عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم 🔋📝 – بانک نمونه سوال ها!!

در درسنامهٔ عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم به بررسی و حل مسائلی از فصل دوم کتاب ریاضی نهم جهت آمادگی برای آزمون تیزهوشان می‌پردازیم. سعی می‌کنیم با حل تشریحی و توضیح دقیق هر مثال به آمادگی بیشتر شما برای آزمون تیزهوشان کمک کنیم. با ما تا انتهای درسنامه همراه باشید.

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 1: اگر \(\Large a\) و \(\Large b\) و \(\Large c\) و \(\Large d\) اعدادی مثبت باشند و \(\Large \frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) باشد، ثابت کنيد \(\Large \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}\) است.

حل: مسئله را در دو مرحله حل می‌کنیم؛ در مرحلهٔ اول ثابت می‌کنیم \(\Large \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}\) است. در مرحلهٔ دوم ثابت می‌کنیم \(\Large  \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) است.

مرحلهٔ اول اثبات

می‌خواهیم ثابت کنیم \(\Large \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}\). برای این کار، کافی است ثابت کنیم \(\Large \frac{a}{b} – \frac{a+c}{b+d}<0\). داریم:

\(\LARGE \frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+d}\)

\(\LARGE =\frac{a(b+d)-b(a+c)}{b(b+d)}\)

\(\LARGE =\frac{ab+ad-ba-bc}{b(b+d)}\)

\(\LARGE =\frac{ad-bc}{b(b+d)}\)

از آنجاییکه \(\Large a\) و \(\Large b\) و \(\Large c\) و \(\Large d\) اعدادی مثبت هستند، مخرج کسر بالا مثبت است. کافی است ثابت کنیم صورت آن، یعنی \(\Large ad-bc\)، کوچکتر از صفر است تا حاصل کل کسر منفی شود. طبق فرض مسئله، \(\Large \frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) است؛ بنابراین، \(\Large \frac{a}{b} – \frac{c}{d} < 0\) است. در نتیجه، \(\Large \frac{ad-bc}{bd}<0 \). از آنجاییکه \(\Large bd>0\) است، حاصل \(\Large ad-bc\) باید کوچکتر از صفر باشد تا کل کسر منفی شود. در نتیجه \(\Large ad-bc<0\) است. بنابراین اثبات \(\Large \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}\) تمام می‌شود.

مرحلهٔ دوم اثبات

می‌خواهیم ثابت کنیم \(\Large  \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) است. برای این کار، کافی است ثابت کنیم \(\Large \frac{a+c}{b+d} – \frac{c}{d}<0\). داریم:

\(\LARGE \frac{a+c}{b+d}-\frac{c}{d}\)

\(\LARGE =\frac{d(a+c)-c(b+d)}{d(b+d)}\)

\(\LARGE =\frac{da+dc-cb-cd}{d(b+d)}\)

\(\LARGE =\frac{da-cb}{d(b+d)}\)

از آنجاییکه \(\Large a\) و \(\Large b\) و \(\Large c\) و \(\Large d\) اعدادی مثبت هستند، مخرج کسر بالا مثبت است. کافی است ثابت کنیم صورت آن، یعنی \(\Large da-cb\)، کوچکتر از صفر است تا حاصل کل کسر منفی شود. در مرحلهٔ اول اثبات دیدیم  \(\Large ad-bc<0\) است. بنابراین اثبات \(\Large  \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) نیز تمام می‌شود.

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 2: عدد \(\Large 3.\overline{410}\) را به صورت یک کسر که صورت و مخرج آن اعدادی طبیعی باشند، بنویسید.

حل: عدد \(\Large 3.\overline{410}\) همان \(\Large 3.410410\dots\) است. اگر این عدد را در \(\Large 1000\) ضرب کنیم، حاصل برابر با \(\Large 3410.410410\dots\) می‌شود. همان طور که می‌بینید، قسمت اعشاری دو عدد \(\Large 3.410410\dots\) و \(\Large 3410.410410\dots\) یکسان است. بنابراین اگر این دو عدد را از هم کم کنیم، قسمت اعشاری حذف می‌شود. در نتیجه داریم:

\(\LARGE 1000 \times 3.\overline{410}-3.\overline{410}\)

\(\Large =3410.410410\dots-3.410410\dots\)

\(\LARGE =3410-3\)

\(\LARGE =3407\)

از طرفی \(\Large 1000 \times 3.\overline{410}-3.\overline{410}\) برابر است با \(\Large 999 \times 3.\overline{410}\). پس داریم:

\(\LARGE 999 \times 3.\overline{410}=3407\)

\(\LARGE \Rightarrow 3.\overline{410}=\frac{3407}{999}\)

بنابراین، به خواستهٔ مسئله که نوشتن \(\Large 3.\overline{410}\) به صورت کسری با صورت و مخرج طبیعی بود، رسیدیم.

نکته: در آینده که با حد مجموع جملات تصاعد هندسی آشنا شدید، می‌توانید این مسئله را از روش دیگری نیز حل کنید.

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 3: چند عدد گویا می‌توان بین دو کسر \(\Large \frac{45}{36}\) و \(\Large \frac{454545}{363636}\) پیدا کرد؟

حل: اگر دو کسر با یکدیگر برابر نباشند، می‌توان نامتناهی عدد گویا بین آن دو عدد پیدا کرد. اما دو کسر داده شده در صورت سؤال با یکدیگر برابر هستند. کافی است \(\Large \frac{45}{36}\) را در \(\Large \frac{10101}{10101}\) ضرب کنیم؛ حاصل برابر با \(\Large \frac{454545}{363636}\) خواهد شد.

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 4: اگر \(\Large \frac{a}{2}=\frac{b}{7}=\frac{c}{13}\) باشد، مقدار \(\Large \frac{3a+2c}{5b}\) را به دست آورید.

حل: اگر \(\Large a\) و \(\Large c\) را بر حسب \(\Large b\) بنویسیم، حاصل به دست می‌آید. بدین منظور، با توجه به فرض مسئله داریم:

\(\LARGE \frac{a}{2}=\frac{b}{7}\)

\(\LARGE \Rightarrow a=\frac{2b}{7}\)

همچنین داریم:

\(\LARGE \frac{b}{7}=\frac{c}{13}\)

\(\LARGE \Rightarrow c=\frac{13b}{7}\)

حال سراغ خواستهٔ مسئله می‌رویم؛ یعنی مقدار \(\Large \frac{3a+2c}{5b}\) را به دست می‌آوریم:

\(\LARGE \frac{3a+2c}{5b}\)

\(\LARGE =\frac{3 \times \frac{2b}{7}+2 \times \frac{13b}{7}}{5b}\)

\(\LARGE =\frac{ \frac{6b}{7}+ \frac{26b}{7}}{5b}\)

\(\LARGE =\frac{\frac{32b}{7}}{5b}\)

\(\LARGE =\frac{32b}{35b}\)

\(\LARGE =\frac{32}{35}\)

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 5: حاصل \(\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \dots + \frac{1}{1000 \times 1001}\) را بیابید.

حل: عبارت بالا برابر با عبارت زیر است:

\((\frac{1}{1}-\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) + (\frac{1}{3}-\frac{1}{4}) + \dots + (\frac{1}{1000}-\frac{1}{1001})\)

همان طور که در عبارت بالا می‌بنید، عبارت دوم داخل هر پرانتز با عبارت اول پرانتز بعدی حذف می‌شود. به این حذف، حذف تلسکوپی می‌گویند. در نهایت، فقط کسر اول از پرانتز اول و کسر دوم از پرانتز آخر باقی می‌ماند. در نتیجه، حاصل عبارت بالا برابر است با:

\(\LARGE \frac{1}{1}-\frac{1}{1001}=\frac{1000}{1001}\)

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 6: حاصل \(\Large 1 \frac{1}{50} + 2 \frac{2}{50} + \dots + 50 \frac{50}{50}\) را به دست آورید.

حل: عبارت داده شده در صورت مسئله، مجموعی از اعداد مخلوط است. می‌توان مجموع قسمت‌های صحیح اعداد مخلوط بالا را به صورت جدا و مجموع قسمت‌های کسری آن را نیز به صورت جدا حساب کرده و دو عدد به دست آمده را با یکدیگر جمع کرد تا حاصل عبارت بالا به دست بیاید. اگر مجموع قسمت‌های صحیح عبارت بالا را با \(\Large A\) و مجموع قسمت‌های کسری را با \(\Large B\) نشان دهیم، داریم:

\(\LARGE A=1+2+ \dots + 50\)

\(\LARGE B=\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+ \dots + \frac{50}{50}\)

هم مقدار \(\Large A\) و هم مقدار \(\Large B\) را با استفاده از  مجموع گاوس به دست می‌آوریم. برای محاسبهٔ \(\Large A\) داریم:

\(\LARGE A=1+2+ \dots + 50\)

\(\LARGE =\frac{50 \times 51}{2}=1275\)

برای محاسبهٔ \(\Large B\) نیز داریم:

\(\LARGE B=\frac{1}{50}+\frac{2}{50}+ \dots + \frac{50}{50}\)

\(\LARGE =\frac{1+2+\dots+50}{50}\)

\(\LARGE =\frac{\frac{50 \times 51}{2}}{50}\)

\(\LARGE =\frac{ 51}{2}\)

بنابراین، حاصل عبارت داده شده در صورت مسئله که از مجموع \(\Large A+B\) به دست می‌آید، برابر است با:

\(\LARGE A+B=1275+\frac{ 51}{2}=\frac{2601}{2}\)

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 7: اگر \(\Large \frac{21}{17}+\frac{21}{13}+\frac{29}{19}=m\) باشد، حاصل \(\Large \frac{19}{17}+\frac{17}{13}+\frac{24}{19}\) را بر حسب \(\Large m\) به دست آورید.

حل: طبق فرض مسئله داریم:

\(\LARGE \frac{21}{17}+\frac{21}{13}+\frac{29}{19}=m\)

\(\Large \Rightarrow 1 \frac{4}{17}+ 1 \frac{8}{13}+ 1 \frac{10}{19}=m\)

\(\Large \Rightarrow 3+ (\frac{4}{17}+ \frac{8}{13}+ \frac{10}{19})=m\)

\(\Large \Rightarrow \frac{4}{17}+ \frac{8}{13}+ \frac{10}{19}=m-3\)

حال بیایید خواستهٔ مسئله را به دست آوریم:

\(\LARGE \frac{19}{17}+\frac{17}{13}+\frac{24}{19}\)

\(\LARGE =1 \frac{2}{17}+ 1 \frac{4}{13}+ 1 \frac{5}{19}\)

\(\LARGE =3+ (\frac{2}{17}+ \frac{4}{13}+ \frac{5}{19})\)

اگر دقت کنید، عبارت داخل پرانتز برابر است با نصف \(\Large m-3\). بنابراین مقدار خواسته شده در مسئله برابر است با:

\(\LARGE 3+ \frac{m-3}{2}=\frac{6+m-3}{2}=\frac{m+3}{2}\)

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 8: اگر \(\Large A=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+ \dots}}}\) باشد، ثابت کنید \(\Large A^2-2A-1=0\) است.

حل: اگر \(\Large 2\) را از \(\Large A\) کم کرده و آن را وارون کنیم، مجدداً \(\Large A\) به دست می‌آید. یعنی داریم:

\(\LARGE \frac{1}{A-2}=A\)

\(\LARGE \Rightarrow A-\frac{1}{A-2}=0\)

\(\LARGE \Rightarrow \frac{A^2-2A-1}{A-2}=0\)

\(\LARGE \Rightarrow A^2-2A-1=0\)

لذت بردید؟ 😉

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 9: حاصل عبارت \(\Large \frac{|1026-\sqrt{1025}|-|\sqrt{1025}-1023|}{|\sqrt{2024}-2023|-|2022-\sqrt{2024}|}\) را به دست آورید.

حل: اگر عبارت داخل قدرمطلق مثبت باشد، قدر مطلق را بر می‌داریم و عبارت داخل آن را بدون تغییر می‌نویسیم. اگر عبارت داخل قدرمطلق منفی باشد، قدر مطلق را برداشته و قرینهٔ عبارت داخل قدرمطلق را می‌نویسیم. بنابراین داریم:

\(\LARGE \frac{|1026-\sqrt{1025}|-|\sqrt{1025}-1023|}{|\sqrt{2024}-2023|-|2022-\sqrt{2024}|}\)

\(\LARGE =\frac{1026-\sqrt{1025}-(-(\sqrt{1025}-1023))}{-(\sqrt{2024}-2023)-(2022-\sqrt{2024})}\)

\(\LARGE =\frac{1026-\sqrt{1025}+\sqrt{1025}-1023}{-\sqrt{2024}+2023-2022+\sqrt{2024}}\)

\(\LARGE =\frac{3}{1}\)

\(\LARGE =3\)

مثال از عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

مثال 10: اگر \(\Large m < -3 < n < 1\) باشد، حاصل \(\Large |n-1|+|n-m|-|m+3|\) را به دست آورید.

حل: از آنجاییکه طبق فرض مسئله \(\Large m < -3 < n < 1\) است، داریم:

\(\Large n-1<0 \Rightarrow |n-1|=1-n\)

\(\Large n-m>0 \Rightarrow |n-m|=n-m\)

\(\Large m+3<0 \Rightarrow |m+3|=-m-3\)

با توجه به سه عبارتی که به دست آوردیم، خواستهٔ مسئله به صورت زیر به دست می‌آید:

\(\Large |n-1|+|n-m|-|m+3|\)

\(\Large =(1-n)+(n-m)-(-m-3)\)

\(\Large =4\)

مراجع

در این لیست می‌توانید هم مراجعی که برای نگارش درسنامهٔ عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم استفاده شده‌اند و هم مراجعی که برای مطالعهٔ بیشتر مفید هستند مشاهده کنید:

1- وزارت آموزش و پرورش، مرکز ملی پرورش استعدادهای درخشان و دانش‌ پژوهان جوان، سؤالات ریاضی دفترچهٔ استعداد تحصیلی آزمون‌ ورودی پایهٔ دهم دبیرستان‌های دورهٔ دوم استعدادهای درخشان.

2- وزارت آموزش و پرورش، ریاضیات- محتوای تکمیلی ویژهٔ مدارس استعدادهای درخشان پایهٔ نهم دورهٔ اول متوسطه.

3- شهریاری، پرویز، 1377. قدرمطلق در حوزه عددهای حقیقی. تهران: سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی

زنگ آخر کلاس عددهای حقیقی ریاضی تیزهوشان نهم

در درسنامه‌ای که از ریاضی تیزهوشان نهم خواندیم، مثال هایی از فصل دوم کتاب ریاضی نهم را جهت آمادگی برای آزمون تیزهوشان بررسی کردیم.

ما در ریاضیکا آماده‌ی هر کمکی برای موفقیت شما در ریاضی هستیم. هر سوالی در ارتباط با درسنامهٔ مجموعه ها ریاضی تیزهوشان نهم دارید، در دیدگاه‌ها بنویسید. کارشناسان ما به سوال شما پاسخ خواهند ‌داد.