ریشه گیری ریاضی نهم 🔋💥 – ریشه سوم اعداد پیدا کن!

در درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم به بررسی ریشۀ دوم و سوم اعداد خواهیم پرداخت. همچنین، خواهیم دید روابطی که برای ضرب و تقسیم رادیکال‌ها در سال گذشته خواندید، برای ریشۀ سوم اعداد نیز برقرار است. پیشنهاد می‌کنیم قبل از مطالعۀ این درسنامه، درسنامۀ خواص ضرب و تقسیم رادیکال‌ها را مرور کنید. در نگارش این درسنامه سعی کردیم تا با حل مثال‌های مختلف، در درک بهتر مبحث ریشه گیری ریاضی نهم به شما کمک کنیم. با ما تا انتها همراه باشید.

ریشۀ دوم

اگر \(\Large a\) یک عدد حقیقی مثبت باشد، به \(\Large \sqrt{a}\) و \(\Large -\sqrt{a}\) ریشه‌های دوم \(\Large a\) می‌گوییم. در واقع اگر ریشه‌های دوم یک عدد حقیقی مثبت را به توان دوم برسانیم، خود عدد به دست می‌آید. صفر تنها یک ریشۀ دوم دارد که خود صفر است. اگر \(\Large a\) عددی منفی باشد، ریشۀ دوم ندارد، زیرا \(\Large \sqrt{a}\) و \(\Large -\sqrt{a}\) در اعداد حقیقی تعریف نشده‌اند.

برای علاقه‌مندان: ریشۀ دوم یک عدد منفی در اعداد حقیقی وجود ندارد. اما در اعداد مختلط، ریشۀ دوم اعداد منفی نیز تعریف شده است. اگرچه این مبحث خارج از مباحث دبیرستان است اما اگر علاقه دارید می‌توانید در مورد آن مطالعه کنید.

به مثال بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

مثال از محاسبۀ ریشۀ دوم

مثال 1: ریشه‌های دوم عدد \(\Large 6\) را در صورت وجود به دست آورید.

حل: اگر \(\Large +\sqrt{6}\) و \(\Large -\sqrt{6}\) را به توان دو برسانیم، عدد \(\Large 6\) به دست می‌آید. بنابراین \(\Large +\sqrt{6}\) و \(\Large -\sqrt{6}\) ریشه‌های دوم عدد \(\Large 6\) هستند.

مثال 2: ریشه‌های دوم عدد \(\Large \frac{16}{25}\) را در صورت وجود به دست آورید.

حل: مطابق با توضیحی که دادیم، عدد \(\Large \frac{16}{25}\) دارای دو ریشۀ دوم زیر است:

\(\LARGE +\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\)

\(\LARGE -\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\)

به قسمت بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

ارتباط ریشۀ دوم و قدر مطلق

در درسنامۀ قدر مطلق ریاضی نهم دیدیم که برای هر عدد حقیقی دلخواه \(\Large a\)، ریشۀ دوم \(\Large a^2\) برابر است با \(\Large |a|\). یعنی داریم 

\(\LARGE \sqrt{a^2}=|a|\)

با یادآوری این نکته، به حل دو مثال بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم می‌پردازیم.

مثال از ارتباط ریشۀ دوم و قدر مطلق

مثال 3: حاصل \(\Large \sqrt{(1-\sqrt{3})^2}\) را به دست آورید.

حل: با توجه به نکته‌ای که گفتیم، حاصل \(\Large \sqrt{(1-\sqrt{3})^2}\) برابر با \(\Large|1-\sqrt{3}|\) است. از آنجاییکه \(\Large \sqrt{3}\) بزرگتر از \(\Large 1\) است، حاصل \(\Large 1-\sqrt{3}\) منفی است. در نتیجه داریم:

\(\LARGE \sqrt{(1-\sqrt{3})^2}=|1-\sqrt{3}|\)

\(\LARGE =\sqrt{3}-1\)

به مثال بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

مثال 4: اگر \(\Large a\) منفی و \(\Large b\) مثبت باشد، عبارت \(\Large \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}\) را ساده کنید.

حل: همان طور که گفتیم، حاصل \(\Large \sqrt{a^2}\) برابر با \(\Large |a|\) و حاصل \(\Large \sqrt{b^2}\) برابر با \(\Large |b|\) است. یعنی داریم:

\(\LARGE  \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=|a|+|b|\)

از طرفی چون \(\Large a\) منفی است، \(\Large |a|\) برابر است با \(\Large -a\). همچنین، چون \(\Large b\) مثبت است، \(\Large |b|\) برابر است با \(\Large b\). بنابراین داریم:

\(\LARGE  \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=|a|+|b|\)

\(\LARGE  =-a+b\)

می‌توانیم بقیۀ حالات را نیز به همین ترتیب بررسی کنیم:

• اگر \(\Large a\) مثبت و \(\Large b\) منفی باشد، آنگاه \(\Large \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=a-b\)
• اگر \(\Large a\) مثبت و \(\Large b\) مثبت باشد، آنگاه \(\Large \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=a+b\)
• اگر \(\Large a\) منفی و \(\Large b\) منفی باشد، آنگاه \(\Large \sqrt{a^2}+\sqrt{b^2}=-a-b\)

به قسمت بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

ریشۀ سوم عدد

اگر ریشۀ دوم یک عدد را به توان دو برسانیم برابر با خود عدد خواهد شد. با توجه به این نکته می‌توانیم ریشۀ سوم یک عدد را نیز تعریف کنیم. ریشۀ سوم یک عدد برابر با عددی است که اگر به توان سه برسانیم برابر با خود عدد می‌شود. مثلاً ریشۀ سوم عدد \(\Large 8\) برابر با عدد \(\Large 2\) است زیرا \(\Large 2^3\) برابر با \(\Large 8\) است. در حالت کلی، ریشۀ سوم عدد حقیقی \(\Large a\) را با \(\Large \sqrt[3]{a}\) نمایش می‌دهیم. برای اینکه در ابتدای کار کمی بیشتر آشنا با ریشۀ سوم آشنا شوید، ریشۀ سومِ مکعبِ اعداد یک رقمی مثبت و منفی را در دو جدول زیر آورده‌ایم:

در مجموعۀ اعداد حقیقی هر عدد تنها یک ریشۀ سوم دارم. همچنین، برای اعداد منفی نیز ریشۀ سوم وجود دارد. ریشۀ سوم برخی از اعداد، برابر با یک عدد گویا نمی‌شود. روش به دست آوردن ریشۀ سوم تقریبی چنین اعدادی را در درسنامۀ آموزش ریشه گیری در ریاضی دهم خواهید آموخت. به مثال بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

مثال از ریشۀ سوم عدد

مثال 5: مقدار \(\Large \sqrt[3]{-125}\) را محاسبه کنید.

حل: باید به دنبال عددی باشیم که اگر آن را به توان سه برسانیم برابر با \(\Large -125\) شود. در صورتی که \(\Large -5\) را به توان سه برسانیم، برابر با \(\Large -125\) خواهد شد. بنابراین داریم:

\(\LARGE \sqrt[3]{125}=-5\)

به قسمت بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

ضرب و تقسیم رادیکال ها

در پایۀ هشتم آموختید که برای اعداد مثبت \(\Large a\) و \(\Large b\)، دو رابطۀ زیر برقرار است:

\(\LARGE \sqrt{ab}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}\)

\(\LARGE \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

رابطۀ اول بیان می‌کند که ریشۀ دوم حاصل ضرب دو عدد مثبت، برابر است با حاصل ضرب ریشۀ دوم هر یک از آن‌ها. رابطۀ دوم نیز می‌گوید، ریشۀ دوم تقسیم دو عدد مثبت، برابر است با تقسیم ریشۀ دوم آن‌ها. مشابه این روابط برای ریشۀ سوم نیز برقرار است. یعنی داریم:

البته باید دقت کنید که رابطۀ آخر فقط به ازای \(\Large b \neq 0\) برقرار است. مطابق با دو رابطۀ آخر، ریشۀ سوم حاصل ضرب دو عدد، برابر است با حاصل ضرب ریشۀ سوم هر یک از آن‌ها. ریشۀ سوم تقسیم دو عدد (به شرط مخرج غیر صفر) نیز برابر است با تقسیم ریشۀ سوم آن‌ها. به مثال‌های بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

مثال از ضرب ریشه‌ها در ریشه گیری ریاضی نهم

مثال 6: حاصل عبارت \(\Large \sqrt[3]{9} \times \sqrt[3]{3}\) را به دست آورید.

حل: همان طور که گفتیم، حاصل ضرب ریشۀ سوم دو عدد برابر است با ریشۀ سوم حاصل ضرب آن‌ها. بنابراین داریم:

\(\LARGE \sqrt[3]{9} \times \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{9 \times 3}\)

\(\LARGE =\sqrt[3]{27}\)

\(\LARGE =3\)

به مثال‌ بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

مثال 7: حاصل عبارت \(\Large \sqrt[3]{-216}\) را به دست آورید.

حل: همان طور که گفتیم، ریشۀ سوم حاصل ضرب دو عدد، برابر است با حاصل ضرب ریشۀ سوم هر یک از آن‌ها. بنابراین داریم:

\(\LARGE \sqrt[3]{-216}=\sqrt[3]{-27} \times \sqrt[3]{8}\)

\(\LARGE =(-3) \times 2\)

\(\LARGE =-6\)

مثال از تقسیم ریشه‌ها در ریشه گیری ریاضی نهم

مثال 8: حاصل عبارت \(\Large \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}\) را به دست آورید.

حل: همان طور که گفتیم، ریشۀ سوم تقسیم دو عدد (به شرط مخرج غیر صفر)، برابر است با تقسیم ریشۀ سوم آن‌ها. بنابراین داریم:

\(\LARGE \frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}\)

\(\LARGE =\sqrt[3]{8}\)

\(\LARGE =2\)

به مثال‌ بعدی از درسنامۀ ریشه گیری ریاضی نهم توجه کنید.

مثال 9: حاصل عبارت \(\Large \sqrt[3]{\frac{-8}{125}}\) را به دست آورید.

حل: همان طور که گفتیم، ریشۀ سوم تقسیم دو عدد (به شرط مخرج غیر صفر)، برابر است با تقسیم ریشۀ سوم آن‌ها. بنابراین داریم:

\(\LARGE \sqrt[3]{\frac{-8}{125}}=\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{125}}\)

\(\LARGE =\frac{-2}{5}\)

زنگ آخر کلاس ریشه گیری ریاضی نهم

در این درسنامه از ریاضی نهم مرور کوتاهی کردیم بر مطالبی که در مورد ریشۀ دوم در سال‌های گذشته خوانده بودید. همچنین، بر اساس مطالبی که در مورد ریشۀ دوم گفتیم، ریشۀ سوم اعداد حقیقی را معرفی کردیم. دیدیم مشابه روابطی که در مورد ضرب و تقسیم ریشه‌های دوم بر قرار بود، برای ریشۀ سوم نیز صدق می‌کرد.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث ریشه گیری ریاضی نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.