محاسبه عبارت توان دار هفتم ✳️➕- نمایش اعداد!

در درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم ابتدا اولویت عملیات ریاضی را مرور کرده و جایگاه محاسبهٔ توان را نشان می‌دهیم. سپس، به بررسی توان اعداد منفی می‌پردازیم. در انتها نیز، اعداد طبیعی مختلف را به صورت مجموع مضاربی از توان‌های عدد \(\Large 10\) نشان خواهیم داد. با ما تا انتهای این درسنامه همراه باشید.

ترتیب انجام عملیات

قبل از این می‌دانستیم برای انجام عملیات ریاضی، ابتدا باید عبارت داخل پرانتز را محاسبه می‌کردیم؛ سپس ضرب و تقسیم و در آخر جمع و تفریق را انجام می‌دادیم. اما جایگاه محاسبهٔ عبارت‌های توان‌ دار کجاست؟ عبارت‌ها توان‌دار بعد از پرانتز اولویت دارند. در واقع، اولویت انجام عملیات ریاضی به ترتیب زیر است:

1. پرانتز
2. توان
3. ضرب و تقسیم
4. جمع و تفریق

نکتهٔ مهم در مورد اولیت عملیات

به علامت منفی می‌توان به دو شکل نگاه کرد:

1. علامت منفی را متعلق به عبارت سمت راست خود در نظر بگیریم؛ در این صورت، علامت منفی به عنوان عمل تفریق نیست، بلکه برای نشان دادن وارون جمعی یک عدد به کار می‌رود.
2. علامت منفی را به عنوان عمل تفریق در نظر بگیریم.

در حالت اول، اگر عبارتی داشتیم که تنها شامل علامت‌های مثبت و منفی بود، تفاوتی نمی‌کند به چه ترتیبی عملیات را انجام دهیم؛ زیرا در واقع تنها یک عمل داریم که همان عمل جمع است. مثلاً اگر بخواهیم عبارت \(\Large 2-3+5\) را محاسبه کنیم، از آنجاییکه علامت منفی را متعلق به عدد \(\Large 3\) در نظر گرفته‌ایم، عبارت را به صورت \(\Large 2+(-3)+5\) بازنویسی می‌کنیم. حال، تفاوتی نمی‌کند ابتدا \(\Large 2+(-3)\) را محاسبه کرده و سپس حاصل را با \(\Large 5\) جمع کنیم، یا ابتدا \(\Large (-3)+5\) را محاسبه کرده و سپس با \(\Large 2\) جمع کنیم. در هر دو صورت، پاسخ برابر با \(\Large 4\) خواهد شد.

اما در حالت دوم، از آنجاییکه عمل تفریق شرکت پذیر نیست، ترتیب محاسبه مهم است. مثلاً همان عبارت \(\Large 2-3+5\) را در نظر بگیرید. اگر ابتدا \(\Large 2-3\) را محاسبه کرده و سپس با \(\Large 5\) جمع کنیم، حاصل برابر با \(\Large 4\) خواهد شد؛ اما اگر ابتدا \(\Large 3+5\) را محاسبه کرده و سپس حاصل \(\Large 2-(3+5)\) را به دست آوریم، پاسخ برابر با \(\Large -6\) خواهد شد.

در نهایت چه کار کنیم؟

در هر دو صورت اگر عملیات را به ترتیب از چپ به راست انجام دهیم، پاسخ درست خواهد بود. بنابراین توصیه می‌کنیم در صورتی که در یک عبارت تنها علامت‌های مثبت و منفی وجود داشت، عملیات را از چپ به راست انجام دهید. این نکته در مورد ضرب و تقسیم نیز صادق است. یعنی اگر در یک عبارت تنها علامت‌های ضرب و تقسیم وجود داشت، عملیات را به ترتیب از چپ به راست انجام دهید.

برای علاقه‌مندان: در دبیرستان، از علامت منفی برای نشان دادن وارون یک عدد استفاده می‌کنیم. اما می‌توان ساختارهای جبری بدون خاصیت شرکت ‌پذیری ساخت و در آن‌ها تفریق را یک عمل در نظر گرفت. در صورتی که علاقه‌مندید، می‌توانید در مورد ماگما‌ها و تفاوتشان با نیم‌گروه‌ها مطالعه کنید.

مثال از درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم

مثال 1: حاصل عبارت \(\Large \frac{12+6 \times 10}{2^3 \times 3^2}\) را به دست آورید.

حل 1: ابتدا باید گفت، وقتی عبارت کسری داریم باید در ذهنمان، هم برای صورت و هم برای مخرج، پرانتز قرار دهیم؛ یعنی ابتدا صورت و مخرج را جداگانه محاسبه کرده و سپس بر یکدیگر تقسیم کنیم. طبق اولویت عملیاتی که گفتیم پیش می‌رویم. ابتدا اعداد توان‌داری که در مخرج داریم را محاسبه می‌کنیم:

\(\LARGE \frac{12+6 \times 10}{2^3 \times 3^2}=\frac{12+6 \times 10}{8 \times 9}\)

حال می‌توانیم ضربی که در صورت و مخرج داریم را انجام دهیم:

\(\LARGE \frac{12+6 \times 10}{8 \times 9}=\frac{12+60}{72}\)

در این مرحله، جمعی که در صورت کسر وجود دارد را به دست می‌آوریم:

\(\LARGE \frac{12+60}{72}=\frac{72}{72}\)

در نهایت، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم که حاصل برابر با \(\Large 1\) خواهد شد.

مثال از درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم

مثال 2: حاصل عبارت \(\Large (\frac{1}{3} \times 27)-2^3 \div 4\)  را به دست آورید.

حل 2: با توجه به اولویت عملیاتی، ابتدا عبارت داخل پرانتز را محاسبه می‌کنیم:

\(\Large (\frac{1}{3} \times 27)-2^3 \div 4 =9-2^3 \div 4\)

در مرحلهٔ بعد، سراغ عدد توان‌دار می‌رویم:

\(\LARGE 9-2^3 \div 4=9-8 \div 4\)

حال می‌توانیم تقسیم را انجام دهیم:

\(\LARGE 9-8 \div 4=9-2\)

در نهایت نیز تفریق را انجام می‌دهیم:

\(\LARGE 9-2=7\)

مثال از درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم

مثال 3: حاصل عبارت \(\Large b-(\frac{4}{a})^3 \div 4\)  را به ازای \(\Large a=2\) و \(\Large b=3\) به دست آورید.

حل 3: مقادیر \(\Large a=2\) و \(\Large b=3\) را در عبارت داده شده جاگذاری می‌کنیم:

\(\LARGE 3-(\frac{4}{2})^3 \div 4\)

طبق اولویت عملیاتی جلو می‌رویم. ابتدا عبارت داخل پرانتز را حساب می‌کنیم:

\(\LARGE 3-(\frac{4}{2})^3 \div 4=3-2^3 \div 4\)

در مرحلهٔ بعد، عدد توان‌دار را محاسبه می‌کنیم:

\(\LARGE 3-2^3 \div 4=3-8 \div 4\)

حال، تقسیم را انجام می‌دهیم:

\(\LARGE 3-8 \div 4=3-2\)

در نهایت، تفریق را انجام می‌دهیم:

\(\LARGE 3-2=1\)

مثال از درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم

مثال 4: آیا تساوی \(\Large (4+5)^2=4^2+5^2\) درست است؟ تساوی \(\Large (4 \times 5)^2=4^2 \times 5^2\) چه طور؟

حل 4: برای بررسی صحت هر کدام از تساوی‌ها، دو طرف تساوی را ساده کرده و با یکدیگر مقایسه می‌کنیم. ابتدا تساوی \(\Large (4+5)^2=4^2+5^2\) را بررسی می‌کنیم. طرف چپ تساوی \(\Large (4+5)^2=4^2+5^2\) به صورت زیر ساده می‌شود:

\(\LARGE (4+5)^2=9^2=81\)

طرف راست تساوی \(\Large (4+5)^2=4^2+5^2\) نیز برابر است با:

\(\LARGE 4^2+5^2=16+25=41\)

همان طور که می‌بینید، دو طرف تساوی با یکدیگر برابر نیستند. بنابراین، تساوی \(\Large (4+5)^2=4^2+5^2\) نادرست است. حال، به بررسی تساوی \(\Large (4 \times 5)^2=4^2 \times 5^2\) می‌پردازیم. طرف چپ این تساوی به صورت زیر ساده می‌شود:

\(\LARGE (4 \times 5)^2=20^2=400\)

طرف راست تساوی \(\Large (4 \times 5)^2=4^2 \times 5^2\) نیز برابر است با:

\(\LARGE 4^2 \times 5^2=16 \times 25=400\)

بنابراین، دو طرف تساوی \(\Large (4 \times 5)^2=4^2 \times 5^2\) برابر هستند.

مثال از درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم

مثال 5: حاصل عبارت \(\Large 4 \div 2 \times 8\) را به دست آورید.

حل 5: همان طور که گفتیم، یا علامت \(\Large \div \) را برای نشان دادن وارون ضربی یک عضو در نظر می‌گیریم. یا به تقسیم به عنوان یک عمل نگاه می‌کنیم. در هر دو صورت اگر عملیات را از چپ به راست انجام دهیم، محاسبات صحیح خواهد بود. بنابراین، محاسبات را به ترتیب از چپ به راست انجام می‌دهیم:

\(\LARGE 4 \div 2 \times 8=2 \times 8=16\)

به توان رساندن اعداد منفی

با توجه به تعریف توان می‌توان به دو نتیجهٔ زیر رسید:

• اگر توان یک عدد منفی، فرد باشد، حاصل منفی خواهد شد؛ همان طور که اگر تعداد فردی عدد منفی را در یکدیگر ضرب کنیم، حاصل منفی می‌شود.
• اگر توان یک عدد منفی، زوج باشد، حاصل زوج خواهد شد؛ همان طور که اگر تعداد زوجی عدد منفی را در یکدیگر ضرب کنیم، حاصل مثبت می‌شود.

دو موردی که گفتیم را می توانید در تصویر زیر نیز مشاهده کنید:

 

مثال از درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم

مثال 6: حاصل عبارات \(\Large (-2)^3\) و \(\Large (-5)^2\) را به دست آورید.

حل 6: با توجه به تعریف توان داریم:

\( (-2)^3=(-2) \times (-2) \times (-2)=-8\)

\(\LARGE (-5)^2=(-5) \times (-5)=25\)

مثال 7: حاصل عبارات \(\Large (-\frac{2}{3})^2\) و \(\Large (-\frac{5}{3})^3\) را به دست آورید.

حل 7: با توجه به تعریف توان داریم:

\(\LARGE (-\frac{2}{3})^3=(-\frac{2}{3}) \times (-\frac{2}{3}) =\frac{4}{9}\)

\( (-\frac{5}{3})^3=(-\frac{5}{3}) \times (-\frac{5}{3}) \times (-\frac{5}{3})=-\frac{125}{27}\)

البته اگر علامت منفی پشت پرانتز باشد وپرانتز هر توانی داشته باشد علامت حاصل قرینه خواهد شد.

– \( (-2)^3=8\)

–\(\LARGE (-5)^2=-25\)

به قسمت بعدی از درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم توجه کنید.

نمایش اعداد به صورت گسترده و توانی

هر عددی را می‌توان به صورت مجموع مضاربی از \(\Large 1\) و \(\Large 10\) و \(\Large 100\) و \(\Large \dots\) نوشت. مثلاً می‌توان عدد \(\Large 345\) را به صورت زیر نوشت:

\(\Large 345=300+40+5\)

\( \Rightarrow 345=3 \times 100+4 \times 10+5 \times 1\)

اگر دقت کنید، \(\Large 1\) همان \(\Large 10^0\) است، \(\Large 10\) همان \(\Large 10^1\) است و \(\Large 100\) همان \(\Large 10^2\) است. بنابراین عدد \(\Large 345\) را می‌توانیم به صورت زیر نیز بنویسیم:

\( 345=3 \times 10^2+4 \times 10^1+5 \times 10^0\)

بقیهٔ اعداد طبیعی را نیز می‌توان مانند عدد \(\Large 345\) به صورت مجموعی از مضارب توان‌های \(\Large 10\) نوشت.

مثال از درسنامهٔ محاسبه عبارت توان دار هفتم

مثال 8: عدد \(\Large 3142\) را به صورت مجموعی از مضارب توان‌های \(\Large 10\) بنویسید.

حل 8: عدد \(\Large 3142\) را ابتدا به صورت گسترده می‌نویسیم:

\(3142=3000+100+40+2\)

\(3142=3 \times 1000+1 \times 100+4 \times 10+2 \times 1\)

حال، عبارت بالا را به صورت مجموعی از مضارب توان‌های \(\Large 10\) می‌نویسیم:

\(3142=3 \times 10^3+1 \times 10^2+4 \times 10^1+2 \times 10^0\)

توصیه میشه قبل از خوندن این پست ،پست تعریف توان ریاضی هفتم را بخوانید ودر ادامه پست ساده کردن عبارتهای تواندار رو بخوانید.

زنگ آخر کلاس محاسبه عبارت توان دار هفتم

در درسنامه‌ای که از ریاضی هفتم خواندیم، ابتدا اولویت عملیات ریاضی را مرور کردیم. سپس، به بررسی توان اعداد منفی پرداختیم. در انتها نیز، نمایش اعداد به صورت مجموعی از مضارب توان‌های \(\Large 10\) را دیدیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با این مبحث دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.