اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها ➖➕ – همراه با مثال و تصاویر!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه نهم 6 مهر 1399 حسین بهزادی‌پور 64 بازدید
اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها ➖➕ - همراه با مثال و تصاویر!

قصد داریم به مبحث شیرین اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها از ریاضی نهم بپردازیم. سعی کردیم طوری درسنامه را تنظیم کنیم تا با مطالعۀ آن، مبحث را به سادگی درک کنید. در پایان این درسنامه به راحتی می‌توانید به سوالات زیر پاسخ دهید:

  •  اشتراک و اجتماع مجموعه ها به چه معنی است؟
  • تعریف تفاضل دو مجموعه چیست؟
  • تعداد عضوهای مجموعه را چگونه نمایش می‌دهند؟

اشتراک دو مجموعه

دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) را در نظر بگیرید. به مجموعۀ اعضایی که هم عضوِ \( \Large A \) هستند و هم عضوِ \( \Large B \)، اشتراک دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) می‌گویند. به زبان ساده تر، مجموعۀ عضوهای مشترک بین \( \Large A \) و \( \Large B \)، اشتراک \( \Large A \) و \( \Large B \) نام دارد. اشتراک \( \Large A \) و \( \Large B \) را با نماد \( \Large A\cap B \) نمایش می‌دهند. همچنین می‌توانیم اشتراک دو مجموعه را با نمادهای ریاضی، به صورت زیر نمایش دهیم:

\( \Large A\cap B=\{x| x\in A\) و \( \Large x\in B\}\)

به سادگی می‌توان دید که اشتراک هر دو مجموعه، زیرمجموعۀ هر کدام از آن‌هاست؛ زیرا هر عضوی که در اشتراک دو مجموعه وجود داشته باشد، در هر یک ازآن‌ها نیز موجود است. بنابراین داریم:

\( \Large A\cap B\subseteq A\)

\( \Large A\cap B\subseteq B\)

خاصیت جابجایی اشتراک

با توجه به تعریف اشتراک دو مجموعه، اشتراک دو مجموعه دارای خاصیت جابجایی است. یعنی حاصل \( \Large A\cap B \) و \( \Large B\cap A \) برای هر دو مجموعۀ دلخواه برابر است.

به مثال‌های زیر از مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها از ریاضی نهم دقت کنید.

مثال از اشتراک دو مجموعه

مثال 1: اگر \( \Large A=\{1, 3, 8\} \) و \( \Large B=\{2, 3, 10, 8\} \) باشد، \( \Large A \cap B \) را به دست آورده و نمودار وِن آن را رسم کنید.

حل: دو عدد 3 و 8، هم در مجموعۀ \( \Large A \) وجود دارند و هم در مجموعۀ \( \Large B \). بنابراین \( \Large A\cap B \) برابر است با:

بیا بیشتر بخونیم:
معرفی مجموعه ریاضی نهم 🔢📝 - گام به گام با مثال!

\( \LARGE A\cap B=\{3, 8\} \)

در شکل زیر، نمودار وِن \( \Large A \) و \( \Large B \) را رسم کرده‌ایم. همان‌طور که می‌بینید، \( \Large A\cap B \) در شکل هاشور خورده‌ است.

مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها - اشتراک دو مجموعه

مثال 2: اگر مجموعۀ مضارب طبیعی عدد 2 را با \( \Large M \) و مجموعۀ مضارب طبیعی عدد 3 را با \( \Large N \) نمایش دهیم،  \( \Large M\cap N \) را مشخص کنید.

حل: \( \Large M\cap N \) برابر است با مجموعۀ اعدادی که هم مضرب 2 هستند و هم مضرب 3. بنابراین \( \Large M\cap N\) برابر است با مجموعۀ مضارب طبیعی عدد 6. می‌توانیم \( \Large M\cap N\) را با استفاده از نماد‌های ریاضی به صورت زیر نمایش دهیم:

\( \Large M\cap N=\{6k|k \in \mathbb{N}\}\)

حالت خاص اشتراک دو مجموعه

اگر برای دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) داشته باشیم \( \Large A\subseteq B\)، آنگاه اشتراک دو مجموعه چه خواهد شد؟ برای به دست آوردن اشتراک دو مجموعه به دنبال عضوهایی هستیم که هم در \( \Large A \) و هم در \( \Large B\) وجود داشته باشند. تمام اعضای \( \Large A \)، عضو \( \Large B\) نیز هستند. بنابراین داریم:

\( \LARGE A\cap B=A \)

در نمودار ون زیر نیز می‌توانید اشتراک دو مجموعه در این حالت خاص را مشاهده کنید.

حالت خاص اشتراک دو مجموعه

اجتماع دو مجموعه

دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) را در نظر بگیرید. اجتماع \( \Large A \) و \( \Large B \) برابر است با مجموعۀ تمام اعضایی که حداقل عضو یکی از دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) باشند. به زبان ساده تر، اگر اعضای \( \Large A \) و اعضای \( \Large B \) را در یک مجموعه کنار هم قرار دهیم (بدون تکرار عضو)، اجتماع \( \Large A \) و \( \Large B \) تشکیل می‌شود. اجتماع دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) را با \( \Large A\cup B \) نمایش می‌دهیم. همچنین می‌توانیم \( \Large A\cup B \) را با استفاده از نماد‌های ریاضی، به صورت زیر نمایش دهیم:

\( \Large A\cup B=\{x| x\in A\) یا \( \Large x\in B\}\)

بیا بیشتر بخونیم:
اعداد گویا ریاضی نهم 💡💎 - از بزرگ به کوچک بچین!

به سادگی می‌توان دید که هر مجموعه، زیرمجموعۀ اجتماع آن مجموعه با مجموعۀ دیگر است؛ زیرا هر عضو یک مجموعه، در اجتماع آن مجموعه با مجموعۀ دیگر نیز وجود دارد. بنابراین داریم:

\( \Large A\subseteq A\cup B\)

\( \Large B\subseteq A\cup B\)

جابجایی بودن اجتماع در مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها

با توجه به تعریف اجتماع دو مجموعه، اجتماع دو مجموعه نیز مانند اشتراک دارای خاصیت جابجایی است. یعنی حاصل \( \Large A\cup B \) و \( \Large B\cup A \) برای هر دو مجموعۀ دلخواه برابر است.

به مثال‌های زیر از مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها از ریاضی نهم دقت کنید.

مثال‌هایی از اجتماع دو مجموعه

مثال 3: اگر \( \Large A=\{1, 3, 8\} \) و \( \Large B=\{2, 3, 10, 8\} \) باشد، \( \Large A \cup B \) را به دست آورده و نمودار وِن آن را رسم کنید.

حل: عدد 1 در مجموعۀ \( \Large A \)، اعداد 2 و 10 در مجموعۀ \( \Large B \) و اعداد 3 و 8 هم در مجموعۀ \( \Large A \) و هم در مجموعۀ \( \Large B \) هستند. \( \Large A\cup B \) از کنار هم قرار دادن این اعداد به دست می‌آید. بنابراین، \( \Large A\cup B \) برابر است با:

\( \Large A\cup B=\{1, 2, 10, 3, 8\} \)

در شکل زیر، نمودار وِن \( \Large A \) و \( \Large B \) را رسم کرده‌ایم. همان‌طور که می‌بینید، \( \Large A\cup B \) در شکل هاشور خورده‌ است.

اجتماع دو مجموعه

مثال 4: اگر مجموعۀ شمارنده‌های طبیعی عدد 14 را با \( \Large A \) و مجموعۀ شمارند‌های طبیعی عدد 22 را با \( \Large B \) نمایش دهیم، \( \Large A\cup B \) را به دست آورید.

حل: مجموعۀ شمارنده‌های طبیعی عدد 14 برابر است با:

\( \LARGE A=\{1, 2, 7, 14\} \)

مجموعۀ شمارنده‌های طبیعی عدد 22 برابر است با:

\( \LARGE B=\{1, 2, 11, 22\} \)

طبق تعریف، \( \Large A\cup B \) برابر است با مجموعۀ تمام اعضایی که حداقل عضو یکی از دو مجموعه باشند. بنابراین، \( \Large A\cup B \) برابر است با:

\( \Large A\cup B=\{1, 2, 7, 14, 11, 22\} \)

بیا بیشتر بخونیم:
قدر مطلق ریاضی نهم ⏸💎 - فاصلتو از مبدا بدون!

حالت خاص اجتماع دو مجموعه

اگر برای دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) داشته باشیم \( \Large A\subseteq B \)، آنگاه اجتماع دو مجموعه چه خواهد شد؟ گفتیم به زبان ساده، اجتماع دو مجموعه، از کنار هم قرار دادن اعضای دو مجموعه (بدون تکرار عضوها) به دست می‌آید. در این مثال خاص، تمام اعضای \( \Large A \) در \( \Large B \) نیز وجود دارند. پس، اگر اعضای \( \Large A \) و \( \Large B \) را کنار هم قرار دهیم و عضوهای تکراری را که همان عضوهای \( \Large A \) است حذف کنیم، تنها مجموعۀ \( \Large B \) باقی می‌ماند. بنابراین داریم:

\( \LARGE A\cup B=B \)

در نمودار ون زیر نیز می‌توانید اجتماع دو مجموعه را در این حالت مشاهده کنید.

حالت خاص اجتماع دو مجموعه

تفاضل دو مجموعه

مجموعۀ \( \Large A \) منهای \( \Large B \) برابر است با مجموعۀ تمام اعضایی که عضو \( \Large A \) هستند ولی عضو \( \Large B \) نیستند. به زبان ساده تر، اگر عضوهایی که بین \( \Large A \) و \( \Large B \) مشترک هستند را از مجموعۀ \( \Large A \) حذف کنیم، مجموعۀ \( \Large A \) منهای \( \Large B \) به دست می‌آید. مجموعۀ \( \Large A \) منهای \( \Large B \) را با \( \Large A-B \) نمایش می‌دهیم. همچنین می‌توانیم \( \Large A-B \) را با استفاده از نمادهای ریاضی به صورت زیر نمایش دهیم:

\( \Large A- B=\{x| x\in A\) و \( \Large x\not\in B\}\)

غیر جابجایی بودن تفاضل در مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها

تفاضل دو مجموعه بر خلاف اشتراک و اجتماع، دارای خاصیت جابجایی نیست. یعنی لزوماً حاصل \( \Large A-B \) با \( \Large B-A \) برابر نیست. از تعریف تفاضل می‌توان به این نکته پی ببرد. برای درک بهتر این موضوع، به مثال‌های بعد از مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها از ریاضی نهم دقت کنید.

مثال‌هایی از تفاضل دو مجموعه

مثال 5: اگر \( \Large A=\{1, 3, 8\} \) و \( \Large B=\{2, 3, 10, 8\} \) باشد، \( \Large A – B \) و \( \Large B – A \) را به دست آورده و نمودار وِن آن را رسم کنید.

حل: اعداد 3 و 8، هم عضو مجموعۀ \( \Large A \) هستند، هم عضو مجموعۀ \( \Large B \). پس، اگر 3 و 8 را از مجموعۀ \( \Large A \) حذف کنیم، \( \Large A-B \) به دست می‌آید. بنابراین، \( \Large A-B \) برابر است با مجموعۀ \( \LARGE\{1\}\).

بیا بیشتر بخونیم:
اعداد حقیقی ریاضی نهم 🔢✅ - همه عددهای که می‌شناسید!

نمودار وِن \( \Large A \) و \( \Large B \) نیز در شکل زیر رسم شده است. همان‌طور که می‌بینید، \( \Large A – B \) در شکل هاشور خورده‌ است.

مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها - تفاضل دو مجموعه

از طرفی اگر اعداد 3 و 8 را از مجموعۀ \( \Large B \) حذف کنیم، مجموعۀ \( \Large B-A \) به دست می‌آید. یعنی مجموعۀ \( \Large B-A \) برابر است با \( \Large \{2, 10\} \). نمودار ون مجموعۀ \( \Large B-A \) نیز به شکل زیر است:

نمودار ون تفاضل دو مجموعه

همان طور که در این مثال دیدید، حاصل \( \Large B-A \) با \( \Large B-A \) برابر نشد.

مثال 6: مجموعۀ \( \Large \mathbb{N}-W \) و \( \Large W-\mathbb{N} \) را به دست آورید.

حل: مجموعۀ اعداد طبیعی و حسابی به ترتیب برابرند با:

\( \LARGE\mathbb{N}=\{1, 2, 3, \dots\} \)

\( \LARGE W=\{0, 1, 2, 3, \dots\} \)

تمام اعدادی که عضو \( \Large \mathbb{N} \) هستند، عضو \( \Large W\) هم هستند. یعنی اگر اعضای مشترک \( \Large \mathbb{N} \) و \( \Large W\) را از \( \Large \mathbb{N} \) حذف کنیم، عضوی از \( \Large \mathbb{N} \) باقی نمی‌ماند. بنابراین داریم:

\( \LARGE \mathbb{N}-W=\emptyset \)

اما عدد 0 بین \( \Large \mathbb{N}\) و \( \Large W \) مشترک نیست. بنابراین اگر اعضای مشترک \( \Large \mathbb{N}\) و \( \Large W\) را از \( \Large W\) حذف کنیم، عدد 0 باقی ماند. بنابراین داریم:

\( \LARGE W-\mathbb{N}=\{0\} \)

حالت‌های خاص تفاضل دو مجموعه در مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها

اگر اشتراک دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B\) تهی باشد، اصطلاحاً می‌گوییم \( \Large A \) و \( \Large B \) جدا از هم هستند. در این حالت، چون \( \Large A \) و \( \Large B \) هیچ عضو مشترکی ندارند، داریم:

بیا بیشتر بخونیم:
مجموعه های برابر ریاضی نهم ⏸✏️ - توضیح کامل با مثال!

\( \LARGE A-B=A \)

\( \LARGE B-A=B\)

یک حالت خاص دیگر برای تفاضل دو مجموعه وجود دارد. اگر \( \Large A\subseteq B \) باشد، تمام اعضای \( \Large A \) در \( \Large B \) نیز هستند. بنابراین اگر اعضای مشترک \( \Large A \) و \( \Large B\) را از \( \Large A \) حذف کنیم، عضوی باقی نخواهد ماند. بنابراین داریم:

\( \LARGE A-B=\emptyset\)

در مثال 6 نیز می‌توانید این موضوع را مشاهده کنید.

تعداد عضوهای یک مجموعه در مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها

تعداد عضو‌های یک مجموعۀ دلخواه مانند \( \Large A \) را با \( \Large n(A)\) نشان می‌دهیم (لازم به ذکر است که این تعریف برای مجموعه‌های متناهی است. دوستانی که علاقه‌مند هستند، می‌توانند در مورد مفهوم کاردینال که مشابه با تعداد اعضای یک مجموعه است و برای مجموعه‌های نامتناهی نیز قابل تعمیم است، مطالعه کنند).

به مثال‌های زیر از مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها از ریاضی نهم دقت کنید.

مثال از تعداد عضوهای یک مجموعه

مثال 7: اگر \( \Large A=\{2, 5, 9, f\}\) و \( \Large B=\{5, 1, e, f\}\) باشد، \( \Large n(A\cap B) \) و \( \Large n(A\cup B) \) را به دست آورید.

حل: اشتراک و اجتماع دو مجموعۀ \( \Large A\) و \( \Large B\) به ترتیب برابر است با:

\( \LARGE A\cap B=\{5, f\}\)

\( \LARGE A\cup B=\{1, 2, 5, 9, e, f\}\)

تعداد اعضای مجموعۀ \( \Large A\cap B\) برابر با 2 و تعداد اعضای مجموعۀ \( \Large A\cup B\) برابر با 6 است. بنابراین داریم:

\( \LARGE n(A\cap B)=2\)

\( \LARGE n(A\cup B)=6\)

زنگ آخر کلاس اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها

در دسنامه‌ای که خواندیم، اشتراک، اجتماع و تفاضل دو مجموعه را به همراه رسم نمودار وِن و حل مثال بررسی کردیم. همچنین، نحوۀ نمایش تعداد اعضای یک مجموعه را نشان داده و مثالی از آن حل کردیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث اجتماع و اشتراک و تفاضل مجموعه ها دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    حسین بهزادی‌پور
    حسین بهزادی‌پور

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0