مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم 🎲👣 – قدم به قدم با مثال!

در مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم می‌خواهیم از دانسته‌هایمان در مورد مجموعه ها برای تعریف دقیق تر فضای نمونه، پیشامد و احتمال، استفاده کنیم. مبحث پیش رو بسیار ساده، کوتاه و جذاب است. مثال‌های متنوعی نیز با هم حل خواهیم کرد تا به مبحث مسلط شوید.

تعریف پیشامد با استفاده از مجموعه ها

به زبان ساده، پیشامد یعنی اتفاق. مثلاً زمانی که یک تاس را پرتاب می‌کنیم، پیشامد (اتفاق)های ممکن، رو شدن یکی از اعداد 1 تا 6 است. بنابراین به زبان مجموعه ها، فضای نمونه، مجموعۀ همۀ پیشامدهاست. هر پیشامد نیز، یک زیرمجموعه از فضای نمونه است. در قمست بعد، احتمال رخداد یک پیشامد را در مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم بررسی می‌کنیم.

تعریف احتمال با استفاده از مجموعه ها

در پایۀ هشتم، محاسبۀ احتمال رخ دادن یک پیشامد را آموخته‌اید. احتمال رخ دادن یک پیشامد برابر است با تعداد حالت‌های مطلوب تقسیم بر تعداد حالت‌های ممکن. اگر فضای نمونه را با \(\Large S\) و پیشامد مطلوب را با \(\Large A\) نشان دهیم، احتمال رخ دادن یک پیشامد را می‌توان به صورت زیر نشان داد:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\)

یعنی احتمال رخ دادن پیشامد \(\Large A\) برابر است با تعداد اعضای مجموعۀ \(\Large A\) تقسیم بر تعداد اعضای مجموعۀ \(\Large S\). به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال تاس

مثال 1: تاسی را می‌اندازیم. احتمال اینکه عدد زوج بیاید چه قدر است؟

حل: اگر مجموعۀ همۀ حالت‌ها را با \(\Large S\) و مجموعۀ حالت‌های مطلوب را با \(\Large A\) نشان دهیم، \(\Large S\) و \(\Large A\) برابرند با:

\(\LARGE S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

\(\LARGE A=\{2, 4, 6\}\)

مجموعۀ \(\Large S\) همان فضای نمونه و زیرمجموعۀ \(\Large A\) همان پیشامد مطلوب است. می‌توانیم \(\Large S\) و \(\Large A\) را با استفاده از نمودار وِن نیز به صورت زیر نمایش دهیم:

پس، تعداد اعضای مجموعۀ \(\Large A\) برابر با 3 و تعداد اعضای مجموعۀ \(\Large A\) برابر با 6 است. بنابراین، احتمال اینکه عدد زوج بیاید برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

حال، به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال خارج کردن مهره از جعبه در مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم

مثال 2: در جعبه‌ای 2 مهرۀ قرمز، 4 مهرۀ سفید و 3 مهرۀ سبز داریم. اگر یک مهره را به تصادف از جعبه خارج کنیم، احتمال اینکه این مهره، قرمز یا سبز باشد چه قدر است؟

حل: اگر تعداد حالات مطلوب را با \(\Large n(A)\) نشان دهیم، \(\Large n(A)\) برابر است با مجموع تعداد مهره‌های قرمز و سبز. بنابراین، \(\Large n(A)=5\) است. تعداد کل حالات نیز برابر با تعداد کل مهره‌هاست. پس، \(\Large n(S)=9\) است. بنابراین، احتمال اینکه مهرۀ خارج شده، قرمز یا سبز باشد برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{5}{9}\)

به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال پرتاب متوالی تاس در مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم

مثال 3: اگر تاسی را دو بار پرتاب کنیم، احتمال اینکه هر دوبار مضرب 3 بیاید چه قدر است؟

حل: می‌توانیم حالات مختلف را به صورت زوج مرتب نشان داده که مولفۀ اول آن، نتیجۀ پرتاب اول و مولفۀ دوم آن، نتیجۀ پرتاب دوم باشد. در این صورت اگر حالات مطلوب را با \(\Large A\) نشان دهیم، خواهیم داشت:

\(A=\{(3, 3),(3, 6),(6, 3),(6, 6)\}\)

بنابراین \(\Large n(A)=4\) است. از طرفی تعداد کل حالات برابر با 36 است. زیرا 6 حالت برای پرتاب اول و 6 حالت نیز برای پرتاب دوم داریم که از حاصل ضرب این دو، 36 حالت به وجود می‌آید. در نتیجه، \(\Large n(S)=36\) است. بنابراین احتمال اینکه در هر دو پرتاب مضرب 3 مشاهده کنیم، برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال بیرون کشیدن کارت

مثال 4: داخل جعبه‌ای، 20 کارت با شماره‌های 1 تا 20 قرار دادیم. اگر یک کارت به تصادف از جعبه برداریم، احتمال اینکه شمارۀ کارت، عدد اول باشد چه قدر است؟

حل: فضای نمونه برابر است با:

\(\Large S=\{1, 2, \dots, 20\}\)

پیشامد مطلوب که همان اعداد اول بین 1 تا 20 است، برابر است با:

\(\Large A=\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\)

بنابراین، احتمال رخدادن پیشامد \(\Large A\) برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\)

به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال فرزندان خانواده

مثال 5: خانواده‌ای دارای دو فرزند است. احتمال اینکه فرزند کوچکتر دختر باشد چه قدر است؟

حل: به روش‌های مختلف می‌توان این مساله را حل کرد. همین طور به سادگی می‌توان پیش بینی کرد که احتمال پیشامد مطلوب، \(\Large \frac{1}{2}\) است؛ اما برای تمرین، فضای نمونه و پیشامد را به دست می‌آوریم. دختر را با \(\Large G\) و پسر را با \(\Large B\) نشان می‌دهیم. اگر مولفۀ اول زوج مرتب، فرزند بزرگتر و مولفۀ دوم زوج مرتب، فرزندکوچکتر باشد، فضای نمونه برابر است با:

\(S=\{(F, F), (B, B), (F, B), (B, F)\}\)

پیشامد مطلوب ما که همان دختر بودن فرزند کوچکتر است، برابر است با:

\(\Large A=\{(F, F), (B, F)\}\)

می‌توانیم \(\Large S\) و \(\Large A\) را با استفاده از نمودار وِن نیز به صورت زیر نمایش دهیم:

بنابراین، احتمال رخدادن پیشامد \(\Large A\) برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

زنگ آخر کلاس مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم

در درسنامه‌ای که مربوط به ریاضی نهم بود خواندیم، به بررسی مبحث مجموعه‌ها و احتمال ریاضی نهم پرداختیم. همان‌طور که دیدد، احتمال رخ دادن یک پیشامد را می‌توان با استفاده از تقسیم تعداد اعضای دو مجموعه به دست آورد. مثال‌هایی که از این مبحث حل کردیم به شما در درک این مبحث کمک خواهد کرد.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث مجموعه‌ها و احتمال ریاضی نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.