مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم 🔋🧨 – جوانبشو بسنج!

مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم 🔋🧨 - جوانبشو بسنج!

در درسنامۀ مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم ابتدا منظورمان از مساحت جانبی را بیان می‌کنیم. سپس سراغ مساحت کل رفته و چند مثال حل می‌کنیم. در انتها نیز گستردۀ منشورهای مختلف را بررسی کرده و آن‌ها را رسم می‌کنیم. سعی می‌کنیم با استفاده از رسم شکل و حل مثال، به درک بهتر شما از این مبحث کمک کنیم. برای مطالعۀ این درسنامه لازم است تا با منشور و مفاهمی مثل وجه‌ و قاعدۀ منشور آشنایی داشته باشد؛ بنابراین حتما پیش از شروع مطالعۀ این درسنامه، درسنامۀ حجم های هندسی ریاضی هفتم را مرور کنید. به اولین قسمت از درسنامۀ مساحت جانبی و مساحت کل ریاضی هفتم توجه کنید.



مساحت جانبی منشور

تعریف مساحت جانبی: به مجموع مساحت تمام وجه‌های یک منشور، مساحت جانبی منشور می‌گوییم.

به طور مثال، منشور سه وجهی زیر که قاعدۀ آن مثلث متساوی الاضلاع است در نظر بگیرید:

مساحت جانبی یک منشور- مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم

همان طور که می‌بینید، هر وجه منشور بالا، یک مستطیل با طول \(\Large 4\) و عرض \(\Large 2\) است. بنابراین مساحت هر وجه منشور برابر است با \(\Large 8\). از طرفی منشور داده شده، سه وجه دارد. در نتیجه اگر مساحت جانبی منشور بالا را با \(\Large S\) نشان دهیم، داریم:

\(\LARGE S=3 \times 8=24\)

مثال از درسنامۀ مساحت جانبی و مساحت کل ریاضی هفتم

مثال 1: مساحت جانبی منشور زیر را بیابید.

مثال از یافتن مساحت جانبی یک منشور

حل: همان طور که در شکل بالا مشخص است، هر وجه منشور، یک مستطیل با طول \(\Large 7\) و عرض \(\Large 3\) است. بنابراین مساحت هر وجه منشور برابر است با \(\Large 21\). از طرفی منشور داده شده، پنج وجه دارد. در نتیجه اگر مساحت جانبی منشور بالا را با \(\Large S\) نسان دهیم، داریم:

\(\LARGE S=5 \times 21=105\)

مساحت جانبی یک منشور را می‌توان با استفاده از روش دیگری نیز محاسبه کرد. در قسمت بعدی از درسنامۀ مساحت جانبی و مساحت کل ریاضی هفتم به معرفی این روش می‌پردازیم.

غلتاندن منشور و یافتن مساحت جانبی

در این قسمت، قصد داریم روش دیگری برای محاسبۀ مساحت جانبی یک منشور معرفی کنیم. شکل زیر را در نظر بگیرید:

یافتن مساحت جانبی

برای محاسبۀ مساحت جانبی منشور بالا می‌توانیم مساحت هر وجه آن را به دست آورده و آن‌ها را با یکدیگر جمع کنیم. در این صورت مساحت جانبی منشور داده شده برابر است با:

\(\Large S=15 \times 6+15 \times 8+15 \times 10\)

\(\LARGE  =90+120+150\)

\(\LARGE  =360\)

 بیایید کمی خلاقیت به خرج دهیم! منشور را به صورت زیر روی یک کاغذ غلتانده و هر وجه را رسم می‌کنیم:

غلتاندن منشور روی صفحه- مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم غلتاندن منشور و یافتن مساحت جانبی یافتن مساحت جانبی- مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم

غلتاندن منشور

مساحت جانبی منشور برابر است با مجموع مساحت مستطیل‌های بالا؛  یعنی مساحت جانبی منشور برابر است با مساحت مستطیل بزرگ. حال کمی دقت کنید! طول مستطیل بزرگ برابر است با محیط قاعدۀ منشور. عرض مستطیل بزرگ برابر است با فاصلۀ دو قاعدۀ منشور که به آن ارتفاع منشور می‌گوییم. بنابراین مساحت جانبی منشور برابر است با حاصل ضرب محیط قاعدۀ منشور در ارتفاع آن. رابطۀ بسیار جالبی به دست آوردیم. از این رابطه می‌توانیم برای محاسبۀ مساحت جانبی منشورهای دیگر نیز استفاده کنیم. یعنی اگر محیط قاعدۀ یک منشور را با \(\Large P\) و ارتفاع آن را با \(\Large h\) نشان دهیم، مساحت جانبی منشور از رابطۀ زیر به دست می‌‌آید:

\(\LARGE S=P \times h\)

در این مثال، محیط قاعدۀ منشور و ارتفاع آن برابر بود با:

\(\LARGE P=6+8+10=24\)

\(\LARGE h=15\)

در نتیجه مساحت جانبی منشور برابر است با:

\(\LARGE S=P \times h\)

\(\LARGE =24 \times 15\)

\(\LARGE =360\)

برای علاقه‌مندان: در این منشور، ارتفاع منشور با یال آن برابر بود. اما در همۀ منشورها لزوماً این چنین نیست. در صورتی که مایلید در مورد منشورهای مایل مطالعه کنید.

به قسمت بعدی از درسنامۀ مساحت جانبی و مساحت کل ریاضی هفتم توجه کنید.

غلتاندن استوانه به عنوان یک منشور

از آنجاییکه استوانه نیز یک منشور است، می‌توانیم کاری را که در قسمت قبل برای یک منشور سه وجهی انجام دادیم، برای استوانه نیز انجام دهیم؛ یعنی استوانه را روی یک صفحه غلتانده و مساحت جانبی آن را به دست آوریم. استوانهٔ زیر را در نظر بگیرید:

غلتاندن استوانه

اگر استوانه را روی یک صفحه بغلتانیم، شکل‌های زیر به دست می‌آیند:

غلتاندن استوانه- مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم به دست آوردن مساحت جانبی استوانه مساحت جانبی استوانه

همان طور که می‌بینید، مساحت جانبی استوانه برابر است با مساحت مستطیل شکل آخر که عرض آن برابر با ارتفاع استوانه و طول آن برابر با محیط دایره‌است. بنابراین مساحت جانبی استوانه برابر است با:

\(\LARGE S=2 \times \pi \times 4 \times 10 \)

\(\LARGE \Rightarrow S=80 \pi \)


خرید پکیج دوره محاسبات سریع 🧠🧮 

89.000 تومانافزودن به سبد خرید

بیا بیشتر بخونیم:
تبدیلات هندسی ریاضی هفتم 🔀🌀 - همه حرکت‌ها!

مثال از درسنامۀ مساحت جانبی و مساحت کل ریاضی هفتم

مثال 2: غلتک‌ها، اجسام استوانه‌ای شکل هستند که برای صاف کردن زمین و کاربردهای دیگر به کار می‌روند. اگر شعاع استوانۀ یک غلتک، \(\Large 1\) ‌متر و ارتفاع استوانۀ آن \(\Large 3\) متر باشد، با \(\Large 4\) بار چرخاندن آن، چند متر زمین صاف می‌شود؟ (\(\Large \pi\) را برابر با \(\Large 3\) در نظر بگیرید)

غلتک- مثال از درسنامۀ مساحت جانبی و مساحت کل

حل: وقتی غلتک را روی زمین می‌چرخانیم، به ازای هر بار چرخش، به اندازۀ مساحت جانبی غلتک، زمین صاف می‌شود. در نتیجه برای محاسبۀ مساحت زمینی که صاف می‌شود کافی است مساحت جانبی غلتک را به دست آورده و در \(\Large 4\) ضرب کنیم. برای به دست آوردن مساحت جانبی از رابطۀ قسمت قبل استفاده می‌کنیم؛ یعنی محیط قاعدۀ استوانه را در ارتفاع آن ضرب می‌کنیم. اگر ارتفاع استوانه را با \(\Large h\)، محیط آن را با \(\Large P\) و مساحت جانبی آن را با \(\Large S\) نشان دهیم، داریم:

\(\LARGE P=2 \pi r= 2 \times 3 \times 1=6\)

\(\LARGE h=3\)

\(\LARGE S=P \times h=6 \times 3=18\)

کل مساحت زمینی که صاف شده برابر است با \(\Large 4\) برابر مساحت جانبی استوانه، یعنی \(\Large 72\) سانتی متر مربع.

مساحت کل منشور

تعریف مساحت کل: به مجموع مساحت جانبی و مساحت دو قاعدهٔ منشور، مساحت کل منشور می‌گوییم.

بنابراین، برای محاسبۀ مساحت کل یک منشور، کافی است ابتدا با استفاده از آنچه در این درسنامه آموختیم، مساحت جانبی را به دست آورده و سپس با مساحت دو قاعدۀ منشور جمع کنیم. برای اینکه بهتر متوجه شوید، به مثال‌های بعدی توجه کنید.

مثال از درسنامۀ مساحت جانبی و مساحت کل ریاضی هفتم

مثال 3: مساحت کل منشور زیر را به دست آورید.

پیدا کردن مساحت کل منشور

حل: همان طور که گفتیم، مساحت کل یک منشور برابر است با مجموع مساحت جانبی و مساحت دو قاعدۀ منشور. برای به دست آوردن مساحت جانبی، کافی است محیط قاعدۀ منشور را به دست آورده و در ارتفاع آن ضرب کنیم. محیط قاعدۀ منشور برابر است با مجموع اضلاع مثلث؛ از آنجا که مثلث متساوی الاضلاع است، محیط قاعدۀ منشور برابر است با سه برابر ضلع آن، بعنی \(\Large 12\). اگر مساحت جانبی منشور را با \(\Large S_L\) نشان دهیم، داریم:

\(\LARGE S_L=P \times h=12 \times 5=60\)

حال باید مجموع مساحت قاعده‌های منشور را به دست آوریم. برای این کار کافی است مساحت یک قاعده را به دست آورده و در دو ضرب کنیم. برای به دست آوردن مساحت قاعده ابتدا باید اندازهٔ ارتفاع مثلث را به دست آوریم. با توجه به اینکه در مثلث متساوی الاضلاع، ارتفاع مثلث، میانهٔ آن نیز هست (اگر دلیل آن را نمی‌دانید، سعی کنید با استفاده از هم‌نهشتی مثلث‌ها آن را ثابت کنید)، می‌توانیم شکل زیر را رسم می‌کنیم:

مساحت منشور

کافی است رابطهٔ فیثاغورس را در مثلث \(\Large AHC\) بنویسیم:

\(\LARGE AH^2+HC^2=AC^2\)

\(\LARGE \Rightarrow AH^2+4=16\)

\(\LARGE \Rightarrow AH^2=12\)

\(\LARGE \Rightarrow AH=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)

بنابراین، اندازهٔ ارتفاع مثلث قاعده برابر است با \(\Large 2 \sqrt{3}\). حال کافی است قاعدهٔ مثلث را در ارتفاع آن ضرب کرده و سپس حاصل را در \(\Large 2\) ضرب کنیم تا مساحت مجموع دو قاعده به دست بیاید. اگر مجموع مساحت قاعده‌های منشور را با \(\Large S_B\) نشان دهیم، داریم:

\(\LARGE S_B=2 \times (\frac{4 \times 2 \sqrt{3}}{2})=8 \sqrt{3}\)

برای محاسبۀ مساحت کل منشور کافی است مساحت جانبی و مجموع مساحت دو قاعده را با هم جمع کنیم. اگر مساحت کل را با \(\Large S_T\) نشان دهیم، داریم:

\(\LARGE S_T=S_L+S_B=60+8 \sqrt{3}\)

به قسمت بعدی از درسنامۀ مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم توجه کنید.

گستردۀ یک منشور

اگر یک استوانۀ کاغذی داشته باشیم، می‌توانیم آن را به صورت زیر باز کرده و اصطلاحاً شکل گستردۀ آن را به دست آوریم:

گشتردۀ یک منشور

همین کار را می‌توانیم برای منشورهای دیگر نیز انجام دهیم. مساحت سطحی که در شکل گسترده داریم، همان مساحت کل منشور است. به مثال بعدی از درسنامۀ مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم توجه کنید.

مثال از گستردۀ منشور

مثال 4: گستردۀ یک منشور \(\Large 3\) وجهی و یک منشور \(\Large 5\) وجهی را رسم کنید.

حل: وجه‌های جانبی یک منشور سه وجهی، مستطیل هستند. و قاعده‌های آن نیز مثلث هستند. همچنین در شکل گسترده، از هر قاعده یک ضلع روی وجه‌های جانبی می‌افتد. در نتیجه می‌توانیم شکل زیر را به عنوان گستردۀ یک منشور سه وجهی رسم کنیم:

گستردۀ منشور سه وجهی- مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم

مظابق با توضیحاتی که برای منشور سه وجهی دادیم، می‌توانیم شکل زیر را نیز به عنوان گستردۀ منشور پنج وجهی در نظر بگیریم:

گستردۀ منشور پنج وجهی

زنگ آخر کلاس مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم

در درسنامه‌ای که از ریاضی هفتم خواندیم، روش به دست آوردن مساحت جانبی و مساحت کل منشور را بیان کردیم. همان طور که دیدید، برای به دست آوردن مساحت جانبی منشور کافی بود محیط قاعدۀ آن را در ارتفاع ضرب کنیم. برای به دست آوردن مساحت کل منشور نیز باید مساحت جانبی را با مجموع مساحت دو قاعدۀ منشور جمع می‌کردیم. در انتهای درسنامه نیز، به بررسی گستردۀ یک منشور پرداختیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با معادله خط ریاضی نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.  


خرید پکیج دوره محاسبات سریع 🧠🧮 

89.000 تومانافزودن به سبد خرید

بیا بیشتر بخونیم:
احتمال یا اندازه گیری شانس ریاضی هفتم 🎲🔮 - روش محاسبه احتمال!

4 دیدگاه برای “مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم 🔋🧨 – جوانبشو بسنج!

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام وعرض احترام
      ممنون از نگاه پر مهر شما
      برای اطلاع از جشنواره ها ومطالب بیشترپیج ما رو در اینستا به آدرس زیر دنبال کنید
      https://www.instagram.com/riazica/

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.