آموزش حل لگاریتم : تمام آنچه که باید یاد بگیرید 💯 !

آموزش حل لگاریتم

با سلام به دوستان ریاضیکا در درسنامه اموزش تابع لگاریتمی-تابع معکوس موفقیت ،مفهوم لگاریتم ،تابع لگاریتمی ورسم تابع لگاریتمی را فرا گرفتیم .حال در این پست سعی داریم با قوانین لگاریتم آشنا شویم وبا استفاده از این قوانین مقدار لکاریتم یک عدد را بدست آوریم ومعادلات لگاریتمی را حل نماییم.

 

آموزش حل لگاریتم از مفاهیم جذابی است که در کتاب ریاضی یازدهم عنوان شده است. در این نوشتار می‌خواهیم این مفهوم مهم را با 12 قانونش و اثباتشان یاد بگیریم.

تعریف لگاریتم :

تابع نمایی زیر را در نظر بگیرد:

لگاریتم و تابع نمایی

چون این تابع یک تابع یک به یک است پس وارون پذیر است. وارون آن یک تابع لگاریتمی است که به صورت زیر نمایش داده می‌شود.

لگاریتم

حال با توجه به تعریف لگاریتم و ویژگی‌های زیر به آموزش حل لگاریتم و اثبات بعضی از این ویژگی ها می پردازیم.



آموزش حل لگاریتم و اثبات بعضی از این ویژگی ها .

خواص لگاریتم

اثبات روابط لگاریتمی

اثبات 3:

\( \LARGE  log_c a + log_c b = log_c ab  \)

فرض کنیم:\( \Large  log_c a = m , log_c b = n  \)

\( \LARGE \begin{cases} log_c a = m \rightarrow c^m = a \\ log_c b = n \rightarrow c^n = b \end{cases}  \)

طرفین رابطه را درهم ضرب می‌کنیم:

\( \LARGE  c^m \times  c^n = ab \)

\( \LARGE  c^{m+n} = ab \)

از طرفین لگاریتم می‌گیریم:

\( \LARGE  log_c ab = m + n \)

پس طبق فرض داریم:

\( \LARGE log_c ab = log_c a + log_c b  \)

اثبات 4:

\( \LARGE log_c a – log_c b = log_c \frac{a}{b} \)

فرض کنیم:\( \Large  log_c a = m , log_c b = n  \)

\( \LARGE \begin{cases} log_c a = m \rightarrow c^m = a \\ log_c b = n \rightarrow c^n = b \end{cases}  \)

طرفین رابطه را به هم تقسیم، می‌کنیم:

\( \LARGE  c^{m – n}= \frac{a}{b} \)

از طرفین لگاریتم می‌گیریم:

\( \LARGE  log_c \frac{a}{b} = m – n \)

پس طبق فرض داریم:

\( \LARGE log_c \frac{a}{b} = log_c a – log_c b   \)

اثبات رابطه ۵:

البته این رابطه بسته به اینکه توان آن چه نوع عددی است، اثبات‌های متفاوتی دارد. ما در این مرحله آن را عضو اعداد طبیعی \( \Large n \in \mathbb{N} \) فرض و به صورت زیر اثبات می‌کنیم:

بیا بیشتر بخونیم:
تناسب و خواص تناسب : یک نتیجه از قضیه تالس - یک دنیای متناسب 🌍 !

\( \LARGE log_b a^n = nlog_b a  \)

طرف اول:

\( \LARGE log_b a^n   \)

\( \LARGE = log_b {a \times a \times a … \times a}  \)

طبق رابطه 3:

\( \LARGE log_b a + log_b a + ..+ log_b a   \)

\( \LARGE  = nlog_b a  \)

 

مثال 1: حاصل عبارت های زیر را به دست آورید.

الف)

\( \LARGE log_{100} {0.001} + 3log_{32} {64}    \)

\( \LARGE  – log_{2} {\sqrt2} = ?   \)

حل 1 الف:

\( \LARGE log_{100}{0.001} + 3log_{32}{64}   \)

\( \LARGE  – log_{2}{\sqrt2}   \)

\( \LARGE = log_{10^2}{10^{-3}} + 3log_{2^5}{2^6}   \)

\( \LARGE  – log_{2}{2^{\frac{1}{2}}}  \)

\( \LARGE = -\frac{3}{2}log_{10}{10} + \frac{18}{5}log_{2}{2}   \)

\( \LARGE  – \frac{1}{2}log_{2}{2}   \)

\( \LARGE = \frac{-15+36-5}{10} = \frac{16}{10} = 1.6   \)

ب)

\( \LARGE log_{\sqrt5} {125} + 2log_{27} {81}  \)

\( \LARGE  – log_{\sqrt2} {\sqrt8} = ?   \)

حل 1 ب:

\( \LARGE log_{\sqrt5} {125} + 2log_{27} {81}   \)

\( \LARGE  – log_{\sqrt2} {\sqrt8}   \)

\( \LARGE = log_{5^{\frac{1}{2}}} {5^{3}} – 2log_{3^3} {3^4}    \)

\( \LARGE  – log_{2^{\frac{1}{2}}} {2^{\frac{3}{2}}}   \)

\( \LARGE = 6 – \frac{8}{3} – 3 = \frac{1}{3}  \)

نکته ۱: اگر مبنای لگاریتم عدد ۱۰ باشد آن را نمی نویسیم. مانند فرجه ۲ یا توان را \( \Large log_{10} {5} = log_{} {5} \) که به آن لگاریتم اعشاری می گویند.

مثال 2: اگر  \( \LARGE log_{} {3} = a , log_{} {2} = b  \) باشد، مقدار عبارت زیر را بر حسب \( \Large a \) و \( \Large b \) بدست آورید.

\( \LARGE log_{} {\frac{24}{\sqrt18}} = ?   \)

حل 2:

\( \LARGE log_{} {\frac{24}{\sqrt18}}    \)

\( \LARGE  = log_{} {24} – log_{} {\sqrt18}    \)

\( \LARGE =  log_{}( {2^3} \times 3) – log_{} {18^{\frac{1}{2}}}    \)

\( \LARGE = log_{} {2^3} + log_{} {3}   \)

\( \LARGE  – \frac{1}{2}log_{}( {3^2} \times 2)  \)

\( \LARGE = 3log_{} {2} + log_{} {3}   \)

\( \LARGE  – \frac{1}{2}(2log_{} {3} + log_{} {2})  \)

\( \LARGE = 3b + a- a- \frac{1}{2}b   \)

\( \LARGE  =  \frac{5}{2}b  \)

 محاسبه لگاریتم مطلبی مهم است که باید از ویژگی های لگاریتم برای محاسبهٔ آن استفاده کنیم. مثال‌های بالا نیز از همین دسته بودند.

بیا بیشتر بخونیم:
رسم نمودار تابع جز صحیح ✏️⚙️ - پله پله رسمش کن!


آموزش حل لگاریتم: معادلات لگاریتمی

یکی از مهمترین کاربردهای لگاریتم حل معادلات لگاریتمی است که معمولاً از مدل‌سازی یک مسئله واقعی بدست می آید. برای کاربرد حل معادلات لگاریتم می‌توان به مثال‌های زیر اشاره کرد:

  • محاسبه شدت زلزله
  • مشخص کردن ضعیف‌ترین صدای قابل شنیدن یا آستانه شنوایی
  • پیش‌بینی جمعیت یک جامعه پس از زمان مشخص
  • محاسبه نیمه عمر عناصر رادیواکتیو
  • محاسبه طول عمر یافته‌های باستان‌شناسی

حل معادله لگاریتمی

به طور کلی اگر \( \Large a \) عدد حقیقی مثبت \( \Large a \neq 1 \) باشد، آنگاه با توجه به یک به یک بودن تابع لگاریتمی، از تساوی \( \Large log_{a} {x} = log_{a} {y} , (x , y) > 0 \) می‌توان نتیجه گرفت : \( \Large x = y \) و بر عکس.
اگر \( \Large x = y \) آنگاه \( \Large log_{a} {x} = log_{a} {y} , (x , y) > 0 \).

در مبحث آموزش حل معادله لگاریتم باید یکی از دو حالت زیر برقرار باشد:

  1. یک طرف لگاریتم و طرف دوم یک عدد باشد و بعد با تبدیل معادله به یک معادله نمایی آن را حل می‌کنیم
  2. دو طرف دو لگاریتم هم بنا باشند تا از خاصیتی که بالا گفتیم استفاده شود.

مثال 3: \( \Large x \) را در معادلات زیر پیدا کنید.

الف)

\( \Large log_{3} {x} = 2 \rightarrow x=?  \)

 

حل 3 الف:

\( \LARGE log_{3} {x} = 2   \)

\( \LARGE x = 3^2 = 9   \)

ب)

\( \Large log_{5} {(x+6)} = log_{5} {(2x-3)} \)

\( \Large  \rightarrow x = ? \)

حل 3 ب:

\( \LARGE log_{5} {(x+6)} = log_{5} {(2x-3)}   \)

\( \LARGE x + 6 = 2x – 3   \)

\( \LARGE \rightarrow x = 9 \)

ج)

\( \Large log_{5} {(x+1)}  + log_{5} {(x-1)}= 1  \)

\( \Large  \rightarrow x = ? \)

حل 3 ج:

\( \LARGE log_{5} {(x+1)}     \)

\( \LARGE + log_{5} {(x-1)}= 1   \)

\( \LARGE log_{5} {(x^2-1)}  = 1   \)

\( \LARGE x^2 – 1 = 5^1   \)

بیا بیشتر بخونیم:
رسم تابع رادیکالی 🥇📈 - ۲ روش طلایی!

\( \LARGE x^2 = 6   \)

\( \LARGE \rightarrow x =\pm \sqrt6 \)

 

کاربرد های آموزش حل لگاریتم در زندگی روزمره

لگاریتم در زندگی امروز کاربردهای زیادی دارد و در هر رشته و هر شغلی فوایدش بسیار است. بعنوان مثال از آموزش حل لگاریتم و یادگرفتن رسم آن غیر از ریاضی می‌توان به کاربرد آن در علوم مختلف اشاره کرد:

  • مهندسی شیمی و در بحث \( \Large PH \) برای تشخیص بازی و اسیدی مایعات اشاره کرد کاربرد فراوان و به ویژه‌ای دارد.
  • لگاریتم در بحث زلزله و تعیین دامنه آن نیز کاربرد دارد.
  • دانشمندان نیز برای بیان زلزله از مقیاس ریشتر استفاده می کنند که از بحث لگاریتم گرفته شده است.
  • در بحث اخترشناسی فاصلهٔ بین ستارگان و سیاره ها نیز به کار می‌رود.
  • در بحث موسیقی برای بیان سطح فشار صوت و سنجش فواصل موسیقی نیز از لگاریتم استفاده می گردد.
  • در باستان‌شناسی با استفاده از روش سال‌یابی کربن 14، می‌توان عمر یک اثر باستانی را محاسبه کرد. در این روش، تعیین قدمت اثر با یک تابع لگاریتمی مدل‌سازی می شود.

به طور کلی می‌توان گفت هرجایی که با عددهایی که توان آن بسیار کوچک و یا بسیار بزرگ است، از لگاریتم استفاده می‌کنیم.

توصیه می شود حتما قبل از خواندن این پست درسنامه تابع لگاریتمی-تابع معکوس موفقیت را مطالعه کنید.

کلام آخر در آموزش حل لگاریتم

در این آموزش از مجموعه آموزش‌های ریاضی یازدهم تجربی، باهم در مورد آموزش حل لگاریتم، ۱۲ قانون مهم آن و اثبات مهم‌ترین قانون‌هایش صحبت کردیم. همچنین مثال‌های مختلفی را باهم بررسی کردیم. در انتها نیز کاربردهای مختلف و متنوعی از حل لگاریتم در زندگی انسان امروز بیان شد.

در صورتیکه هرگونه سوالی از این بخش دارید، می‌توانید سوال خود را در بخش دیدگاه‌ها در پایین همین قسمت برای ما مطرح کنید. ما در ریاضیکا به سوالات شما عزیزان پاسخ خواهیم داد.



30 دیدگاه برای “آموزش حل لگاریتم : تمام آنچه که باید یاد بگیرید 💯 !

  1. کلثومه گفته:

    سلام
    خواستم بگم فرمولای خوبی گذاشتید ممنون اما ابتدا فرمول ساده شده رو اشتباه گذاشتید چون وقتی y=a^x باشه میشه Log a y = x نه اینکه y=Log a x لطفا تصحیح بفرمائید

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      در اصل این x , y معکوس شده x,y اصلی هستند یعنی x لوگاریتم y تابع نمایی است و y آن x تابع نمایی است در تابع معکوس آن ها را جابجا کرده و اسمشان را عوض می کنیم.
      موفق باشید

  2. Rezaei گفته:

    سلام خسته نباشید Log این عبارت چطوری حساب میکنید
    a+(48-a)exp(-b(x-8))

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      ممنون از نگاهتون. ببخشید برای ما خوانا نبود ممنون میشم واضح تر بنویسید.
      موفق باشید.

  3. عرفان رجایی گفته:

    سلام میختاستم تشکر کنم از سایت کاربردی و بروزتون🙂⚘

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام عرض ادب
      ممنون از انرژی که دادید.
      موفق باشید.

  4. رضا گفته:

    سلام
    برای پایه لگاریتم غیر از به شکل اعداد تواندار نویسی ، کار دیگه ای هم میشه انجام داد؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      برای ساده کردن لگاریتم ها بهترین راه همان توان دار نویسی می باشد.
      موفق باشید.

  5. زهرا بیات گفته:

    سلام خسته نباشید من لگاریتم رو برا آزمون استخدامی در حد ساده میخواستم میشه کمکم کنید ؟ زیاد وقت ندارم😢 در حد ریشه معادله و جواب معادله و از این چیزای ساده

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      متاسفانه نمیتونیم در امتحانات کمک کنیم.
      درسنامه ما با زبان ساده این مبحث توضیح داده، بخونید مشکلی بود ما پاسخگو هستیم.
      موفق باشید

  6. مریم جلالی گفته:

    سلام .. ممنون از توضیحاتی که در سایت قرار دادید،‌ یه سوال داشتم ،‌ لگاریتم n در پایه 4 چه جوابی داره؟ یا به چه فرمتی میتونیم بنویسیمش؟ممنون

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با عرض سلام و درود
      چون این یک عبارت است نه معادله پس جواب ندارد. منظورتون از فرمت چیست؟
      موفق باشید

  7. L گفته:

    سلام خسته نباشید ممنون میشم اگه این عبارت لگاریتم رو جواب بدید.Log (2+3+7

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام
      باید این اعداد رو جمع کنید بعد ۱۲ رو تجزیه کنید در نهایت میشه دوتا لگاریتم ۲بعلاوه لگاریتم ۳

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام وعرض ادب
      کافیه به تابع نمایی تبدیل کنید میشه 3x-1=100 حالا این معادله رو حل میکنیم جواب میشه ۳۳
      برای اطلاع از جشنواره ها ومطالب بیشترپیج ما رو در اینستا به آدرس زیر دنبال کنید
      https://www.instagram.com/riazica/

  8. مهدی گفته:

    این درسته که از هر عبارت که لگاریتم میگیریم اون عبارت فاقد واحد میشه؟ به عنوان مثال Ph چون لگاریتم میگیریم واحد نداره

  9. Sara گفته:

    سلام خسته نباشید
    ببخشید میشه توضیحاتی هم درباره لگاریتم گرفتن از طرفیت بدین🙏

  10. علی گفته:

    چرا تمام قوانین لگارتم وجود نداره وهمچنان اثبات انها نیز وجود نداره

    • fateme2866 گفته:

      با سلام واحترام
      فقوانین واثباتهایی که برای پایه یازدهم لازمه همگی نوشته شده
      کاش با لحنی زیباتر بیان میکردید چون ما زحمت زیادی برای سایت میکشیم

  11. محمدعلی گفته:

    یچبا سلام و احترام
    از این که با زبان ساده،کامل، گویا و روان دانش خودتون رو اینجا در اختیار ما گذاشتید بینهایت سپاسگزارم. کمک بزرگی برای من بود و خوشحال شدم با سایت مفیدتون آشنا شدم. قطعاً از بقیه قسمتهای سایت هم استفاده خواهم کرد. موفق باشید.

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام واحترام
      با شنیدن چنین نظرات خوشحالروخرسند میشیم وشاکر خداوندیم که رسالتمون رو در آموزش دانش آموزان سرزمینمون انجام داده ایم

  12. دانش آموز گفته:

    سلام وقتتون بخیر می خواستم بپرسم برای تبدیل log2x- به جمع منفی پشت عبارت به چه صورت تاثیر میکنه؟
    آیا به این شکل میشه log2+logx- یا منفی باید در هر دو تاثیر بذاره؟

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام
      چون پرانتز نداره روی لگاریتم بعدی تاثیر نداره

  13. کیان صادقی گفته:

    سلام و وقت بخیر
    ممنون از اطلاعات خوبتون

    میخواستم بدونم روش حل معادله هایی مثل
    X^logx= 1000 (ایکس به توان لگاریتم ایکس در مبنای ۱۰ مساوی ۱۰۰۰) چطور حل میشن؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام دوست عزیز
      طبق ۹ این دو تا معکوس یکدیگرند پس حاصلضربشان یک می شود.

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وادب
      ممنون از نگاه وانر‍‍‍‍ٰٰژی که به ما می دهید.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *