قدر مطلق ریاضی نهم ⏸💎 – فاصلتو از مبدا بدون!

قدر مطلق ریاضی نهم ⏸💎 - فاصلتو از مبدا بدون!

می‌خواهیم به مبحث قدر مطلق ریاضی نهم بپردازیم. برای تعریف قدر مطلق نیاز داریم تا ابتدا فاصلۀ یک نقطه از مبدأ را بررسی کنیم. بعد از این بررسی، قدر مطلق را به سادگی معرفی کرده و با خواص جالب آن در مورد جمع و ضرب اعداد آشنا می‌شویم. با خواندن این درسنامه و حل مثال‌های آن، مشکلی در درک مبحث قدر مطلق ریاضی نهم نخواهید داشت.

فاصلۀ نقطه از مبدأ

محور اعداد که در شکل زیر رسم شده است و نقاط \(\Large  A \) و \(\Large B \) را در نظر بگیرید.

قدر مطلق ریاضی نهم - فاصله از مبدأ

فاصلۀ نقطۀ \(\Large  A=1 \) از مبدأ (صفر) برابر با یک واحد است. فاصلۀ نقطۀ \(\Large  B=-1 \) نیز از مبدأ برابر با یک واحداست. در واقع هم \(\Large  1 \) و هم \(\Large  -1 \) دارای فاصلۀ \(\Large  1 \) واحد از مبدأ هستند. از طرفی نقطۀ دیگری به غیر از این دو نقطه نیست که روی محور قرار داشته باشد و دارای فاصلۀ یک واحد از مبدأ باشد. قدر مطلق بر همین اساس تعریف می‌شود. به قسمت بعد از درسنامۀ قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

تعریف قدر مطلق در قدر مطلق ریاضی نهم

به فاصلۀ نقطۀ \(\Large  x \) از مبدأ، قدر مطلق \(\Large  x \) می‌گوییم و آن را با نماد \(\Large  |x| \) نمایش می‌دهیم. در قسمت قبل دیدیم که فاصلۀ \(\Large  1 \) و \(\Large  -1 \) از مبدأ برابر با یک است. بنابراین داریم:

\(\LARGE |-1|=|1|=1 \)

قدر مطلق اعداد مثبت، منفی و صفر

به طور کلی برای اعداد حقیقی، سه حالت زیر را داریم:

  • اعداد حقیقی مثبت: فاصلۀ اعداد حقیقی مثبت از مبدأ برابر با خود عدد است. بنابراین برای عدد حقیقی \(\Large  a>0 \) داریم \(\Large  |a|=a \).
  • اعداد حقیقی منفی: طبق تعریف تقارن، فاصلۀ هر عدد از مبدأ، با فاصلۀ قرینۀ آن عدد از مبدأ برابر است. بنابراین برای عدد حقیقی \(\Large  a<0 \) داریم \(\Large  |a|=|-a| \) که \(\Large  -a \) یک عدد مثبت است. در نتیجه برای \(\Large  a<0 \) داریم \(\Large  |a|=|-a|=-a \).
  • عدد حقیقی صفر: فاصلۀ صفر از مبدأ برابر با صفر است. بنابراین \(\Large  |0|=0 \).

به زبان ساده اگر حاصل عبارت داخل قدر مطلق، عددی مثبت یا صفر شد، خود آن عدد از قدرمطلق بیرون می آیدو اگر منفی باشد، قرینۀ آن .

بنابراین \(\Large  |-\sqrt{6}|=\sqrt{6} \) و \(\Large  |\frac{3}{7}|=\frac{3}{7} \) است. به مثال‌های بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

مثال از قدر مطلق ریاضی نهم

مثال 1: حاصل \(\Large  |(-2)\times 10+7| \) را به دست آورید.

حل: کافی است عبارت داخل قدر مطلق را حساب کنیم. اگر حاصل عبارت داخل قدر مطلق، عددی مثبت یا صفر شد، خود آن عدد پاسخ مسئله است و اگر منفی شد، قرینۀ آن جواب مسئله است. بنابراین داریم:

\( \Large |(-2)\times 10+7|=|-20+7|=|-13|=13 \)

به مثال‌ بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

مثال 2: حاصل \(\Large  |3\times 8-17| \) را به دست آورید.

حل: مانند مثال قبل، حاصل عبارت داخل قدر مطلق را به دست می‌آوریم. اگر حاصل، عددی نامنفی شد خود عدد و اگر منفی شد، قرینۀ آن پاسخ مسئله خواهد بود. پس داریم:

بیا بیشتر بخونیم:
استدلال ریاضی نهم - 🤖💪 منطق ریاضی استفاده کن!

\( \Large |3\times 8-17|=|24-17|=|7|=7 \)

قدر مطلق مجموع

به طور کلی برای محاسبۀ \(\Large  |a+b| \) که در آن \(\Large  a \) و \(\Large b \) دو عدد حقیقی دلخواه هستند، باید مانند دو مثال قبل عمل کنیم. یعنی ابتدا عبارت داخل قدر مطلق را حساب کرده و سپس با توجه به مثبت یا منفی بودن آن، حاصل قدر مطلق را به دست آوریم. اما، در هر صورتی، چه علامت داخل قدر مطلق مثبت باشد و چه منفی، قضیۀ زیر برقرار است:

قضیۀ نامساوی مثلثی:

قدر مطلق مجموع دو عدد حقیقی دلخواه، کوچکتر یا مساوی مجموع قدر مطلق‌های آن‌هاست.

یعنی برای هر عدد حقیقی دلخواه \(\Large  a \) و \(\Large  b \) داریم:

\(\LARGE |a+b|\leq |a|+|b| \)

اثبات این قضیه ساده است اما از آنجاییکه باید از خواص نامساوی‌ها استفاده کنیم و خواص نامساوی‌ها را سال آینده یاد خواهید گرفت، از اثبات این قضیه در این درسنامه صرف نظر می‌کنیم. به مثال‌ بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

مثال از قضیۀ نامساوی مثلثی

مثال 3: برقراری نامساوی مثلثی را برای دو عبارت \(\Large  |-3+2| \) و \(\Large  |2+5| \) بررسی کنید.  

حل: در مورد عبارت \(\Large  |-3+2| \) داریم:

\(\Large  |-3+2|=|-1|=1 \)

\(\Large  |-3|+|2|=3+2=5 \)

\(\Large  \Rightarrow |-3+2|< |-3|+|2| \)

در مورد عبارت \(\Large  |2+5| \) نیز داریم:

\(\Large  |2+5|=|7|=7 \)

\(\Large  |2|+|5|=2+5=7 \)

\(\Large  \Rightarrow |2+5|=|2|+|5| \)

بنابراین صحت قضیۀ نامساوی مثلثی را برای دو عبارت داده شده در مثال می‌بینیم.

قدر مطلق حاصل ضرب

قدر مطلق حاصل ضرب هر دو عدد حقیقی دلخواه برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق هر کدام از آن‌ها. یعنی به ازای هر دو عدد حقیقی دلخواه \(\Large  a\) و \(\Large  b \) داریم: 

\(\LARGE |a\times b|=|a|\times |b| \)

بیایید این گزاره را ثابت کنیم. برای \(\Large  a\) و \(\Large  b \) چهار حالت داریم:

  1. \(\Large  a>0\) و \(\Large  b>0 \): در این صورت \(\Large  |a\times b|=a\times b \) و \(\Large  |a|\times |b|=a\times b \).
  2. \(\Large  a<0\) و \(\Large  b<0 \): در این صورت \(\Large  |a\times b|=a\times b \) و \(|a|\times |b|=(-a)\times (-b)=a\times b \).
  3. \(\Large  a<0\) و \(\Large  b>0 \): در این صورت \(\Large  |a\times b|=-(a\times b) \) و \(  |a|\times |b|=(-a)\times b=-(a\times b) \).
  4. \(\Large  a>0\) و \(\Large  b<0 \): در این صورت \(\Large  |a\times b|=-(a\times b) \) و \(  |a|\times |b|=a\times (-b)=-(a\times b) \).

به زبان ساده داریم:

قدر مطلق حاصل ِضرب دو عدد، مساوی با حاصل ِ ضرب قدر مطلق آنهاست.

همان‌طور که دیدید در هر چهار حالت، قدر مطلق حاصل ضرب دو عدد برابر با حاصل ضرب قدر مطلق آن‌ها خواهد شد. به مثال‌ بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.

مثال از حاصل ضرب قدر مطلق دو عدد

مثال 4: حاصل \(\Large  |(-3)\times 5| \) را با استفاده از قضیۀ قبل محاسبه کنید.

حل: همان‌طور که گفتیم، قدر مطلق حاصل ضرب هر دو عدد حقیقی دلخواه برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق هر کدام از آن‌ها. بنابراین داریم:

\( \Large |(-3)\times 5|=|-3|\times |5|=3\times 5=15 \)

قدر مطلق و محاسبه تقریبی

گاهی برای محاسبۀ قدر مطلق، لازم است تا مقادیر تقریبی یک عبارت (به خصوص مقدار تقریبی یک جذر) را محاسبه کرده و قدر مطلق را به دست آوریم. برای اینکه بهتر متوجه شوید، به مثال زیر از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم دقت کنید.

بیا بیشتر بخونیم:
اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها ➖➕ - همراه با مثال و تصاویر!

مثال 5: عبارت \(\Large  |1-\sqrt{3}| \) را ساده کنید.

حل: می‌دانیم \(\Large  \sqrt{3} \) حدوداً \(\Large  1.7 \) است. حتی اگر این را هم ندانیم، می‌دانیم \(\Large  \sqrt{3} \) عددی بزرگتر از یک است. بنابراین حاصل \(\Large  1-\sqrt{3} \) عددی منفی است پس قرینه اش از قدرمطلق خارج می شود.. در نتیجه داریم:

\( \Large |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1 \)

به مثال بعد از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم دقت کنید.

مثال 6: عبارت \(\Large  |1.8-\sqrt{2}|-|\sqrt{2}-2| \) را ساده کنید.

حل: مقدار \(\Large  \sqrt{2} \) به صورت تقریبی \(\Large  1.4 \) است. در نتیجه، \(\Large  1.8-\sqrt{2} \) عبارتی مثبت پس خودش از قدرمطلق خارج می شودو \(\Large  \sqrt{2}-2 \) عبارتی منفی است پس قرینه اش از قدرمطلق خارج می شود. بنابراین داریم:

\(\Large  |1.8-\sqrt{2}|=1.8-\sqrt{2} \)

\(\Large  |\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2} \)

\(\Large  \Rightarrow |1.8-\sqrt{2}|-|\sqrt{2}-2| \)

\(\Large  =(1.8-\sqrt{2})-(2-\sqrt{2}) \)

\(\Large  =1.8-2=-0.2 \)

ارتباط قدر مطلق و ریشۀ دوم در قدر مطلق ریاضی نهم

اگر \(\Large  a\) یک عدد حقیقی باشد و بخواهیم \(\Large  \sqrt{a^2}\) و \(\Large  |a|\) را به دست آورده و با یکدیگر مقایسه کنیم، بر اساس اینکه \(\Large  a\) مثبت است یا منفی، دو حالت رخ خواهد داد:

  1. \(\Large  a>0\) است. در این صورت \(\Large  \sqrt{a^2}=a\) و \(\Large  |a|=a\). به طور مثال \(\Large  \sqrt{5^2}=5\) و \(\Large  |5|=5\) است.
  2. \(\Large  a<0\) است. در این صورت \(\Large  \sqrt{a^2}=-a\) و \(\Large  |a|=-a\). به طور مثال \(\Large  \sqrt{(-3)^2}=3\) و \(\Large  |-3|=3\) است.

همان‌طور که دیدید، در هر دو حالت، ریشۀ دوم مجذور یک عدد حقیقی برابر با قدر مطلق آن عدد شد. بنابراین برای هر عدد حقیقی دلخواه \(\Large  a\) داریم:

\(\LARGE \sqrt{a^2}=|a|\)

زنگ آخر کلاس قدر مطلق ریاضی نهم

همان‌طور که دیدید، قدر مطلق یک عدد حقیقی برابر است با فاصلۀ آن عدد روی محور از مبدأ. قدر مطلق یک عدد مثبت برابر با خود آن عدد و قدر مطلق یک عدد منفی برابر با قرینۀ آن بود. از طرفی دو خاصیت جالب زیر را برای قدر مطلق جمع و ضرب دیدیم:

  • قدر مطلق مجموع دو عدد حقیقی دلخواه، کوچکتر یا مساوی مجموع قدر مطلق‌های آن‌هاست.
  • قدر مطلق حاصل ضرب هر دو عدد حقیقی دلخواه برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق هر کدام از آن‌ها.

در پایان، ار تباط قدر مطلق و ریشۀ دوم مجذور یک عدد را نیز بررسی کردیم. شما می‌توانید آموزش رسم نمودار تابع قدرمطلق را نیز در این سایت مطالعه کنید.  ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث قدرمطلق ریاضی نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.