مختصات ریاضی هفتم 📏✏️ – محور و نواحی مختصاتی!

مختصات ریاضی هفتم 📏✏️ - محور و نواحی مختصاتی!

در درسنامهٔ مختصات ریاضی هفتم ابتدا نمایش نقاط صفحه با استفاده از محورهای مختصات را مرور می‌کنیم. سپس صفحه را با استفاده از محورها ناحیه بندی کرده و به هر یک شماره‌ای اختصاص می‌دهیم. در انتها نیز، همان طور که نقاط صفحه را با استفاده از مختصاتشان نشان دادیم، بردارها را نمایش خواهیم داد. سعی می‌کنیم با حل مثال، به درک بهتر شما از این مبحث کمک کنیم.

یادآوری محورهای مختصات

همان‌طور که می‌دانید، هر نقطه از صفحه را می‌توان با استفاده از مختصات آن نمایش داد. مثلاً شکل زیر را در نظر بگیرید:

مختصات ریاضی هفتم

نقطهٔ \(\Large A\) در شکل بالا را می‌توان با استفاده از مختصات آن به صورت \(\Large A=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) نمایش داد. درایهٔ بالایی، نشان دهندهٔ طول و درایهٔ پایینی، نشان دهندهٔ عرض نقطهٔ \(\Large A\) است.

برای علاقه‌مندان: دستگاه مختصاتی که در دورهٔ دبیرستان با آن کار می‌کنیم، دستگاه مختصات دکارتی است. اما می‌توان نقاط صفحه را با استفاده از دستگاه مختصات استوانه‌ای، کروی و یا دیگر دستگاه‌ها نیز نمایش داد. در صورتی که علاقه‌مندید می‌توانید در این مورد مطالعه کنید.

مثال از مختصات ریاضی هفتم

مثال 1: مختصات نقاط \(\Large A\) و \(\Large B\) و \(\Large C\) که در شکل زیر مشخص شده‌اند را بنویسید.

مثال از تعیین مختصات دو نقطه

حل: طول نقطهٔ \(\Large A\) برابر با \(\Large -2\) و عرض آن برابر با \(\Large 1\) است؛ بنابراین مختصات نقطهٔ \(\Large A\) برابر است با \(\Large \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\). طول نقطهٔ \(\Large B\) برابر با \(\Large 4\) و عرض آن برابر با \(\Large 3\) است؛ بنابراین مختصات نقطهٔ \(\Large B\) برابر است با \(\Large \begin{bmatrix} 4 \\3 \end{bmatrix}\). طول نقطهٔ \(\Large C\) برابر با \(\Large 2\) و عرض آن برابر با \(\Large -3\) است؛ بنابراین مختصات نقطهٔ \(\Large C\) برابر است با \(\Large \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}\).

ناحیه‌های صفحه

می‌توان صفحه را با استفاده از محورهای مختصات به چهار ناحیه تقسیم کرد. در شکل زیر این چهار ناحیه را شماره‌گذاری کرده‌ایم:

نواحی صفحه

به عبارت دیگر، هر یک از نقاط صفحه (به غیر از مبدأ) با توجه به طول و عرضی که دارند، به صورت زیر در یکی از این نواحی قرار می‌گیرد:

  1. ناحیهٔ 1: نقاطی که دارای \(\Large x>0\) و \(\Large y>0\) هستند.
  2. ناحیهٔ 2: نقاطی که دارای \(\Large x<0\) و \(\Large y>0\) هستند.
  3. ناحیهٔ 3: نقاطی که دارای \(\Large x<0\) و \(\Large y<0\) هستند.
  4. ناحیهٔ 4: نقاطی که دارای \(\Large x>0\) و \(\Large y<0\) هستند.

مثلاً در شکل زیر، نقطهٔ \(\Large A\) در ناحیهٔ 1، نقطهٔ \(\Large B\) در ناحیهٔ 2، نقطهٔ \(\Large C\) در ناحیهٔ 3 و نقطهٔ \(\Large D\) در ناحیهٔ 4 قرار دارد.

مثال از تعیین نواحی صفحه

مثال از مختصات ریاضی هفتم

مثال 2: بدون مشخص کردن نقاط \(\Large A=\begin{bmatrix} -1 \\ -5 \end{bmatrix}\) و \(\Large B=\begin{bmatrix} 3 \\ -7 \end{bmatrix}\) در صفحه، تعیین کنید هر کدام در کدام ناحیه از صفحه قرار دارند.

حل: طول نقطهٔ \(\Large A\) برابر با \(\Large -1\) و کوچکتر از صفر است. عرض نقطهٔ \(\Large A\) نیز برابر با \(\Large -5\) و کوچکتر از صفر است. بنابراین، نقطهٔ \(\Large A\) در ناحیهٔ سوم قرار دارد. نقطهٔ \(\Large B\) نیز، از آنجاییکه طولی برابر با \(\Large 3\) و بزرگتر از صفر و عرضی برابر با \(\Large -7\) و کوچکتر از صفر دارد، در ناحیهٔ چهارم قرار می‌گیرد.

مختصات بردار

می‌توان بردارها را مانند نقاط، با استفاده از مختصاتشان نمایش داد. برای این کار می‌توان طول نقطهٔ انتها منهای نقطهٔ ابتدای بردار را به عنوان طول بردار و عرض نقطهٔ انتها منهای نقطهٔ ابتدای بردار را به عنوان عرض آن در نظر گرفت. برای اینکه بهتر متوجه شوید، بردار \(\Large \overrightarrow{AB}\) در شکل زیر را در نظر بگیرید:

مختصات ریاضی هفتم

اگر بردار \(\Large \overrightarrow{AB}\) را به صورت یک حرکت از نقطهٔ \(\Large A\) به نقطهٔ \(\Large B\) در نظر بگیریم، می‌توانیم بگوییم 3 واحد در راستای محور \(\Large x\) و 2 واحد در راستای محور \(\Large y\) جلو رفته‌ایم. بنابراین می‌توانیم بردار \(\Large \overrightarrow{AB}\) را به صورت زیر نمایش دهیم:

\(\LARGE \overrightarrow{AB}=B-A=\begin{bmatrix} 3\\ 2 \end{bmatrix}\)

به عبارت دیگر، اگر به طول نقطهٔ \(\Large A=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\) که برابر با \(\Large 1\) است، 3 واحد اضافه کنیم، طول نقطهٔ \(\Large B=\begin{bmatrix} 4\\ 3 \end{bmatrix}\) که برابر با \(\Large 4\) است به دست می آید. همچنین، اگر به عرض نقطهٔ \(\Large A=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\) که برابر با \(\Large 1\) است، 2 واحد اضافه کنیم، عرض نقطهٔ \(\Large B=\begin{bmatrix} 4\\ 3 \end{bmatrix}\) که برابر با \(\Large 3\) است حاصل می‌شود.

مثال از مختصات ریاضی هفتم

مثال 3: مختصات بردارهای \(\Large \overrightarrow{AB}\) و \(\Large \overrightarrow{CD}\) را که در شکل زیر مشخص شده‌اند، بنویسید.

مثال از تعیین مختصات بردار

حل: می‌توانیم برای درک آسان‌تر، تعداد واحدی را که در هر بردار در جهت محورها حرکت می‌کنیم، به صورت زیر روی شکل مشخص کنیم:

مختصات ریاضی هفتم

ابتدا مختصات نقاط \(\Large A\) و \(\Large B\) را می‌نویسیم:

\(\LARGE A=\begin{bmatrix} -2\\ 1 \end{bmatrix}\)

\(\LARGE B=\begin{bmatrix} -4\\ 5 \end{bmatrix}\)

پس اگر \(\Large -2\) واحد به طول نقطهٔ \(\Large A\) و \(\Large 4\) واحد به عرض نقطهٔ \(\Large A\) اضافه کنیم، مختصات نقطهٔ \(\Large B\) به دست می‌آید. در نتیجه مختصات بردار \(\Large \overrightarrow{AB}\) به صورت زیر است:

\(\LARGE \overrightarrow{AB}=B-A=\begin{bmatrix} -2\\ 4 \end{bmatrix}\)

برای به دست آوردن مختصات بردار \(\Large \overrightarrow{CD}\) نیز ابتدا مختصات نقاط \(\Large C\) و \(\Large D\) را تعیین می‌کنیم:

\(\LARGE C=\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix}\)

\(\LARGE D=\begin{bmatrix} -1\\ -4 \end{bmatrix}\)

بنابراین اگر \(\Large -4\) واحد به طول نقطهٔ \(\Large C\) و \(\Large -5\) واحد به عرض نقطهٔ \(\Large C\) اضافه کنیم، مختصات نقطهٔ \(\Large D\) به دست می‌آید. در نتیجه مختصات بردار \(\Large \overrightarrow{CD}\) به صورت زیر است:

\(\LARGE \overrightarrow{CD}=D-C=\begin{bmatrix} -4\\ -5\end{bmatrix}\)

مثال از مختصات ریاضی هفتم

مثال 4: ابتدای یک بردار، نقطهٔ \(\Large A=\begin{bmatrix} -3\\ -8 \end{bmatrix}\) و انتهای آن، نقطهٔ \(\Large B=\begin{bmatrix} -2\\ 6 \end{bmatrix}\) است. بدون رسم بردار، مختصات آن را تعیین کنید.

حل: همان طور که گفتیم، برای تعیین مختصات هر برداری باید طول انتهای آن را منهای طول ابتدای آن کرده و عرض انتهای آن را منهای عرض ابتدای آن کنیم. به این صورت، مختصات بردار تعیین می‌شود. به عبارت دیگر، کافی است ببینیم چه اعدادی را باید به طول و عرض نقطهٔ ابتدای بردار اضافه کرد تا طول و عرض نقطهٔ انتهای آن به دست بیاید. اگر به طول نقطهٔ \(\Large A\) مقدار \(\Large 1\) واحد اضافه کرده و به عرض آن \(\Large 14\) واحد اضافه کنیم، طول و عرض نقطهٔ \(\Large B\) به دست می‌آید. بنابراین مختصات بردار \(\Large \overrightarrow{AB}\) به صورت زیر است:

\(\LARGE \overrightarrow{AB}=B-A=\begin{bmatrix} 1\\ 14 \end{bmatrix}\)

مثال از مختصات ریاضی هفتم

مثال 5: قرینهٔ بردار \(\Large \overrightarrow{AB}\) را نسبت به محور عرض‌ها رسم کرده، سپس مختصات بردار قرینه را تعیین کنید.

یافتن قرینهٔ یک بردار نسبت به محور عرض‌ها

حل: همان طور که در درسنامهٔ تبدیلات هندسی ریاضی هفتم خواندید، برای پیدا کردن قرینهٔ محوری یک پاره‌خط کافی است از نقاط ابتدا وانتهای آن به خطی که قرار است قرینه را نسبت به آن به دست آوریم، عمود کرده و به اندازهٔ طول عمود، آن را ادامه دهیم. بنابراین، برای تعیین قرینهٔ بردار \(\Large \overrightarrow{AB}\)، قرینهٔ نقاط \(\Large A\) و \(\Large B\) را به دست آورده و بردار \(\Large \overrightarrow{A’B’}\) را رسم می‌کنیم:

مختصات ریاضی هفتم

به این ترتیب، مختصات نقاط \(\Large A’\) و \(\Large B’\) به صورت زیر است:

\(\LARGE A’=\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}\)

\(\LARGE B’=\begin{bmatrix} 3\\ 5 \end{bmatrix}\)

همان طور که می‌بینید، مختصات نقاط \(\Large A’\) و \(\Large B’\) از قرینه کردن طول نقاط \(\Large A\) و \(\Large B\) و ثابت نگه داشتن عرض آن‌ها به دست می‌آید. مانند قسمت‌های قبل، برای تعیین مختصات بردار \(\Large \overrightarrow{A’B’}\) کافی است ببینیم با اضافه کردن چه اعدادی به مختصات نقطهٔ \(\Large A’\)، مختصات نقطهٔ \(\Large B’\) به دست می‌آید. اگر \(\Large 2\) واحد به طول نقطهٔ \(\Large A’\) و \(\Large 4\) واحد به عرض آن اضافه کنیم، مختصات نقطهٔ \(\Large B’\) به دست می آید. بنابراین مختصات بردار \(\Large \overrightarrow{A’B’}\) به صورت زیر است:

\(\LARGE \overrightarrow{A’B’}=B’-A’=\begin{bmatrix} 2\\ 4 \end{bmatrix}\)

زنگ آخر کلاس مختصات ریاضی هفتم

در درسنامه‌ای که از ریاضی هفتم خواندیم، ابتدا نمایش نقاط در دستگاه مختصات را مرور کردیم. سپس، صفحه را با استفاده از محورها به چهار ناحیه تقسیم کرده و ویژگی هر ناحیه را بیان کردیم. در انتها نیز، به چگونگی تعیین مختصات یک بردار پرداختیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مختصات ریاضی هفتم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.

بیا بیشتر بخونیم:
مساحت جانبی و کل ریاضی هفتم 🔋🧨 - جوانبشو بسنج!

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.