تابع وارون ⚙️🔄 – به راحتی آب خوردن!

دسته بندی ها : آموزش ریاضی پایه دوازدهم تجربی 21 شهریور 1399 حسین بهزادی‌پور 30 بازدید
تابع وارون ⚙️🔄 - به راحتی آب خوردن!

در این درسنامه به تابع وارون می‌پردازیم. ابتدا روش به دست آوردن ضابطۀ تابع وارون را با یکدیگر می‌بینیم. سپس در مورد محدود کردن دامنه تابع بحث می‌کنیم. همان طور که خواهیم دید، در توابع غیر یک به یک می‌توانیم با محدود کردن دامنه تابع، وارون تابع محدود شده را به دست آوریم.

یادآوری مفهوم تابع وارون

در پایۀ یازدهم با تابع وارون آشنا شدید. همان طور که به یاد دارید، در صورتی که یک تابع یک به یک باشد، با جا‌به‌جا کردن مولفه‌های زوج‌های مرتب آن، تابعی جدید به دست می‌آید. به آن تابع وارون می‌گوییم. (در صورتی که نمایش یک تابع به وسیلۀ زوج‌های مرتب آن را فراموش کرده‌اید، به درسنامۀ تابع مراجعه کنید). اگر تابع \(\Large  f \) یک به یک باشد، وارون آن را با \(\Large  f^{-1} \) نشان می‌دهیم. همچنین در پایۀ یازدهم دیدید. برای رسم نمودار تابع \(\Large f^{-1} \) کافی است قرینۀ نمودار تابع \(\Large  f(x) \) را نسبت به خط \(\Large  y=x \) به دست آورید.

مثال از مفهوم تابع وارون

مثال 1: اگر \(\Large f=\{(2,5),(3,4),(5,1)\} \) باشد، آیا \(\Large  f \) یک به یک است؟ اگر یک به یک است، \(\Large  f ^{-1}(x)\) را به دست آورید. \(\Large f^{-1}(5) \) چه قدر است؟

حل: همان طور که پیداست، هیچ کدام از زوج مرتب‌های \(\Large  f \) مولفۀ دوم تکراری ندارند. بنابراین تابع \(\Large  f \) یک به یک است. برای به دست آوردن \(\Large  f^{-1} \) کافی است جای مولفه‌های اول و دوم زوج مرتب‌های \(\Large  f \) را با یکدیگر عوض کنیم. با انجام این کار، \(\Large  f^{-1} \) به صورت زیر خواهد شد:

\(\Large  f^{-1}=\{(5,2),(4,3),(1,5)\} \)

با توجه به عبارت بالا، \(\Large  f^{-1}(5) \) برابر است با مولفۀ دوم زوج مرتب \(\Large  (5,2) \) در تابع \(\Large  f^{-1} \). بنابراین \(\Large  f^{-1}(5) \) برابر است با 2. اگر دامنۀ \(\Large f \) را \(\Large D_f \) و برد \(\Large f \) را \(\Large R_f\) بنامیم، همچنین اگر دامنۀ \(\Large f^{-1} \) را \(\Large D_{f^{-1}} \) و برد \(\Large f^{-1} \) را \(\Large R_{f^{-1}}\) بنامیم، ارتباط بین \(\Large f \) و \(\Large f^{-1} \) را می‌توان به صورت زیر نشان داد:

دامنه و برد

مثال 2: نمودار تابع \(\Large  f(x) \) در شکل زیر رسم شده است. نمودار \(\Large  f^{-1} \) را به دست آورید.

نمودار

حل: همان طور که گفتیم، برای رسم نمودار \(\Large  f^{-1} \) کافی است قرینۀ نمودار \(\Large  f(x) \) را نسبت به خط \(\Large  y=x\) به دست آوریم. با انجام این کار، نمودار \(\Large  f^{-1}(x) \) به صورت زیر خواهد شد:

تابع و معکوس تابع نسبت به خط y=x قرینه اند

چه زمانی دو تابع وارون یکدیگرند؟

فرض کنید تابع \(\Large  f(x) \) تابعی یک به یک بوده و دامنه و برد آن به ترتیب \(\Large  D_f \) و \(\Large  R_f \) باشد. واورن تابع \(\Large  f(x) \)، تابع \(\Large  f^{-1}(x) \) است. دامنۀ آن یعنی \(\Large  D_{f^{-1}} \) برابر با \(\Large  R_f \) و برد آن یعنی \(\Large  R_{f^{-1}} \) برابر با \(\Large D_f \) است. برای اینکه بهتر متوجه شوید، شکل زیر را در نظر بگیرید:

ارتباط تابع و معکوس آن

حال فرض کنید می‌خواهیم \(\Large  f(f^{-1}(x))\) را که \(\Large x \in D_{f^{-1}} \) است به دست آوریم. برای این کار باید از \(\Large D_{f^{-1}}\)  به \(\Large R_{f^{-1}} \) رفته و سپس به \(\Large R_f \) که همان \(\Large D_{f^{-1}}\) است، بازگردیم. بنابراین خواهیم داشت:

\(\LARGE  f(f^{-1}(x))=x; x \in D_{f^{-1}}\)

اگر عکس این کار را انجام دهیم، یعنی \(\Large f^{-1}(f(x)) \) را که \(\Large  x \in D_f \) است حساب کنیم، به نتیجۀ مشابهی می‌رسیم. برای محاسبۀ \(\Large  f^{-1}(f(x)) \) ابتدا از \(\Large  D_f \) به \(\Large  R_f \) رفته و سپس از \(\Large  R_f \) که همان \(\Large D_{f^{-1}} \) است، به \(\Large R_{f^{-1}} \) که همان \(\Large  D_f \) است، باز می‌گردیم. بنابراین خواهیم‌داشت:

\(\LARGE  f^{-1}(f(x))=x; x \in D_f  \)

اگر دو تابع \(\Large  f(x) \) و \(\Large g(x) \) دو شرط زیر را داشته باشند، وارون یکدیگرند:

  1. \(\LARGE  (fog)(x)=x; x \in D_g \)
  2. \(\LARGE  (gof)(x)=x; x \in D_f \)

مثال 3: نشان دهید دو تابع \(\Large  f(x)=2x+5 \) و \(\Large  g(x)=\frac{x-5}{2} \) وارون یکدیگرند.

حل:

\(\LARGE  (fog)(x)=2\times \frac{x-5}{2} +5\)

\(\LARGE  =x-5+5=x\)

\(\LARGE  (gof)(x)=\frac{(2x+5)-5}{2} \)

\(\LARGE  =\frac{2x}{2}=x\)

همان طور که دیدید، \(\Large  fog(x) \) و \(\Large  gof(x) \) برابر با \(\Large x \) شد. بنابراین توابع \(\Large  f(x) \) و \(\Large g(x) \) وارون یکدیگر هستند.

ضابطۀ تابع معکوس

اگر \(\Large f(x) \) تابعی یک به یک باشد، برای به دست آوردن ضابطۀ \(\Large f^{-1}\) کافی است در معادلۀ \(\Large y=f(x) \) ،\(\Large x \) را بر حسب \(\Large y \) به دست آوریم. سپس، \(\Large x \) را با \(\Large y \) جابجا کرده تا ضابطۀ \(\Large f^{-1}\) به دست آید. به مثال های زیر دقت کنید.

مثال از محاسبۀ ضابطۀ تابع وارون

مثال 4: ضابطۀ وارون تابع \(\Large f(x)=2+\sqrt{4x+5}\) را به دست آورده و دامنه و برد \(\Large f^{-1} \) را مشخص کنید.

حل:

\(\LARGE  y=2+\sqrt{4x+5}\)

\(\LARGE  \Rightarrow \sqrt{4x+5}=y-2\)

\(\LARGE  \Rightarrow 4x+5=(y-2)^2\)

\(\LARGE  \Rightarrow 4x=(y-2)^2-5\)

\(\LARGE  \Rightarrow x=\frac{(y-2)^2-5}{4}\)

\(\LARGE  \Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{(x-2)^2-5}{4}\)

در تابع \(\Large f(x) \) از آنجاییکه زیر رادیکال باید مثبت باشد، \(\Large D_f=[-\frac{5}{4},+\infty) \) است. از طرفی چون \(\Large \sqrt{4x+5} \) بزرگتر مساوی صفر است، \(\Large \sqrt{4x+5}+2 \) بزرگتر مساوی 2 می‌شود. بنابراین \(\Large R_f=[2,+\infty) \) است. دامنۀ \(\Large f^{-1} \) برابر با برد \(\Large f \) و برد \(\Large f^{-1} \) برابر با دامنۀ \(\Large f \) است. لذا دامنه و برد \(\Large f^{-1} \) برابر است با:

\(\LARGE D_{f^{-1}}=[2,+\infty) \)

\(\LARGE R_{f^{-1}}=[-\frac{5}{4},+\infty)  \)

محدود کردن دامنه تابع

همان طور که در پایۀ یازدهم خواندید، توابعی که یک به یک نباشند وارون ندارند. اما در صورتی که دامنۀ یک تابع غیر یک به یک را محدود به یک بازه یا زیر‌مجموعۀ خاص کنیم، می‌توانیم تابعی یک به یک به دست آوریم. مثلا، تابع \(\Large f(x)=|x| \) که نمودار آن در شکل زیر رسم شده است، یک به یک نیست.

تابع غیر یک به یک

اما اگر دامنۀ \(\Large f(x) \) را به \(\Large (-\infty,0] \) یا به \(\Large [0,+\infty) \) و یا زیر‌مجموعه‌ای از این دو بازه محدود کنیم، تابع یک به یک خواهد شد. در نتیجه می‌توانیم معکوس تابع با دامنۀ جدید را محاسبه کنیم. مثلا، در شکل زیر دامنۀ تابع \(\Large f(x)=|x|\) را به بازۀ \(\Large (-\infty,-1]\) محدود کرده و قرینۀ آن را نسبت به خط \(\Large y=x\) رسم کردیم. در نتیجه نمودار \(\Large f^{-1}\) برای تابع با دامنۀ محدود شده به دست آمد.

محدود کردن دامنه تابع و رسم معکوس آن

مثال از محدود کردن دامنه تابع

مثال 5: نمودار تابع \(\Large f(x)=x^2-4x+3 \) در شکل زیر رسم شده است. دامنۀ تابع را به گونه‌ای محدود کنید که تابع یک به یک به دست آید. سپس، وارون آن را محاسبه کنید.

تابع درجه دوم به عنوان مثالی از تابع غیر یک به یک

حل: این مثال پاسخ یکتا ندارد. به روش‌های مختلفی می‌توان دامنۀ تابع را محدود کرده و تابعی یک به یک به دست آورد. به طور مثال می‌توانیم دامنۀ تابع را به بازۀ \(\Large [2,+\infty) \) محدود کنیم. در این صورت نمودار تابع به صورت زیر در می‌آید:

محدود کردن دامنه تابع درجه دوم

ضابطۀ تابع بعد از محدود کردن آن تغییری نکرده است. بنابراین کافی است تا \(\Large f(x) \) را بر حسب \(\Large f(x) \) با در نظر داشتن دامنۀ جدید به دست آوریم.

\(\LARGE y=x^2-4x+3 \)

\(\LARGE \Rightarrow y=(x-2)^2-1 \)

\(\LARGE \Rightarrow (x-2)^2=y+1 \)

\(\LARGE \Rightarrow x-2=\pm \sqrt{y+1} \)

\(\LARGE \Rightarrow x=\pm \sqrt{y+1}+2 \)

اما باید از علامت مثبت برای عبارت \(\Large \sqrt{y+1} \) استفاده کنیم یا منفی؟ نکتۀ بسیار جالب همین جاست. اگر دامنۀ تابع را محدود نمی‌کردیم، اکنون نمی‌توانستیم بین علامت مثبت و منفی، یکی را بر دیگری ترجیح دهیم. اما چون دامنۀ تابع به بازۀ \(\Large [2,+\infty) \) محدود شده است، تنها علامت مثبت قابل قبول است. زیرا در غیر این صورت مقدار \(\Large x\) کوچکتر مساوی 2 خواهد شد. بنابراین داریم:

\(\LARGE x= \sqrt{y+1}+2 \)

\(\LARGE \Rightarrow f^{-1}(x)=\sqrt{x+1}+2 \)

اگر نمودار تابع با دامنۀ محدود شده و نمودار تابع وارون را رسم کنیم، شکل زیر به دست می‌آید. همان طور که می‌بینید، دو نمودار نسبت به خط \(\Large y=x\) قرینه‌اند.

رسم نمودار معکوس تابع با دامنه محدود شده

زنگ آخر کلاس تابع وارون

در درسنامه‌ای که با یکدیگر خواندیم، ابتدا مروری کردیم بر مباحث مربوط به تابع وارون در پایۀ یازدهم. سپس بررسی کردیم در چه شرایطی دو تابع وارون یکدیگرند. همچنین به بررسی نحوۀ به دست آوردن ضابطۀ تابع وارون پرداختیم. در انتها نیز در مورد محدود کردن دامنۀ توابع غیر یک به یک و نحوۀ به دست آوردن وارون تابع محدود شده بحث کردیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث تابع وارون دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

بیا بیشتر بخونیم:
بهینه‌ سازی ریاضی دوازدهم تجربی‌ 〽️🤩 - یادگیری از طریق حل مثال

نظرات کاربران

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

    مطالب زیر را حتما بخوانید:

    حسین بهزادی‌پور
    حسین بهزادی‌پور

    راه آسان‌تری برای ارتباط با کاربران‌مان پیدا کرده‌ایم :) عضویت در کانال

    قوانین ارسال دیدگاه در ما

    چنانچه دیدگاهی توهین آمیز باشد و متوجه اشخاص مدیر، نویسندگان و سایر کاربران باشد تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاه شما جنبه ی تبلیغاتی داشته باشد تایید نخواهد شد. چنانچه از لینک سایر وبسایت ها و یا وبسایت خود در دیدگاه استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه در دیدگاه خود از شماره تماس، ایمیل و آیدی تلگرام استفاده کرده باشید تایید نخواهد شد. چنانچه دیدگاهی بی ارتباط با موضوع آموزش مطرح شود تایید نخواهد شد.

    عضویت در خبرنامه ویژه مشتریان ریاضیکا

    با عضویت در خبرنامه ویژه ریاضیکا از آخرین جشنواره های سایت باخبر شوید!


    Have no product in the cart!
    0