همنهشتی مثلث ها نهم 📐📍 – ۳ حالتشو یادبگیر!

مبحث همنهشتی مثلث ها نهم مروری است بر مطالبی که در سال هشتم خواندید. بنابراین پیشنها می‌کنیم که اگر درس مثلث ‌های هم‌نهشت پایۀ هشتم را فراموش کرده‌اید، قبل از مطالعۀ این درسنامه، درسنامۀ مثلث‌ های هم نهشت هشتم را مطالعه کنید. در واقع در این درسنامه تنها سعی داریم حالت های هم نهشتی مثلث‌ ها را به زبان ریاضی بازنویسی کنیم. با مطالعۀ متن درسنامه و حل مثال‌های آن، مشکلی در درک این درس نخواهید داشت. با ما همراه باشید.

نتایج همنهشتی دو مثلث

این که در چه حالت‌هایی دو مثلث، هم نهشت هستند را در قسمت‌های بعدی درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم بررسی می‌کنیم. اما قبل از آن بهتر است مرور کوتاهی کنیم بر پایۀ هشتم و به این سؤال پاسخ دهیم که همنهشتی دو مثلث، چه نتایجی دارد؟ زمانی که دو مثلث، هم نهشت هستند، ضلع‌ها و زاویه‌های آن‌ها نظیر به نظیر با یکدیگر برابرند. به طور مثال، دو مثلث زیر را در نظر بگیرید:

همنهشتی این دو مثلث، برابری‌های زیر را نتیجه می‌دهد:

این که کدام ضلع یکی با دیگری برابر است و کدام زاویه از یک مثلث، با زاویۀ دیگر هم‌اندازه است، به فرضیات مسئله و حالت‌های همنهشتی بستگی دارد که در ادامه آن‌ها را بررسی خواهیم کرد.

---

---

حالت‌های مختلف همنهشتی مثلث ها نهم

حال که نتایج حاصل از همنهشتی دو مثلث را مرور کردیم، به بررسی حالت‌های مختلفی که به واسطۀ آن‌ها دو مثلث، هم نهشت می‌شوند، می‌پردازیم. همان‌طور که در پایۀ هشتم خوانده‌اید، سه حالت برای هم نهشتی مثلث ‌ها وجود دارد:

1. برابری سه ضلع (ض ض ض)
2. برابری دو ضلع و زاویۀ بین (ض ز ض)
3. برابری دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز)

در ادامۀ درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم هر حالت را ابتدا به صورت جداگانه و با استفاده از نماد‌های ریاضی بازنویسی کرده و سپس مثال‌هایی از هر حالت حل می‌کنیم.

برابری سه ضلع (ض ض ض)

در صورتی که سه ضلع یک مثلث با مثلث دیگری برابر باشند، آن دو مثلث با یکدیگر همنهشت هستند. این حالت از هم نهشتی را می‌توانیم به صورت زیر نشان دهیم:

در نتیجۀ این همنهشتی، زوایای دو مثلث نیز، نظیر به نظیر با یکدیگر برابرند. یعنی:

مثال از برابری سه ضلع (ض ض ض)

مثال 1: در شکل زیر، مثلث \(\Large ABC\) متساوی‌الساقین است. \(\Large AM\) نیز میانه است. ثابت کنید \(\Large AM\) نیمساز زاویۀ \(\Large A\) بوده و بر \(\Large BC\) عمود است.

حل: ابتدا ثابت می‌کنیم مثلث \(\Large ABM\) با مثلث \(\Large ACM\) همنهشت است:

بنابراین در قسمت اول این مثال از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم ثابت کردیم مثلث \(\Large ABM\) با مثلث \(\Large ACM\) همنهشت است. حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

در نتیجه \(\Large AM\) نیمساز زاویۀ \(\Large A\) است. از طرفی به دلیل هم نهشت بودن دو مثلث \(\Large ABM\) و \(\Large ACM\)، زوایای \(\Large M_1\) و \(\Large M_2\) نیز با یکدیگر برابرند. از آنجاییکه زوایای \(\Large M_1\) و \(\Large M_2\) مکمل یکدیگر هستند، نتیجه می‌گیریم \(\Large M_1=M_2=90^{\circ}\). بنابراین، \(\Large AM\) بر \(\Large BC\) عمود است. به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید.

مثال از دایره

مثال 2: در شکل زیر، \(\Large AB=CD\) است. ثابت کنید \(\Large \hat{O_1}=\hat{O_2}\).

حل: ثابت می‌کنیم مثلث \(\Large OAB\) با مثلث \(\Large OCD\) همنهشت است:

حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

بنابراین ثابت کردیم \(\Large \hat{O_1}=\hat{O_2}\). در قسمت بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم به حالت دوم هم نهشتی مثلث ‌ها می‌پردازیم.

---

---

برابری دو ضلع و زاویۀ بین (ض ز ض)

در صورتی که دو صلع و زاویۀ بین آن در یک مثلث با مثلث دیگری برابر باشند، آن دو مثلث با یکدیگر همنهشت هستند. این حالت از هم نهشتی را می‌توانیم به صورت زیر نشان دهیم:

در نتیجۀ این همنهشتی، تساوی‌های زیر نیز برقرار است:

به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید.

مثال از برابری دو ضلع و زاویۀ بین (ض ز ض)

مثال 3: در شکل زیر، \(\Large ABCD\) مربع است. نقطۀ \(\Large M\) وسط ضلع \(\Large DA\)، نقطۀ \(\Large N\) وسط ضلع \(\Large AB\) و نقطۀ \(\Large P\) وسط ضلع \(\Large BC\) قرار دارد. ثابت کنید \(\Large MN=NP\) است.

حل: ثابت می‌کنیم مثلث \(\Large AMN\) با مثلث \(\Large BPN\) همنهشت است:

حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

بنابراین ثابت کردیم \(\Large MN=PN\). به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید

مثال 4: در شکل زیر، مثلث \(\Large ABC\) را در نظر بگیرید. ضلع \(\Large AB\) را به اندازۀ خودش و ضلع \(\Large AC\) را نیز به اندازۀ خودش امتداد دادیم تا مثلث \(\Large AB’C’\) حاصل شود. ثابت کنید مثلث \(\Large ABC\) با مثلث \(\Large AB’C’\) هم نهشت است.

حل: 

 

با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را نیز داریم:

در قسمت بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم به حالت سوم هم نهشتی مثلث ‌ها می‌پردازیم.

برابری دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز)

در صورتی که دو زاویه و ضلع بین آن در یک مثلث با مثلث دیگری برابر باشند، آن دو مثلث با یکدیگر همنهشت هستند. این حالت از هم نهشتی را می‌توانیم به صورت زیر نشان دهیم:

در نتیجۀ این همنهشتی، تساوی‌های زیر نیز برقرار است:

به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید.

اثبات برابری اضلاع مقابل متوازی الاضلاع

مثال 5: ثابت کنید در هر متوازی‌ الاضلاع، اضلاع مقابل با هم برابرند.

حل: مطابق شکل زیر، یک متوازی الاضلاع دلخواه در نظر گرفته و قطر آن را رسم می‌کنیم.

حال ثابت می‌کنیم دو مثلث \(\Large ABD\) و \(\Large CDB\) با هم هم نهشت هستند:

حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

به مثال بعدی از درسنامۀ همنهشتی مثلث ها نهم توجه کنید.

اثبات منصف بودن قطرهای متوازی الاضلاع

مثال 6: ثابت کنید در هر متوازی‌ الاضلاع، قطرها یکدیگر را نصف می‌کنند.

حل: متوازی الاضلاع دلخواه \(\Large ABCD\) را که در شکل زیر رسم شده است، در نظر بگیرید:

ثابت می‌کنیم دو مثلث \(\Large AOD\) و \(\Large COB\) با یکدیگر هم نهشت هستند:

حال با توجه به هم نهشتی دو مثلث، نتایج زیر را داریم:

یعنی قطرهای یک متوازی الاضلاع، یکدیگر را نصف می‌کند.

زنگ آخر کلاس همنهشتی مثلث ها نهم

همان‌طور که سال گذشته خواندید، سه حالت برای همنهشتی مثلث ‌ها وجود دارد:

1. برابری سه ضلع (ض ض ض)
2. برابری دو ضلع و زاویۀ بین (ض ز ض)
3. برابری دو زاویه و ضلع بین (ز ض ز)

هر یک از این سه حالت را با استفاده از نمادهای ریاضی بازنویسی کرده و از هریک مثال‌هایی حل کردیم تا این مبحث را فرا بگیرید.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث همنهشتی مثلث ها نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

---

---