مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم 💎💡 – نمونه سوال هایی که دنبالش بودی!!

در درسنامهٔ مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم به به بررسی و حل مسائلی از فصل اول کتاب ریاضی نهم جهت آمادگی برای آزمون تیزهوشان می‌پردازیم. سعی می‌کنیم با حل تشریحی و توضیح دقیق هر مثال به آمادگی بیشتر شما برای آزمون تیزهوشان کمک کنیم. با ما تا انتهای درسنامه همراه باشید.

مثال از مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 1: اگر \(\Large A\) و \(\Large B\) و \(\Large C\) و \(\Large D\) چهار مجموعه باشند به طوری که \(\Large ((A \cup B)-C)-D=D\)، آنگاه حاصل \(\Large (A \cap C)-D\) را به دست آورید.

حل: از \(\Large ((A \cup B)-C)-D=D\) می‌توان نتیجه گرفت که مجموعهٔ \(\Large D\) تهی است. برای اثبات تهی بودن \(\Large D\) از برهان خلف استفاده می‌کنیم؛ فرض کنید \(\Large D\) دارای عضوی مثل \(\Large x\) باشد. در این صورت \(\Large x\) عضو \(\Large D\) هست اما عضو \(\Large ((A \cup B)-C)-D\) نیست. به تناقض رسیدیم؛ زیرا این دو مجموعه با هم برابر هستند. 

بنابراین می‌توانیم عبارت \(\Large ((A \cup B)-C)-D=D\) را به صورت \(\Large ((A \cup B)-C)=\emptyset\) بنویسیم. این بدین معنی است که \(\Large (A \cup B) \subseteq C\) است. به عبارت دیگر، تمام اعضای \(\Large A\) و \(\Large B\) در \(\Large C\) نیز وجود دارند. پس هم \(\Large A \subseteq C\) و هم \(\Large B \subseteq C\) است

حال سراغ محاسبهٔ عبارت \(\Large (A \cap C)-D\) می‌رویم. از آنجا که \(\Large A \subseteq C\) است، \(\Large (A \cap C)=A\) می‌شود. \(\Large D\) هم تهی است. پس داریم:

\(\LARGE (A \cap C)-D=A-D=A\)

 

مثال از برابری مجموعه‌ها ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 2: ثابت کنید اگر \(\Large A-B=B-A\) آنگاه \(\Large A=B\) است.

حل: با استفاده از برهان خلف ثابت می‌کنیم \(\Large A=B\) است. فرض می‌کنیم این طور نباشد. در این صورت دو حالت وجود دارد. یا عضوی در \(\Large A\) هست که در \(\Large B\) نیست. یا عضوی در \(\Large B\) هست که در \(\Large A\) نیست. اگر عضوی مانند \(\Large x\) در \(\Large A\) باشد ولی در \(\Large B\) نباشد، آنگاه \(\Large x \in A-B\). در این صورت چون \(\Large A-B=B-A\) است، \(\Large x \in B-A\) است. اما \(\Large x\) عضو \(\Large B\) نیست. پس نمی‌تواند عضو \(\Large B-A\) باشد. در نتیجه به تناقض رسیدیم.

حالت دوم هم مانند حالت اول ثابت می‌شود؛ یعنی اگر عضوی مانند \(\Large y\) در \(\Large B\) باشد ولی در \(\Large A\) نباشد، باز هم مثل بالا به تناقض می‌رسیم. پس فرض ما غلط است. یعنی مجموعهٔ \(\Large A\) برابر با مجموعهٔ \(\Large B\) است.

مثال از مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 3: اگر \(\Large n(A \cup B)=n(A \cap B)\) باشد، ثابت کنید \(\Large A=B\) است.

حل: مقدار \(\Large n(A \cup B)\) به صورت زیر به دست می‌آید:

\(n(A \cup B)=n(A)+n(B)-n(A \cap B)\)

عبارت سمت راست تساوی بالا را به صورت زیر بازنویسی می‌کنیم:

\(n(A \cup B)=\)

\((n(A)-n(A \cap B))+(n(B)-n(A \cap B))\)

\(+n(A \cap B)\)

از طرفی طبق فرض مسئله \(\Large n(A \cup B)=n(A \cap B)\) است. بنابراین داریم:

\(n(A \cap B)=\)

\((n(A)-n(A \cap B))+(n(B)-n(A \cap B))+n(A \cap B)\)

\(+n(A \cap B)\)

اگر \(\Large n(A \cap B)\) را از دو طرف کم کنیم، به نتیجهٔ زیر می‌رسیم:

\((n(A)-n(A \cap B))+(n(B)-n(A \cap B))=0\)

هیچ یک از مقادیر \(\Large n(A)-n(A \cap B)\) و \(\Large n(A \cup B)=n(A \cap B)\) منفی نیستند. در نتیجه هر دو باید صفر شوند. پس داریم:

\(n(A)-n(A \cap B)=0 \Rightarrow A \subseteq A \cap B\)

\(n(B)-n(A \cap B)=0 \Rightarrow B \subseteq A \cap B\)

از \(\Large A \subseteq A \cap B\) نتیجه می‌شود \(\Large A \subseteq B\). از \(\Large B \subseteq A \cap B\) نیز نتیجه می‌شود \(\Large B \subseteq A\). بنابراین \(\Large A=B\) است.

مثال از مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 4: چند زیرمجموعهٔ سه عضوی از اعداد طبیعی وجود دارد که حاصل ضرب اعضای آن برابر با \(\Large 36\) می‌شود؟

حل: عدد \(\Large 36\) را می‌توانیم به صورت \(\Large 2^2 \times 3^2\) تجزیه کنیم. به یک نکتهٔ مهم باید دقت کرد. در یک مجموعه تمام اعضا متمایز هستند؛ یعنی عضو تکراری نداریم. پس نمی‌توانیم بگوییم \(\Large A=\{2,2,3^2\}\) یک مجموعهٔ سه عضوی است که حاصل ضرب اعضایش برابر با \(\Large 36\) می‌شود؛ چرا که در واقع \(\Large A\) تنها دو عضو متمایز دارد. با توجه به این نکته، به حل مثال می‌پردازیم.

 اگر یکی از اعضای مجموعهٔ سه عضوی مورد نظرمان برابر با \(\Large 2\) باشد، دو عضو دیگر یا می‌توانند \(\Large 2 \times 3\) و \(\Large  3\) باشند، یا \(\Large 2 \times 3 \times 3\) و \(\Large 1\). اگر هیچ کدام از سه عضو، برابر با \(\Large 2 \) نباشند، آنگاه یا یکی از اعضا \(\Large 2 \times 2\) است که در این صورت دو عضو دیگر، \(\Large 3 \times 3\) و \(\Large 1\) هستند. یا اینکه یکی از اعضا \(\Large 2 \times 2 \times 3\) است که در این صورت دو عضو دیگر، \(\Large 3\) و \(\Large 1\) هستند. بنابراین، زیرمجموعه‌ای که به دنبال آن هستیم، یکی از زیرمجموعه‌های زیر است:

\(\LARGE A=\{2,6,3\}\)

\(\LARGE A=\{2,18,1\}\)

\(\LARGE A=\{4,9,1\}\)

\(\LARGE A=\{12,3,1\}\)

پس در کل چهار زیرمجموعهٔ سه عضوی از اعداد طبیعی وجود دارد که حاصل ضرب اعضای آن برابر با \(\Large 36\) می‌شود.

مثال از مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 5: فرض کنید \(\Large m\) عددی ثابت و \(\Large A=\{x^3+m|x \in \mathbb{Z}, x>0 \}\) است. اگر \(\Large \{14,40\} \subseteq A\) آنگاه مقدار \(\Large m\) را به دست آورید.

حل: عدد \(\Large 14\) عضو مجموعهٔ \(\Large A\) است. از طرفی \(\Large 14\) را می‌توان به یکی از دو شکل زیر نوشت:

\(\LARGE 14=1^3+13\)

\(\LARGE 14=2^3+6\)

پس یا \(\Large m=13\) است، یا \(\Large m=1\) است. حال \(\Large 40\) را چک می‌کنیم. \(\Large 40\) را می‌توانیم به یکی از صورت‌های زیر بنویسیم:

\(\LARGE 40=1^3+39\)

\(\LARGE 40=2^3+32\)

\(\LARGE 40=3^3+13\)

همان‌طور که می‌بینید، \(\Large m=13\) برای هر دو صدق می‌کند. بنابراین \(\Large m\) برابر با \(\Large 13\) است.

مثال از مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 6: فرض کنید \(\Large A=\{x \in \mathbb{N}|0<x<1000 \}\) و \(\Large B\) زیرمجموعه‌ای از \(\Large A\) باشد به طوری که هر دو عضو دلخواه آن را در نظر بگیریم، یکی بر دیگری بخش‌پذیر باشد. در این صورت \(\Large B\) حداکثر چند عضو دارد؟

حل: از آنجاییکه \(\Large B\) غیر تهی و زیرمجموعه‌ای از اعداد طبیعی است، طبق اصل خوش‌ترتیبی دارای کوچکترین عضو است. فرض می‌کنیم \(\Large x_1\) کوچکترین عضو \(\Large B\) است. اگر \(\Large x\) را از \(\Large B\) کنار بگذاریم، مجموعهٔ حاصل باز هم دارای کوچکترین عضو خواهد بود. فرض می‌کنیم کوچکترین عضو بعد از \(\Large x_1\) برابر با \(\Large x_2\) باشد. از آنجاییکه \(\Large x_2\) بزرگتر از \(\Large x_1\) است و یکی باید بر دیگری قابل قسمت باشد، داریم \(\Large x_2=mx_1\). بدین ترتیب اگر اعداد را از کوچک به بزرگ مرتب کنیم، هر عددی مضربی از عدد قبل از خود خواهد بود. برای اینکه بیشترین تعداد عضو در \(\Large B\) قرار بگیرد، باید هم کوچکترین عدد موجود در \(\Large B\) را تا حد ممکن کوچک در نظر بگیریم و هم هر عدد را در کوچکترین عدد ممکن ضرب کنیم تا عدد بعدی (بزرگتر) حاصل شود. 

بنابراین کوچکترین عدد عضو \(\Large B\) را \(\Large 1\) در نظر گرفته و هر عدد را ضرب در \(\Large 2\) می‌کنیم تا عدد بعدی حاصل شود. پس برای اینکه تعداد اعضای \(\Large B\) بیشترین مقدار ممکن باشد، باید به شکل زیر باشد:

\(\LARGE B=\{1,2,2^2,2^3, \dots \}\)

از آنجاییکه \(\Large B\) زیرمجموعهٔ \(\Large A\) است و اعضای \(\Large A\) کوچکتر از \(\Large 1000\) هستند، اعضای \(\Large B\) نیز باید کوچکتر از \(\Large 1000\) باشند. \(\Large 2^{10}=1024\) است. پس، بزرگترین عضو \(\Large B\) برابر با \(\Large 2^9\) است. در نتیجه، \(\Large B\) حداکثر \(\Large 10\) عضو دارد.

مثال از مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 7: مجموعهٔ همهٔ کسرهای تحویل‌ناپذیر کوچکتر از \(\Large 1\) را که صورت و مخرج آن‌ها اعداد مثبت یک‌رقمی هستند، با \(\Large A\) نشان می‌دهیم. \(\Large n(A)\) را به دست آورید (کسرهای تحویل‌ناپذیر کسرهایی هستند که بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک صورت و مخرج آن‌ها برابر با \(\Large 1\) است).

حل: شمارش را بر اساس حالت‌های مخرج کسر انجام می دهیم.

بررسی حالت‌های مختلف:

1. اگر مخرج کسر \(\Large 1\) باشد، برای صورت کسر هیچ حالت مطلوبی نداریم؛ زیرا در هر صورت، مقدار کسر بزرگتر مساوی \(\Large 1\) خواهد شد.
2. اگر مخرج کسر برابر با \(\Large 2\) باشد، صورت کسر فقط می‌تواند \(\Large 1\) باشد. در صورتی که بقیهٔ اعداد را قرار دهیم، مقدار کسر بزرگتر مساوی \(\Large 1\) خواهد شد.
3. اگر مخرج کسر برابر با \(\Large 3\) باشد، صورت کسر هم می‌تواند \(\Large 1\) باشد و هم \(\Large 2\).
4. اگر مخرج کسر برابر با \(\Large 4\) باشد، صورت کسر می‌تواند هم \(\Large 1\) باشد و هم \(\Large 3\). باید دقت کرد که صورت کسر نمی‌تواند \(\Large 2\) باشد. زیرا در این صورت بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک صورت و مخرج مخالف با \(\Large 1\) می‌شود.
5. اگر مخرج کسر برابر با \(\Large 5\) باشد، صورت می‌تواند یکی از مقادیر \(\Large 1\) تا \(\Large 4\) را اختیار کند.
6. اگر مخرج کسر برابر با \(\Large 6\) باشد، صورت کسر می‌تواند یا \(\Large 1\) یا \(\Large 5\) باشد. باید دقت کرد که صورت کسر نمی‌تواند \(\Large 2\) یا \(\Large 3\) یا \(\Large 4\) باشد؛ زیرا در این صورت بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک صورت و مخرج کسر مخالف با \(\Large 1\) می‌شود.
7. اگر مخرج کسر برابر با \(\Large 7\) باشد، صورت می‌تواند یکی از مقادیر \(\Large 1\) تا \(\Large 6\) را اختیار کند.
8. اگر مخرج کسر برابر با \(\Large 8\) باشد، صورت کسر می‌تواند \(\Large 1\) یا \(\Large 3\) یا \(\Large 5\) یا \(\Large 7\) باشد. باید دقت کرد که صورت کسر نمی‌تواند \(\Large 2\) یا \(\Large 4\) یا \(\Large 6\) باشد؛ زیرا در این صورت بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک صورت و مخرج کسر مخالف با \(\Large 1\) می‌شود.
9. در نهایت اگر مخرج کسر برابر با \(\Large 9\) باشد، صورت کسر می‌توان یکی از مقادیر \(\Large 1\) یا \(\Large 2\) یا \(\Large 4\) یا \(\Large 5\) یا \(\Large 7\) و یا \(\Large 8\) را اختیار کند. باز هم باید دقت کرد که صورت کسر نمی‌تواند \(\Large 3\) یا \(\Large 6\) یا \(\Large 9\) باشد؛ زیرا در این صورت بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک صورت و مخرج کسر مخالف با \(\Large 1\) می‌شود.

تعداد اعضای مجموعهٔ A:

بنابراین، تعداد اعضای مجموعهٔ \(\Large A\) که برابر با تعداد حالت‌هایی است که در بالا شمردیم، برابر است با \(\Large 27\).

مثال از مجموعه‌ها ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 8: اگر \(\Large A_i\) مجموعهٔ مقسوم‌ُعلیه‌های طبیعی عدد \(\Large i\) و \(\Large m\) و \(\Large n\)  اعداد طبیعی باشند، حداقل مقدار \(\Large n\) را بر حسب \(\Large m\) طوری تعیین کنید که \(n(A_m \cup A_{m+1} \cup \dots \cup A_{m+n})=m+n\) باشد.

حل: برای اینکه صورت سؤال را بهتر متوجه شوید، ابتدا \(\Large A_i\) را به ازای دو مقدار \(\Large i=6\) و \(\Large i=8\) می‌نویسیم:

\(\LARGE A_6=\{1,2,3,6\}\)

\(\LARGE A_8=\{1,2,4,8\}\)

همان طور که در بالا می‌بینید، \(\Large A_6\) همان مقسومُ‌علیه‌های طبیعی عدد \(\Large 6\) است و \(\Large A_8\) همان مقسوم‌ُعلیه‌های طبیعی \(\Large 8\). حال به حل مسئله می‌پردازیم.

تنها زمانی \(n(A_m \cup A_{m+1} \cup \dots \cup A_{m+n})=m+n\) می‌شود که تمام اعداد \(\Large 1\) تا \(\Large n\) در \(\Large A_m \cup A_{m+1} \cup \dots \cup A_{m+n}\) قرار داشته باشند. یعنی باید حداقل یکی از مضارب تمام اعداد کوچکتر مساوی \(\Large m+n\) در بازهٔ \(\Large [m,m+n]\) باشد (در مورد بازه‌ها در درسنامهٔ مفهوم مجموعه در ریاضی توضیح داده شده). 

خود اعدادی که در بازهٔ \(\Large [m,m+n]\) قرار دارند، این شرایط را دارند؛ زیرا اگر آن‌ها را در \(\Large 1\) ضرب کنیم، در این بازه می‌افتند. اما اعداد کوچکتر از \(\Large m\) چه طور؟

ایتدا عدد \(\Large m-1\) را در نظر می‌گیریم. اگر \(\Large m-1\) را در \(\Large 1\) ضرب کنیم که درون بازه نمی افتد. پس باید یکی از مضارب دیگر \(\Large m-1\) درون بازه بیفتد. می‌خواهیم طول بازهٔ \(\Large [m,m+n]\) تا جای ممکن کوچک باشد. پس کوچکترین مضرب\(\Large m-1\) را در نظر می‌گیریم؛ یعنی باید \(\Large 2(m-1)\) در این بازه قرار گیرد. پس حداقل مقدار \(\Large m+n\) باید برابر با \(\Large 2(m-1)\) باشد. از طرفی همین مقدار برای اعداد کوچکتر از \(\Large m-1\) نیز کافی است؛ زیرا فاصلهٔ بین هر دو مضرب اعداد کوچکتر از \(\Large m-1\)، کوچکتر از \(\Large m-1\) است. پس قطعاً یکی از مضارب آن‌ها در این بازه می‌افتد. پس داریم:

\(\Large m+n=2(m-1)=2m-2\)

\(\LARGE \Rightarrow n=m-2\)

مراجع

در این لیست می‌توانید هم مراجعی که برای نگارش درسنامهٔ مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم استفاده شده‌اند و هم مراجعی که برای مطالعهٔ بیشتر مفید هستند مشاهده کنید:

1- وزارت آموزش و پرورش، مرکز ملی پرورش استعدادهای درخشان و دانش‌ پژوهان جوان، سؤالات ریاضی دفترچهٔ استعداد تحصیلی آزمون‌ ورودی پایهٔ دهم دبیرستان‌های دورهٔ دوم استعدادهای درخشان

2- وزارت آموزش و پرورش، ریاضیات- محتوای تکمیلی ویژهٔ مدارس استعدادهای درخشان پایهٔ نهم دورهٔ اول متوسطه

3- شهریاری، پرویز، مترجم. 1350. نظریهٔ مجموعه‌ها. نوشتهٔ واتسلاو سرپینسکی. تهران: انتشارات خوارزمی.

4- شهریاری، پرویز، مترجم. 1359. ورودی به نظریهٔ مجموعه‌ها. نوشته ژ. بروئر. 1978. تهران: انتشارات پویش.

زنگ آخر کلاس مجموعه‌ها ریاضی تیزهوشان نهم

در درسنامه‌ای که از ریاضی تیزهوشان نهم خواندیم، مثال هایی از فصل اول کتاب ریاضی نهم را جهت آمادگی برای آزمون تیزهوشان بررسی کردیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با درسنامهٔ مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.