مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم 🎲👣 – قدم به قدم با مثال!

مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم 🎲👣 - قدم به قدم با مثال!

در مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم می‌خواهیم از دانسته‌هایمان در مورد مجموعه ها برای تعریف دقیق تر فضای نمونه، پیشامد و احتمال، استفاده کنیم. مبحث پیش رو بسیار ساده، کوتاه و جذاب است. مثال‌های متنوعی نیز با هم حل خواهیم کرد تا به مبحث مسلط شوید.

تعریف پیشامد با استفاده از مجموعه ها

در درسنامه آموزش احتمال هشتم دیدیم  به زبان ساده، پیشامد یعنی اتفاق. مثلاً زمانی که یک تاس را پرتاب می‌کنیم، پیشامد (اتفاق)های ممکن، رو شدن یکی از اعداد 1 تا 6 است. بنابراین به زبان مجموعه ها، فضای نمونه، مجموعۀ همۀ پیشامدهاست. هر پیشامد نیز، یک زیرمجموعه از فضای نمونه است. در قمست بعد، احتمال رخداد یک پیشامد را در مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم بررسی می‌کنیم.



تعریف احتمال با استفاده از مجموعه ها

در پایۀ هشتم، محاسبۀ احتمال رخ دادن یک پیشامد را آموخته‌اید. احتمال رخ دادن یک پیشامد برابر است با تعداد حالت‌های مطلوب تقسیم بر تعداد حالت‌های ممکن. اگر فضای نمونه را با \(\Large S\) و پیشامد مطلوب را با \(\Large A\) نشان دهیم، احتمال رخ دادن یک پیشامد را می‌توان به صورت زیر نشان داد:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}\)

یعنی احتمال رخ دادن پیشامد \(\Large A\) برابر است با تعداد اعضای مجموعۀ \(\Large A\) تقسیم بر تعداد اعضای مجموعۀ \(\Large S\). به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال تاس

مثال 1: تاسی را می‌اندازیم. احتمال اینکه عدد زوج بیاید چه قدر است؟

بیا بیشتر بخونیم:
ریشه گیری ریاضی نهم 🔋💥 - ریشه سوم اعداد پیدا کن!

حل: اگر مجموعۀ همۀ حالت‌ها را با \(\Large S\) و مجموعۀ حالت‌های مطلوب را با \(\Large A\) نشان دهیم، \(\Large S\) و \(\Large A\) برابرند با:

\(\LARGE S=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)

\(\LARGE A=\{2, 4, 6\}\)

مجموعۀ \(\Large S\) همان فضای نمونه و زیرمجموعۀ \(\Large A\) همان پیشامد مطلوب است. می‌توانیم \(\Large S\) و \(\Large A\) را با استفاده از نمودار وِن نیز به صورت زیر نمایش دهیم:

مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم - نمودار ون پیشامد و فضای نمونه

پس، تعداد اعضای مجموعۀ \(\Large A\) برابر با 3 و تعداد اعضای مجموعۀ \(\Large A\) برابر با 6 است. بنابراین، احتمال اینکه عدد زوج بیاید برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\)

حال، به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال خارج کردن مهره از جعبه در مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم

مثال 2: در جعبه‌ای 2 مهرۀ قرمز، 4 مهرۀ سفید و 3 مهرۀ سبز داریم. اگر یک مهره را به تصادف از جعبه خارج کنیم، احتمال اینکه این مهره، قرمز یا سبز باشد چه قدر است؟

حل: اگر تعداد حالات مطلوب را با \(\Large n(A)\) نشان دهیم، \(\Large n(A)\) برابر است با مجموع تعداد مهره‌های قرمز و سبز. بنابراین، \(\Large n(A)=5\) است. تعداد کل حالات نیز برابر با تعداد کل مهره‌هاست. پس، \(\Large n(S)=9\) است. بنابراین، احتمال اینکه مهرۀ خارج شده، قرمز یا سبز باشد برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{5}{9}\)

به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال پرتاب متوالی تاس در مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم

مثال 3: اگر تاسی را دو بار پرتاب کنیم، احتمال اینکه هر دوبار مضرب 3 بیاید چه قدر است؟

بیا بیشتر بخونیم:
همنهشتی مثلث ها نهم 📐📍 - ۳ حالتشو یادبگیر!

حل: می‌توانیم حالات مختلف را به صورت زوج مرتب نشان داده که مولفۀ اول آن، نتیجۀ پرتاب اول و مولفۀ دوم آن، نتیجۀ پرتاب دوم باشد. در این صورت اگر حالات مطلوب را با \(\Large A\) نشان دهیم، خواهیم داشت:

\(A=\{(3, 3),(3, 6),(6, 3),(6, 6)\}\)

بنابراین \(\Large n(A)=4\) است. از طرفی تعداد کل حالات برابر با 36 است. زیرا 6 حالت برای پرتاب اول و 6 حالت نیز برای پرتاب دوم داریم که از حاصل ضرب این دو، 36 حالت به وجود می‌آید. در نتیجه، \(\Large n(S)=36\) است. بنابراین احتمال اینکه در هر دو پرتاب مضرب 3 مشاهده کنیم، برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}\)

به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال بیرون کشیدن کارت

مثال 4: داخل جعبه‌ای، 20 کارت با شماره‌های 1 تا 20 قرار دادیم. اگر یک کارت به تصادف از جعبه برداریم، احتمال اینکه شمارۀ کارت، عدد اول باشد چه قدر است؟

حل: فضای نمونه برابر است با:

\(\Large S=\{1, 2, \dots, 20\}\)

پیشامد مطلوب که همان اعداد اول بین 1 تا 20 است، برابر است با:

\(\Large A=\{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}\)

بنابراین، احتمال رخدادن پیشامد \(\Large A\) برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}\)

به مثال بعدی از مبحث مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم دقت کنید.

مثال فرزندان خانواده

مثال 5: خانواده‌ای دارای دو فرزند است. احتمال اینکه فرزند کوچکتر دختر باشد چه قدر است؟

حل: به روش‌های مختلف می‌توان این مساله را حل کرد. همین طور به سادگی می‌توان پیش بینی کرد که احتمال پیشامد مطلوب، \(\Large \frac{1}{2}\) است؛ اما برای تمرین، فضای نمونه و پیشامد را به دست می‌آوریم. دختر را با \(\Large G\) و پسر را با \(\Large B\) نشان می‌دهیم. اگر مولفۀ اول زوج مرتب، فرزند بزرگتر و مولفۀ دوم زوج مرتب، فرزندکوچکتر باشد، فضای نمونه برابر است با:

بیا بیشتر بخونیم:
حجم و مساحت کره ریاضی نهم 🔥💥 - سریع محاسبه کن!

\(S=\{(F, F), (B, B), (F, B), (B, F)\}\)

پیشامد مطلوب ما که همان دختر بودن فرزند کوچکتر است، برابر است با:

\(\Large A=\{(F, F), (B, F)\}\)

می‌توانیم \(\Large S\) و \(\Large A\) را با استفاده از نمودار وِن نیز به صورت زیر نمایش دهیم:

نمودار ون پیشامد و فضای نمونه

بنابراین، احتمال رخدادن پیشامد \(\Large A\) برابر است با:

\(\LARGE P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

زنگ آخر کلاس مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم

در درسنامه‌ای که مربوط به ریاضی نهم بود خواندیم، به بررسی مبحث مجموعه‌ها و احتمال ریاضی نهم پرداختیم. همان‌طور که دیدد، احتمال رخ دادن یک پیشامد را می‌توان با استفاده از تقسیم تعداد اعضای دو مجموعه به دست آورد. مثال‌هایی که از این مبحث حل کردیم به شما در درک این مبحث کمک خواهد کرد.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث مجموعه‌ها و احتمال ریاضی نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.



31 دیدگاه برای “مجموعه ها و احتمال ریاضی نهم 🎲👣 – قدم به قدم با مثال!

  1. علیرضا گفته:

    سلام
    این سوال را چطور باید پاسخ داد؟
    -به طور اتفاقی دو حروف از حروف البای فارسی انتخاب میکنیم ، با چه احتمالی از حروف شما خواهد بود؟

      • هدیه گفته:

        حروف شما سه تا هست و باید دوتا ازش انتخاب کنیم پس میشه ترکیب ۲از ۳ برای صورت و مخرج هم میشه ۳۲
        پس جواب میشه ۳/۳۲

        • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

          سلام وعرض ادب درسته دوست عزیز چون کلمه شما رو داخل پرانتزننوشته بودند وسوالشون زیر پست نهمبود باعث برداشت اشتباه شد ممنون از دقت نظر شما

      • مهری گفته:

        اگه انتخاب یک حرف باشه میشه ۳/۳۲
        وقتی دو حرف انتخاب کنیم پس احتمالمون هم دوبرابر میشه.
        فکر میکنم جوابمون ۶/۳۲ باشه.

        • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

          با سلام واحترام
          از بین سه حرف میخواهیم فقط دو حرف را انتخاب کنیم نه اینکه کلمه بنویسیم پس انتخاب دو از سه میشود که جواب ۳ میشود

          • مهری گفته:

            سلام.کاملا درست میفرمایید.تشکر از پاسخگویی و توضیحاتتون.خدا بهتون‌ خیر بده.

        • F.Hashemi گفته:

          سلام در پرتاب یک تاس و یک سکه :
          چقد احتمال دارد سکه رو یا تاس عدد زوج بیاید
          چقد احتمال دارد سکه رو و تای عدد زوج بیاید

          • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

            با سلام وعرض ادب
            اولی چون یا اومده اجتماع دو مجموعه هست پس میشه نه یازدهم ودومی چون و اومده میشه اشتراک پس میشه سه دوازدهم

      • داود فراهانی گفته:

        سلام خسته نباشید ببخشید جواب این سوال چی میشه؟:
        احتمال آن که علی در فصل تابستان به دنیا آمده چقدر است؟

  2. رضا اسدی گفته:

    باسلام و درود ، میشود این سوال را توضیح بدهید.
    من این سوال را بلد نیستم.
    ★ – هـــر یـــک از ارقــــام ۱ و ۲ و ۳ و ۴ و ۵ را روی پـــــنج کـــارت یکسان نوشته ایـــم ، به تصــــادف یـــک کـــارت را بیــــرون کشـــیده، ســــپس کـــارت دیگـــری از بقیـــه بیــــرون مـــی کشـــیم. بــا کـــدام احتمال شماره‌های این دو کارت اعداد متوالی هستند؟
    اگر در اینجا نتوانستید توضیح بدهید ، در واتساپ به این شماره 09212318760 توضیح دهید.
    ممنون می شوم اگر ، جواب سوال مرا ، جواب دهید ، فقط با توضیح.

  3. آرزو گفته:

    سلام خانمون از ما خواست تا بریم احتمال تاس رو بنویسم ولی من هری میگردم نمیتونم جوابه خوبی برای سوال پیدا کنم 😔😔

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وادب
      خدا رو شکر که پستهای ما رو دوست داشتید

  4. M. A گفته:

    بسیار عالی، پیشنهاد میکنم استفاده کنید از مطالب بسیار خوبش☺️☺️☺️💕

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وادب
      ممنون دوست عزیز معرف سایت ما به دوستانتون باشید

  5. ☆☆ گفته:

    سلام خیلی ممنون از سایت خوبتون واقعا عالی هست و جای هیچ سوالی رو نمیزاره حتما به دوستام معرفی میکنم ❤💫

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام وادب
      ممنون از نظرلطف شما وخوشحالیم که مفید بوده

  6. ☆☆ گفته:

    سلام خیلی ممنون از سایت خوبتون واقعا حرف نداشت و جای هیچ سوالی باقی نمیمونه

    بازم ممنونمممم ❤

  7. Hizha گفته:

    سلام و عرض ادب
    ببخشید وقتی میگه از ۱تا۹کارت احتمال اینکه پیشامد عدد اول باشد چقدر می تواند باشد؟

  8. ناشناس گفته:

    سلام و عرض ادب
    در سوالی گفته شده اگر سه سکه را باهم پرتاب کنیم احتمال اینکه حداکثر یکی از سکه ها رو بیاید چقدر است ؟

  9. مهرانا کبیری گفته:

    سلام برای این سوال : خانواده ای دو فرزند دارند احتمال اینکه هردو فرزند این خانواده دختر باشند چقدر است؟ چطور باید حساب کنیم؟

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام دوست عزیز
      یک چهارم میشه چون چهار حالت داریم

  10. زینب گفته:

    سلام خسته نباشید من یک سوال دارم در پرتاب همزمان تاس آبی و قرمز احتمال آنکه اعداد ۳ یا ۴ یا هردو ظاهر شوند را حساب کنید

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام و ادب
      اگه تمام حالتها رو بنویسید برای دوتاس ۳۶ حالت هست که دوازده تای آنها ۳یا ۴ یا هردو اومده پس جواب بعد ساده شدن میشه یک سوم

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *