بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی‌ 〽️🤩 – یادگیری از طریق حل مثال

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دوازدهم تجربی 19 خرداد 1399 حسین بهزادی‌پور 239 بازدید
بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی‌ - یادگیری از طریق حل مثال

خرید درسنامه بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی‌ 〽️🤩 - یادگیری از طریق حل مثال PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


در درسنامه‌ی پیش رو، به مبحث بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی خواهیم پرداخت. در بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی با مسائلی سر‌و‌کار داریم که به دنبال کمترین یا بیشترین مقدار برای یک کمیت هستیم. این کمیت می‌تواند مساحت یک شکل باشد، یا هرینه‌ی ساخت یک جسم و یا هر کمیت دلخواه دیگر.

برای حل مسائل بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی ‌، نیازی به حفظ هیچ رابطه و فرمول اضافه‌ای نیست. تنها باید از دانش قبلی خود در ریاضی استفاده کنیم. در ادامه با حل مثال‌های بسیار مهم از این مبحث، کاملا به آن مسلط خواهیم‌شد.

مستطیل با بیشترین مساحت

مثال 1:  در بین تمام مستطیل‌های با محیط ثابت، عرض و طول مستطیلی را بیابید که بیشترین مساحت را دارد.

حل: طول مستطیل را \(\Large  x \) و عرض آن را \(\Large  y \) می‌نامیم. مساحت مستطیل برابر است با \(\Large  S \). از طرفی محیط آن برابر با 8 است. پس

بهینه‌ سازی مساحت مستطیل با محیط ثابت

\(\LARGE  2(x+y)=8 \)

\(\LARGE  x+y=4 \)

\(\LARGE \Rightarrow  y=4-x \)

مساحت مستطیل را با استفاده از عبارت بالا بازنویسی می‌کنیم. یعنی داریم:

\(\begin{aligned} \LARGE  S&\LARGE=xy \\&\LARGE=x(4-x)\\&\LARGE=4x-x^2\end{aligned}\)

رابطه ای که برای \(\Large  S \) به‌ دست آوردیم بدین معناست که اگر طول یک مستطیل با محیط 8، \(\Large  x \) باشد، مساحت آن از رابطه‌ی \(\Large  S=4x-x^2 \) به دست می‌آید. برای اینکه ببینیم مستطیل‌های دارای این ویژگی، یعنی با محیط 8، به ازای طول های مختلف چه مساحتی دارند، نمودار \(\Large  S \) بر حسب \(\Large  x \) را رسم می‌کنیم:

نمودار تغییرات مساحت مسطیل با محیط ثابت در بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

نمودار تغییرات مساحت مسطیل با محیط ثابت در بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

باید دقت کنیم، \(\Large  x \) تنها می‌تواند بین 0 و 4 باشد. زیرا مجموع \(\Large  x \) و \(\Large  y \) برابر با 4 است. در غیر این صورت، مقدار یکی از اضلاع منفی می‌شود که غیر قابل قبول است. برای محاسبه‌ی مینیمم تابع \(\Large  S \) کافی است نقطه‌ی بحرانی آن را پیدا کرده و مقدار تابع را در آن نقطه به دست آوریم. برای محاسبه‌ی نقطه‌ی بحرانی داریم:

بیا بیشتر بخونیم:
توابع صعودی و نزولی 📉📈 - گام به گام با تصویر

\(\LARGE  S'(x)=4-2x=0\)

\(\LARGE  \Rightarrow x=2\)

حال که نقطه‌ی بحرانی را به دست آوردیم، تابع مشتق را تعیین علامت می‌کنیم. با چگونگی تعیین علامت یک تابع، در درسنامه‌ی تعیین علامت عبارت‌های جبری آشنا شده‌اید. جدول تغییرات تابع \(\Large  S \) به صورت زیر در می‌آید:

بررسی دقیق تر بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

همان‌طور که از نمودار و جدول به روشنی پیداست، بیشترین مقدار مساحت زمانی حاصل می‌شود که \(\Large  x \) برابر با 2 باشد. دقت کنید، \(\Large  x=2 \) طول راس سهمی است که با نحوه‌ی به دست آوردن آن را در سال یازدهم آشنا شده‌اید. از آنجاییکه مجموع \(\Large  x \) و \(\Large  y \) برابر با 4 است، مقدار \(\Large  y \) نیز برابر با 2 است. پس در واقع بیشترین مساحت، زمانی به دست می‌آید که مربعی به ضلع 2 داشته‌باشیم.

کمترین حاصل ضرب در بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

مثال 2: دو عدد حقیقی بیابید که تفاضل آن‌ها 5 باشد و حاصل‌ضرب آن‌ها کمترین مقدار ممکن گردد.

حل: یکی از اعداد را \(\Large  x \) و دیگری را \(\Large  y \) می‌نامیم. فرض می‌کنیم \(\Large  x \) از \(\Large  y \) بزرگتر است ( تفاوتی ندارد کدام یک را بزرگتر بگیرید. می‌توانید \(\Large  y \) را بزگتر از \(\Large  x \) در نظر بگیرید. در این صورت باید جای \(\Large  x \) و \(\Large  y \) را در تمامی روابط پایین عوض کنید). داریم:

\(\LARGE  x-y=5 \)

\(\LARGE  \Rightarrow y=x-5 \)

\(\LARGE  xy=x(x-5) \)

\(\LARGE  xy=x^2-5x \)

حاصل‌ضرب \(\Large  xy \) را \(\Large  M \) می‌نامیم. برای حل سوال، نیازی به رسم نمودار \(\Large  M \) نیست. با این حال برای اینکه دید بهتری پیدا کنید، می‌توانید نمودار را رسم کنید. نمودار \(\Large  M \) بر حسب \(\Large  x \) به صورت زیر در می‌آید:

بیا بیشتر بخونیم:
حد در بی نهایت ♾✏️ - هر آنچه نیاز دارید بدانید

نمودار تغییرات حاصل ضرب دو عدد با اختلاف ثابت

برای محاسبه‌ی مینیمم تابع \(\Large  M \) کافی است نقطه‌ی بحرانی آن را پیدا کرده و مقدار تابع را در آن نقطه به دست آوریم. برای محاسبه‌ی نقطه‌ی بحرانی داریم:

\(\LARGE  M'(x)=2x-5=0\)

\(\LARGE  \Rightarrow x=\frac{5}{2}\)

جدول تغییرات تابع \(\Large  M \) به صورت زیر در می‌آید:

جدول تغییرات حاصل ضرب دو عدد با تفاضل ثابت

همان طور که در نمودار دیدید و در جدول تغییرات مشخص است، در \(\Large  x=\frac{5}{2} \)، تابع مینیمم می‌شود. در اینجا نیز اکسترمم در راس سهمی قرار دارد. برای محاسبه‌ی مقدار تابع در \(\Large  x=\frac{5}{2} \) که کمترین حاصل‌ضرب را به ما می‌دهد، روابط زیر را می‌نویسیم:

\(\LARGE  y=x-5\)

\(\LARGE  \Rightarrow y=\frac{5}{2}-5=-\frac{5}{2}\)

\(\LARGE  \Rightarrow xy=(\frac{5}{2}) \times (-\frac{5}{2}) \)

\(\LARGE  \Rightarrow xy=-\frac{25}{4}\)

گام‌های اساسی در حل مسائل بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

همان طور که در مثال 1 و 2 دیدید، برای حل مسائل بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی، سه گام مهم وجود دارد.

  1. گام اول، پیدا کردن تابع تغییرات کمیت است.
  2. گام دوم، پیدا کردن نقطه‌ی بحرانی تابع است.
  3. گام سوم، محاسبه‌ی اکسترمم تابع با توجه به نقطه‌ی بحرانی است.
  4. در ادامه، چند مثال کمی پیشرفته تر از بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی با یکدیگر خواهیم‌دید.

خرید درسنامه بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی‌ 〽️🤩 - یادگیری از طریق حل مثال PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


یک مثال جذاب از بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

مثال 3: می‌خواهیم کنار یک رودخانه، محوطه‌ای را به شکل مثلث متساوی الساقین نرده‌کشی کنیم. قاعده‌ی مثلث منطبق بر رودخانه است. اگر 20 متر نرده داشته باشیم، بیشترین مساحت ممکن برای این مثلث چه‌قدر است؟

حل: به شکل زیر نگاه کنید. قاعده‌ی مثلث بر رودخانه منطبق است. پس در قاعده نیازی به نرده نداریم. مجموع طول نرده برای دو ساق، 10 متر است. مطابق شکل، ارتفاع مثلث را \(\Large  h \) و نصف قاعده‌ی مثلث را \(\Large  a \) می‌نامیم.

بیا بیشتر بخونیم:
تابع وارون ⚙️🔄 - به راحتی آب خوردن!

نرده‌کشی کنار رودخانه در بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

مساحت مثلث که با \(\Large  S \) نشان می‌دهیم برابر است با:

\(\LARGE  S=\frac{2a \times h}{2}=ah\)

\(\LARGE  h=\sqrt{10^2-a^2}\)

\(\LARGE  S=a\sqrt{10^2-a^2}\)

رسم نمودار \(\Large  S \) کمی دشوار است. نیازی هم به رسم نمودار نیست. در صورتی که نقطه‌ی بحرانی را به دست آورده و جدول تغییرات \(\Large  S \) را رسم کنیم، ماکزیمم \(\Large  S \) قابل محاسبه خواهد ‌بود. با این حال برای اینکه دید بهتری پیدا کنید، نمودار \(\Large  S \) بر حسب \(\Large  x \) را در زیر رسم می‌کنیم:

نمودار تغییرات مساحت مثلث بر حسب تغییر طول قاعده

نمودار تغییرات مساحت مثلث بر حسب تغییر طول قاعده در بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

\(\Large  a \) مثبت است، زیرا قاعده نمی‌تواند منفی باشد. پس، \(\Large  a \in [0, 10] \) خواهد بود. بنابراین کافی است ماکزیمم تابع \(\Large  S \) را در بازه‌ی \(\Large  [0, 10] \) پیدا کنیم. برای محاسبه‌ی نقطه‌ی بحرانی داریم:

\(\begin{aligned} \LARGE  S’&\LARGE=\sqrt{10^2-a^2}\\&\LARGE+\frac{-a}{\sqrt{10^2-a^2}} \times a  \end{aligned}\)

\(\LARGE  S’=\frac{10^2-2a^2}{\sqrt{10^2-a^2}}=0\)

\(\LARGE  \Rightarrow a^2=50\)

\(\LARGE  \Rightarrow a=\sqrt{50}\)

جدول تغییرات تابع \(\Large  S \) نیز به صورت زیر است:

جدول تغییرات مساحت مثلث متساوی الساقین با تغییر قاعده- بهینه سازی پایه ی دوازدهم تجربی

با توجه به نقطه‌ی بحرانی و جدول تغییرات، بیشترین مساحت مثلث زمانی حاصل می‌شود که \(\Large  a=\sqrt{50} \) باشد. در نتیجه \(\Large  h = \sqrt{10^2-a^2} \) که در نهایت حاصل \(\Large  h =  \sqrt{50} \) خواهد شد. در این حالت مساحت ماکزیمم برابر خواهد بود با:

\(\begin{aligned} \LARGE  S&\LARGE=ah\\&\LARGE=\sqrt{50} \times \sqrt{50}=50 \end{aligned}\)

مساحت مسطیل بین سهمی و محور مختصات

مثال 4: بیشترین مساحت ممکن برای مستطیلی که دو راس آن روی محور \(\Large  x \)ها و دو راس دیگرش بالای محور \(\Large  x \)ها و روی سهمی به معادله‌ی \(\Large  y=48-4x^2 \) باشد را پیدا کنید.

حل: به شکل زیر نگاه کنید. یک مستطیل با شرایطی که در مساله گفته شده رسم شده است. طول مستطیل \(\Large  2x \) و عرض آن \(\Large  48-4x^2 \) است.

بیا بیشتر بخونیم:
حد بی نهایت ♾🧮 - زیباتر از تصور!

بهینه‌سازی مساحت مستطیل بین محور مختصات و سهمی

اگر مساحت مستطیل را با \(\Large  S \) نشان دهیم، مقدار آن از رابطه‌ی زیر به دست می‌آید:

\(\LARGE  S=2x(48-4x^2)\)

\(\LARGE  \Rightarrow S=96x-8x^3\)

نیازی به رسم نمودار \(\Large  S \) بر حسب \(\Large  x \) نیست. کافی است نقطه‌ی بحرانی را به دست آوریم. سپس با استفاده از جدول تغییرات \(\Large  S \)، ماکزیمم مساحت را محاسبه خواهیم‌کرد. برای محاسبه‌ی نقطه‌ی بحرانی داریم:

\(\LARGE  S’=96-24x^2\)

\(\LARGE  S’=0 \Rightarrow x^2=4\)

\(\LARGE  \Rightarrow x=2, -2\)

\(\Large  x \) مثبت است، چون طول ضلع مستطیل نمی‌‌تواند منفی باشد. در نتیجه \(\Large  x=2 \) نقطه‌ی بحرانی مورد نظر ماست. جدول تغییرات تابع \(\Large  S \) به صورت زیر است:

جدول تغییرات مساحت مستطیل بین سهمی و محور مختصات- بهینه سازی پایه ی دوازدهم تجربی

پس ماکزیمم مساحت مستطیل، زمانی به دست می آید که \(\Large  x=2 \) باشد. مقدار \(\Large  S \) به ازای \(\Large  x=2 \) برابر خواهد بود با:

\(\LARGE  S=2x \times (48-4x^2)\)

\(\begin{aligned} \LARGE  \Rightarrow S&\LARGE=4\times(48-16)\\&\LARGE=4 \times 32=128 \end{aligned}\)

زنگ آخر کلاس بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی

همان طور که گفتیم، برای حل مسائل بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی باید سه گام اساسی را درست برداریم.

  1. گام اول یافتن تابع تغییرات کمیتی است که با آن سر و کار داریم. در این گام باید نسبت به تعیین دامنه‌ی تابع دقت کنیم.
  2. گام دوم، پیدا کردن نقاط بحرانی تابعی است که در گام اول یافتیم.
  3. گام سوم، پیدا کردن اکسترمم تابع است. بسته به خواسته‌ی مساله، گاهی این اکسترمم ماکزیمم است و گاهی مینیمم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

بیا بیشتر بخونیم:
مشتق پذیری دوازدهم تجربی 📈📉 - آموزش با مثال و تصویر

خرید درسنامه بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی‌ 〽️🤩 - یادگیری از طریق حل مثال PDF

5.900 تومان 4.900 تومانافزودن به سبد خرید


نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    حسین بهزادی‌پور
    حسین بهزادی‌پور

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0