عدد اول ریاضی هفتم 🔥💥 – فقط دو شمارنده!

در درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم ابتدا تعریف می‌کنیم شمارنده‌های یک عدد طبیعی، چه اعدادی هستند. سپس خواهیم گفت که اعدادی که تنها دو شمارنده دارند، اعداد اول نامیده می‌شوند. تمام بحث ما در این درسنامه در مورد اعداد طبیعی است. بنابراین، تعاریفی که ارائه می‌کنیم تنها در مورد اعداد طبیعی صادق است. سعی می‌کنیم با حل مثال‌های مختلف از درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم، در درک بهتر مبحث به شما کمک کنیم.

شمارنده چیست؟

زمانی که باقیماندۀ تقسیم عددی مانند \(\Large a\) بر عدد \(\Large b\) صفر باشد، می‌گوییم \(\Large a\) بر \(\Large b\) بخش پذیر است. همچنین عدد \(\Large b\) را شمارندۀ عدد \(\Large a\) می‌گوییم. مثلاً، عدد \(\Large 2\) شمارندۀ عدد \(\Large 12\) است؛ زیرا داریم: 

همان‌طور که می‌بینید، باقیماندۀ تقسیم \(\Large 12\) بر \(\Large 2\) برابر با صفر است. در نتیجه، \(\Large 2\) شمارندۀ \(\Large 12\) است. به مثال‌های بعدی از درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم توجه کنید.

مثال از شمارنده

مثال 1: شمارنده‌های عدد \(\Large 6\) را پیدا کنید.

حل: برای یافتن شمارنده‌های عدد \(\Large 6\) کافی است ببینیم این عدد بر چه اعدادی بخش پذیر است. یعنی باید ببینیم باقیماندۀ تقسیم \(\Large 6\) بر چه اعدادی برابر با صفر است. باقیماندۀ تقسیم \(\Large 6\) بر اعداد \(\Large 1\) و \(\Large 2\) و \(\Large 3\) و \(\Large 6\) برابر با صفر است. یعنی می‌توانیم \(\Large 6\) را به صورت حاصل ضرب هر یک از این اعداد با عددی دیگر بنویسیم:

\(\LARGE 6= 1 \times 6\)

\(\LARGE 6= 2 \times 3\)

\(\LARGE 6= 3 \times 2\)

\(\LARGE 6= 6 \times 1\)

بنابراین اعداد \(\Large 1\) و \(\Large 2\) و \(\Large 3\) و \(\Large 6\) شمارنده‌های عدد \(\Large 6\) هستند. به مثال بعدی از درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم توجه کنید.

مثال 2: ثابت کنید عدد \(\Large 7\) شمارندۀ \(\Large 25\) نیست.

حل: کافی است نشان دهیم باقیماندۀ عدد \(\Large 25\) بر \(\Large 7\) مخالف صفر است:

همان طور که می‌بینید، باقیماندۀ تقسیم \(\Large 25\) بر \(\Large 7\) برابر با \(\Large 4\) است؛ یعنی مخالف صفر است. بنابراین \(\Large 7\) شمارندۀ \(\Large 25\) نیست. به قسمت بعدی از درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم توجه کنید.

نکاتی در مورد شمارنده

در مورد شمارنده‌ها، نکات زیر وجود دارد:

• عدد \(\Large 1\) شمارندۀ همۀ اعداد است. زیرا هر عددی بر \(\Large 1\) بخش پذیر است.
• عدد \(\Large 1\) کوچکترین شمارندۀ هر عددی است.
• بزرگترین شمارندۀ هر عدد، خودِ عدد است. زیرا هر عددی بر خودش بخش پذیر است. از طرفی هیچ عددی بر اعداد بزرگتر از خود بخش پذیر نیست.
• هر عدد بزرگتر از \(\Large 1\)، حداقل دو شمارنده دارد. یکی عدد \(\Large 1\) و دیگری خود عدد.

طبق نکتۀ آخر، در بین اعداد بزرگتر از \(\Large 1\)، هیچ عددی نیست که کمتر از دو شمارنده داشته باشد. اما اعدادی هستند که بیشتر از دو شمارنده دارند. مثلاً عدد \(\Large 6\) که در مثال یک دیدیم چهار شمارنده دارد. به قسمت بعدی از درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم توجه کنید.

تعریف عدد اول

به اعدادی که فقط دو شمارنده دارند، اعداد اول می‌گوییم. همان طور که در قسمت قبل گفتیم، این دو شمارنده، خودِ عدد و عددِ \(\Large 1\) هستند. عدد \(\Large 1\) اول نیست چون فقط یک شمارنده دارد. عدد \(\Large 2\) اول است، چون دو شمارنده دارد. \(\Large 1\) و \(\Large 2\) شمارنده‌های عدد \(\Large 2\) هستند. اعداد \(\Large 3\) و \(\Large 5\) و \(\Large 7\) نیز، اعداد اول هستند. در سال‌های آینده اثبات خواهیم کرد که اعداد اول نامتناهی هستند. به مثال‌های بعدی از درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم توجه کنید.

مثال از عدد اول

مثال 3: آیا امکان دارد یک عدد زوج، عدد اول باشد؟

حل: تنها عدد زوجی که اول است، عدد \(\Large 2\) است. عدد \(\Large 2\) تنها بر خودش و یک بخش پذیر است. اما بقیۀ اعداد زوج، هم بر \(\Large 1\)، هم بر \(\Large 2\) و هم بر خودشان بخش پذیر هستند. یعنی اعداد زوج بزرگتر از \(\Large 2\) حداقل سه شمارنده دارند. در نتیجه، تنها عدد زوجِ اول، عدد \(\Large 2\) است. به مثال‌ بعدی از درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم توجه کنید.

حاصل ضرب دو عدد اول ریاضی هفتم

مثال 4: آیا حاصل ضرب دو عدد اول، اول است؟ 

حل: حاصل ضرب دو عدد اول، هیچگاه اول نیست. تفاوتی نمی‌کند که آن دو عدد اول یکسان باشند یا متفاوت. زیرا در هر صورت، حاصل ضرب آن‌ها بر \(\Large 1\)، یکی از اعداد اول که در هم ضرب شده و خود عدد بخش پذیر است. در نتیجه، حاصل ضرب دو عدد اول حداقل سه شمارنده دارد. مثلاً حاصل ضرب عدد \(\Large 2\) در خودش، دارای شمارنده‌های \(\Large 1\) و \(\Large 2\) و \(\Large 4\) است. یا به طور مثال، حاصل ضرب \(\Large 2\) در \(\Large 3\)، دارای شمارنده‌های \(\Large 1\) و \(\Large 2\) و \(\Large 3\) و \(\Large 6\) است. بنابراین حاصل ضرب دو عدد اول هیچ گاه اول نمی‌شود. به مثال‌ بعدی از درسنامۀ عدد اول ریاضی هفتم توجه کنید.

حاصل جمع دو عدد اول ریاضی هفتم

مثال 5: آیا حاصل جمع دو عدد اول، اول است؟

حل: اگر هر دو عدد اول فرد باشند (مخالف \(\Large 2\) باشند)، حاصل جمع آن‌ها عدد زوجی بزگتر از \(\Large 2\) خواهد شد. در نتیجه اول نخواهد بود. اما اگر یکی از آن‌ها زوج باشد (عدد \(\Large 2\) باشد)، حاصل جمعشان هم می‌تواند اول باشد و هم غیر اول. مثلاً حاصل جمع \(\Large 2\) و \(\Large 3\) برابر با \(\Large 5\) است که عددی اول است. اما حاصل جمع \(\Large 2\) و \(\Large 7\) برابر با \(\Large 9\) است که اول نیست. زیرا شمارنده‌های آن، اعداد \(\Large 1\) و \(\Large 3\) و \(\Large 9\) هستند. 

زنگ آخر کلاس عدد اول ریاضی هفتم

در این درسنامه با مفهوم شمارنده آشنا شدیم. دیدیم که هر عدد بزرگتر از \(\Large 1\)، حداقل دو شمارنده دارد. به اعدادی که تنها دو شمارنده داشتند، اعداد اول گفتیم. همچنین، در مثال‌های انتهایی درسنامه، حاصل ضرب و حاصل جمع اعداد اول را بررسی کردیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با این مبحث دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.