مقاطع مخروطی 💊🛢️ ریاضی دوازدهم تجربی – به راحتی آب خوردن! 🌊

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دوازدهم تجربی 5 خرداد 1399 حسین بهزادی‌پور 240 بازدید
مقاطع مخروطی- به راحتی آب خوردن!

خرید درسنامه مقاطع مخروطی 💊🛢️ ریاضی دوازدهم تجربی - به راحتی آب خوردن! 🌊 PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


در این درسنامه، با مقاطع مخروطی آشنا می‌شویم. سطح مخروطی را معرفی می‌کنیم و بعد از آشنایی با هذلولی، به طور مفصل به بیضی می‌پردازیم. از آنجاییکه برای معرفی مقاطع مخروطی به دوران و برش نیاز داریم، ابتدا در مورد این دو موضوع بحث خواهیم ‌کرد.

دوران

با دوران هر شکل حول یک خط (محور)، شکلی جدید حاصل خواهد ‌شد. مثلاً اگر مانند شکل زیر، یک مستطیل را حول یک خط دوران دهیم، یک استوانه به دست می‌آید.

دوران مستطیل و تشکیل استوانه

در صورتی که یک پاره‌خط را حول خطی که بر آن عمود است دوران دهیم، یک دایره ایجاد خواهد‌شد. به شکل زیر دقت کنید:

دوران ژاره خط و تشکیل دایره

اگر مانند شکل زیر، یک مثلث قائم الزاویه را حول یکی از اضلاع قائمه‌ی آن دوران دهیم، شکل حاصل مخروط خواهد بود.

دوران مثلث قائم الزاویه و تشکیل مخروط

از دوران یک دایره حول یکی از قطر‌های آن، یک کره به وجود می‌آید. به شکل زیر دقت کنید:

دوران دایره و تشکیل کره

همان‌طور که در شکل زیر مشخص است، شکل حاصل از دوران یک نیم‌دایره حول شعاع عمود بر قطر آن، یک نیم‌کره خواهد‌بود.

دوران نیم‌دایره و تشکیل نیم‌کره

برش

اصطلاحا به برخورد یک صفحه با یک شکل هندسی، برش آن شکل گفته و به شکل حاصل از این برش، سطح مقطع می‌گویند. برش، کابرد کلیدی در تعریف مقاطع مخروطی دارد. برای اینکه بهتر متوجه شوید، به شکل‌های زیر نگاه کنید. در هر کدام از این شکل‌ها، یک صفحه با یک مکعب مستطیل برخورد کرده است. سطح مقطع حاصل از هر کدام در زیر شکل نوشته شده است.

مثلث، سطح مقطع مکعب مستطیل

 

مستطیل، سطح مقطع مکعب مستطیل

 

مربع، سطح مقطع مکعب مستطیل

 

مستطیل، سطح مقطع مکعل مستطیل در برش عمودی

در شکل‌های زیر نیز می‌توانید سطح مقطع استوانه با صفحه‌های عمودی، افقی و مایل را مشاهده کنید. باید توجه داشت، صفحه‌ی مایل با قاعده‌ی استوانه، متقاطع نیست. در غیر این صورت، شکل دیگری حاصل می‌شد.

بیضی، سطح مقطع استوانه در برش مایل

 

دایره، سطح مقطع استوانه در برش افقی

 

مستطیل، سطح مقطع استوانه در برش عمودی

مثال 1: سطح مقطع حاصل از برخورد یک صفحه با یک کره چیست؟

حل: همان‌طور که در شکل زیر مشاهده می‌کنید، سطح مقطع حاصل از برخورد یک صفحه با یک کره، دایره است. این سطح مقطع زمانی بیشترین مساحت را دارد که مرکز کره روی آن قرار داشته باشد.

دایره، سطح مقطع کره

مقاطع مخروطی

شکل زیر را در نظر بگیرید. دو خط \( \Large d \) و \( \Large l\) متقاطع‌اند. اگر خط \( \Large d\)  را حول خط \( \Large l\) دوران دهیم، شکلی به وجود خواهد‌آمد که به آن سطح مخروطی می‌گوییم. به خط \( \Large l \) محور، به نقطه‌ی \( \Large O \) راس و به خط \( \Large d \) مولد این سطح مخروطی گفته می‌شود.

بیا بیشتر بخونیم:
اکسترمم مطلق 🧗 آموزش ریاضی دوازدهم تجربی - هر آنچه نیاز دارید بدانید!

دوران خط و تشکیل سطح مخروطی

اگر یک سطح مخروطی را با یک صفحه برش دهیم، مقطع مخروطی به وجود می‌آید. با توجه به موقعیت صفحه و سطح مخروطی، مقاطع مخروطی متفاوتی حاصل خواهد‌شد. در ادامه به بررسی هر یک از این مقاطع خواهیم ‌پرداخت.

دایره، اولین شکل در بررسی مقاطع مخروطی

به شکل زیر نگاه کنید. اگر سطح مخروطی را با یک صفحه که بر محور سطح مخروطی عمود است و از مرکز آن عبور نمی‌کند برش دهیم، سطح مقطع، دایره خواهد بود.

مقاطع مخروطی، دایره

سهمی

اگر سطح مخروطی را با صفحه‌ای برش دهیم که با مولد سطح مخروطی موازی است و از راس آن عبور نمی‌کند، شکل حاصل سهمی خواهد‌بود. به شکل زیر نگاه کنید:

مقاطع مخروطی، سهمی

هذلولی

در صورتی که سطح مخروطی را با صفحه‌ای برش دهیم که هم قسمت بالایی و هم قسمت پایینی سطح مخروطی را قطع کند و از راس آن عبور نکند، سطح مقطع حاصل، یک هذلولی خواهد بود. به شکل زیر دقت کنید:

مقاطع مخروطی، هذلولی

یک شکل مهم در مقاطع مخروطی :‌ بیضی

اگر سطح مخروطی را با صفحه‌ای برش دهیم که نه بر محور سطح مخروطی عمود باشد، نه با مولد سطح مخروطی موازی شود و نه از راس سطح مخروطی عبور کند، سطح مقطع حاصل، بیضی خواهد‌بود. به شکل زیر نگاه کنید:

مقاطع مخروطی، بیضی


خرید درسنامه مقاطع مخروطی 💊🛢️ ریاضی دوازدهم تجربی - به راحتی آب خوردن! 🌊 PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


بیضی، بررسی بیشتر

دو میخ و یک تکه نخ به طول \( \Large d \) را در نظر بگیرید. دو سر نخ را به وسیله‌ی دو میخ ثابت می‌کنیم. اگر مانند شکل زیر، مداد را در حالتی که نخ کشیده شده، روی صفحه حرکت دهیم، بیضی رسم خواهد‌ شد. در هر نقطه از بیضی، محموع فاصله از دو میخ برابر است با طول نخ. پس در هر نقطه مجموع فاصله از دو میخ، عدد ثابتی است. در نتیجه، بیضی مجموعه‌ی نقاطی از صفحه است که جمع فواصل آن نقاط از دو نقطه‌ی ثابت در صفحه، عددی ثابت است.

بیا بیشتر بخونیم:
مشتق پذیری دوازدهم تجربی 📈📉 - آموزش با مثال و تصویر

بیضی، نقاط با مجموع فواصل ثابت از دو نقطه‌ی ثابت

به دو نقطه‌ی ثابتی که در رسم، همان میخ ها بودند و در شکل بالا نیز با حروف \( \Large F\) و \( \Large F’\) مشخص شده‌اند، کانون‌های بیضی می‌گوییم. اگر نقطه‌ای خارج از بیضی باشد، مجموع فواصل آن از دو کانون بیضی، بیشتر از \( \Large d \) و اگر درون بیضی باشد، مجموع فواصل آن از دو کانون، بیشتر از \( \Large d \) خواهد بود. به شکل زیر نگاه کنید:

مجموع فواصل نقاط داخل و خارج از بیضی از کانون‌ها

بیضی زیر را در نظر بگیرید. اندازه‌ی \( \Large FF’ \) را فاصله‌ی کانونی بیضی و نقطه‌ی میانی پاره خط \( \Large FF’ \) را مرکز بیضی می‌نامیم. پاره خط \( \Large AA’ \) که از دو کانون عبور می‌کند، قطر بزرگ بیضی است. پاره خط \( \Large BB’ \) که از مرکز عبور می‌کند و بر قطر بزرگ عمود است، قطر کوچک است. اگر قطر بزرگ، افقی باشد، بیضی افقی است. اگر قطر بزرگ، عمودی باشد، بیضی قائم است.

نام گذاری قسمت‌های مختلف بیضی

روابط مهم در بیضی

در این قسمت دو رابطه‌ی مهم برای بیضی که یکی از مقاطع مخروطی ویژه است، به دست خواهیم‌آورد. رابطه‌ی اول مربوط به قطر بزرگ بیضی است و رابطه‌ی دوم در ارتباط با قطر بزرگ، قطر کوچک و فاصله‌ی کانونی بیضی است.

رابطه‌ی قطر بزرگ بیضی با مقدار ثابت

بیضی‌های زیر را در نظر بگیرید. اولین بیضی افقی و دومی قائم است. همان‌طور که می‌بینید، اندازه‌ی نصف قطر بزرگ را با \( \Large a\)، اندازه‌ی نصف قطر کوچک را با \( \Large b\) و اندازه‌ی نصف فاصله‌ی کانونی را با \( \Large c\) مشخص کرده‌ایم.

قطر بزرگ، قطر کوچک و فاصله‌ی کانونی در بیضی افقی

قطر بزرگ، قطر کوچک و فاصله‌ی کانونی در بیضی قائم

فرقی نمی‌کند که بیضی افقی را در نظر بگیرید یا بیضی قائم. نقطه‌ی \( \Large A\) یکی از نقاط تشکیل دهنده‌ی بیضی است. پس طبق تعریف بیضی، مجموع فواصل نقطه‌ی \( \Large A\) از کانون ها برابر با مقدار ثابت است. در نتیجه داریم:

بیا بیشتر بخونیم:
مشتق دوازدهم تجربی 📊📚 - به همین سادگی، به همین زیبایی!

\( \LARGEمقدار ثابت= AF+AF’\)

\( \LARGE=AF+(AF+FF’)\)

\( \LARGE=2AF+FF’\)

نقطه‌ی \( \Large A’\) نیز یکی از نقاط تشکیل دهنده‌ی بیضی است. پس مجموع فواصل آن از کانون‌ها برابر با مقدار ثابت است. در نتیجه داریم:

\( \Largeمقدار ثابت= A’F’+A’F\)

\( \Large=A’F’+(A’F’+FF’)\)

\( \Large=2A’F’+FF’\)

پس هم مقدار \( \Large 2AF+FF’\) و هم مقدار \( \Large 2A’F’+FF’\) برابر است با مقدار ثابت. در نتیجه:

\(  \LARGE 2AF+FF’\)

\(  \LARGE = 2A’F’+FF’\)

\( \LARGE \Rightarrow 2AF= 2A’F’\)

\( \LARGE \Rightarrow AF= A’F’\)

پس می‌توانیم \( \Large AF\) را با \( \Large A’F’\) جایگزین کنیم. اگر مجموع فواصل \( \Large A\) از دو کانون را بازنویسی کنیم، خواهیم‌داشت:

\( \LARGEمقدار ثابت= AF+AF’\)

\( \LARGE=A’F’+AF’\)

\( \LARGE=AA’\)

در نتیجه می‌توان گفت مجموع فواصل هر نقطه از بیضی از دو کانون، برابر با مقدار ثابتی است و این مقدار ثابت برابر است با اندازه‌ی قطر بزرگ بیضی. این رابطه، یکی از مهم ترین روابط برای بیضی به عنوان یک مقطع مخروطی است.

رابطه بین اقطار و فاصله‌ی کانونی بیضی

با استفاده از رابطه‌ی مهمی که برای قطر بزرگ بیضی در قسمت قبل به دست آوردیم، رابطه‌ی دیگری استخراج خواهیم‌کرد. بیضی زیر را در نظر بگیرید.

رابطه بین قطر بزرگ، قطر کوچک و فاصله‌ی کانونی بیضی

مجموع فواصل \( \Large B\) از دو کانون برابر است با مقدار ثابت. پس:

\( \LARGEمقدار ثابت= BF+BF’\)

قطر کوچک بیضی بر قطر بزرگ عمود است. از طرفی مرکز بیضی، وسط فاصله‌ی دو کانون قرار دارد. پس \( \Large B\) روی عمود منصف پاره‌خط \( \Large FF’\) است. در نتیجه \( \Large BF=BF’\). پس داریم:

\( \LARGEمقدار ثابت= BF+BF’\)

\( \LARGE=BF+BF\)

\( \LARGE=2BF\)

بیا بیشتر بخونیم:
ترکیب توابع ریاضی دوازدهم تجربی ⚙️🧮 - همان آموزشی که دنبالش بودید!

قضیه‌ی فیثاغورث را در مثلث قائم الزاویه‌ی \( \Large BFO\) می‌نویسیم:

\( \LARGE BF^2=BO^2+OF^2\)

\( \LARGE \Rightarrow BF^2=b^2+c^2\)

از طرفی \( \Large 2BF\) برابر است با مقدار ثابت و طبق رابطه‌ی مهمی که به دست آوردیم، مقدار ثابت برابر است با طول قطر بزرگ، یعنی \( \Large 2a\). پس:

\( \LARGE 2BF=2a\)

\( \LARGE \Rightarrow BF=a\)

از آنجاییکه نشان دادیم \( \Large BF\) برابر با \( \Large a\) است و نشان دادیم \( \Large BF^2=b^2+c^2\)، خواهیم‌داشت:

\( \LARGE a^2=b^2+c^2\)

مثال‌های مهم از روابط بیضی در مقاطع مخروطی

مثال 2: کانون‌های یک بیضی نقاط \( \Large F=(5, 3)\) و \( \Large F’=(-3, 3)\) هستند. اندازه‌ی قطر کوچک 6 است. اندازه‌ی قطر بزرگ را پیدا کنید.

حل: فاصله‌ی کانونی که همان اندازه‌ی \( \Large FF’\) است، برابر است با:

\( \Large \sqrt{(5+3)^2+(3-3)^2}=8\)

پس مقدار \( \Large c\) که نصف فاصله‌ی کانونی است، برابر است با 4. از طرفی اندازه‌ی قطر کوچک 6 است. در نتیجه مقدار \( \Large b\) که نصف قطر کوچک است، 3 می‌شود. پس داریم:

\( \LARGE a^2=b^2+c^2\)

\( \LARGE \Rightarrow a^2=3^2+4^2\)

\( \LARGE \Rightarrow a=5\)

پس اندازه‌ی قطر بزرگ که همان \( \Large 2a\) است، برابر است با 10.

مثال 3: فاصله‌ی کانونی یک بیضی برابر با 8 است. اگر مرکز بیضی نقطه‌ی \( \Large O=(2, 3)\) باشد و نقطه‌ی \( \Large B=(2, 6)\) یکی از نقاط بیضی باشد که روی قطر کوچک واقع است، مختصات نقاطی از بیضی که روی قطر بزرگ واقع‌اند را به دست آورید.

حل: فاصله‌ی کانونی 8 است. پس \( \Large c\) برابر است با نصف آن، یعنی 4. اندازه‌ی \( \Large BO\) همان مقدار \( \Large b\) است، پس:

\( \begin{aligned}\LARGE  b&\Large=\sqrt{(2-2)^2-(6-3)^2}\\&\LARGE=3\end{aligned}\)

\( \begin{aligned}\LARGE  a^2&\LARGE=b^2+c^2\\&\LARGE=3^2+4^2\end{aligned}\)

\( \LARGE \Rightarrow a=5\)

با توجه به مختصات کانون‌های بیضی، بیضی افقی است. در نتیجه برای به دست آوردن \( \Large A\) و \( \Large A’\) داریم:

بیا بیشتر بخونیم:
قانون احتمال کل 🎲 - هرآنچه که نیاز دارید بدانید 📚

\( \begin{aligned}\LARGE  A&\LARGE=O-(5, 0)\\&\LARGE=(2, 3)-(5, 0)\\&\LARGE=(-3, 3)\end{aligned}\)

\( \begin{aligned}\LARGE  A’&\LARGE=O+(5, 0)\\&\LARGE=(2, 3)+(5, 0)\\&\LARGE=(7, 3)\end{aligned}\)

خروج از مرکز بیضی

به مقدار \( \Large \frac{c}{a} \)، خروج از مرکز بیضی می‌گوییم و آن را با حرف \( \Large e\) نشان می‌دهیم. از آنجاییکه همواره \( \Large a\) از \( \Large c\) بزگتر است، خروج از مرکز بیضی همواره عددی بین 0 و 1 است. هر چه \( \Large e\) به 0 نزدیک تر باشد، بیضی بیشتر شبیه به دایره است. هر چه \( \Large e\) به 1 نزدیک‌تر باشد، بیضی کشیده تر است. به دو بیضی زیر نگاه کنید.

خروج از مرکز متفاوت دو بیضی

مثال 4: خروج از مرکز یک بیضی 0.8 است. اگر \( \Large F=(6, 12)\) و \( \Large F’=(6, 4)\) کانون‌های آن باشند، اندازه‌ی قطر کوچک را بیابید.

حل: فاصله‌ی کانونی که همان اندازه‌ی \( \Large FF’\) می‌باشد، برابر است با:

\( \Large \sqrt{(6-6)^2+(12-4)^2}=8\)

پس مقدار \( \Large c\) که نصف فاصله‌ی کانونی است، برابر است با 4. از طرفی خروج از مرکز 0.8 است. پس:

\( \LARGE \frac{c}{a}=\frac{8}{10}\)

\( \LARGE c=4\Rightarrow a=5\)

\( \begin{aligned}\LARGE \Rightarrow b&\LARGE=\sqrt{a^2-c^2}\\&\LARGE=\sqrt{5^2-4^2}=3\end{aligned}\)

در نتیجه طول قطر کوچک برابر است با \( \Large 2b\) یعنی 6.

زنگ آخر کلاس مقاطع مخروطی

در این درسنامه، ابتدا در مورد دوران و برش صحبت کردیم. با دوران یک خط حول خط متقاطع با آن، سطح مخروطی حاصل شد. با برش‌های مختلف سطح مخروطی، مقاطع مخروطی مختلف به وجود آمد. به طور خاص در مورد بیضی به عنوان یکی از مقاطع مخروطی بیشتر صحبت کردیم. روابط مهم بیضی را به دست آوردیم و با حل چند مثال بسیار مهم، بر مطالب مسلط شدیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث مقاطع مخروطی دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.


خرید درسنامه مقاطع مخروطی 💊🛢️ ریاضی دوازدهم تجربی - به راحتی آب خوردن! 🌊 PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    حسین بهزادی‌پور
    حسین بهزادی‌پور

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0