روابط بین ریشه های معادله درجه دو ✖️➕ – مجموع و حاصل ضرب ریشه ها!

روابط بین ریشه های معادله درجه دو ✖️➕ - مجموع و حاصل ضرب ریشه ها!

در این مبحث روابط بین ریشه های معادله درجه دو  با هم یادمیگیریم. برایتان گاهی در معادلات درجه دوم برای ما مجموع یا حاصل ضرب ریشه‌ ها اهمیت دارد یا اینکه مجموع یا حاصل ضرب ریشه‌ها را داریم و معادله درجه دوم مدنظر ما می‌باشد. این موضوع اهمیت شناخت خاص مجموع و حاصل ضرب ریشه‌های معادله درجه دوم را برای ما آشکار می‌سازد که در این پست آموزشی به آن می‌پردازیم.



آموزش روابط بین ریشه های معادله درجه دو

ما بدون حل یک معادله درجه دوم قادریم مجموع و حاصل ضرب ریشه ‌ها را بیابیم. معمولا مجموع در ریشه ‌ها را با \(\Large  s \) و حاصل ضرب آنها را با \(\Large  P \) نمایش می‌دهند. حال اگر ریشه‌های معادله درجه دوم را \(\Large  \alpha \) و \(\Large  \beta \) در نظر بگیریم خواهیم داشت:

\(\LARGE s = \alpha + \beta \)

\(\LARGE p = \alpha  \beta \)

نکته: در بعضی کتب ریشه‌ ها را \(\Large x_1 \) و \(\Large x_2 \) نیز در نظر می‌گیرند.

معادله \(\Large ax^2+bx+c=0 \) را در نظر بگیرید می‌دانیم برای پیدا کردن ریشه‌ها ابتدا باید \(\Large \Delta =b^2-4ac \) را بیابیم و اگر \(\Large \Delta > 0 \) باشد ریشه‌ها به صورت زیر خواهد بود.

\(\LARGE  \alpha = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \)

\(\LARGE  \beta = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \)

پس داریم:

\(\LARGE  s = \alpha + \beta  \)

\(\LARGE   = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \)

\(\LARGE  =  \frac{-2b}{2a} = \frac{-b}{a} \)

\(\LARGE p = \alpha  \beta  \)

\(\LARGE = (\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a})(\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}) \)

\(\LARGE = \frac{b^2-\Delta}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{c}{a} \)

پس روابط بین ریشه های معادله درجه دو به صورت زیر خواهد بود:

  • \(\LARGE  s =  \frac{-b}{a} \)
  • \(\LARGE p =\frac{c}{a} \)

روابط بین ریشه های معادله درجه دو

مثال 1: بدون حل معادله زیر مجموع و حاصل ضرب ریشه ‌های (روابط بین ریشه های معادله درجه دو) آن را بیابید.

\(\LARGE -2x^2+x+5=0 \)

جواب 1:

اولا حتما این معادله دو ریشه دارد زیرا \(\Large a \) و \(\Large c \) مختلف العلامت هستند پس حتما خواهد \(\Large \Delta > 0 \) خواهد بود.

بیا بیشتر بخونیم:
تناسب و خواص تناسب : یک نتیجه از قضیه تالس - یک دنیای متناسب 🌍 !

\(\LARGE  s =  \frac{-b}{a} =  \frac{-1}{-2} =  \frac{1}{2}\)

\(\LARGE p =\frac{c}{a} =  \frac{5}{-2} = – \frac{5}{2} \)

چند نکته در مورد مجموع و حاصل ضرب ریشه ‌ها

قدر مطلق تفاضل ریشه‌ها

\(\LARGE  \left|  \alpha – \beta \right| =  \frac{\sqrt{\Delta}}{\left| a \right|} \)

\(\LARGE    \alpha ^ 2  + \beta ^ 2 =  (\alpha + \beta)^2 – 2 \alpha  \beta  \)

\(\LARGE      = s^2 – 2p \)

\(\LARGE    \alpha ^ 3  + \beta ^ 3  \)

\(\LARGE    =  (\alpha + \beta)^3 – 3 \alpha  \beta (\alpha + \beta)  \)

\(\LARGE      = s^3 – 3ps \)

\(\LARGE    \alpha ^ 4  + \beta ^ 4   \)

\(\LARGE     =  (\alpha ^ 2  + \beta ^ 2)^2 – 2 \alpha ^ 2  \beta ^ 2  \)

\(\LARGE     = (s^2-2p)^2 -2p^2  \)

\(\LARGE    A^2 = (\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta})^2    \)

\(\LARGE     = (\alpha+\beta)+ 2\sqrt{\alpha \beta}   \)

\(\LARGE     = s+2\sqrt{p}  \)

\(\LARGE    \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta} = \sqrt{s+2\sqrt{p} }   \)

نکات در مورد مجموع و حاصل ضرب ریشه ها

مثال 2: اگر \(\Large  \alpha \) و \(\Large  \beta \) ریشه‌های معادله \(\Large x^2-x-5=0 \) باشند حاصل \(\Large \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta}  \) را پیدا کنید.

جواب 2:

\(\LARGE    \frac{1}{\alpha}+ \frac{1}{\beta} =  \frac{\alpha + \beta }{\alpha \beta}=\frac{s}{p} \)

\(\LARGE    \frac{-\frac{b}{a}}{\frac{c}{a}}= – \frac{b}{c} = – \frac{1}{5} \)

مثال 3: اگر \(\Large  \alpha \) و \(\Large  \beta \) ریشه‌های معادله \(\Large x^2-3x-2=0 \) باشند حاصل \(\Large \alpha ^ 4  + \beta ^ 4  \) را پیدا کنید.

جواب 3:

\(\LARGE   s=-3,p=-2 \)

\(\LARGE    \alpha ^ 4  + \beta ^ 4 =  (s^2-2p)^2 -2p^2 \)

\(\LARGE    \alpha ^ 4  + \beta ^ 4 =  (9+4)^2 -8 \)

\(\LARGE    \alpha ^ 4  + \beta ^ 4 =161 \)

مثال 4: اگر \(\Large  \alpha \) و \(\Large  \beta \) ریشه‌های معادله \(\Large x^2-7x+9=0 \) باشند حاصل \(\Large \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}  \) را پیدا کنید.

جواب 4:

\(\LARGE    A^2 = (\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta})^2   \)

بیا بیشتر بخونیم:
وارون تابع ریاضی یازدهم تجربی 🔄☯️ - برعکسش کن!

\(\LARGE    A^2 = s+2\sqrt{p}   \)

\(\LARGE     = 7+2\sqrt{9} =13  \)

\(\LARGE    A= \pm \sqrt{13}  \)

\(\LARGE    \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta} = +\sqrt{13}   \)

چون \(\Large \sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}  \) همواره مثبت است.

مثال 5: اگر \(\Large  \alpha \) و \(\Large  \beta \) ریشه‌های معادله \(\Large 5x^2-x-7=0 \) باشند حاصل \(\Large 5 \alpha ^ 2 + \beta + 3  \) را پیدا کنید.

جواب 5:

برای حل این مسئله یک راه پیدا کردن ریشه‌ها و جایگذاری است که کمی طولانی می‌باشد ولی راه حل ساده‌نر این است که چون \(\Large  \alpha \) ریشه‌ معادله است پس در معادله صدق می‌کند یعنی داریم:

\(\LARGE  5 \alpha ^ 2 – \alpha -7=0  \)

\(\LARGE  5 \alpha ^ 2 = \alpha + 7  \)

پس داریم:

\(\LARGE  5 \alpha ^ 2 + \beta + 3   \)

\(\LARGE   =(\alpha + 7) + \beta + 3  \)

\(\LARGE  = \alpha  + \beta + 10 = s + 10  \)

\(\LARGE  = \frac{1}{5} + 10 = \frac{51}{5} \)

نکاتی در مورد ریشه‌ های معادله درجه دو و روابط بین ریشه های معادله درجه دو

اگر یک معادله درجه دوم ریشه ‌ها معکوس یکدیگر باشند یعنی حاصل ضرب ریشه‌ ها یک خواهد شد پس داریم:

\(\LARGE  p=1 \rightarrow \frac{c}{a}=1 \rightarrow c=a \)

یعنی اگر \(\Large a \) و \(\Large c \) مساوی باشند حتما ریشه ها معکوس یکدیگرند.

مثال 6: در معادله زیر \(\Large m \) را چنان بیابید که ریشه‌های این معادله معکوس یکدیگر باشند.

\(\LARGE  5x^2 – x + m=0 \)

جواب 6:

\(\LARGE  5x^2 – x + m=0 \)

\(\LARGE  m=-5 \)

اگر در یک معادله درحه دوم ریشه‌ها قرینه هم باشند و داریم:

\(\LARGE  s=\alpha + \beta = 0  \)

\(\LARGE   s=-\frac{b}{a}=0 \rightarrow b=0 \)

پس اگر \(\Large b=0 \) باشد ریشه‌ها قرینه یکدیگر خواهند بود.

مثال 7: در معادله زیر \(\Large m \) را چنان بیابید که ریشه‌های این معادله قرینه یکدیگر باشند.

\(\LARGE  7x^2 + (m-5)x -4=0 \)

جواب 7:

\(\LARGE  7x^2 + (m-5)x -4=0 \)

بیا بیشتر بخونیم:
آموزش قضیه تالس 💎💡 - قدم به قدم با تصویر

\(\LARGE  m-5=0 \rightarrow m=5 \)



تشکیل معادله درجه دوم با استفاده از روابط بین ریشه های معادله درجه دو

فرض کنید \(\Large  \alpha \) و \(\Large  \beta \) ریشه‌ های معادله درجه دوم باشند خواهیم داشت:

\(\LARGE  (x-\alpha)(x-\beta)=0 \)

\(\LARGE  x^2 – ( \alpha  + \beta) + \alpha \beta =0 \)

\(\LARGE  x^2 – sx + p=0 \)

یعنی اگر معادله درجه دومی که مجموع ریشه‌های آن \(\Large  s \) و حاصل ضرب ریشه‌ های \(\Large  p \) باشد به صورت \(\Large  x^2-sx+p=0 \) خواهد بود.

مثال 8: معادله درجه دومی بنویسید که ریشه‌های \(\Large 2-\sqrt{5} \) و \(\Large 2+\sqrt{5} \) باشد. (با روابط بین ریشه های معادله درجه دو حل شود.

جواب 8:

\(\LARGE  s= \alpha  + \beta \)

\(\LARGE  s= 2+\sqrt{5}  + 2-\sqrt{5} =4 \)

\(\LARGE  p= \alpha   \beta \)

\(\LARGE  p= ( 2+\sqrt{5})( 2-\sqrt{5}) \)

\(\LARGE  p= 4-5=-1 \)

\(\LARGE  x^2-4x-1=0 \)

مثال 9: دو عدد حقیقی بیابید که مجموع آن‌ها \(\Large  \frac{1}{3} \) و حاصل ضرب آن‌ها \(\Large – \frac{2}{3} \) باشد. (با روابط بین ریشه های معادله درجه دو حل شود.)

جواب 9:

\(\LARGE  s= \frac{1}{3} \)

\(\LARGE  p=- \frac{2}{3} \)

\(\LARGE  x^2-\frac{1}{3}x- \frac{2}{3}=0 \)

حال معادله بالا را حل می‌کنیم جواب‌های این معادله جواب‌های مسئله می‌باشد برای راحتی ابتدا معادله را در ۳ ضرب می‌کنیم.

\(\LARGE  3x^2-x- 2=0 \)

\(\LARGE  \Delta = 1 + 24 = 25 \)

\(\LARGE \alpha  , \beta = \frac{1+\pm 5}{6}  \)

\(\LARGE \alpha  , \beta = 1 , -\frac{2}{3}  \)

تشخیص علامت ریشه‌های معادله درجه ۲ بدون حل با استفاده از مجموع و حاصل ضرب ریشه ‌ها

در یک معادله درجه دوم می‌توان بدون به دست آوردن ریشه‌ها علامت ریشه‌های را تشخیص داد و برای این‌کار از مجموع ریشه‌ها \(\Large  s \) و حاصل ضرب ریشه‌ ها \(\Large  p \) کمک می‌گیریم.

  • الف) معادله \(\Large  \Delta > 0 \) دارای ۲ ریشه است.
    اگر \(\Large  p > 0 \) باشد. آن معادله دارای ۲ ریشه هم علامت است.
    آنگاه دو حالت ممکن است.
    اگر \(\Large  s > 0 \) باشد. معادله دارای ۲ ریشه هم‌علامت و مثبت است.
    اگر \(\Large  s < 0 \) باشد. معادله دارای ۲ ریشه هم علامت و منفی است.
    اگر \(\Large  p < 0 \) باشد. آن معادله دارای ۲ ریشه مختلف العلامت است.
    آنگاه دو حالت ممکن است.
    اگر \(\Large  s > 0 \) باشد. ریشه مثبت از مبدا دورتر و قدرمطلق بزرگتری دارد.
    اگر \(\Large  s > 0 \) باشد. ریشه منفی از مبدا دورتر و قدرمطلق بزرگتری دارد.
    اگر \(\Large  p = 0 \) باشد. حداقل یک ریشه صفر است.
    آنگاه دو حالت ممکن است.
    اگر \(\Large  s > 0 \) باشد. معادله یک ریشه صفر و یک ریشه مثبت دارد.
    اگر \(\Large  s > 0 \) باشد. معادله یک ریشه صفر و یک ریشه منفی دارد.تشخیص علامت ریشه‌های معادله درجه ۲ بدون حل با استفاده از مجموع و حاصل ضرب ریشه ‌ها
  • ب) اگر \(\Large  \Delta = 0 \) معادله دارای یک ریشه مضاعف به صورت \(\Large  x=-\frac{b}{2a} \) است که علامت آن با علامت \(\Large  s  \) مجموع ریشه‌ها موافق است.
  • ج) اگر \(\Large  \Delta < 0 \) معادله فاقد ریشه است.
بیا بیشتر بخونیم:
تابع جز صحیح 🔙💡 - به زیر دستت نگاه کن!

حل معادلات قابل تبدیل به معادله درجه دوم

گاهی می‌توان معادلات درجات بالاتر مثل درجه چهارم یا ششم را به معادله درجه دوم تبدیل کرد و آن‌ها را حل نمود.

مثال 10: معادله زیر را حل کنید.

\(\LARGE 3x^4 + 5x^2 – 1 = 0  \)

جواب 10: 

کافیست با تغییر متغیر این معادله را به یک معادله درجه دوم تبدیل کنیم.

\(\LARGE x^2 = t , x^4 = t^2    \)

\(\LARGE  3t^2- 5t – 2 = 0  \)

\(\LARGE  \Delta = 25+24=49 \)

\(\LARGE t_1  , t_2 = \frac{5\pm 7}{6}  \)

\(\LARGE t_1  , t_2 = 2 ,  -\frac{1}{3}  \)

\(\LARGE x^2 = 2  \rightarrow x=\pm \sqrt{2}  \)

\(\LARGE x^2 =-\frac{1}{3}  \)

چون \(\Large x^2 \) نمی‌تواند منفی باشد پس جواب \(\Large  -\frac{1}{3}  \) قابل قبول نیست. پس این معادله دو ریشه دارد.

نکته: یک معادله درجه چهار حداکثر می‌تواند ۴ ریشه داشته باشد.

مثال 11: معادله زیر را حل کنید.

\(\LARGE x^6-10x^3+9=0  \)

جواب 11: 

کافیست با تغییر متغیر این معادله را به یک معادله درجه دوم تبدیل کنیم.

\(\LARGE x^3 = t ,x^6 = t^2  \)

\(\LARGE  t^2- 10t +9 = 0  \)

\(\LARGE  (t-1)(t-9)=0 \)

\(\LARGE t=1  \rightarrow x^3 = 1 \rightarrow x=1 \)

\(\LARGE t=9  \rightarrow x^3 = 9 \rightarrow x=\sqrt[3] {9}  \)

زنگ آخر روابط بین ریشه های معادله درجه دو

خوب رفقا باهم روابط بین ریشه های معادله درجه دو  از ریاضی یازدهم تجربی را کامل، کامل یادگرفتیم. دوستان حتما عکس‌های خلاصه را ذخیره کنید و مرورشون کنید. با حل کردن چندتا مثال به راحتی آب خوردن میتونید رو این بحث مسلط بشید.

هر سوالی از این مبحث داشتید کافیه برامون در قسمت دیدگاه بنویسید. کارشناسان ریاضیکا قطعا بهتون پاسخ می‌دهند.

بیا بیشتر بخونیم:
تشابه مثلث ها و اثبات بوسیله قضیه تالس 📐 - یک اصل مهم در ریاضی دهم


16 دیدگاه برای “روابط بین ریشه های معادله درجه دو ✖️➕ – مجموع و حاصل ضرب ریشه ها!

  1. Aseman گفته:

    سلام ..سایت خیلی عالی هست و تدریس بسیار خوب هست..لطفا اگ میشه نمونه سوال یازدهم تدریس هم بزارید ممنون میشم💛💫

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      ممنون از توجهی که داشتید. حتما در آینده داخل سایت قرار می دهیم.
      موفق باشید.

  2. هانا گفته:

    سلام ببخشید اگه دلتا با یکی از ریشه ها برابر بشه چه اتفاقی میفته؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام و عرض ادب
      اتفاق رخ نمیدهد.
      موفق باشید.

        • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

          یا سلام
          نمیگوییم اتفاق خاصی نمی افتد قط ریشه دیگر دو برابر این ریشه خواعد بود

  3. هانا گفته:

    پس چرا این تست جواب داره؟
    اگر یکی از ریشه های معادله ax²+bx+c برابر با دلتای معادله باشد بیشترین مقدار ab چقدر است؟
    ۱)۱ ۲)½ ۳)¼ ۴)⅛

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      سلام دوست عزیز گزینه الف درست است یعنی ریشه دیگر دو برابر آن خواهد بود

  4. جلیل گفته:

    سلام سایت عالی هست
    فقط من یک مشکل دارم
    وقتی در سوالات مطرح میشود که دو معادله داده شده(در معادله بجای ضرایب مجهول گذاشته شده) حداقل یک ریشه یکسان دارند ضرایب مجهول را بیابید
    اینجا باید چه کار کنیم؟

    • سید ایمان موسوی نطنزی گفته:

      با سلام واحترام
      به این معادلات پارامتری می گویند چون گفته ریشه یکسان یعنی دلتا صفر باشد پس دلتا را پیدا میکنید که خودش یک عبارت جبری بر اساس ضرایب خواهد بود سپس ان را برابر صفر گذاشته ومقدار ضریب را به دست می اورید
      برای اطلاع از جشنواره ها ومطالب بیشترپیج ما رو در اینستا به آدرس زیر دنبال کنید
      https://www.instagram.com/riazica/

  5. Sadegh.K گفته:

    سلام

    یه اشتباه کوچیک هستش. برای اینکه ریشه ها معکوس باشند c و a باید برابر باشند نه قرینه c/a=1 => c=a

    • دبیر ارشد ریاضیکا گفته:

      با سلام دوست گرامی
      ممنون از دقت نظر شما اصلاح میشه

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.