مجموعه های برابر ریاضی نهم ⏸✏️ – توضیح کامل با مثال!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه نهم 30 شهریور 1399 حسین بهزادی‌پور 108 بازدید
مجموعه های برابر ریاضی نهم ⏸✏️ - توضیح کامل با مثال!

در این درسنامه قصد داریم تا به مبحث مجموعه های برابر ریاضی نهم بپردازیم. در انتهای این درسنامه، به راحتی آب خوردن می‌توانید به سوالات زیر پاسخ دهید:

  • چه زمانی مجموعه های برابر داریم؟
  • زیرمجموعه چیست؟
  • نمایش مجموعه های اعداد چگونه است؟

دو مجموعۀ برابر در مبحث مجموعه های برابر ریاضی نهم

اگر دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) داشته باشیم به طوری که هر عضو \( \Large A \)، عضوی از \( \Large B \) و هر عضو \( \Large B \)، عضوی از \( \Large A \) باشد، می‌گوییم دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B\) با هم برابرند و می‌نویسیم \( \Large A=B \). به زبان ساده تر، هر گاه اعضای دو مجموعه یکسان باشند، دو مجموعه با هم برابرند. دقت کنید، ترتیب اعضا در یک مجموعه برایمان مهم نیست. به طور مثال مجموعۀ \( \Large A=\{1, 2, 3\} \) با مجموعۀ \( \Large B=\{3, 2, 1\} \) برابر است.

اگر عضوی از \( \Large A \) باشد که در \( \Large B \) نباشد یا عضوی از \( \Large B \) باشد که در \( \Large A \) نباشد، دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) برابر نیستند. در این صورت می‌نویسیم \( \Large A\neq B \). به مثال زیر از مجموعه های برابر ریاضی نهم دقت کنید.

مثال از مجموعه های برابر ریاضی نهم

مثال 1: اگر \( \Large A=\{1, 3, m, 8\} \) و \( \Large B=\{8, 1, n, 4\} \) باشد، مقدار \( \Large m \) و \( \Large n \) را طوری تعیین کنید که داشته باشیم \( \Large A=B \).

حل: از آنجاییکه \( \Large A=B \)، هرعضو \( \Large A \) باید عضوی از \( \Large B \) باشد. پس، عدد 3 باید عضوی از \( \Large B \) باشد. در نتیجه \( \Large n=3 \). از طرفی هر عضو \( \Large B \) نیز باید عضوی از \( \Large A \) باشد. بنابرین، عدد 4 عضو \( \Large A \) است. پس \( \Large m=4 \). در نتیجه داریم:

بیا بیشتر بخونیم:
قدر مطلق ریاضی نهم ⏸💎 - فاصلتو از مبدا بدون!

\( \LARGE A=B=\{1, 4, 3, 8\} \)

زیر‌مجموعه

مبحث دیگر مجموعه های برابر ریاضی نهم ، مبحث زیرمجموعه است. اگر دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) داشته باشیم به طوری که هر عضو \( \Large A \)، عضوی از \( \Large B \) باشد، می‌گوییم \( \Large A \)  زیرمجموعۀ \( \Large B \)  است و می‌نویسیم \( \Large A \subseteq B \). مثلاً \( \Large A=\{1, 2\} \) زیرمجموعۀ \( \Large B=\{1, 2, 3\} \) است. طبیعی است اگر عضوی در \( \Large A \) باشد که در \( \Large B \) نباشد، می‌گوییم \( \Large A \) زیرمجموعۀ \( \Large B \) نیست و می‌نویسیم \( \Large A \not\subseteq B \). با توجه به تعریفی که کردیم، دو گزارۀ زیر را می‌توان به راحتی نتیجه گرفت:

  • الف) هر مجموعه‌ای زیرمجموعۀ خودش است. یعنی \( \Large A \subseteq A \).
  • ب) هر دو مجموعۀ برابر، زیرمجموعۀ یکدیگر هستند.

اثبات گزارۀ “الف” که بدیهی است. چون هر عضوی از یک مجموعه، عضو آن مجموعه است. برای اثبات گزارۀ “ب” نیز، اگر دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) با یکدیگر برابر باشند، هر عضوی از \( \Large A \) در \( \Large B \) هست. پس \( \Large A \subseteq B \). هر عضوی از \( \Large B \) نیز در \( \Large A \) هست. پس \( \Large B\subseteq A \).

زیرمجموعۀ تهی

دو مجموعۀ \( \Large A \) و \( \Large B \) را در نظر بگیرید. اگر برای هر \( \Large x\in A \) داشته باشیم \( \Large x \in B \)، می‌گوییم \( \Large A \subseteq B \). حالا یک سوال مهم! اگر مجموعۀ ی \( \Large A \) هیچ عضوی نداشته باشد، گزارۀ قبل در مورد آن صادق است؟ پاسخ مثبت است. چون مجموعۀ \( \Large A \) هیچ عضوی ندارد در گزاره صدق می‌کند. بنابراین تهی زیرمجموعۀ هر مجموعۀ دلخواهی است.

برای علاقه‌مندان (خارج از کتاب): روش دیگر اثبات این قضیه، استفاده از برهان خلف است. فرض کنیم مجموعه‌ای مثل \( \Large A \) وجود دارد که تهی زیرمجموعۀ آن نیست. در این صورت عضوی از تهی وجود دارد که در \( \Large A \) نیست. اما تهی هیچ عضوی ندارد. به تناقض رسیدیم. در نتیجه تهی زیرمجموعۀ هر مجموعۀ دلخواهی است.

به مثال زیر از درس مجموعه های برابر ریاضی نهم دقت کنید.

مثال از زیرمجموعه‌ها

مثال 2: ثابت کنید \( \Large A=\{1, 3, e\} \) زیرمجموعۀ \( \Large B=\{e, 3, 4, 5\} \) نیست. نمودار ون آن‌ها را در یک شکل رسم کنید.

حل: در مجموعۀ \( \Large A \)، عدد 1 وجود دارد که در مجموعۀ \( \Large B \) نیست. بنابراین \( \Large A \not\subseteq B \). نمودار ون این دو مجموعه در شکل زیر رسم شده است.

مجموعه های برابر ریاضی نهم - نمودار ون دو مجموعه

مثال 3: مجموعۀ \( \Large E=\{1, 2\} \) چند زیرمجموعه دارد؟

حل: زیرمجموعه‌های \( \Large E\) به صورت زیر هستند:

\( \LARGE E_1=\{1\} \)

\( \LARGE E_2=\{2\} \)

\( \LARGE E_3=\{1, 2\} \)

\( \LARGE E_4=\emptyset \)

نمودار ون مجموعۀ \( \Large E\) به همراه زیرمجموعه‌های \( \Large E_1\) تا \( \Large E_3\) در شکل زیر رسم شده است.

نمودار ون یک مجموعه و چند زیرمجموعه

به طور کلی اگر یک مجموعه \( \Large n\) عضو داشته باشد، \( \Large 2^n\) زیرمجموعه خواهد داشت؛ زیرا فرض کنید می‌خواهیم یک زیرمجموعه از مجموعۀ دلخواه \( \Large A\) بنویسیم. اسم این زیرمجموعه را \( \Large A_1\) می‌گذاریم. برای هر عضو \( \Large A\) دو حالت داریم. یا آن عضو را در \( \Large A_1\) قرار می‌دهیم یا نه. بنابراین اگر \( \Large n\) عضو در مجموعۀ \( \Large A\) وجود داشته باشد، \( \Large 2^n\) انتخاب یا به عبارتی \( \Large 2^n\) زیرمجموعه خواهیم داشت.

نمایش مجموعه‌های اعداد

مبحث آخر از درس مجموعه های برابر ریاضی نهم ، مبحث نمایش مجموعه هاست. در سال‌های گذشته با اعداد طبیعی، اعداد حسابی و اعداد صحیح آشنا شده‌اید. هر دسته از این اعداد تشکیل یک مجموعه داده و با نمادهای زیر مشخص می‌شوند:

  • مجموعۀ اعداد طبیعی را با نماد \( \Large \mathbb{N}\) نشان می‌دهیم و داریم: \( \Large \mathbb{N}=\{1, 2, 3, \dots\}\)
  • مجموعۀ اعداد حسابی را با نماد \( \Large W\) نشان می‌دهیم و داریم: \( \Large W=\{0, 1, 2, 3, \dots\}\)
  • مجموعۀ اعداد صحیح را با نماد \( \Large \mathbb{Z}\) نشان می‌دهیم و داریم: \( \Large \mathbb{Z}=\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}\)

از آنجاییکه مجموعۀ اعداد طبیعی، زیرمجموعۀ اعداد حسابی و مجموعۀ اعداد حسابی، زیرمجموعۀ اعداد صحیح است، داریم:

\( \Large \mathbb{N}\subseteq W \subseteq \mathbb{Z}\)

نمایش مجموعه با نماد ریاضی

برای نمایش مجموعه‌ها می‌توانیم از نمادهای ریاضی نیز استفاده کنیم. به طور مثال، مجموعۀ \( \Large F=\{3, 4, 5\}\) را در نظر بگیرید. مجموعۀ \( \Large F\)، مجموعۀ اعداد طبیعی بین 2 و 6 است. می‌توانیم این مجموعه را به صورت زیر نمایش دهیم:

\( \LARGE F=\{x\in \mathbb{N}|2<x<6\}\)

در عبارت بالا، علامت “|” را “به طوری که” می‌خوانیم. یعنی مجموعۀ \( \Large F\) برابر است با \( \Large x\)های طبیعی به طوری که \( \Large x\) بین 2 و 6 باشد. به مثال‌های زیر از درس مجموعه های برابر ریاضی نهم دقت کنید.

مثال از نمایش مجموعه با نماد ریاضی در مبحث مجموعه های برابر ریاضی نهم

مثال 4: مجموعۀ اعداد طبیعی زوج و فرد را با استفاده از نمادهای ریاضی نمایش دهید.

حل: مجموعۀ اعداد طبیعی زوج را با \( \Large E\) و فرد را با \( \Large O\) نشان می‌دهیم (E حرف ابتدایی کلمۀ Even به معنای زوج و O حرف ابتدایی کلمۀ Odd به معنای فرد است). نمایش این دو مجموعه با استفاده از نمادهای ریاضی به صورت زیر است:

\( \LARGE E=\{2k|k \in \mathbb{N}\}\)

\( \LARGE O=\{2k-1|k \in \mathbb{N}\}\)

مثال 5: مجموعۀ \( \Large M=\{x\in \mathbb{Z}| x^2<5\}\) را با استفاده از نمایش اعضای آن بازنویسی کنید.

حل: مجموعۀ \( \Large M\)، مجموعۀ \( \Large x\)های صحیح است به طوری که مربع \( \Large x\) کوچکتر از 5 باشد. بنابراین مجموعۀ \( \Large M\) برابر است با:

\( \Large M=\{-2, -1, 0, 1, 2\}\)

زنگ آخر کلاس مجموعه های برابر ریاضی نهم

در درسنامه‌ای که مربوط به ریاضی نهم خواندیم، ابتدا بررسی کردیم دو مجموعه در چه شرایطی با یکدیگر برابر هستند. سپس، زیر مجموعه‌ها را معرفی کردیم. در انتها مجموعه‌های اعداد را بررسی کرده و نشان دادیم که چگونه می‌توان با استفاده از نمادهای ریاضی، یک مجموعه را نمایش داد.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث مجموعه های برابر ریاضی نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    حسین بهزادی‌پور
    حسین بهزادی‌پور

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0