آموزش ریاضی پایه نهم
قدر مطلق ریاضی نهم ⏸? – فاصلتو از مبدا بدون!
مهر
می‌خواهیم به مبحث قدر مطلق ریاضی نهم بپردازیم. برای تعریف قدر مطلق نیاز داریم تا ابتدا فاصلۀ یک نقطه از مبدأ را بررسی کنیم. بعد از این بررسی، قدر مطلق را به سادگی معرفی کرده و با خواص جالب آن در مورد جمع و ضرب اعداد آشنا می‌شویم. با خواندن این درسنامه و حل مثال‌های آن، مشکلی در درک مبحث قدر مطلق ریاضی نهم نخواهید داشت.
فاصلۀ نقطه از مبدأ
محور اعداد که در شکل زیر رسم شده است و نقاط \(\Large A \) و \(\Large B \) را در نظر بگیرید.
فاصلۀ نقطۀ \(\Large A=1 \) از مبدأ (صفر) برابر با یک واحد است. فاصلۀ نقطۀ \(\Large B=-1 \) نیز از مبدأ برابر با یک واحداست. در واقع هم \(\Large 1 \) و هم \(\Large -1 \) دارای فاصلۀ \(\Large 1 \) واحد از مبدأ هستند. از طرفی نقطۀ دیگری به غیر از این دو نقطه نیست که روی محور قرار داشته باشد و دارای فاصلۀ یک واحد از مبدأ باشد. قدر مطلق بر همین اساس تعریف می‌شود. به قسمت بعد از درسنامۀ قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.
تعریف قدر مطلق در قدر مطلق ریاضی نهم
به فاصلۀ نقطۀ \(\Large x \) از مبدأ، قدر مطلق \(\Large x \) می‌گوییم و آن را با نماد \(\Large |x| \) نمایش می‌دهیم. در قسمت قبل دیدیم که فاصلۀ \(\Large 1 \) و \(\Large -1 \) از مبدأ برابر با یک است. بنابراین داریم:
\(\LARGE |-1|=|1|=1 \)
قدر مطلق اعداد مثبت، منفی و صفر
به طور کلی برای اعداد حقیقی، سه حالت زیر را داریم:
- اعداد حقیقی مثبت: فاصلۀ اعداد حقیقی مثبت از مبدأ برابر با خود عدد است. بنابراین برای عدد حقیقی \(\Large a>0 \) داریم \(\Large |a|=a \).
- اعداد حقیقی منفی: طبق تعریف تقارن، فاصلۀ هر عدد از مبدأ، با فاصلۀ قرینۀ آن عدد از مبدأ برابر است. بنابراین برای عدد حقیقی \(\Large a<0 \) داریم \(\Large |a|=|-a| \) که \(\Large -a \) یک عدد مثبت است. در نتیجه برای \(\Large a<0 \) داریم \(\Large |a|=|-a|=-a \).
- عدد حقیقی صفر: فاصلۀ صفر از مبدأ برابر با صفر است. بنابراین \(\Large |0|=0 \).
به زبان ساده اگر حاصل عبارت داخل قدر مطلق، عددی مثبت یا صفر شد، خود آن عدد از قدرمطلق بیرون می آیدو اگر منفی باشد، قرینۀ آن .
بنابراین \(\Large |-\sqrt{6}|=\sqrt{6} \) و \(\Large |\frac{3}{7}|=\frac{3}{7} \) است. به مثال‌های بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.
مثال از قدر مطلق ریاضی نهم
مثال 1: حاصل \(\Large |(-2)\times 10+7| \) را به دست آورید.
حل: کافی است عبارت داخل قدر مطلق را حساب کنیم. اگر حاصل عبارت داخل قدر مطلق، عددی مثبت یا صفر شد، خود آن عدد پاسخ مسئله است و اگر منفی شد، قرینۀ آن جواب مسئله است. بنابراین داریم:
\( \Large |(-2)\times 10+7|=|-20+7|=|-13|=13 \)
به مثال بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.
مثال 2: حاصل \(\Large |3\times 8-17| \) را به دست آورید.
حل: مانند مثال قبل، حاصل عبارت داخل قدر مطلق را به دست می‌آوریم. اگر حاصل، عددی نامنفی شد خود عدد و اگر منفی شد، قرینۀ آن پاسخ مسئله خواهد بود. پس داریم:
\( \Large |3\times 8-17|=|24-17|=|7|=7 \)
قدر مطلق مجموع
به طور کلی برای محاسبۀ \(\Large |a+b| \) که در آن \(\Large a \) و \(\Large b \) دو عدد حقیقی دلخواه هستند، باید مانند دو مثال قبل عمل کنیم. یعنی ابتدا عبارت داخل قدر مطلق را حساب کرده و سپس با توجه به مثبت یا منفی بودن آن، حاصل قدر مطلق را به دست آوریم. اما، در هر صورتی، چه علامت داخل قدر مطلق مثبت باشد و چه منفی، قضیۀ زیر برقرار است:
قضیۀ نامساوی مثلثی:
قدر مطلق مجموع دو عدد حقیقی دلخواه، کوچکتر یا مساوی مجموع قدر مطلق‌های آنهاست.
یعنی برای هر عدد حقیقی دلخواه \(\Large a \) و \(\Large b \) داریم:
\(\LARGE |a+b|\leq |a|+|b| \)
اثبات این قضیه ساده است اما از آنجاییکه باید از خواص نامساوی‌ها استفاده کنیم و خواص نامساوی‌ها را سال آینده یاد خواهید گرفت، از اثبات این قضیه در این درسنامه صرف نظر میکنیم. به مثال بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.
مثال از قضیۀ نامساوی مثلثی
مثال 3: برقراری نامساوی مثلثی را برای دو عبارت \(\Large |-3+2| \) و \(\Large |2+5| \) بررسی کنید.
حل: در مورد عبارت \(\Large |-3+2| \) داریم:
\(\Large |-3+2|=|-1|=1 \)
\(\Large |-3|+|2|=3+2=5 \)
\(\Large \Rightarrow |-3+2|< |-3|+|2| \)
در مورد عبارت \(\Large |2+5| \) نیز داریم:
\(\Large |2+5|=|7|=7 \)
\(\Large |2|+|5|=2+5=7 \)
\(\Large \Rightarrow |2+5|=|2|+|5| \)
بنابراین صحت قضیۀ نامساوی مثلثی را برای دو عبارت داده شده در مثال می‌بینیم.
قدر مطلق حاصل ضرب
قدر مطلق حاصل ضرب هر دو عدد حقیقی دلخواه برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق هر کدام از آنها. یعنی به ازای هر دو عدد حقیقی دلخواه \(\Large a\) و \(\Large b \) داریم:
\(\LARGE |a\times b|=|a|\times |b| \)
بیایید این گزاره را ثابت کنیم. برای \(\Large a\) و \(\Large b \) چهار حالت داریم:
- \(\Large a>0\) و \(\Large b>0 \): در این صورت \(\Large |a\times b|=a\times b \) و \(\Large |a|\times |b|=a\times b \).
- \(\Large a<0\) و \(\Large b<0 \): در این صورت \(\Large |a\times b|=a\times b \) و \(|a|\times |b|=(-a)\times (-b)=a\times b \).
- \(\Large a<0\) و \(\Large b>0 \): در این صورت \(\Large |a\times b|=-(a\times b) \) و \( |a|\times |b|=(-a)\times b=-(a\times b) \).
- \(\Large a>0\) و \(\Large b<0 \): در این صورت \(\Large |a\times b|=-(a\times b) \) و \( |a|\times |b|=a\times (-b)=-(a\times b) \).
به زبان ساده داریم:
قدر مطلق حاصل ِضرب دو عدد، مساوی با حاصل ِ ضرب قدر مطلق آنهاست.
همان‌طور که دیدید در هر چهار حالت، قدر مطلق حاصل ضرب دو عدد برابر با حاصل ضرب قدر مطلق آنها خواهد شد. به مثال بعدی از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم توجه کنید.
مثال از حاصل ضرب قدر مطلق دو عدد
مثال 4: حاصل \(\Large |(-3)\times 5| \) را با استفاده از قضیۀ قبل محاسبه کنید.
حل: همان‌طور که گفتیم، قدر مطلق حاصل ضرب هر دو عدد حقیقی دلخواه برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق هر کدام از آنها. بنابراین داریم:
\( \Large |(-3)\times 5|=|-3|\times |5|=3\times 5=15 \)
قدر مطلق و محاسبه تقریبی
گاهی برای محاسبۀ قدر مطلق، لازم است تا مقادیر تقریبی یک عبارت (به خصوص مقدار تقریبی یک جذر) را محاسبه کرده و قدر مطلق را به دست آوریم. برای اینکه بهتر متوجه شوید، به مثال زیر از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم دقت کنید.
مثال 5: عبارت \(\Large |1-\sqrt{3}| \) را ساده کنید.
حل: می‌دانیم \(\Large \sqrt{3} \) حدوداً \(\Large 1.7 \) است. حتی اگر این را هم ندانیم، می‌دانیم \(\Large \sqrt{3} \) عددی بزرگتر از یک است. بنابراین حاصل \(\Large 1-\sqrt{3} \) عددی منفی است پس قرینه اش از قدرمطلق خارج می شود.. در نتیجه داریم:
\( \Large |1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1 \)
به مثال بعد از مبحث قدر مطلق ریاضی نهم دقت کنید.
مثال 6: عبارت \(\Large |1.8-\sqrt{2}|-|\sqrt{2}-2| \) را ساده کنید.
حل: مقدار \(\Large \sqrt{2} \) به صورت تقریبی \(\Large 1.4 \) است. در نتیجه، \(\Large 1.8-\sqrt{2} \) عبارتی مثبت پس خودش از قدرمطلق خارج می شودو \(\Large \sqrt{2}-2 \) عبارتی منفی است پس قرینه اش از قدرمطلق خارج می شود. بنابراین داریم:
\(\Large |1.8-\sqrt{2}|=1.8-\sqrt{2} \)
\(\Large |\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2} \)
\(\Large \Rightarrow |1.8-\sqrt{2}|-|\sqrt{2}-2| \)
\(\Large =(1.8-\sqrt{2})-(2-\sqrt{2}) \)
\(\Large =1.8-2=-0.2 \)
ارتباط قدر مطلق و ریشۀ دوم در قدر مطلق ریاضی نهم
اگر \(\Large a\) یک عدد حقیقی باشد و بخواهیم \(\Large \sqrt{a^2}\) و \(\Large |a|\) را به دست آورده و با یکدیگر مقایسه کنیم، بر اساس اینکه \(\Large a\) مثبت است یا منفی، دو حالت رخ خواهد داد:
- \(\Large a>0\) است. در این صورت \(\Large \sqrt{a^2}=a\) و \(\Large |a|=a\). به طور مثال \(\Large \sqrt{5^2}=5\) و \(\Large |5|=5\) است.
- \(\Large a<0\) است. در این صورت \(\Large \sqrt{a^2}=-a\) و \(\Large |a|=-a\). به طور مثال \(\Large \sqrt{(-3)^2}=3\) و \(\Large |-3|=3\) است.
همان‌طور که دیدید، در هر دو حالت، ریشۀ دوم مجذور یک عدد حقیقی برابر با قدر مطلق آن عدد شد. بنابراین برای هر عدد حقیقی دلخواه \(\Large a\) داریم:
\(\LARGE \sqrt{a^2}=|a|\)
زنگ آخر کلاس قدر مطلق ریاضی نهم
همان‌طور که دیدید، قدر مطلق یک عدد حقیقی برابر است با فاصلۀ آن عدد روی محور از مبدأ. قدر مطلق یک عدد مثبت برابر با خود آن عدد و قدر مطلق یک عدد منفی برابر با قرینۀ آن بود. از طرفی دو خاصیت جالب زیر را برای قدر مطلق جمع و ضرب دیدیم:
- قدر مطلق مجموع دو عدد حقیقی دلخواه، کوچکتر یا مساوی مجموع قدر مطلق‌های آنهاست.
- قدر مطلق حاصل ضرب هر دو عدد حقیقی دلخواه برابر است با حاصل ضرب قدر مطلق هر کدام از آنها.
در پایان، ار تباط قدر مطلق و ریشۀ دوم مجذور یک عدد را نیز بررسی کردیم. شما می‌توانید آموزش رسم نمودار تابع قدرمطلق را نیز در این سایت مطالعه کنید. ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با مبحث قدرمطلق ریاضی نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند داد.
بسیار عالی بود?
سلام و عرض ادب
ممنون از توجهی که داشتید.
موفق باشید.
سلام و احترام
خیلی بود ممنون
با سلام وعرض ادب
ممنون از توجه ولطف شما
“مثال 2: حاصل |3×8−17| را به دست آورید.
حل: مانند مثال قبل، حاصل عبارت داخل قدر مطلق را به دست می‌آوریم. اگر حاصل، عددی نامنفی شد خود عدد و اگر منفی شد، قرینۀ آن پاسخ مسئله خواهد بود. پس داریم:”
تو بخش مثال هایی از قدر مطلق نهم اشتباهه(اگر عدد منفی باشد خود عدد باید خود عدد مثبت باشد)
خیلی ممنون کامل و عالی بینظیر
با سلام وعرض ادب
ممنون از پاسخگویی شما
اگر حاصل داخل قدر مطلق منی باشد باید قرینه اش که مثبت هست بیاد بیرون مثلا قدر مطلق ی منهای رادیکال ۲ چون منفی هست قرینه اش یعنی رادیکال و منهای یک میاد بیرون
بسیار عالی مختصر و مفید وکاربردی
باسلام واحترام
ممنون هدف اصلی ماهم همین بوده
کاملا درسته
خیلی خوب بود ممنونم
سلام و عرض ادب
ممنون از توجهی که داشتید.
موفق باشید.
خیلی عالی بود
با سلام واحترام
نظر لطف شماست
بدک نبود
سلام دوست عزیز
ممنون از توجهی که داشتید.
لطفا با گفتن کامل نظراتتون ما را در بهبود سایت ریاضیکا همراهی کنید.
موفق باشید.
عالی بود ممنون از شما فقط نمودار تابع قدر مطلق برای نهم هستش ؟؟
سلام و عرض ادب
متشکرم از توجهی که داشتید.
در ریاضی نهم شما نمودارشو مورد بررسی قرار نمیدهید.
موفق باشبد.
خیلی عالی فقط میشه قدر مطلق تفریق دو عدد را هم توضیح بدین؟
سلام دوست عزیز
اگر a-b رو(a+(-b بنویسید با قانون جمع درست میشه
بله
سلام دوست عزیز
سوالی داشتید؟
||a||
وقتی دوتا قدر مطلق بیاد جواب چی میشه؟؟
وجود دوتا قدر مطلق به این شکل با یدونه فرقی نداره
سلام، من متوجه نمی شوم چرا وقتی عدد را از زیر رادیکال خارج می کنیم الزاماً باید در قدر مطلق ببریم.
به عنوان مثال، وقتی ۳ و ۳- را به توان ۲ می رسانیم، حاصل هردو ۹ می شود. پس جذر ۹ هم باید برابر مثبت و منفی ۳ شود، که این حرف من خلاف استفاده از قدرمطلق در جذرگیری از اعداد هست. ممنون می شوم با استدلالی مرا قانع کنید
سلام دوست عزیز
ببینید عدد نه دوریشه دارد سه ومنفی سه وس در یک معادله وقتی ریشه دوم میگیریم هر دو ریشه را مینویسیم وای وقتی مینویسیم رادیکال نه چون پشت رادیکال مثبت هست ما اون ریشه ای که مثبت هست می نویسیم نمیشه در یک تساوی یک طرف مثبت ویک طرف منفی باشد
Aliiiii mmnunm vaghn yad grftm khyli mmnun:)
سلام و عرض ادب
ممنون از انرژیتون
موفق باشید
ببخشید من جواب این سوالم رو جایی پیدا نکردم
|۲|-
منفی پشته قدر مطلق باشه چی میشه ؟
چون اگر حساب کنیم اول قدر مطلق رو که میشه ۲ بعد منفی بزاریم که جواب منفی دو میشه
اما اگر اول منفی رو در قدر مطلق ضرب کنیم میشه منفی دو که جوابش در میاد ۲
ضمن عرض سلام
منفی رو نمی‌توان در قدر مطلق ضرب کرد. ابتدا باید جواب قدر مطلق را پیدا کرد و سپس منفی بیرون را در آن تاثیر داد.
واقعا عالی و مفهومی بود ???
با سلام واحترام
خوشخالیم که مفید بوده براتون
ممنون از تدریس و نکات کاملتون.
با سلام وعرض ادب
ممنون از لطف شما وتوجه تون
سلام
وقتی قدر مطلق مثبت باشه دیگه نیازی نیست قرینه یا جا به جا کنیم؟!!!!
با سلام وادب
وقتی حاصل داخل قدر مطلق مثبت است عبارت داخل قدر مطلق بدن تغییر و قرینه شدن بیرون میاید
سلام ببخشید |۳| _ |۶| بزرگ تره یا |۳_۶|؟
با یلام ووقت به خیر
الان این دو تا برابرند اما اگه سه منفی بود دومی بزرگتر میشد
عالییییییی بود
با سلام وعرض ادب
ممنون از نظر لطف شنا
خیلی عالی بود ?
ممنونم بابت زحمتی که کشیدید ?
سلام و عرض دوست عزیز
خواهش میکنم انشالله به طور کامل یادگرفته باشید.
موفق باشید.
سلام سوال داشتم اگر بخواهیم دو قدر مطلق توان دار را با هم اختلافشون رو بدست بیاریم بتید چه کرد
با سلام
یک نکته ذهن منو مشغول کرده
چطور قدر مطلق اعداد کوچکتر از صفر منفی میشه ؟مگه امکان داره
در کتاب ریاضی نهم صفحه ۲۸ اینو گفته
به نظر شما غلط نیست ؟
با سلام
وقتی داخل قدر مطلق منفی هست باید قرینه آش که مثبت رو بیارید بیرون پس وقتی ایکس رو منفی فرض میکنیم واز قدر مطلق میاریم بیرون یه منفی پشتش میذاریم به نسونه قرینه شدن
اعداد کوچکتر از صفر منفی ها هستن
با سلام وادب
بله اعداد کوچکتر از صفر همون منفی ها هستن
۰=|۳x+5|-|۲x-3|
واقعا ممنون
با سلام‌واذب
خرسندیم از نظرات خوب شما
عالی….ممنون
با سلام واحترام
خدا رو شکر که مفید بوده
سلام و خسته نباشید وقتی پشت قدر مطلق یه عدد بیاد چطوری حل میشه آیا باید از اعداد کم و یا اضافش کرد یا باید در آنها ضرب شود
با سلام وادب
باید حاصل داخل قدر مطلق رو بدست بیارید بعد اون عدد پشت قدر مطلق رو در این حصل ضرب کنید
عالی بود ممنون
با سلام وادب
خواهش میکنم
خیلی خوب و ساده و روان حق مطلب ادا شده بود.عالی
با سلام واحترام
دقیقا هدف ما ساده گویی وروانگویی ریاضی است
تشکر از مطالب مفیدتون.❤
با سلام
ممنون از توجه شما
سلام خسته نباشید میشه حاصل جمع و تفریق قدر مطلق ها رو هم یاد بدین و اینکه چه جوری قدر مطلق ها رو رو محور نشون بدیم
سلام خسته نباشید میشه بگید جواب این مسئله چی میشه |3√-1|3√-|3√-2|
با سلام
جواب میشه منفی یک
||a||
وقتی یک عدد داخل دوتا قدر مطلق باشه جواب نهایی چطور بدست میاد؟!
²(۱_2√) √
قدر مطلق خارج قسمت ۲ عدد برابر با ….. آن عدد است. کسی جواب اینو میدونه؟
سلام
عالی،متشکرم…
سلام دوست عزیز
خواهش میکنم
بسیار عالی!
ممنون از شما بابت سایت پر محتوا و به روزتون!
با سلام واحترام
ممنون از شما ونگاه زیبای شما
در چه صورت عددی که از قدر مطلق بیرون می اید منفی است؟
با سلام وادب
هیچوقت منفی بیرون نمیاد اگه حاصل داخل قدر مطلق منفی باشه قرینه اون که مثبت هست میاد بیرون
عالییییییییییییییی
سلام ممنون دوست عزیز
عالی بود
با سلام وسپاس
ممنون از نگاه شما
اون چیزیو ک میدونسمم یادم رف ??
سلام دوست عزیز
از بس محو نوشته های ما شدی
استاد توضیح و تدریس عالی و جامع بود ممنون
استاد توضیح و تدریس عالی و جامع بود ممنون
سلام اگه قبل از رادیکال عدد بود چجوری حلش کنیم؟مثل رادیکال ۳ ۵_۲
با سلام
دوست عزیز ابتدا حاصل داخل قدر مطلق رو حساب کنید بعد کهاز قدر مطلق در اومد در عدد پشت قدر مطلق ضربش کنید یا اگه جمع وتفریق بود اون عمل رو انجام بدید
خیلی عالی بود من کاملا یاد گرفتم
با سلام
خدا رو شکر