تابع جز صحیح 🔙💡 – به زیر دستت نگاه کن!

یکی از توابع زیبا که نمودار آن نیز نموداری زیبا و متنوع است و کاربردهای زیادی در ریاضیات دارد تابع جز صحیح می‌باشد ما در این پست می‌خواهیم مفهوم جز صحیح و پیدا کردن جزء صحیح یک عدد و خواص آن را به شما آموزش دهیم سپس تابع جزء صحیح را فرض کرده و چگونگی رسم نمودار آن را نیز به شما بیاموزیم پس همراه ما باشید.

مثالی از تابع جز صحیح

حتما شما یا خانواده‌تان وقتی به مراکز خرید یا مکان‌های دیگر می‌روید و اتومبیل‌ خود را در پارکینگ‌ها پارک می‌کنید دیده‌اید که نرخ پارکینگ‌ها در بازه‌های زمانی مختلف تغییر می‌کند مثلا از وقتی وارد می‌شود تا زیر یک ساعت یک مبلغی به عنوان ورودی از شما دریافت می‌کنند فرض کنید ۲۰۰۰ تومان از یک ساعت تا دو ساعت ۳۰۰۰ تومان از دو ساعت تا سه ساعت ۴۰۰۰ تومان و الی آخر.

جز صحیح یک عدد

هر عدد حقیقی را می‌توان به صورت جمع یک عدد صحیح و یک عدد اعشاری نوشت. به مثال‌های زیر دقت کنید:

\( \LARGE 3.14=3+0.14  \)

\( \LARGE 125.012=125+0.012  \)

\( \LARGE \Pi = 3.14…..  \)

\( \LARGE = 3 + 0.14…..  \)

\( \LARGE \sqrt{2}=1.141….=1+0.14  \)

دقت کنید که جزء صحیح اعداد از آن‌ها کوچکتر است و در واقع اولین عدد صحیح سمت چپ آن عدد حقیقی می‌باشد.

که نماد جز صحیح براکت می‌باشد توسط ریاضیدان بزرگ گاوس در سال ۱۸۰۸ میلادی انتخاب شد \( \Large  [\;] \) البته امروز \( \Large \lfloor \rfloor  \) یا \( \Large \lceil \rceil  \) نماد نیز استفاده می‌شود. پس داریم:

\( \LARGE [3.14] =3  \)

\( \LARGE [125] =125  \)

\( \LARGE [\Pi] =3  \)

\( \LARGE [\sqrt{2}] =1 \)

پس در مورد اعداد منفی نیز جز صحیح اولین عدد سمت چپ آن‌ها می‌باشد. یعنی داریم:

\( \LARGE [-1.2] =-2  \)

\( \LARGE [-0.5] =-1  \)

\( \LARGE [-\Pi] =-4 \)

اما تعریف دقیق جزء صحیح  اعداد به صورت زیر می‌باشد.

جز صحیح هر عدد حقیقی

بزرگترین عدد صحیح کوچکتر از آن عدد می‌باشد که با نماد براکت \( \Large  ([\;]) \) نمایش داده می‌شود.

به زبان دیگر: اگر \( \Large  n \) یک عدد صحیح و \( \Large x \) یک عدد حقیقی باشد به طوریکه:

\( \LARGE n \leq x < n+1 \Leftrightarrow [x]=n \)

نکته: بنابراین تعریف جزء صحیح اعداد صحیح برابر خودشان می‎‌باشد.

یعنی:

مثال:

(1
\( \LARGE [3.14]=3 \Leftrightarrow 3 \leq 3.14 <4 \)

(2

\( \LARGE [5]=5 \Leftrightarrow 5 \leq 5 <6 \)

(3
\( \LARGE [0]=0 \Leftrightarrow 0 \leq 0 <1 \)

(4
\( \LARGE [-\sqrt3]=-2 \Leftrightarrow -2 \leq -\sqrt3 <-1 \)

(5
\( \LARGE [-\frac{1}{5}]=-1 \Leftrightarrow -1 \leq -\frac{1}{5} <4 \)

(6
\( \LARGE [\frac{7}{2}]=3 \Leftrightarrow 3 \leq \frac{7}{2} <4 \)

(7
\( \LARGE [sin30]=0 \Leftrightarrow 0 \leq sin30 <1 \)

(8
\( \LARGE [cos120]=-1 \) \( \LARGE  \Leftrightarrow -1 \leq cos120 <0 \)

(9
\( \LARGE [\frac{3}{4}]=-1 \Leftrightarrow 0 \leq \frac{3}{4} <1 \)

(10
\( \LARGE [log_2  24]=4 \) \( \LARGE log_2  2^4 \leq log_2  24 <log_2  2^5 \) \( \LARGE   4 \leq log_2  24 <5 \)

خواص جزء صحیح

تابع جزء صحیح

تابع جز صحیح تابعی است که به هر عدد صحیح خود همان عدد صحیح را نسبت می‌دهد و به هر عدد غیر صحیح، بزرگترین عدد صحیح کوچکتر از آن را نسبت می‌دهد و ضابطه آن \( \Large f{(x)}=[x] \) یا \( \Large y=[x] \) نشان داده می‌شود.

معادلات تابع جزء صحیح

وقتی معادله شامل براکت (جزء صحیح) داریم از تعریف تابع جز صحیح و خواص جزء صحیح و تنها کردن براکت آن را حل می‌کنیم به مثال‌های زیر دقت کنید.

مثال ۱: معادله زیر را حل کنید.

\( \LARGE [x]=5 \)

جواب ۱:

همانطور که می‌بینید در این‌ معادله ساده ما یک دسته جواب داریم یعنی تمام اعداد بین ۵ و ۶ و خود ۵ می‌تواند جزء صحیح شان ۵ باشد.

\( \LARGE [x]=5 \rightarrow 5 \leq x < 6 \)

مجموعه جواب:

\( \LARGE [5,6) \)

مثال ۲: معادله زیر را حل کنید.

\( \LARGE [x+3]-7=2 \)

جواب ۲:

\( \LARGE [x]+3=9 \)

\( \LARGE [x]=6 \)

\( \LARGE 6 \leq x < 7 \)

مجموعه جواب:

\( \LARGE [6,7) \)

مثال ۳: معادله زیر را حل کنید.

\( \LARGE [2x+3]=2 \)

جواب ۳:

\( \LARGE [2x]+3=2 \)

\( \LARGE [2x]=-1 \)

\( \LARGE -1 \leq 2x < 0 \)

\( \LARGE -\frac{1}{2} \leq x < 0 \)

مجموعه جواب:

\( \LARGE [-\frac{1}{2},0) \)

مثال ۴: معادله زیر را حل کنید.

\( \LARGE 2[x]+[x-1]=2 \)

جواب ۴:

\( \LARGE 2[x]+[x] -1=2 \)

\( \LARGE 3[x]=3 \)

\( \LARGE [x]=1 \)

\( \LARGE 1 \leq x < 2 \)

مجموعه جواب:

\( \LARGE [1,2) \)

مثال ۵: معادله زیر را حل کنید.

\( \LARGE [\frac{1-3x}{4}]=4 \)

جواب ۵:

\( \LARGE 4 \leq \frac{1-3x}{4} < 5 \)

طرفین را ضربدر ۴ میکنیم :

\( \LARGE 16 \leq 1-3x <20 \)

طرفین را منهای ۱ میکنیم:

\( \LARGE 15 \leq -3x <19 \)

طرفین را تقسیم بر ۳- میکنیم:

\( \LARGE -5 \geq x > -\frac{19}{3} \)

مجموعه جواب:

\( \LARGE (-\frac{19}{3},-5] \)

مثال ۶: معادله زیر را حل کنید.

\( \LARGE 2[3x-2]=1 \)

جواب ۶:

\( \LARGE [3x-2]=\frac{1}{2} \)

معادله جواب ندارد چون:

\( \LARGE [u]=K \rightarrow K \in \mathbb{Z} \)

همیشه باید جواب براکت یک عدد صحیح باشد پس این معادله جواب ندارد.

مثال ۷: مجموعه جواب معادله زیر را بدست آورید.

\( \LARGE [x]^2-3[x]-10=0 \)

جواب ۷:

برای حل ایم معادله از تغییر متغیر استفاده می‌کنیم:

\( \LARGE [x]=t \rightarrow [x]^2=t^2 \)

\( \LARGE t^2-3t-10=0 \)

\( \LARGE (t-5)(t+2)=0 \)

\( \LARGE t=5,t=-2 \)

\( \LARGE [x]=5 \rightarrow 5 \leq x <6 \)

\( \LARGE [x]=-2 \rightarrow -2 \leq x <-1 \)

مجموعه جواب:

\( \LARGE [5,6) \cup [-2,-1) \)

زنگ آخر تابع جز صحیح

در این نوشتار مبحث تابع جز صحیح از ریاضی یازدهم تجربی را به طور کامل یادگرفتیم. حتما سعی کنید تعریف و مفهوم کلی این تابع را درک کنید. هر سوالی از تابع جز صحیح داشتید در قسمت دیدگاه از ما بپرسید دوستان ریاضیکا حتما به سوالاتتان پاسخ می‌دهند. موفق باشید.