اعداد صحیح ↔️➖➕– نمایش روی محور مختصات

وقت آن رسیده است که اعداد هم خودی نشان دهند. می پرسید چه خبر است؟ در جواب باید بگویم عددها هم دل دارند..! اینجا نمایشگاه اعداد صحیح و دیگر عددهاست. بیایید با هم سری به این نمایشگاه بزنیم.

در این درس از مجموعه آموزش ریاضی پایه هشتم ، نحوه نمایش اعداد صحیح و اعداد گویا بر روی محور اعداد و همچنین روش نشان دادن جمع، تفریق، ضرب و تقسیم آن‌ها بر روی محور مختصات آموزش داده می‌شود. به کمک محور اعداد می‌توانیم درک خیلی بهتری از اعداد داشته باشیم و دقیقاً ببینیم چه اتفاقی هنگام جمع، تفریق، ضرب و تقسیم آن‌ها می‌افتد.

---

---

نمایش اعداد صحیح و دیگر عددها روی محور مختصات

در درسنامه جمع و تفریق اعداد صحیح دیدیم که اعداد صحیح ، تقسیم‌بندی‌های اصلی محور مختصات هستند. اعداد گویا، بین این تقسیمات اصلی (اعداد صحیح) جای می‌گیرند.

مثال 1: بین اعداد صحیح 53- و 49- چند عدد صحیح وجود دارد؟ آن‌ها را بر روی محور مختصات نشان دهید.

حل 1:

ابتدا یک محور مختصات رسم می‌کنیم و عددهای 53- و 49- را روی آن نشان می‌دهیم:

مطابق تعریف اعداد صحیح ، 52-، 51- و 50- بین این دو عدد قرار دارند. بنابراین 3 عدد صحیح بین آن‌ها وجود دارد.

نمایش اعداد گویا بر روی محور اعداد

همان‌گونه که در محور اعداد مشاهده می‌کنید، بین اعداد صحیح می‌توان بی‌نهایت عدد گویا نمایش داد که روش آن را در ادامه خواهیم دید:

برای نمایش یک عدد گویا بر روی محور، کافی است مراحل زیر را طی کنیم:

1. ابتدا کسر را تا جای ممکن ساده می‌کنیم؛
2. اگر عدد مخلوط داشتیم به کسر تبدیل می‌کنیم؛
3. به مخرج کسر توجه کرده و فاصله بین هر دو عدد اصلی روی محور را به تعداد عدد مخرج کسر تقسیم می‌کنیم. (یعنی برای نمایش عدد گویای \( \Large \frac{a}{b} \)، باید بین هر دو عدد صحیح را به \( \Large b \) قسمت مساوی تقسیم کنیم.)؛
4. سپس به اندازه عدد صورت کسر، با توجه به علامت از مبدأ مختصات به سمت مثبت یا منفی محور حرکت می‌کنیم.

برای فهم بهتر این مراحل، به مثال زیرتوجه کنید:

مثالی از نمایش اعداد مختلف روی محور

مثال 2: اعداد \( \Large 2 \)، \( \Large -3 \) ، \( \Large -\frac {4}{3} \) و \( \Large 3\frac {2}{6} \) را بر روی محور مختصات نشان دهید.

حل 2:

دو عدد صحیح و دو عدد گویا داریم، اعداد صحیح را می‌توانیم روی تقسیمات اصلی (مشکی رنگ) محور زیر نشان دهیم. برای نمایش اعداد گویا، باید به مخرج کسر آن‌ها توجه کنیم.

\( \Large -\frac{4}{3} \) همانطور که گفته شد، باید به مخرج کسر توجه کنیم: (3) پس باید فاصله بین اعداد محور (اعداد صحیح) به 3 قسمت تقسیم شود.

\( \Large 3\frac{2}{6} \) یعنی یک بخش صحیح (\( \Large 3 \)) و یک بخش کسری (\( \Large \frac {2}{6} \))؛ پس باید فاصله بین اعداد را به 6 قسمت مساوی تقسیم کنیم؟؟

خیر! اگر توجه کنید می‌توان کسر \( \Large \frac{2}{6} \) را ساده کرد. از آنجا که هم 2 و هم 6، به عدد 2 بخش‌پذیر است، صورت و مخرج را بر 2 تقسیم می‌کنیم:

\( \LARGE \frac{2}{6} = \frac {1}{3} \)

عدد 2 در صورت و مخرج با هم خط می‌خورند و حاصل برابر با \( \Large \frac {1}{3} \) خواهد بود. کل کسر هم برابر با \( \Large 3\frac {1}{3} \) است.

بنابراین نیازی نیست که فاصله اعداد محور را به 6 قسمت مساوی تقسیم کنیم، بلکه به 3 قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم.

اما باید این عدد مخلوط را به کسری تبدیل کنیم؛ این عدد برابر است با:

\( \LARGE 3\frac{1}{3} = \frac {(3×3)+1}{3} = \frac{10}{3} \)

نمایش اعداد روی عقربه

بطور کلی هر وسیله اندازه‌گیری داشته باشیم، نحوه نمایش اعداد (چه اعداد صحیح و چه اعداد گویا) مشابه همان روش توضیح داده شده در محور مختصات است.

به عنوان مثال یکی از روش‌های نمایش اعداد در دستگاه‌ها عقربه است (مانند ساعت). در شکل زیر مشاهده می‌شود که اعداد عقربه یکی یکی زیاد می‌شوند؛ از طرفی، جهت مثبت و منفی نیز مشخص است. عقربه سه واحد از صفر به سمت منفی است. بنابراین عقربه، عدد (-3) را نشان می‌دهد.

توجه کنید که اگر بخواهیم عدد گویا را روی عقربه نشان دهیم، کافی است مشابه روی محور مختصات، فاصله بین اعداد صحیح را تقسیم‌بندی کنیم.

نمایش جمع و تفریق اعداد صحیح روی محور اعداد

جمع و تفریق اعداد صحیح را می‌توان روی محور اعداد نمایش داد؛ بدین صورت که ابتدای پیکان نشان‌دهندۀ اولین عدد و انتهای پیکان نشان‌دهندۀ حاصل جمع یا تفریق است.

طول پیکان، مقدار جمع یا تفریق است که اگر به سمت راست محور باشد، علامت آن مثبت و اگر به سمت چپ محور باشد، علامت آن منفی است. همچنین اگر پیکان از یک عدد شروع شده و به ود آن عدد برگردد، به معنی جمع با عدد صفر است.

به عنوان نمونه سه حرکت زیر را روی محور اعداد مشاهده کنید:

نکته: نمایش جمع و تفریق اعداد گویا دقیقاً مشابه روش توضیح داده شده برای اعداد صحیح است؛ کافی است مراحل گفته شده برای جمع و تفریق اعداد گویا را در درس‌نامه اعداد گویا – چهار عمل اصلی رعایت کنید.

---

---

نمایش تساوی کسرها روی محور مختصات

در بخش‌های قبل روش پیدا کردن عددی برابر با یک عدد گویا را آموختیم. اگر بخواهیم این تساوی را روی محور مختصات هم نشان دهیم چکار کنیم؟

برای این کار لازم است چند تقسیم‌بندی روی محور انجام دهیم. با ذکر یک مثال، این روش را با هم مرور می‌کنیم:

فرض کنید می‌خواهیم نشان دهیم اعداد گویا \( \Large \frac {2}{3} \)، \( \Large \frac {4}{6} \) و  \( \Large \frac {6}{9} \) با هم برابرند.

سه محور دقیقاً زیر یکدیگر رسم کنید. بین اعداد صحیح را برای محور اول به 3 بخش، محور دوم 6 بخش و محور سوم 9 بخش تقسیم کنید.

سپس مطابق مراحل نمایش اعداد گویا روی محور مختصات، برای نشان دادن سه عدد بالا، روی محور اول 2 واحد، محور دوم 4 واحد و محور سوم 6 واحد از مبدأ به سمت مثبت (راست) حرکت می‌کنیم.

مشاهده می‌کنیم که هر سه عدد با هم برابرند (چرا؟) چون دقیقاً روبروی هم هستند.

نمایش ضرب و تقسیم روی محور اعداد

برای نمایش ضرب و تقسیم اعداد ( اعداد صحیح ، اعداد گویا یا هر نوع عدد دیگری ) مراحل زیر را انجام می‌دهیم:

1. در ابتدا حاصل ضرب یا تقسیم را تعیین علامت می‌کنیم. (با توجه به روش گفته شده در درسنامه جمع و تفریق اعداد صحیح )؛
2. از مبدأ (عدد صفر) به اندازه عدد اول از سمت چپ (یعنی عددی که قرار است ضرب یا تقسیم کنیم.) با توجه به علامت مثبت یا منفی یک بردار رسم می‌کنیم؛
3. با توجه به صورت سؤال، تعداد واحدهای روی محور بردار را در عدد داده شده ضرب یا بر آن تقسیم می‌کنیم.

مثالی از نمایش ضرب و تقسیم اعداد گویا روی محور

مثال 3: ضرب و تقسیم‌های زیر را بر روی محور اعداد نمایش دهید:

\( \LARGE \frac {4}{5} ÷ 2 \) (الف)

\( \LARGE -\frac {2}{3} × (-3) \) (ب)

حل 3:

(الف) ابتدا حاصل تقسیم را تعیین علامت می‌کنیم: این عبارت، تقسیم مثبت بر مثبت را نشان می‌دهد که حاصل مثبت خواهد شد.

سپس همان‌گونه که در روش نمایش اعداد گویا روی محور گفته شد، فاصله بین هر دو عدد صحیح روی محور را به 5 واحد تقسیم می‌کنیم. بعد با مشخص کردن عدد \( \Large \frac {4}{5} \) روی آن، برداری از صفر تا آن عدد رسم می‌کنیم.

همانطور که می‌بینیم عدد \( \Large \frac {4}{5} \) به اندازه 4 واحد به سمت راست رسم شده است؛ بنابراین برای نمایش تقسیم صورت سؤال، کافی است 4 را تقسیم بر 2 کنیم (2=) و 2 واحد به سمت راست را نشان دهیم.

حاصل تقسیم با 2 بردار نارنجی رنگ نشان داده شده است (چرا؟) چون عدد مورد نظر به 2 تقسیم شده است که حاصل این تقسیم طبق طول بردار نارنجی می شود \( \Large \frac {2}{5} \) .

(ب) همانطور که می‌دانیم ضرب دو عدد منفی مثبت خواهد شد؛ پس علامت حاصل‌ضرب مثبت است. برای نمایش عدد \( \Large -\frac {2}{3} \) روی محور، فاصله اعداد صحیح را به 3 واحد تقسیم کرده و به اندازه 2 واحد به کدام سمت حرکت می‌کنیم؟ (مثبت؛ چون مهم علامت حاصل‌ضرب است.)

سپس بردار نشان داده شده را 3 برابر می‌کنیم؛ یعنی با ضرب 2 در 3، نهایتاً 6 واحد به راست حرکت می‌کنیم تا بردار نارنجی رنگ، حاصل‌ضرب را به ما نشان دهد که می شود 2.

برای یادگیری مطالب بیشتر به پست های جمع وتفریق اعداد صحیح هشتم  مراجعه کنید.

زنگ آخر کلاس اعداد صحیح – نمایش روی محور مختصات

در این درس‌نامه از فصل اول کتاب ریاضی پایه هشتم، روش نمایش اعداد صحیح و اعداد گویا روی محور مختصات آموزش داده شده است. همچنین در این محتوا با نحوه نشان دادن چهار عمل اصلی یعنی جمع، تفریق، ضرب و تقسیم و تساوی کسرها روی محور آشنا شدیم.

در صورتی که هر سؤالی از این مبحث داشتید، سوال خود را در پایین همین قسمت در دیدگاه‌ها برایمان بنویسید. کارشناسان ریاضیکا به سؤالات شما پاسخ خواهند داد.

---

---

به خوندن ادامه بده!

زاویه های خارجی 🏰🔶 – نگهبان قلعه چندضلعی‌ها!