را نیز به اندازۀ خودش امتداد دادیم تا مثلث \(\Large AB’C’\) حاصل شود. ثابت کنید مثلث \(\Large ABC\) با مثلث \(\Large AB’C’\) هم نهشت است.

حل مثال از برابری دو ضلع و زاویۀ بین

حل: 

همنهشتی مثلث ها نهم - حل مثال

 

با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را نیز داریم:

برابری اضلاع و زوایای متناظر

در قسمت بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم به حالت سوم هم نهشتی مثلث ‌ها می‌پردازیم.

برابری دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز)

در صورتی که دو زاویه و ضلع بین آن در یک مثلث با مثلث دیگری برابر باشند، آن دو مثلث با یکدیگر همنهشت هستند. این حالت از هم نهشتی را می‌توانیم به صورت زیر نشان دهیم:

برابری دو زاویه و ضلع بین

همنهشتی مثلث ها نهم - برابری دو زاویه و ضلع بین

در نتیجۀ این همنهشتی، تساوی‌های زیر نیز برقرار است:

برابری اضلاع و زوایای متناظر

به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید.

اثبات برابری اضلاع مقابل متوازی الاضلاع

مثال 5: ثابت کنید در هر متوازی‌ الاضلاع، اضلاع مقابل با هم برابرند.

حل: مطابق شکل زیر، یک متوازی الاضلاع دلخواه در نظر گرفته و قطر آن را رسم می‌کنیم.

بیا بیشتر بخونیم:
قدر مطلق ریاضی نهم ⏸💎 - فاصلتو از مبدا بدون!

برابری اضلاع مقابل متوازی الاضلاع

حال ثابت می‌کنیم دو مثلث \(\Large ABD\) و \(\Large CDB\) با هم هم نهشت هستند:

اثبات برابری اضلاع مقابل متوازی الاضلاع- همنهشتی مثلث ها نهم

حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

برابری اضلاع و زوایای متناظر

به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید.

اثبات منصف بودن قطرهای متوازی الاضلاع

مثال 6: ثابت کنید در هر متوازی‌ الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.

حل: متوازی الاضلاع دلخواه \(\Large ABCD\) را که در شکل زیر رسم شده است، در نظر بگیرید:

اثبات منصف بودن قطرهای متوازی الاضلاع

ثابت می‌کنیم دو مثلث \(\Large AOD\) و \(\Large COB\) با یکدیگر هم نهشت هستند:

اثبات همنهشتی مثلث‌ها- همنهشتی مثلث ها نهم

حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

برابری اضلاع و زوایای متناظر

یعنی قطرهای یک متوازی الاضلاع، یکدیگر را نصف می‌کند.

زنگ آخر کلاس همنهشتی مثلث ها نهم

همان‌طور که سال گذشته خواندید، سه حالت برای همنهشتی مثلث ‌ها وجود دارد:

  1. برابری سه ضلع (ض ض ض)
  2. برابری دو ضلع و زاویۀ بین (ض ز ض)
  3. برابری دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز)

هر یک از این سه حالت را با استفاده از نمادهای ریاضی بازنویسی کرده و از هریک مثال‌هایی حل کردیم تا این مبحث را فرا بگیرید.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث همنهشتی مثلث ها نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

نظرات کاربران

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    حسین بهزادی‌پور
    حسین بهزادی‌پور

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0