آموزش حل لگاریتم : تمام آنچه که باید یاد بگیرید 💯 !

آموزش حل لگاریتم

آموزش حل لگاریتم از مفاهیم جذابی است که در کتاب ریاضی دهم عنوان شده است. در این نوشتار می‌خواهیم این مفهوم مهم را با 12 قانونش و اثباتشان یاد بگیریم.

تعریف لگاریتم :

تابع نمایی زیر را در نظر بگیرد:

لگاریتم و تابع نمایی

چون این تابع یک تابع یک به یک است پس وارون پذیر است. وارون آن یک تابع لگاریتمی است که به صورت زیر نمایش داده می‌شود.

لگاریتم

حال با توجه به تعریف لگاریتم و ویژگی‌های زیر به آموزش حل لگاریتم و اثبات بعضی از این ویژگی ها می پردازیم.

آموزش حل لگاریتم و اثبات بعضی از این ویژگی ها .

آموزش حل لگاریتم و اثبات بعضی از این ویژگی ها .

اثبات روابط لگاریتمی

اثبات 3:

\( \LARGE  log_c a + log_c b = log_c ab  \)

فرض کنیم:\( \Large  log_c a = m , log_c b = n  \)

\( \LARGE \begin{cases} log_c a = m \rightarrow c^m = a \\ log_c b = n \rightarrow c^n = b \end{cases}  \)

طرفین رابطه را درهم ضرب می‌کنیم:

\( \LARGE  c^m \times  c^n = ab \)

\( \LARGE  c^{m+n} = ab \)

از طرفین لگاریتم می‌گیریم:

\( \LARGE  log_c ab = m + n \)

پس طبق فرض داریم:

\( \LARGE log_c ab = log_c a + log_c b  \)

اثبات 4:

\( \LARGE log_c a – log_c b = log_c \frac{a}{b} \)

فرض کنیم:\( \Large  log_c a = m , log_c b = n  \)

\( \LARGE \begin{cases} log_c a = m \rightarrow c^m = a \\ log_c b = n \rightarrow c^n = b \end{cases}  \)

طرفین رابطه را به هم تقسیم، می‌کنیم:

\( \LARGE  c^{m – n}= \frac{a}{b} \)

از طرفین لگاریتم می‌گیریم:

\( \LARGE  log_c \frac{a}{b} = m – n \)

پس طبق فرض داریم:

\( \LARGE log_c \frac{a}{b} = log_c a – log_c b   \)

اثبات رابطه ۵:

البته این رابطه بسته به اینکه توان آن چه نوع عددی است، اثبات‌های متفاوتی دارد. ما در این مرحله آن را عضو اعداد طبیعی \( \Large n \in \mathbb{N} \) فرض و به صورت زیر اثبات می‌کنیم:

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش تابع لگاریتمی - تابع معکوس موفقیت 🏆 !

\( \LARGE log_b a^n = nlog_b a  \)

طرف اول:

\( \LARGE log_b a^n   \)

\( \LARGE = log_b {a \times a \times a … \times a}  \)

طبق رابطه 3:

\( \LARGE log_b a + log_b a + ..+ log_b a   \)

\( \LARGE  = nlog_b a  \)

 

مثال 1: حاصل عبارت های زیر را به دست آورید.

الف)

\( \LARGE log_{100} {0.001} + 3log_{32} {64}    \)

\( \LARGE  – log_{2} {\sqrt2} = ?   \)

حل 1 الف:

\( \LARGE log_{100}{0.001} + 3log_{32}{64}   \)

\( \LARGE  – log_{2}{\sqrt2}   \)

\( \LARGE = log_{10^2}{10^{-3}} + 3log_{2^5}{2^6}   \)

\( \LARGE  – log_{2}{2^{\frac{1}{2}}}  \)

\( \LARGE = -\frac{3}{2}log_{10}{10} + \frac{18}{5}log_{2}{2}   \)

\( \LARGE  – \frac{1}{2}log_{2}{2}   \)

\( \LARGE = \frac{-15+36-5}{10} = \frac{16}{10} = 1.6   \)

ب)

\( \LARGE log_{\sqrt5} {125} + 2log_{27} {81}  \)

\( \LARGE  – log_{\sqrt2} {\sqrt18} = ?   \)

حل 1 ب:

\( \LARGE log_{\sqrt5} {125} + 2log_{27} {81}   \)

\( \LARGE  – log_{\sqrt2} {\sqrt18}   \)

\( \LARGE = log_{5^{\frac{1}{2}}} {5^{3}} – 2log_{3^3} {3^4}    \)

\( \LARGE  – log_{2^{\frac{1}{2}}} {2^{\frac{3}{2}}}   \)

\( \LARGE = 6 – \frac{8}{3} – 3 = \frac{1}{3}  \)

نکته ۱: اگر مبنای لگاریتم عدد ۱۰ باشد آن را نمی نوشتید. مانند فرجه ۲ یا توان را \( \Large log_{10} {5} = log_{} {5} \) که به آن لگاریتم اعشاری می گویند.

مثال 2: اگر  \( \LARGE log_{} {3} = a , log_{} {2} = b  \) باشد، مقدار عبارت زیر را بر حسب \( \Large a \) و \( \Large b \) بدست آورید.

\( \LARGE log_{} {\frac{24}{\sqrt18}} = ?   \)

حل 2:

\( \LARGE log_{} {\frac{24}{\sqrt18}}    \)

\( \LARGE  = log_{} {24} – log_{} {\sqrt18}    \)

\( \LARGE =  log_{}( {2^3} \times 3) – log_{} {18^{\frac{1}{2}}}    \)

بیا بیشتر بخونیم:
روابط طولی در مثلث قائم الزاویه ، قضیه تالس و تشابه مثلث‌ ها 📐 : نتیجه یک همکاری خوب!

\( \LARGE = log_{} {2^3} + log_{} {3}   \)

\( \LARGE  – \frac{1}{2}log_{}( {3^2} \times 2)  \)

\( \LARGE = 3log_{} {2} + log_{} {3}   \)

\( \LARGE  – \frac{1}{2}(2log_{} {3} + log_{} {2})  \)

\( \LARGE = 3b + a + \frac{1}{2}b   \)

\( \LARGE  = 2a + \frac{7}{2}b  \)

 محاسبه لگاریتم مطلبی مهم است که باید از ویژگی های لگاریتم برای محاسبهٔ آن استفاده کنیم. مثال‌های بالا نیز از همین دسته بودند.

آموزش حل لگاریتم: معادلات لگاریتمی

یکی از مهمترین کاربردهای لگاریتم حل معادلات لگاریتمی است که معمولاً از مدل‌سازی یک مسئله واقعی بدست می آید. برای کاربرد حل معادلات لگاریتم می‌توان به مثال‌های زیر اشاره کرد:

  • محاسبه شدت زلزله
  • مشخص کردن ضعیف‌ترین صدای قابل شنیدن یا آستانه شنوایی
  • پیش‌بینی جمعیت یک جامعه پس از زمان مشخص
  • محاسبه نیمه عمر عناصر رادیواکتیو
  • محاسبه طول عمر یافته‌های باستان‌شناسی

به طور کلی اگر \( \Large a \) عدد حقیقی مثبت \( \Large a \neq 1 \) باشد، آنگاه با توجه به یک به یک بودن تابع لگاریتمی، از تساوی \( \Large log_{a} {x} = log_{a} {y} , (x , y) > 0 \) می‌توان نتیجه گرفت : \( \Large x = y \) و بر عکس.
اگر \( \Large x = y \) آنگاه \( \Large log_{a} {x} = log_{a} {y} , (x , y) > 0 \).

در مبحث آموزش حل لگاریتم باید یکی از دو حالت زیر برقرار باشد:

  1. یک طرف لگاریتم و طرف دوم یک عدد باشد و بعد با تبدیل معادله به یک معادله نمایی آن را حل می‌کنیم
  2. دو طرف دو لگاریتم هم بنا باشند تا از خاصیتی که بالا گفتیم استفاده شود.

مثال 3: \( \Large x \) را در معادلات زیر پیدا کنید.

بیا بیشتر بخونیم:
حل معادله رادیکالی 🧮✅ - گام به گام با مثال و توضیحات!

الف)

\( \Large log_{3} {x} = 2 \rightarrow x=?  \)

 

حل 3 الف:

\( \LARGE log_{3} {x} = 2   \)

\( \LARGE x = 3^2 = 9   \)

ب)

\( \Large log_{5} {(x+6)} = log_{5} {(2x-3)} \)

\( \Large  \rightarrow x = ? \)

حل 3 ب:

\( \LARGE log_{5} {(x+6)} = log_{5} {(2x-3)}   \)

\( \LARGE x + 6 = 2x – 3   \)

\( \LARGE \rightarrow x = 9 \)

ج)

\( \Large log_{5} {(x+1)}  + log_{5} {(x-1)}= 1  \)

\( \Large  \rightarrow x = ? \)

حل 3 ج:

\( \LARGE log_{5} {(x+1)}     \)

\( \LARGE + log_{5} {(x-1)}= 1   \)

\( \LARGE log_{5} {(x^2-1)}  = 1   \)

\( \LARGE x^2 – 1 = 5^1   \)

\( \LARGE x^2 = 6   \)

\( \LARGE \rightarrow x =\pm \sqrt6 \)

 

کاربرد های آموزش حل لگاریتم در زندگی روزمره

لگاریتم در زندگی امروز کاربردهای زیادی دارد و در هر رشته و هر شغلی فوایدش بسیار است. بعنوان مثال از آموزش حل لگاریتم و یادگرفتن رسم آن غیر از ریاضی می‌توان به کاربرد آن در علوم مختلف اشاره کرد:

  • مهندسی شیمی و در بحث \( \Large PH \) برای تشخیص بازی و اسیدی مایعات اشاره کرد کاربرد فراوان و به ویژه‌ای دارد.
  • لگاریتم در بحث زلزله و تعیین دامنه آن نیز کاربرد دارد.
  • دانشمندان نیز برای بیان زلزله از مقیاس ریشتر استفاده می کنند که از بحث لگاریتم گرفته شده است.
  • در بحث اخترشناسی فاصلهٔ بین ستارگان و سیاره ها نیز به کار می‌رود.
  • در بحث موسیقی برای بیان سطح فشار صوت و سنجش فواصل موسیقی نیز از لگاریتم استفاده می گردد.
  • در باستان‌شناسی با استفاده از روش سال‌یابی کربن 14، می‌توان عمر یک اثر باستانی را محاسبه کرد. در این روش، تعیین قدمت اثر با یک تابع لگاریتمی مدل‌سازی می شود.
بیا بیشتر بخونیم:
رسم نمودار تابع جز صحیح ✏️⚙️ - پله پله رسمش کن!

به طور کلی می‌توان گفت هرجایی که با عددهایی که توان آن بسیار کوچک و یا بسیار بزرگ است، از لگاریتم استفاده می‌کنیم.

میخوای ۲۰ بگیری؟

کلام آخر در آموزش حل لگاریتم

در این آموزش از مجموعه آموزش‌های ریاضی یازدهم تجربی، باهم در مورد آموزش حل لگاریتم، ۱۲ قانون مهم آن و اثبات مهم‌ترین قانون‌هایش صحبت کردیم. همچنین مثال‌های مختلفی را باهم بررسی کردیم. در انتها نیز کاربردهای مختلف و متنوعی از حل لگاریتم در زندگی انسان امروز بیان شد.

در صورتیکه هرگونه سوالی از این بخش دارید، می‌توانید سوال خود را در بخش دیدگاه‌ها در پایین همین قسمت برای ما مطرح کنید. ما در ریاضیکا به سوالات شما عزیزان پاسخ خواهیم داد.

پاسخی بگذارید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.